Antag X 1,..., X n stokastiske variable med fælles middelværdi µ og varians σ 2. Hvis µ er ukendt estimeres σ 2 ved 1/36.

Transkript

1 Estmaton af varans/sprednng Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - rw@math.aau.dk Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Antag X,..., X n stokastske varable med fælles mddelværd µ og varans σ. Hvs µ er kendt estmeres σ ved Ŝ n Hvs µ er ukendt estmeres σ ved S n n (X µ) n (X X) NB: begge estmater er centrale (mddelværdrette) men Ŝ har mndst varans (mest præcst). /36 /36 Lnearserng Dobbeltmålnger: X og X uafhængge mddelværd µ og varans σ. Da har dfferens Y X X kendt mddelværd nul og varans σ Y σ. σ Y kan da estmeres ved og σ estmeres ved Ŝ Y n n Ŝ Y / Y Antag X har mddelværd 0 og sprednng 0.. Lad Y log(x) (naturlg logartme). Lnearserng af log( ): Dermed log(x) log(0) + (x 0) 0 0 x + log(0) EY log(0).306 ( ) VarY /36 4/36

2 Fortolknng af afledet Vægte motverende eksempel Højdeforskellen mellem punkterne P og P er opmålt ved et geometrsk nvellement over to forskellge stræknnger l > l. Hvs Y h(x) måler h (µ) hvor senstv Y er overfor ændrnger X omkrng µ (hvor meget gver en ændrng X anlednng tl at Y ændres). Derfor gver det god menng at VarY (h (µ)) VarX P l h De to estmater h og h er realsatoner af stokastske varable H og H med varanser l σ k og l σ k. Kan v kombnere de to estmater h og h for at opnå et bedre estmat under hensyntagen tl, at der er større uskkerhed for H end for H? En mulghed: h (h + h )/ - men det kan gøres bedre! l h P 5/36 6/36 Vægte Antag X,..., X n er uafhængge stokastske varable med ens mddelværd µ men forskellge varanser σ,..., σ n. F.eks. målnger med nstrumenter af varende kvaltet eller nogle X kunne repræsentere gennemsnt af gentagne målnger. Hvert X tldeles en vægt p > 0 som afspejler målngens kvaltet (stort p svarer tl god målng). V estmerer da µ ved det vægtede gennemsnt resulterende vægte summer sammen tl en: w p l p l n w Defnton: Vægtet gennemsnt For observatoner X,..., X n med vægte p > 0,..., p n > 0 er det vægtede gennemsnt X p n p X + + p n p X n p (p X + + p n X n ). 7/36 8/36

3 Centraltet af vægtet gennemsnt Optmale vægte Det vægtede gennemsnt X p n p X + + er et centralt estmat af µ, dvs. p n p X n E( X ) µ for et hvlket som helst valg af vægte p > 0,..., p n > 0. p (p X + + p n X n ) Der er uendelg mange mulge valg af vægte. Hvad er det bedste valg? Bedst betyder varansen Var X mndst mulg! Sætnng: Optmale vægte Varansen Var X er mnmal hvs vægtrelatonen p σ p σ p n σn. er opfyldt. 9/36 0/36 Vægtrelatonen Antag vægtrelatonen er opfyldt: p σ p σ p n σ n. Lad σ0 betegne den fælles værd af p σ observaton med vægt p 0 ). (svarer tl varans for Vægtrelatonen: Eksempel Antag varansen på første målng er dobbelt så stor som på den anden (σ σ ). Et valg af vægte, der opfylder vægtrelatonen, er p og p (σ 0 σ ), det p σ p σ σ σ Da ser v p σ 0 σ 3 Der er uendelg mange lge gode valg af vægte!! Et andet valg er p og p (σ 0 σ ). Dvs. v skal smpelthen vælge vægtene så de er omvendt proportonale med varanserne! Bemærk: I eksemplet er vægten på den bedste målng dobbelt så stor som vægten på den dårlge målng. /36 Begge valg af vægte gver samme X : p /(p + p ) /( + ) (/)/(/ + ) /3 /36

