Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Transkript

1 Dagens program Afsnit Varians Eksempel: Forventet nytte Kovarians og korrelation Middelværdi og varians af summer af stokastiske variabler Eksempel: Porteføljevalg 1

2 Beskrivelse af fordelinger Kapitel 3 Fordelinger af stokastiske variabler beskrives kort ved: - Middelværdi (forventet værdi) - Varians (variation) - Kovarians (samvariation mellem to variabler) - Bruges i beskrivelse af fordelinger - Helt centralt når man træffer beslutninger under usikkerhed 2

3 Middelværdi X numerisk stokastisk variabel med sandsynlighedsfunktion givet ved f (x). Middelværdien af X er givet ved μ X = E (X) = X x xf (x) Der gælder E (a + bx) =a + be (X) 3

4 Varians Mål for variation eller spredning Definition: X numerisk stokastisk variabel med sandsynlighedsfordeling givet ved f (x). Variansen af X er givet ved Var (X) =E (X μ X ) 2 = X x (x μ X ) 2 f (x) eller som Var (X) =E X 2 (E (X)) 2 4

5 Bemærk: Ofte betegnes Var (X) :σ 2 eller σ 2 X Vægtet gennemsnit af de kvadrerede afvigelser fra middelværdien Var (X) 0 Standardafvigelsen eller spredningen er defineret som σ X = p σ 2 X = p Var (X). I modsætning til variansen måles standardafvigelsen i samme enhed som den stokastiske variabel X. Resultat: Variansen af Y = a + bx er givet ved Dermed bliver standardafvigelsen σ 2 Y =Var(Y )=Var(a + bx) =b 2 Var (X) σ Y = p Var (Y )= b σ X 5

6 Eksempe1 1 (kopi fra fra sidst): Fordelingen af X : x f (x) E (X) = ( 1) =0 Fordelingen er symmetrisk omkring 0 Fordelingen af X : x f (x) E (X) = ( 1) = 1 Vivilnuregnevariansenudidetotilfælde. 6

7 Fordelingen af X μ X = X : x f (x) Variansen: Var (X) =E (X μ X ) 2 =( 2) ( 1) =1.2 Spredningen: σ X = p Var (X) =

8 Fordelingen af X μ X : x f (x) Variansen: Var (X) =E (X μ X ) 2 =( 3) ( 2) ( 1) = Spredningen: σ X = p Var (X) =

9 Eksempel 3.1a i bogen (fra sidst): Valg: 1.Vælgendørogmodtaggevinstenbagdøren 2. Modtage 9000 kroner X : Gevinsten i spillet x f (x) / / /3 Forvalgnr.1harvi: E (X) = / / /3 = 9000 E (X 2 ) = / / /3 =

10 Dvs. Var (X) =E (X 2 ) E (X) 2 = = Standardafvigelsen: σ X = p Var (X) = Nytten af gevinsten er: u (x) =100x bx 2 for x og b (Se Figur 1) Forventet nytte: U E [u (X)] = E 100X bx 2 =100E (X) be X 2 = 100E (X) be (X) 2 b Var (X) Den forventede nytte afhænger kun af den forventede gevinst E (X) og variansen på gevinsten Var (X). For givet forventet gevinst er den forventede nytte mindre, jo større variansen på gevinsten er. 10

11 Forventet nytte ved valg 1: U 1 = 100E (X) be (X) 2 b Var (X) = b b Forventet nytte ved valg 2: U b Vi har at U 1 <U 2 da b>0. Altsåvilmanfortrækkevalg2(detsikrevalg) 11

12 Hvad sker der, hvis gevinsten ved valg 1 fordobles? Forventet gevinst ved valg 1: E (2X) =2E (X) = Var (2X) = 4Var(X) Standardafvigelsen: 2 p Var (X) Forventet nytte ved valg 1: U 1 =100 E (2X) be (4X 2 ) = 100 2E (X) b 4E (X 2 ) = b Forventet nytte ved valg 2 (som før): U 2 = b

13 Vi har så at: U 1 U 2 = b ( ) = b < 0 for b > =0 for b = > 0 for b < For b =0.001 : Foretrækker valg 1. For b =0.002 : Foretrækker valg 2. For b = : Indifferent 13

14 Figur 1: Nyttefunktionen u (x) = 100x bx 2 for b =0.001 (blå), b = (grøn) og b =0.002 (rød) 14

15 Figur 2: Forventet nytte af valg 1 når gevinsten fordobles (blå) og valg 2 (9000 kr sikkert) (grøn) som en funktion af b (parameter i nyttefunktionen) 15

