Thomas Bugge "De første grunde til Regning, Geometrie, Plan-Trigonometrie og Landmaaling". Kiøbenhavn Tredje Kapitel

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Thomas Bugge "De første grunde til Regning, Geometrie, Plan-Trigonometrie og Landmaaling". Kiøbenhavn 1795. Tredje Kapitel"

Transkript

1 Thomas Bugge "De første grunde til Regning, Geometrie, Plan-Trigonometrie og Landmaaling". Kiøbenhavn Tredje Kapitel Skievvinklede Trianglers Opløsning Tab.17. Fig I enhver retlinet flad Triangel ABC forholde sig Siderne AC og BC som Sinus af de modstaaende Vinkler, det er, som Sinus af B til Sinus af A, eller AC : BC = sin.b : sin.a. Den givne Triangel ABC indskrives i en Cirkel, hvis Center er D. Derfra drager man paa Chorderne 1) AC og BC Perpendikularerne 2) DE og DF. Disse skiære saavel Chorderne som Buerne i lige Dele (.108 Geom 3) ); saa at 2 CE = AC, og 2 BF = CB; ligeledes x = ½ ADC, og y = ½ BDC; nu er den hele Vinkel ved Peripherien saa stor som den halve Center-Vinkel (.121 Geom. 4) ), eller ½ ADC = B og ½ BDC = A; hvoraf følger, at x = B og y = A. Af de Trigonometriske Liniers Natur er det klart, at CE er Sinus til x, og BF til y (.2); eller BF = sin.y = sin.a, og CE = sin.x = sin.b; altsaa sin.b : sin.a = CE : BF = 2 CE : 2 BF = AC : CB. Fig

2 Naar i en skievvinklet Triangel gives en Side AB, og Vinkelen C lige over for Siden AB, og desuden en af vinklerne A ved samme Side, at finde den lige over for staaende Side BC. Man opsætter følgende Forhold: som sinus af Vinkelen C til den modstaaende Side AB, saaledes Sinus af den anden givne Vinkel A til sin modstaaende Side BC, eller sin.c : AB = sin.a : BC (.21). F.Ex. AB = 2354 Alen 5), A = , C = ), Sin : 2354 = sin : BC 7) Log.2354 = Log.sin = Log.sin = Log.BC = BC = 1630,1 Alen. Fig Dersom der gives Grundlinien AB, og begge Vinklerne ved Grundlinien A og B, da at finde tvende Sider BC og AC. 1. Ved at lægge begge Vinklerne ved Grundlinien A og B sammen, og ved at drage dem fra tvende rette Vinkler alle 180 0, finder man Vinkelen C, som staaer lige over for Grundlinien AB (.67 Geom. 8) ) 2. Da har man samme givne Ting, som i.22, og altsaa sin.c : AB = sin.a : BC, og sin.c : AB = sin.b : AC. F.Ex. AB = Alen, A = og B = ; saa søger man først Vinkelen C. A = B = : 3 A + B = A + B + C = = C = sin.c : AB = sin.a : BC sin : = sin : BC log = log.sin = log.sin = log.bc = BC = 9147,7 Alen sin : = sin : AC

3 log = log.sin = log.sin = log.ac = AC = 8649,4 Fig Naar i en Triangel ABC gives tvende Sider AB og BC, og en Vinkel C lige over for den ene givne Side AB, da at finde den Vinkel A, som staaer lige over for den anden givne Side BC. Man finder Vinkelen A ved følgende Forhold: AB : sin.c = CB : sin.a. F.Ex. AB = Alen; C = ; CB = 4876 Alen : sin = 4876 : sin.a log.4876 = log.sin = log.5394 = log.sin.a = A = A nmærkning. Naar man saaledes har fundet Vinkelen A, og man tager Summen eller A + C fra 180 0, har man den tredie Vinkel B (.67 Geom. 8) ); og da kan man deraf søge den tredie Side AC, nemlig sin.c : AB = sin.b : AC (.22.). Paa den Maade har man fundet alle Vinkler og Sider i Trianglen ABC; i øvrigt kan man lægge Mærke til, at naar man vil søge en Vinkel, begynder Forholden med en Side, og naar man vil søge en Side, begynder Forholden med en Vinkel.