4 Alle vægte der opfylder vægtrelatonen gver samme resulterende vægte og dermed samme X. Varansen for det vægtede gennemsnt Dermed p σ 0 σ Sætnng: Varansen af vægtet gennemsnt Antag vægtrelatonen er opfyldt, dvs. w p n l p l σ 0 σ l σ 0 σ l σ l σ l l σ σ l Da gælder p σ p n σ n σ 0. Var( X ) σ0 n p. Dvs. sdste ende afhænger X kke af σ 0. Med et andet sæt vægte p σ 0/σ fås nøjagtg samme w! 3/36 4/36 Eksempel Estmat af σ 0 X, X og X 3 har fælles mddelværd µ og varanser hhv. 3, 4,. Et optmalt sæt af vægte er p /3, p /4 og p 3. Antag x 5, x 5.7 og x er observeret. Da er Endvdere er x Var X Estmat af σ0 Som estmat af σ0 anvendes S0: S0 p (X X ) n p X ( X ) n p Der gælder, at S 0 er et centralt estmat for σ 0: ES 0 σ 0.. 5/36 6/36

5 Estmat af Var( X ) Eksempel: Geometrsk nvellement V har, at s 0 er et centralt estmat for σ 0. Varansen for det vægtede gennemsnt er Var( X ) σ 0 p Et centralt estmat for varansen af det vægtede gennemsnt er derfor s 0 p En højdeforskel er nvelleret over n stræknnger med samme klometersprednng σ k. Varansen over en længde l er fra tdlgere gvet ved σ k l. Højdeforskel h Længde l Varans på h over l h l σ σ k l h l σ σk l... h n l n σ n σ k l n Forskellge varanser pga. forskellge stræknnger (l l j ). 7/36 8/36 Eksempel: Geometrsk nvellement valg af vægte Vægtrelatonen er opfyldt når σ0 p σ p n σn Indsættes udtrykket for σ l σk har v: Eksempel Højdeforskellen mellem punkterne P og P er opmålt ved et geometrsk nvellement over to forskellge stræknnger. l h P Heraf fremgår det at hvs p l σ 0 p σ kl p n σ kl n er lgheden opfyldt: P l h σ0 l σ kl l n σkl n σk σk. Dvs. vægte kan vælges tl p (l ) (recprokke længde). Bemærk: her svarer σ 0 tl klometervaransen σ k. Hvs σ k er ukendt kan den estmeres vha. S 0! 5 Data: h 347mm, l 67m h 356mm, l 853m Estmat af højdeforskel (vægtet gennemsnt): x /67 /67 + / / , 96mm /67 + /853 9/36 0/36

6 Eksempel - polygonvnkler Antag yderlgere at klometersprednng σ k 3mm/ km. Varans på estmatet: Var X 3 /000 /67 + / Tl sammenlgnng er varanserne for X og X henholdsvs og NB: v omregner klometervarans 3 mm /km tl metervarans 3 /000 mm /m da længderne er angvet m. V måler vnklerne punkterne -4. Alle vnkler er målt med samme varans σ v. Lad σm, være varansen af mddelsatsen punkt. Punkt Antal satser σ m, σ m, σ v 3 σ m, σ v σm,3 σ v σm,4 σ v 6 3 /36 /36 Eksempel - fortsat Fordelng af slutfejl Ifølge vægtrelatonen skal p σm, være ens for alle, Jf. udtrykkene fra forrge slde p σ m, p σ m, p 3 σ m,3 p 4 σ m,4. σv p p σv 3 p σv 3 4 p σv 4 6. Således kan vægtene vælges lg antal satser for hvert punkt: Med dsse vægte gælder σ 0 σ v. p p 3 p 3 4 p 4 6 Igen kan σ v om fornødent estmeres vha. S 0. 6 Betragt en stuaton, hvor v ved, at summen af vores observatoner skal være lg en kendt værd x 0. Dette kunne eksempelvs være: x 0 00 gon, hvor vores målnger er vnkler en trekant. x 0 0 mm, hvor v nvellerer et lukket net, dvs. slut- og startpunkt er det samme.... Slutfejlen er afvgelsen mellem x 0 og den faktske sum af observatoner. 3/36 4/36