16 Momenter Definitioner: X numerisk stokastisk variabel med sandsynlighedsfordeling givet ved f (x). Det r te moment af X er defineret som E (X r )= X x x r f (x) Det r te centrale moment af X er defineret som E [(X μ X ) r ]= X x (x μ X ) r f (x) Bemærk: Middelværdien af X : 1. moment af X Variansen af X : 2. centrale moment af X 16

17 Den normerede variabel X er defineret som Der gælder E (X )=0og Var (X )=1 X = (X μ X) σ X 17

18 Kovarians og korrelation Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Sammenhængen mellem to stokastiske variabler X og Y er givet ved den simultane sandsynlighedsfunktion f (x, y). Kovarians og korrelation bruges til at karakterisere dette. Definition: Kovariansen mellem to stokastiske variabler X og Y er givet ved σ XY =Cov(X, Y )=E [(X μ X )(Y μ Y )] = X (x μ X )(y μ Y ) f (x, y) (x,y) Der gælder at: Cov (X, Y )=E (XY ) μ X μ Y Hvis Cov (X, Y )=0siger vi, at X og Y er ukorrelerede. 18

19 Eksempel 3.4a i bogen: X\Y μ X =1og σ 2 X =0.4 μ Y =2og σ 2 Y =0.1 E (XY )=2.2 Cov (X, Y )=E (XY ) μ X μ Y = =0.2 19

20 Hvad sker der, hvis vi ser på Cov (10X, 10Y )? E (10X) =10μ X =10 E (10Y )=10μ Y =20 E (10X 10Y ) = 100E (XY )=220 Cov (10X, 10Y )= = 20 = 100 Cov (X, Y ) 20

21 Vi vil gerne have et mål, der ikke afhænger af hvordan X og Y skaleres. Definition: Korrelation mellem X og Y er givet ved Bemærk at 1 ρ X,Y 1 ρ X,Y = Cov (X, Y ) p Var (X)Var(Y ) = σ XY σ X σ Y 21

22 Figur 3: Sammenhørende værdier af (X, Y ) hvor alle er lige sandsynlige, positiv korrelation ρ =

23 Figur 4: Sammenhørende værdier af (X, Y ) hvor alle er lige sandsynlige, negativ korrelation ρ =

24 Figur 5: Sammenhørende værdier af (X, Y ) hvor alle er lige sandsynlige, positiv korrelation ρ =

25 Figur 6: Sammenhørende værdier af (X, Y ) hvor alle er lige sandsynlige, ingen korrelation ρ =0 25

26 Regneregel: Lineære transformationer af X og Y For U = a + bx og V = c + dy gælder der Cov (U, V ) = bd Cov (X, Y ) ρ (U, V ) = ½ ρ (X, Y ) for bd > 0 ρ (X, Y ) for bd < 0 26

27 Resultat: Hvis X og Y er uafhængige, da er X og Y ukorrelerede. Det omvendte er ikke nødvendigvis tilfældet. Eksempel 3.4b i bogen: X\Y μ X =1og μ Y =2 E (XY )=2 Dvs. Cov (X, Y )=0 Men X og Y er ikke uafhængige. 27

28 Summer af stokastiske variabler Regneregler: X 1,..., X n stokastiske variabler. Der gælder: E (X X n ) = E (X 1 ) E (X n ) nx Var (X X n ) = Var (X i )+2 X Cov (X i,x j ) i=1 j6=i To stokastiske variabler X og Y : Var (X + Y )=Var(X)+Var(Y )+2Cov(X, Y ) Specielt gælder der: X 1,..., X n er uafhængige (eller ukorrelerede) stokastiske variabler nx Var (X X n ) = Var (X i ) =Var(X 1 ) Var(X n ) i=1 28

29 n uafhængige gentagelser af det samme eksperiment: X i : Udfaldet af eksperiment i X 1,X 2,..., X n uafhængige med E (X i )=μ og Var (X i )=σ 2. Dette skrives X i iid N (μ, σ 2 ) Gennemsnittet af X i erne: nx X = 1 n i=1 X i Da gælder: E X Ã! Ã 1 nx = E X i = 1 n! n n E X X i = 1 nx E (X i )= 1 nx μ = 1 n n n nμ = μ i=1 i=1 i=1 i=1 Var Ã! Ã 1 nx X = Var X i = 1 n! n n Var X X 2 i = 1 nx Var (X n 2 i )= 1 nx σ 2 = 1 = 1 n 2 n 2nσ2 n σ2 i=1 i=1 i=1 i=1 29