4 Tab.17. Fig Naar der ere tvende ulige Størrelser M = 8 og m = 2, og man ved deres Summe S = M + m = 10, og deres Difference D = M - m = 6, saa er den større M lige stor med den halve Summe tilligemed den halve Difference, eller M = ½ S + ½ D = 10/2 + 6/2 = = 8; og den mindre Størrelse er den halve Summe mindre end den halve Difference, eller m = ½ S - ½ D = 10/2-6/2 = 5-3 = S = M + m og D = M - m; disse lægges sammen, saa er S = D = 2 M + m - m = 2 M, fordi + m, som er lagt til, nødvendigen tilintetgøres eller hæves ved - m, som er subtraheret; man dividerer med 2, saa er M = ½ S + ½ D. 2. M + m = S; isteden for M sættes dens Værdie = ½ S + ½ D; altsaa ½ S + ½ D + m = S; man fradrager ½ S paa begge Sider, saa er ½ D + m = S - ½ S = ½ S; man fradrager ½ D paa begge Sider, saa er endeligen m = ½ S - ½ D. 26 Fig.263. Naar udi en Triangel ABC gives tvende Sider AB og AC, og den af dem indbefattede Vinkel BAC eller A, da at finde de øvrige Vinkler ved C og B. 1. Man lægger begge de givne Sider sammen, og finder deres Summa AB + AC. 2. Man tager dem fra hinanden, og finder deres Difference AB - AC. 3. Man tager den givne Vinkel A fra 180 0, saa har man Summen af de tvende ubekiendte Vinkler C + B (.66 Geom. 9) ) 4. Man giør følgende Forhold som Summen af Siderne AB + AC til deres Forskiel AB - AC, saaledes Tangens af de ubekiendte Vinklers halve Summer til Tangens af disse Vinklers halve Difference, eller AB + AC : AB - AC = tang.½(c + B) : tang.½(c - B). 5. Naar man saaledes har fundet de ubekiendte Vinklers halve Difference ½ C - ½ B; lægger man til deres halve Summe ½ C + ½ B den halve Difference ½ C - ½ B, saa har man den større af de søgte Vinkler C; og naar man fra den halve Summe ½ C + ½ B tager den halve Difference ½ C- ½ B, har man den mindre af de ubekiendte Vinkler = B (.25.). Beviis. Det som behøver Beviis i denne Opløsning, er den under Num. 4 anførte Forhold, hvilken saaledes bevises. Fra A, som Center, og med den mindre Side AC, som Radius, beskriver

