T ALKUNNEN. Tal. Gå på taljagt! INFA Matematik Allan C MI 146 ISBN ISSN

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "T ALKUNNEN. Tal. Gå på taljagt! INFA Matematik - 1999. Allan C MI 146 ISBN 87-7701-690-4 ISSN 1398-6716"

Transkript

1 T ALKUNNEN 7 Allan C Allan C.. Malmberg Tal Gå på taljagt! MI 146 ISBN ISSN INFA Matematik

2 Talkunnen Serien Talkunnen indeholder fremstillinger af en række emner som kan give ideer til behandlingen af tal i en elementær undervisning. TAL TAL er et program der kan benyttes ved arbejdet med hele tal. I TAL kan der foretages beregninger og søgninger inden for området , altså med tal der indeholder op til 8 cifre. Indholdsfortegnelse TALKUNNEN 7 TAL... 2 Inddata til TAL... 2 Beregninger... 3 Tabeller... 5 Søgninger... 6 Afprøv Beregninger... 7 Afprøv Tabeller... 8 Afprøv Søgninger... 9 Opgaver til TAL: Gå på taljagt Primtal og sammensatte tal Trekanter med heltallige sidelængder Tal i forklædning Find tallet! Ligninger i hele tal Divisorer og delelighed Klassiske taltyper Inddata til TAL Der er på skærmen tre Tal-felter til indtastning af tal: felterne a, b og c. Umiddelbart under disse felter findes et Interval-felt til angivelse af et talinterval. Endvidere findes et Udtryk-felt U hvor der kan indtastes algebraiske udtryk i én variabel (x) eller i to variable (x og y). Til Udtryk-feltet er knyttet to Søge-intervaller. Hvis udtrykket U indeholder én variabel, skal det ene søgeinterval udfyldes. Hvis udtrykket indeholder to variable, skal begge søgeintervaller udfyldes. Endelig er der et p-felt og et q-felt som hver kan indeholde en talkonstant. Disse felter benyttes i visse talsøgninger. 1 2

3 Hvad TAL kan Hovedmenuen i TAL indeholder følgende valgmuligheder: Beregninger Tabeller Søgninger Beregninger te fælles divisor for de tre tal a, b og c. Hvis c-feltet ikke er udfyldt, foretages beregningen af største fælles divisor for tallene a og b. - Tilsvarende foretages beregninger af mindste fælles multiplum for tre eller to tal. Under Beregninger kan også angives antallet af divisorer i a: Her medregnes 1 og tallet a selv. For a=4 er antallet af divisorer derfor tre: 1, 2 og 4. - Endvidere anføres antallet af primdivisorer, dvs. antallet af divisorer som er primtal. For a=4 er antallet af primdivisorer én, nemlig divisoren 2. Udover antallet af divisorer og primdivisorer i tallet a angives antallet af uforkortelige ægte brøker med a som nævner. For a=4 er antallet af sådanne brøker to: 1/4 og 3/4. - Endvidere angives summen af alle de ægte divisorer i tallet a. De ægte divisorer er alle tallets divisorer med undtagelse af tallet selv. De ægte divisorer i 4 er altså 1 og 2. Af hensyn til indlæggelsen af større tal i a-feltet, er der en mulighed for at lade dem overføre direkte fra en lommeregner-udregning til a-feltet: En lommeregner kan fremkaldes på skærmen, og der kan foretages udregninger ved tastetryk med musen. Det beregnede tal kan overføres til a-feltet. Her kan udføres de almindelige taloperationer på tal i a-feltet og b- feltet. Ved division angives kvotient og rest. Til brug for talteoretiske opgaver kan programmet beregne resten når a i b te divideres med c. De tre talfelter for a, b og c skal være udfyldt for at denne beregning kan udføres. For givne værdier af a og b kan udregnes K(a,b) og P(a,b), antallet af kombinationer og antallet af permutationer når der fra en mængde på a elementer udtages b. Under Beregninger kan endvidere foretages nogle typer af kalenderberegninger: For en given dato kan beregnes den tilhørende ugedag, og for to datoer kan beregnes hvor mange dage der skal tælles frem fra den ene dato for at nå frem til den anden. Endvidere kan der tælles et givet antal dage frem eller tilbage fra en given dato. Antallet indtastes i a-feltet. Kalenderberegningerne i TAL er begrænset til tiden fra 1. januar 1701 og fremefter. Ønskes der beregningerne som går længere tilbage i tiden, henvises til INFA-programmet Kalender. Endvidere kan beregnes største fælles divisor for givne tal: Hvis alle tre talfelter a, b og c er udfyldt, foretages beregningen af størs- 3 4