7 Nvellement bestemmelse af kote Model V ønsker at beregne koten µ tl punktet P med højdeforskelle h tl P og h tl P. Længderne fra P tl de to punkter P og P er henholdvs l og l. P µ l h P µ l h Punkterne P og P har kendte koter, hhv. µ og µ. To bud på koten P : µ + h og µ h. P µ P µ l h P µ l h X µ + H og X µ H er uafhængge stokastske varable med E(X ) E(X ) µ hvor H og H er de stokastske varable svarende tl h og h. Fra før har v, at Var(X ) l σ k og Var(X ) l σ k. P µ 5/36 6/36 Estmat af µ Tl at estmere µ anvendes det vægtede gennemsnt x det varanserne på højdemålngerne kke nødvendgvs er ens, x p p + p (µ + h ) + p p + p (µ h ), hvor vægtene p og p opfylder vægtrelatonen p l σ k p l σ k. Eksempel Højdeforskellen mellem punkterne P og P er opmålt ved et geometrsk nvellement over to forskellge stræknnger. P l P l h P µ Dvs. de recprokke længder kan anvendes som vægte, µ h Estmatet for µ er altså gvet ved: p l og p l. x l l l + l (µ + h ) + l + l (µ h ). 7 Data: µ 743mm, h 47mm, l 67m µ 788mm, h 56mm, l 853m Estmat af koten punktet P : x /67 /67 + /853 (743+47)+ /853 (788 56) 7675, 36mm /67 + /853 7/36 8/36

8 Estmat af µ - en omskrvnng Slutfejlen r På grund af målefejl er h + h µ µ. Derfor ndføres slutfejlen r V kan omskrve udtrykket for x således: r µ µ (h + h ) µ h µ + h + r. x l l l + l (µ + h ) + l + l (µ h ) l l l l l l l + (µ + h ) + l l l l + (µ h ) l l l l l + l (µ + h ) + l l + l (µ h ) Indsættes dette udtrykket for x får v x l l + l (µ + h ) + l l + l (µ h ) l l + l (µ + h ) + l l + l (µ + h + r) (µ + h ) + l l + l r Slutfejlen på estmatet x af koten µ skal under de anvendte vægte (recprokke længdemål) fordeles proportonalt med vejlængden. 9/36 30/36 Eksempel fortsat Slutfejl af vnkelmålnger trekant P l µ l P h P h µ Data: µ 743mm, h 47mm, l 67m µ 788mm, h 56mm, l 853m Slutfejl: µ µ , h + h mm Slutfejl r n mm Estmat af koten punktet P : (µ +h )+ l 67 r n ( 6) , 64 l + l Højdeforskelen h skal altså nedkorrgeres,64mm. 3/36 8 α Betragt trekanten med sande vnkler α, β og γ. Dvs α + β + γ 00 gon. Lad X α, X β og X γ være stokastske varable (vnkelmålnger) med og E(X α ) α E(X β ) β E(X γ ) γ Var(X α ) Var(X β ) Var(X γ ) σ β γ 3/36

9 Estmat af α X α er en drekte observaton af α. Y α 00 X β X γ er en ndrekte observaton af α: EY α 00 EX β EX γ α VarY α σ Idet varanserne for de to observatoner X α og Y α er forskellge anvendes vægtet gennemsnt med p og p (da varansen på Y α to gange varans på X α ). Dvs. α estmeres ved x 3 x α + 3 y α 3 x α + 3 (00 x β x γ ) Slutfejlen r v på vnkelsummen Som foregående eksempel er summen af x α, x β og x γ kke 00 pga. uundgålge målefejl. Derfor ndføres slutfejl r v r v 00 (x α + x β + x γ ) 00 x β x γ x α + r v, som ndsættes udtrykke for x, x 3 x α + 3 (00 x β x γ ) 3 x α + 3 (x α + r v ) x α + 3 r v. 33/36 Dvs. slutfejlen fordeles lgelgt på alle vnkler når vnklerne er målt med samme varans (NB kke tlfældet eksamensopgave B). 34/36 Eksempel Slutfejl: Estmat af α: x α 9 x β 8 x γ 87 r v x α + 3 r v 9 89 Antag sprednngen på vnkelmålngerne er σ 0.. Da er varansen på estmatet (med σ 0 σ ) Var X σ 3 3 σ og sprednngen på estmatet er 3 σ 0.86σ 9 35/36