5 man en Cirkel, saa er BF Summen af de givne Sider AB og AC, thi BF = AB + AF = AB + AC (.14 Geom. 10) ), og DB er de givne Siders Difference; thi DB = AB - AD = AB - AC. Man drager FC og CD, samt DE parallel med FC (.65 Geom. 11) ). Da AC = AD, saa er x = y (.39 Geom. 12) ); men y = m + n (.66 Geom. 9) ), altsaa x = m + n. Først fradrages m paa begge sider, og x - m = n, dernæst lægges n til paa begge Sider, saa er x + n - m = 2 n; men x + n = ACB = C og m = ABC = B, altsaa C - B = 2 n; og ½ C - ½ B = n, eller n er de ubekiendte Vinklers halve Difference. Fremdeles er z = ACB + ABC (.66 Geom. 9) ) = 2 y, og ½ z = y; altsaa ½ z = y = ½ ACB + ½ ABC = ½ C + ½ B, eller y er de ubekiendte Vinklers halve Summe. Videre da Vinkelen FCD er en Vinkel i en halv Cirkel, saa er FCD = 90 0 (.122 Geom. 13) ), eller FC perpendikular til CD; og naar CD antages som Radius, er FC = tang.y = tang.(½ C + ½ B) (.4). Nu er FC parallel med DE (Konstr.); og Vexelvinklerne 14) ligestore FCD = CDE (.60 Geom. 15) ); og naar CD er Radius, er DE = tang.n = tang.(½ C - ½ B). Fremdeles da DE er parallel med FC saa er BFC ~ BDE, og BF : BD = FC : DE (.148 Geom. 15) ); men BF = AB + AC og BD = AB - AC efter hvad som forhen er beviist; derfor AB + AC : AB - AC = tang.(½c + ½B) : tang.(½c - ½B). Eksempel. AB = 693 Fod. AC = 539 Fod. A = AB = 693 A + B + C = AC = 539 A = AB + AC = 1232 Fod C + B = AB - AC = 154 Fod ½ C + ½ B = : 154 = tang : tang. ½ C - ½ B. log.154 = log.tang = log.1232 = log.tang.(½ C - ½ B) = ½ C - ½ B = ½ C + ½ B = C = B = Saaledes har man fundet de tvende Vinkler C og B. Vil man videre end finde den tredie Side BC, da skeer det ved følgende Forhold: Sin.B : AC = sin.a : BC (.22) 0 sin : 539 = sin : BC log.539 = log.sin = log.sin = log.bc = BC = 460,73 Fod. Tab.17. Fig

6 Naar der udi en Triangel ABC gives tvende Sider AB og AC, og den indbefattede Vinkel BAC, saa kan man endnu paa en anden og følgende Maade finde de tvende øvrige Vinkler B og C. 1. Som den mindste Side AC er til den største Side AB, saaledes Sinus Totus til Tangens af en Vinkel c. 2. Fra denne Vinkel drager man 45 0, og Forskiellen x = c Fremdeles: som Sinus Totus til Tangens af c eller Tangens x, saaledes Tangens af de søgte Vinklers halve Summe til Tangens af deres halve Difference. 4. Af den halve Summe og den fundne halve Difference findes den store Vinkel C og den mindre B. F.Ex., AB = 693 Fod, AC = 539 Fod, A = , saa er AB + AC = 1232 Fod; AB - AC = 154 Fod; ½ C + ½ B = (.26 Exemp.) AC : AB = R : tang.c 539 : 693 = sin.tot. : tang.c log. sin.tot. + log.693 = log.539 = log.tang.c = c = = 45 0 x = c = R : tang.(c ) = tang.(½ C + ½ B) : tang.(½ C - ½ B) Sin.tot. : t = t : t.(½ C - ½ B) Log.tang = Log.tang = Log.tang. (½ C - ½ B) = ½ C - ½ B = Ganske saaledes, som forhen er fundet. Beviis Fig Naar der i en Triangel ABC gives alle trende Sider AB, BC og AC, da at finde Vinklerne.