4 Tabeller Her er der følgende muligheder: x2+x1. Programmet vil da foretage beregninger af værdier U(n), givet ved følgende rekursive sammenhæng: U(n+3) = U(n+2) + U(n+1). Når startværdien for U(1) og U(2) sættes til 1, vil denne rekursion frembringer de kendte fibonacci-tal. Søgninger Der kan udføres søgninger som vedrører udtrykket i U-feltet. Det kan fx undersøges om der i variabel-intervallerne for x og y findes værdier for hvilke det indtastede udtryk er et primtal. Ved Tilfældige tal udvælges tal ved tilfældig udtagelse med tilbagelægning. Programmet spørger om hvor mange tal der skal udtages. Du er muligvis ikke klar over hvad trekanttal er. Det er de tal der fremkommer når man tæller byggesten i trekanter der opbygges på følgende måde: * * * * * * * * * * Ved hver ny trekant kommer der et ekstra lag på forneden. Hvis du tæller op, vil du se at de første trekanttal er 1, 3 og 6. Trekanttallene kan beregnes ved hjælp af udtrykket x*(x+1)/2 Hvis du i dette udtryk indsætter x=1, x=2 og x=3, får du tallene 1, 3 og 6. Under rekursion kan udskrives en tabel over værdierne af et rekursivt udtryk. Til eksempel kan i U-feltet indtastes udtrykket 5 For eksempel kan udtrykket U være givet ved 5x + 17, og x-intervallet være talområdet Ved anvendelsen af Søg finder vi at U er et primtal for x=4. Det givne interval gennemsøges indtil det opnås at U er et primtal, og den første værdi der giver gevinst er x=4. På skærmen får vi en liste over alle de x-værdier i det givne interval som gør udtrykket U til et primtal. Vi kan i stedet søge efter værdier som gør udtrykket U til et kvadrattal. Her får vi at vide at der ikke findes nogen værdi i det givne x-interval som gør udtrykket U til et kvadrattal. Vi kan også undersøge om der findes værdier der gør U til et trekanttal. 6

5 Afprøv Beregninger Indtast 15 i a-feltet og 6 i b-feltet. Gå ind i menuen Beregninger og afprøv de fem første menupunkter. Ved division vil du se at der regnes med rest. Under Udvalg får du beregnet hvor mange forskellige udvalg der kan udtages fra en samling på a personer, når hvert udvalg skal bestå af b personer. Ved Rækkefølger får du antallet af forskellige opstillinger der kan foretages når der fra a personer skal udvælges b personer, og disse b personer skal opstilles i en række. For a=15 og b=6 vil du se at antallet af udvalg er Hvis du prøver med nogle mindre værdier for a og b, kan du lettere overskue situationen. Prøv fx med a=4 og b=2. Der kan da udtages 6 udvalg. Hvis vi kalder personerne A,B,C og D, kan vi fra de 4 personer udtage følgende udvalg bestående af 2 personer: altså i alt 6 udvalg. AB, AC, AD, BC, BD, CD Af rækkefølger kan der opstilles 12. Hvert af de seks udvalg kan jo give to rækkefølger. For eksempel giver udvalget AB de to rækkefølger AB og BA. Gå nu tilbage til a=15 og b=6 og beregn største fælles divisor og mindste fælles multiplum for a og b. Kontroller at udregningen giver de resultater du have forventet. Prøv ved hjælp af næstsidste menupunkt under Beregninger at få en lommeregner frem på skærmen. Udregn på lommeregneren 2347 gange 12, gå ind i Rediger-menuen på lommeregneren, kopier resultatet og klik på Indsæt til højre for a-feltet. Gå derefter ind i Tabeller og find primfaktoropløsningen af a. Afprøv Kalenderberegninger med nogle eksempler. Datoer skal indtastes i rækkefølgen dag-måned-år som fx: (eller ). Bemærk at årstallet skal skrives fuldt ud. Afprøv Tabeller Indtast i a-feltet: 64. Gå derefter ind i menuen Tabeller. Afprøv de første fire menupunkter (efter hvert menupunkt kan du skaffe dig en ren skærm ved klik på tasten Rens): Er a primtal, kvadrattal etc. Primfaktoropløsning af a Divisorer i a Naboer: primtal, kvadrattal etc. Undersøg om programmet udskriver de resultater du havde forventet. Udfyld dernæst feltet Interval. Indtast 1 i det venstre felt og 100 i det højre. Vi arbejder nu med intervallet der omfatter tallene 1,2,3,...,100. Gå igen ind i menuen Tabeller og afprøv de fem nederste muligheder: Primtal i interval Kvadrattal i interval 7 8