30 Eksempel: Porteføljevalg To aktiver A og B med usikkert afkast Stokastiske variabler: X A : Afkast af aktiv A (i %) X B : Afkast af aktiv B (i %) Tabel1:Fordelingenaf(X A,X B ): X A \X B Kvantitative Metoder 1 - Forår

31 E (X A )=0.05 og Var (X A )=σ 2 A = E (X B )=0.10 og Var (X B )=σ 2 B = Cov (X A,X B )=0.021 og ρ (X A,X B )=0.84 Jeg skal investere et beløb i de 2 aktiver. Hvor stor en del skal jeg investere i aktiv A og B? w A : Andel af beløbet investeret i aktiv A w B : Andel af beløbet investeret i aktiv B w A + w B =1 Portefølje: Y = w A X A + w B X B 31

32 Detforventedeafkastafporteføljen: E (Y )=E (w A X A + w B X B )=w A E (X A )+w B E (X B )=w A (1 w A ) 0.10 Variansen af porteføljen: Var (Y ) = Var(w A X A + w B X B ) = w 2 A Var (X A )+w 2 B Var (X B )+2w A w B Cov (X A,X B ) = w 2 A (1 w A ) w A (1 w A ) Dvs. risikoen er σ Y = p Var (Y ) 32

33 Højst mulige afkast: w A =0 Mindst mulig risiko: w A =1 Vælger 50% af aktiv A og 50% af aktiv B: Forventet afkast: Varians: σ 2 Y =0.026 Risiko: σ Y =0.162 Jegvilhaveetforventetafkastpåmindst8%: w A = Risikoen bliver så: Jeg vil højst have en risiko på 15%: σ Y =0.15 dvs. σ 2 Y = dvs. w A = Detforventedeafkastbliverså: 33

34 Figur 7: Forventet afkast af porteføljen Y som en funktion af w A 34

35 Figur 8: Variansen af porteføljen Y som en funktion af w A 35

36 Figur 9: Sammenhæng mellem forventet afkast E (Y ) og risiko σ Y 36

37 To aktiver C og D med usikkert afkast Stokastiske variabler: X C : Afkast af aktiv C (i %) X D : Afkast af aktiv D (i %) Tabel2:Fordelingenaf(X C,X D ): X C \X D E (X C )=0.05 og Var (X C )=σ 2 C = E (X D )=0.10 og Var (X D )=σ 2 D = Cov (X C,X D )= og ρ (X C,X D )=

38 Portefølje: Z = w C X C + w D X D Detforventedeafkastafporteføljen: E (Z) =E (w C X C + w D X D )=w C E (X C )+w D E (X D )=w C (1 w C ) 0.10 Risikoen af porteføljen: Var (Z) = Var(w C X C + w D X D ) = wcσ 2 2 C +(1 w C ) 2 σ 2 D +2w C (1 w C )Cov(X C,X D ) = w 2 C (1 w C ) w C (1 w C )

39 Risikoen er mindst når: w σ 2 D Cov (X C,X D ) C = σ 2 C + σ 2 D 2Cov(X C,X D ) = Hvis vi investerer 67.95% iaktiva og 32.05% iaktivb: Forventede afkast: Variansen σ 2 Z og risikoen σ Z I forhold til situationen, hvor vi investerer 100% i aktiv C, kan vi opnå større forventet afkast og lavere risiko ved at investere ca. 68% i aktiv C og 32% i aktiv D. 39

40 Figur 10: Variansen af porteføljen Z som en funktion af w C 40

41 Figur 11: Sammenhæng mellem forventet afkast E (Z) og risiko σ Z 41

42 Porteføljer med høj risiko (store tab eller store gevinster): Sammensætte aktiver, der er positivt korrelerede Porteføljer med lav risiko (små tab eller små gevinster): Sammensætte aktiver, der er negativt korrelerede 42

43 Opsummering Beskrivelse af fordelinger: - Middelværdi (balancepunkt) - Varians og standardavigelse (variation eller spredning) - Kovarians og korrelation (samvariation) Hvornår man skal udregne dette i de betingede fordelinger Hvad sker der under uafhængighed Beslutninger der træffes under usikkerhed: - Vigtige mål: Middelværdi, varians og kovarians Statistisk analyse: - Vigtigt at kunne finde middelværdi og varians af gennemsnit Porteføljevalg: Anvendelse af disse mål 43

44 Næste gang Mandag gennemgåes: Afsnit 4.1, 4.2 og 4.7 Eksempler på diskrete fordelinger Bemærk: - Afsnit 3.6 er ikke pensum - En liste over overspringelser findes på fagets hjemmeside Husk: - At lave opgaver og SAS-øvelser 44