7 1. Fra toppen af den første Vinkel C nedlader man paa den modstaaende største Side AB en Perpendikular CG, og fra C, som Center, mod den mindste Side BC, som Radius, beskrives en Cirkel. 2. Man opsætter følgende Forhold: som den største Side AB til Summen af de andre Sider AC + CB; saaledes disse Siders Forskiel AC - CB til Stykket uden for Cirklen AF. 3. Dette Stykke AF tages fra AB, saa har man BF; og ½ BF = FG = BG ( 108 Geom. 17) ); og AG = AF + FG = AF + ½ BF. 4. I den retvinklede Triangel BCG findes Vinkelen B ved følgende Forhold: CB : BG = R : cos.b ( 14). 5. Iden retvinklede Triangel AGC søges Vinkelen A ved dette Forhold: AC : AG = R : cos.a ( 14). 6. Endeligen findes BCA = (A + B) (.67 Geom. 18) ) Beviis. Det som i denne Opløsning behøver Beviis, er at AB : AC + CB = AC - CB : AF. Nu er AD = AC + CD = AC + CB; og AE = AC - CE = AC - CB. Fremdeles x = ½ EDB og y = ½ BFE ( 19) 0 20) 122 Geom. ) ; altsaa x + y = ½ EDB + ½ BFE = 180 ( 20 Geom. ) = m + x ( 31 Geom. 21) ), og naar man fradrager x, bliver y = m. End videre er Vinkelen A tilfælledes for ABD og AEF; altsaa ABD ~ AEF ( 149 Geom. 22) ) og AB : AD = AE : AF, eller AB : AC + CB = AC - CB : AF. Exempel. AC = 354 Fod; BC = 346 Fod og AB = 625 Fod. AC = 354 Fod AC = 354 Fod BC = 346 BC = 346 AC + BC = 700 Fod AC - BC = 8 Fod AB : AC + BC = AC - BC : AF 625 : 700 = 8 : AF log.8 = log.700 = log.625 = log.af = AF = 8,96 Fod AB = 625 Fod AF = 8,96 BF = BG = ½ BF = 308,02 AG = AF + ½ BF = 316,98 CB : BG = R : cos.b 346 : 308,02 = sin.tot : cos.b log.sin.tot. + log.308,02 = log.346 = log.cos.b = B = AC : AG = R : cos.a 354 : 316,98 = sin.tot. : cos.a log.sin.tot. + log.316,98 = log.354 = log.cos.a = A =

8 B = A = A + B = C + A + B = C = Noter: 1) Chorde: Et linjestykke der forbinder to punkter på en cirkelperiferi. 2) Perpendikular: En linje der står vinkleret på en anden linje. 3) 108 Geom: Naar Diamet eren DE er Perpendikular til Chorden AB, saa deler den Chorden AB i tvende lige Dele, AF = FB 4) 121 Geom: V inkelen ved Centeret ACB er dobbelt saa stor som Vinklen ved Peripherien ADB, naar de begge staae paa samme Bue AB 5) Målestoksforhold: 1 Fod = 10 decimaltommer = 100 decimallinier = ½ Alen.1 Alen = 62.8 cm. 6 ) Vinkelmål: En hel cirkel deles i Hver grad deles i 60 bueminutter ( skrives 60 ) og hvert bueminut deles i 60 buesekunder (skrives 60 ). F.eks. betyder : 20 grader, 13 minutter og 45 sekunder Eksempel på omregning: = / / 60 2 = Tilbageskrivningen af ser sådan ud: = ( træk heltalsværdien fra) Η60 = (multiplicer med 60) = (træk heltalsværdien fra) Η 60 = (multiplicer med 60) 7) Se Beregning med logaritmer 8) 67 Geom: Naar der i en Triangel ABC gives tvende Vinkler A og B, saa findes den tredje Vinkel C ved at drage de tvende givne Vinklers Summa fra tvende rette Vinkler.. 9) 66 Geom: Naar i enhver Triangel ABC den ene Side AB forlænges til D, er den udvendige Vinkel DBC saa stor som de tvende indvendige og modstaaende Vinkler A + C, og alle Vinkler tilsammentagne er saa store som tvende rette A + C + y = 2 R.. 10) 14 Geom: Alle Radier ere lige store i samme Cirkel,. 11) 65 Geom: Igiennem et givet Punkt A at drage en Linie AE parallel med en given Linie CD. 12) 39 Geom: Udi enhver ligebenet Triangel ABC ere Vinklerne ved Grundlinien AB lige store, A = B. 13) 122 Geom: Enhver Vinkel ADB, hvis Top D er i Omkredsen af en Cirkel, har til sit Maal den halve Bue AB, paa hvilken den staaer, eller ADB = ½ AB...