6 Kubiktal i interval Trekanttal i interval Tilfældige tal i interval De tilfældige tal der udskrives fra programmet, kan du tænke dig udvalgt ved lodtrækning. I en pose er der en kugle for hvert af de tal der er med i det valgte talinterval. Fra posen udtages en kugle og dens nummer noteres. Derefter lægges kuglen tilbage i posen, og der udtages igen en kugle, osv. - Samme tal kan altså godt udtrækkes flere gange. Prøv at lade programmet udskrive ti tilfældige tal fra intervallet [1;100]. Indtast dernæst 97 i q-feltet og undersøg ved hjælp af det sidste menupunkt hvornår 4x+1 har en værdi i området Indtast 2 i p-feltet og undersøg for hvilke x-værdier udtrykket U har 2 divisorer. Når der fremkommer en liste over søgningens resultater, vil der til slut blive givet en sorteret liste over de værdier udtrykket U har antaget. Tallene i denne liste er sorteret efter størrelse så man hurtigt kan se om en bestemt talværdi forekommer. - Hvis listen bliver for lang, dvs. indeholder over 1000 linier, vil du blive opfordret til at opdele søgningen i flere mindre omfattende søgninger. Afprøvning af Søgninger Indtast i U-feltet udtrykket: 4x + 1. Udfyld endvidere x-intervallet med tallene 1 og Vi arbejder altså med de tal der kan angives på formen 4x+1, hvor x gennemløber værdierne 1, 2, 3,..., 25. Gå ind i menuen Søgninger og vælg det første menupunkt. På skærmen vil vi nu få en liste over de x-værdier for hvilke 4x+1 er et primtal. Undersøg om listen har det rigtige indhold. Prøv dernæst menupunktet Søg: U er et sammensat tal. Her vil du få de x-værdier som gør 4x+1 til et sammensat tal. Afprøv derefter de næste tre menupunkter, og søg efter kvadrattal, kubiktal og trekanttal. Kontroller at listen indeholder de rigtige tal. Indtast nu tallet 7 i p-feltet, og vælg søgningen U er delelig med p. Du får nu en liste over de x-værdier for hvilke det gælder at 7 går op i tallet 4x+1. Undersøg igen om listen har det rigtige indhold. Indtast tallet 65 i p-feltet, og undersøg hvornår udtrykket 4x+1 er lig med p. Hvad kan indtastes i U-feltet? Udtrykkene i U kan fx være af følgende form (idet tegnet ^ benyttes til potensopløftning): 7x^2 + 5x + 13 eller x^2 + 2x - y^ I udtrykkene kan også benyttes a, b og c, som fx ax^2 + bx + c eller a(x^3 + x^2-3x + 7) hvor talværdierne for a, b og c er angivet i tal-felterne øverst til venstre på skærmen. Alle de benyttede konstanter skal være hele tal. Ved multiplikation af to parenteser skal der sættes multiplikationstegn * mellem parenteserne. Der kan i U godt indgå divisioner, men kun U-værdier som er hele tal, vil blive godkendt i søgningen. 9 10

7 Hvordan udføres søgningen? Ved udtryk som indeholder både x og y vil søgningen foregå på følgende måde: Værdien af x sættes til det første tal i x-intervallet, og y gennemløber hele y-intervallet. Derefter sættes x til den anden værdi i x-intervallet, og y gennemløber igen hele y-intervallet, osv. Af hensyn til søgetiderne ved udtryk i to variable anbefales det at x- og y-intervallerne indskrænkes mest muligt. Mere økonomisk søgning Hvis y-intervallet angives som [x;100], vil søgningen kun omfatte y- værdier fra x og op til 100. På tilsvarende måde kan et y-interval angives som [1;x]. Søgningen omfatter nu kun y-værdier fra 1 og op til værdien af x. I x- og y-intervallerne kan venstre endepunkt være tal fra 0 og opefter. Som værdier for p og q tillades også negative hele tal. Søgning kun for primtalsværdier Til højre for x- og y-intervallerne findes en knap som kan sættes i to positioner: A og P. Hvis knappen er i position A, gennemføres søgningen for alle tal i det angivne interval. Hvis knappen er i position P, gennemføres søgningen kun for primtalsværdier. Opgaver til TAL: GÅ PÅ TALJAGT! Når der i opgaverne søges efter tal som opfylder givne betingelser, er der tale om hele positive tal. Opgaverne er opdelt i afsnit med følgende overskrifter: 1. Primtal og sammensatte tal 2. Trekanter med heltallige sidelængder 3. Tal i forklædning 4. Find tallet! 5. Ligninger i hele tal 6. Divisorer og delelighed 7. Klassiske taltyper 1. Primtal og sammensatte tal sammensatte tal på rad Find i området tal på rad som alle er sammensatte tal sammensatte tal på rad En sådan række af tal findes første gang i området Find tallene. Rettelse i U-udtrykket Ved indtastning af et nyt udtryk i U-feltet dobbeltklikkes på U-feltet: Det gamle indhold i feltet kan nu overskrives. Gentag På skærmen findes en Gentag-knap. Ved aktivering af den gentages den foregående beregning med de nye inddata der er indtastet. Med Gentag slipper brugeren for en række åbninger af programmets menupunkter. 1.3 Primtal af typerne 4x+1 og 4x-1 Når et primtal større end 2 divideres med 4, må divisionen enten give 1 eller 3 som rest. Undersøg primtallene i området , og fastlæg hvor mange primtal der findes her af hver af de to typer. NB Første gang føringen mellem de to typer af primtal skifter, indtræffer ved primtallet Prøv at finde ud af hvornår føringen derefter skifter igen

8 1.4 Primtal af typerne 6x+1 og 6x-1 Når et et primtal større end 3 divideres med 6, må divisionen enten give resten 1 eller resten 5. Undersøg i området hvor mange primtal der er af hver af de to typer. 1.9 Endnu en primtalsformel Undersøg hvilke x-værdier i området der gør tallet x 2-81x til et primtal. 1.5 Lutter primtal? Undersøg tallene 2x for x= 0,1,2, Hvor mange af dem er primtal? 1.6 En primtalsformel For hvilke tal x i området er tallet x 2 - x + 41 et primtal? 1.7 En anden primtalsformel For hvilke tal x i området er tallet x 2-79x et primtal? 1.8 En tredje primtalsformel Undersøg hvilke x-værdier i området der gør tallet x 2 + x + 17 til et primtal Hvor mange af dem er primtal? Undersøg de tal der er 1 større end en 10-potens: 10 x + 1 altså tallene 11, 101, 1001, osv. Hvilke af disse tal er primtal? 1.11 Mersenne-tal Undersøg hvilke af tallene 2 x -1 der er et primtal. Lad x antage værdierne [Primtalsrekorder. Tal af formen 2 x - 1 omtales efter den franske matematiker Marin Mersenne ( ) som Mersenne-tal. I 1876 blev påvist at Mersenne-tallet er et primtal. Dette tal var indtil 1951 det største kendte primtal, men med datamaskinernes anvendelse inden for den talteoretiske søgning er langt større primtal fundet. Primtalsrekorden af 1998 indehaves af Mersenne-tallet , et tal der skrives med cifre. For tiden (1998) kendes kun 37 primtal af formen 2 x -1, men jagten på nye Mersenneprimtal fortsætter.] 1.12 Primtalstvillinger To tal x og x+2 der begge er primtal, kaldes primtalstvillinger. Det første par af primtalstvillinger er 3 og 5, det næste er 5 og