9 14) Vexelvinkel: Ensliggende vinkler ved en linie der skærer ti parallelle linier. 15) 60 Geom: Naar tvende Linier AB og CD ere parallele, og skiæres af den tredie Linie HK, saa er 1) Vexelvinklerne lige store, x = y. 16) 148 Geom: Naar udi tvende Triangler ABC og DEF alle Vinklerne ere lige store, A = D, B = E og C = F, saa ere eensbeliggende Sider i Forhold, det er: AB : AC = DE : DF AB : BC = DE : EF AC : CB = DF : FE... 17) 108 Geom: Naar diameteren DE er perpendikular til Chorden AB, saa Deler den Chorden AB i tvende lige Dele, Af = FB. 18) 67 Geom: Naar der i en Triangel ABC gives tvende Vinkler A og B, saa findes den tredje Vinkel C ved at drage de tvende givne Vinklers Summa fra tvende rette Vinkler.. 19) 122 Geom: Enhver Vinkel ADB, hvis Top D er i Omkredsen af en Cirkel, har til sit Maal den halve Bue AB, AB... paa hvilken den staaer, eller ADB = ½ 20) 20 Geom:.har man deelt hele Cirklens Omkreds i ) 31 Geom: Naar paa en Linie AB staaer den anden Linie CD, saa ere begge de jevnsides Vinkler ACD og DCB tilsammentagne tvende rette Vinkler eller 180 Grader.. 22) 149 Geom: At naar tvende Triangler blot have tvende Vinkler lige store, saa er de ligedannede,..

Thomas Bugge "De første grunde til Regning, Geometrie, Plan-Trigonometrie og Landmaaling". Kiøbenhavn Andet Kapitel.

Thomas Bugge De første grunde til Regning, Geometrie, Plan-Trigonometrie og Landmaaling. Kiøbenhavn Andet Kapitel. Thomas Bugge "De første grunde til Regning, Geometrie, Plan-Trigonometrie og Landmaaling". Kiøbenhavn 1795. Andet Kapitel. Opløsning af retvinklede Triangler. Tab.16. Fig.253. 13 Naar der i en retvinklet

Læs mere

Tab.23. Fig.63 og Fig.64

Tab.23. Fig.63 og Fig.64 Thomas Bugge "De første grunde til den rene eller abstrakte mathematik. Tredje og sidste Deel. Den oekonomiske og den militaire Landmaaling". Kiøbenhavn 1814.. Fig.63 og Fig.64 76 Naar der gives en ret

Læs mere

Paa denne Maade er Vinkelen M beregnet, naar Objektet er 20, 30, 50 Alen o.s.v. fra Bordet. Objektets Afstand fra Bordet

Paa denne Maade er Vinkelen M beregnet, naar Objektet er 20, 30, 50 Alen o.s.v. fra Bordet. Objektets Afstand fra Bordet Thomas Bugge "De første grunde til den rene eller abstrakte mathematik. Tredje og sidste Deel. Den oekonomiske og den militaire Landmaaling". Kiøbenhavn 1814. 49 Efterat man saaledes har lært, hvorledes

Læs mere

Tab.21. Fig.46. Tab.22. Fig.47.

Tab.21. Fig.46. Tab.22. Fig.47. Thomas Bugge "De første grunde til den rene eller abstrakte mathematik. Tredje og sidste Deel. Den oekonomiske og den militaire Landmaaling". Kiøbenhavn 1814. 61 Tab.21. Fig.37. Paa en afstukken Linie

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt

Læs mere

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.

1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side. Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.

Læs mere

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.

Lærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler

Læs mere

Svar på opgave 322 (September 2015)

Svar på opgave 322 (September 2015) Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten

Læs mere

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten

Projekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og

Læs mere

Geometri Følgende forkortelser anvendes:

Geometri Følgende forkortelser anvendes: Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien

Læs mere

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle

Finde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger

Læs mere

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten

Bjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler

Læs mere

Trekants- beregning for hf

Trekants- beregning for hf Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Sorø 2004. Opgaver, geometri

Sorø 2004. Opgaver, geometri Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne

Læs mere

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling

Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde

Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til

Læs mere

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på

Læs mere

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri

Matematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når

Læs mere

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014

Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Sæt 05 Geometri 01 Navn: Klasse: HTx1A Opgaver: 067, 068, 069, 070, 071, 072, 073 & 074 Afleveringsdato: 03-12-2014 Rettes: Karakter: Rettes ikke: Set og godkendt: Samlet elevtid: 165 min. = 2,75 time

Læs mere

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.

Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner. Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse

Løsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Platte og voksende kort og breddecirklernes størrelse

Platte og voksende kort og breddecirklernes størrelse Platte og voksende kort og breddecirklernes størrelse For at kunne forstå bestikregning og søkort fra midten af 600-tallet og fremefter er det nødvendigt at vide, hvad et plat kort og et voksende kort

Læs mere

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag

Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag [1] Facitliste til Trigonometri i praksis 8.-9. klasse Erik Bilsted 1.udgave, 1. oplag 2009 Alinea København Kopiering af denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN Forlagsredaktion: Heidi Freiberg

Læs mere

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -

Geometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 - 2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...

Læs mere

Paradokser og Opgaver

Paradokser og Opgaver Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).

Læs mere

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB

MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB MATEMATIK B-NIVEAU STX081-MAB Delprøven uden hjælpemidler Opgave 1 Indsættes h = 2 og x = i (x + h) 2 h(h + 2x), så fås (x + h) 2 h(h + 2x) = ( + 2) 2 2(2 + 2 ) = 5 2 2 8 = 25 16 = 9 Hvis man i stedet

Læs mere

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion

Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august 2007 1 Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling

Læs mere

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri

Matematik projekt. Klasse: Sh-mab05. Fag: Matematik B. Projekt: Trigonometri Matematik projekt Klasse: Sh-mab05 Fag: Matematik B Projekt: Trigonometri Kursister: Anders Jørgensen, Kirstine Irming, Mark Petersen, Tobias Winberg & Zehra Köse Underviser: Vibeke Wulff Side 1 af 11

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y

GEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for

Læs mere

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.

er et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden. Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

A BCDE EAF AE C C C C AE A C CD C A B C DEFA A B B

A BCDE EAF AE C C C C AE A C CD C A B C DEFA A B B C C C AE A C CD C A B C DEFA A B B F A A F F D EFF AA C A B B D B D D B F B D B C C C AE A C C E C AB CDE BF FAB E A A DA A B B A AB A B F B BB A B A AB B A A B B B A AB E A B A BB D A AB DA BB BB B B

Læs mere

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser

*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser *HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve

5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve 5: Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer

Læs mere

Ligedannede trekanter

Ligedannede trekanter Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,

Læs mere

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1

GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 GEOMETRI og TRIGONOMETRI del 1 x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse EUKLIDS ELEMENTER... 3 Euklids sætninger fra 1. bog... 11 TREKANTER: Egenskaber og notation... 15 LIGEDANNEDE FIGURER...

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik B1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

(Alle disse mål kan ændres fra ballon til ballon, og i kan selv vælge hvad målende er. )

(Alle disse mål kan ændres fra ballon til ballon, og i kan selv vælge hvad målende er. ) MATMATISKE BEREGNINGER Her er den metode vi brugte til at beregne Hylsteret facon, og bredden af strimlerne. Hylsteret består af en kugle, og en keglestup der er tangens med kuglen (altså at den har en

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning

Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8

Læs mere

Pladeudfoldning, Kanaler

Pladeudfoldning, Kanaler 2009 Pladeudfoldning Kanaler Teoretisk gennemgang af de grundlæggende færdigheder inden for Pladeudfoldning, Kanaler Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2

Læs mere

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende

Forlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse:

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar

Læs mere

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.

Tilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end

Læs mere

Om ensvinklede og ligedannede trekanter

Om ensvinklede og ligedannede trekanter Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er

Læs mere

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri

Matematik for lærerstuderende klasse Geometri Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er

Læs mere

Projekt 6.4 Trigonometriens oprindelse - Ptolemaios kordetabeller

Projekt 6.4 Trigonometriens oprindelse - Ptolemaios kordetabeller Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 6.4 Trigonometriens oprindelse - Ptolemaios kordetabeller Indhold Ptolemaios kordetabel Hvad fortæller den?... 4 Hvordan anvendes kordetabellen?... 8 I. Den

Læs mere

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler

Tegning. Arbejdstegning og isometrisk tegning Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektivtegning. 1 Tegn fra tre synsvinkler Tegning Arbejds og isometrisk Ligedannede figurer Målestoksforhold Konstruktion Perspektiv Kassens højde Bundens bredde dybde Hullets diameter Afstand mellem hul og bund Højde over jorden Musvit 30 10

Læs mere

User s guide til cosinus og sinusrelationen

User s guide til cosinus og sinusrelationen User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for

Læs mere

MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER

MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER MATEMATIK I HASLEBAKKER 14 OPGAVER Matematik i Hasle Bakker Hasle Bakker er et oplagt mål for ekskursioner, der lægger op til, at eleverne åbner øjnene for de muligheder, naturen giver. Leg, bevægelse,

Læs mere

Geometrisk tegning - Facitliste

Geometrisk tegning - Facitliste Geometrisk tegning - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om geometrisk tegning skal eleverne arbejde med forskellige tegneteknikker og hjælpemidler. De skal gengive og undersøge muligheder og begrænsninger

Læs mere

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011 Version 7.1 03-10-11 rettet fejl side 47 sin G:\_nyBog\1-2-trig\nyTrigonometri12.odt Trigonometri Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 0,00 0,00 30,00 0,50 60,00 0,87 1,00 0,02 31,00 0,52 61,00 0,87 2,00 0,03 32,00 0,53 62,00 0,88 3,00 0,05 33,00 0,54 63,00 0,89 4,00 0,07 34,00

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2008 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

1 Trekantens linjer. Indhold

1 Trekantens linjer. Indhold Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik A1. Mike Auerbach. c h A H Matematik A1 Mike Auerbach B c h a A b x H x C Matematik A1 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet

Læs mere

Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning

Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i

Læs mere

Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning

Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Navn: Klasse: Måling - Fase 3 Bestemme afstande med beregning Vurdering fra 1 til 5 (hvor 5 er højst) Læringsmål Selv Lærer Beviser og forslag til forbedring 1. Jeg kan anvende forholdet mellem sider i

Læs mere

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist

Trigonometri. for 8. klasse. Geert Cederkvist Trigonometri Ved konstruktion af bygningsærker, hor der kræes stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og inkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,

Læs mere

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave

Teknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK

Læs mere

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien

Læs mere

bruge en formel-samling

bruge en formel-samling Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber

Læs mere

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76

År 2000 2001 2002 2003 2004 2005. Løn (kr.) 108,95 112,79 117,69 122,92 127,17 130,76 Eksamensspørgsmål i ma til 1b sommeren 2010 1. Procent og rentesregning Gør rede for begrebet fremskrivningsfaktor og giv eksempler på anvendelse heraf. Forklar formlen til kapitalfremskrivning (i daglig

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Facade 4. 02 Soveværelse 02 Soveværelse. 4 Værelse 10 m². 04 Værelse 3397 3325. 16 Trapperum 19 m². 14 Bad. 1700 11 Entré. 11 Entré 6 m². Stue.

Facade 4. 02 Soveværelse 02 Soveværelse. 4 Værelse 10 m². 04 Værelse 3397 3325. 16 Trapperum 19 m². 14 Bad. 1700 11 Entré. 11 Entré 6 m². Stue. A(A)-1- Type 3-3,2 m² Type 4-98,2 m² Type 1-76, Type 6-3, A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 12588 7452 9768 8280 3050 4 4 3397 3325 3050 4520 4 44 4259 m² AA AB Facade 3 Forsyningsskabe Gang 3682 8152 21 m² 2080

Læs mere

$ SEI $800A A9 E2 LDA #$E2 $800C 8D STA $0318 $800F A9 FC LDA #$FC $8011 8D STA $0319 $8014 D8 CLD $8015 A9 2F LDA #$2F

$ SEI $800A A9 E2 LDA #$E2 $800C 8D STA $0318 $800F A9 FC LDA #$FC $8011 8D STA $0319 $8014 D8 CLD $8015 A9 2F LDA #$2F $8009 78 SEI $800A A9 E2 LDA #$E2 $800C 8D 18 03 STA $0318 $800F A9 FC LDA #$FC $8011 8D 19 03 STA $0319 $8014 D8 CLD $8015 A9 2F LDA #$2F $8017 85 00 STA $00 $8019 A5 01 LDA $01 $801B 29 FE AND #$FE $801D

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Vejledende Matematik B

Vejledende Matematik B Vejledende Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Af opgaverne 8A, 8B, 8C og 8D skal kun to afleveres til bedømmelse. Hvis flere end to opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen

Læs mere

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse

Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse 1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,

Læs mere

Projekt 6.3 Caspar Wessel indførelse af komplekse tal

Projekt 6.3 Caspar Wessel indførelse af komplekse tal Projekt 6.3 Caspar Wessel indførelse af komplekse tal Et af de helt store idenskabelige projekter i 1700tallets Danmark ar kortlægningen af Danmark. Projektet ble aretaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes

Læs mere

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber:

8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: 8. 8.1 Lav en ordbog med tegninger og/eller definitioner af de geometriske begreber: Kvadrat Rektangel Parallelogram Trapez Ligebenet trekant Ligesidet trekant Retvinklet trekant Rombe Polygon Ellipse

Læs mere

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.

Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296)

Forslag til løsning af Opgaver om areal (side296) Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens

Læs mere

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB

GUX. Matematik. B-Niveau. Fredag den 29. maj 2015. Kl. 9.00-13.00. Prøveform b GUX151 - MAB GUX Matematik B-Niveau Fredag den 29. maj 2015 Kl. 9.00-13.00 Prøveform b GUX151 - MAB 1 Matematik B Prøvens varighed er 4 timer. Delprøven uden hjælpemidler består af opgaverne 1 til 6 med i alt 6 spørgsmål.

Læs mere

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b.

Mike Vandal Auerbach. Geometri i planen. # b. # a. # a # b. Mike Vandal Auerbach Geometri i planen # a # a www.mathematicus.dk Geometri i planen 1. udgave, 2018 Disse noter dækker kernestoffet i plangeometri på stx A- og B-niveau efter gymnasiereformen 2017. Al

Læs mere

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H

Matematik B. Bind 1. Mike Auerbach. c h A H Matematik B Bind 1 B c h a A b x H x C Mike Auerbach Matematik B, bind 1 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne

Læs mere

Matematik. Meteriske system

Matematik. Meteriske system Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. 5 timers skriftlig prøve. Fredag den 17. december 2010 kl htx103-mat/a

Matematik A. Højere teknisk eksamen. 5 timers skriftlig prøve. Fredag den 17. december 2010 kl htx103-mat/a Matematik A Højere teknisk eksamen 5 timers skriftlig prøve htx103-mat/a-17122010 redag den 17. december 2010 kl. 9.00-14.00 Side 1 af 7 sider Matematik A 2010 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler

Læs mere