9 Undersøg hvor mange par af primtalstvillinger der findes i området Undersøg hvor mange par af primtalstvillinger der findes i området Undersøg ved eksempler om det er rigtigt at 12 altid går op i summen af to primtalstvillinger når der ses bort fra det første par, 3 og 5. Kan du give et argument for at det må være sådan? [Allerede Euklid giver et bevis for at der findes uendelig mange primtal, men endnu er der ikke ført noget bevis for at der også findes uendelig mange par af primtalstvillinger. Der kendes primtalstvillinger med over 3000 cifre.] 1.13 Nogle primtalstvillinger For hvilke tal x i området er de to nabotal til tallet 30*(27-2x)*(15-x) begge primtal? 1.14 Hvor tæt ligger primtallene? Find antallet af primtal i talområderne: (1) (2) (3) (4) (5) (6) NB Inden for TALs talområde findes i alt primtal. Prøv ikke på at få TAL til at udskrive dem Hvor tæt ligger primtalstvillingerne? Undersøg hvor mange par af primtalstvillinger der ligger i de talområder der er nævnt i den foregående opgave. NB Opstil ved hjælp af Søg en procedure som direkte udskriver en liste over primtalstvillingerne i de forelagte områder Primtallenes ujævne fordeling Undersøg hvor mange primtal der ligger i de to områder og Ti primtal i en differensrække Start ved tallet 199. Find en række på 10 tal: 199, 199+a, 199+2a, 199+3a,...,199+9a som alle er primtal Hvor mange af dem er primtal? Undersøg hvor mange af de tal som skrives med lutter 1-taller 1, 11, 111,..., der er primtal. [I denne række af tal er der op til det tal der skrives med taller kun fundet fire primtal.] 1.19 Er de alle primtal? Undersøg hvor mange tallene 31, 331, 3331,..., der er primtal

10 1.20 Hvor længe går det godt? Start med tallet 43 og gå frem i listen over ulige tal: Først springes ét ulige tal over, du kommer da til primtallet 47. Derefter springes to tal over, og du kommer til primtallet 53. Derefter springes tre tal over, og du kommer til primtallet 61. Fortsæt på den beskrevne måde med at gå frem i listen over ulige tal. Hvornår kommer du til et tal som ikke er primtal? 1.21 Et tilfælde? Undersøg for x= 1,2,3,..,22 hvornår værdien af udtrykket 17*2 x Rest 11 ved division med 24 Find fem primtal som alle giver resten 11 ved division med 24. Undersøg om de fundne tal kan skrives på formen 2x 2 + 3y Hvilke primtal? Find ved hjælp af TAL de primtal x i området for hvilke det gælder at både 2x-1 og 2x+1 er primtal. Hvordan ville det gå hvis du udvidede talområdet til at omfatte tallene ? Kan du redegøre for hvad resultatet ville blive uden at du først foretager en søgning ved hjælp af TAL? er et primtal. Foretag dernæst den samme undersøgelse for udtrykket x Rest 1 ved division med 40 Find fem primtal der giver resten 1 ved division med 40. Undersøg dernæst for hvert af de fundne tal om det kan skrives på formen x 2-10y Rest 1 ved division med 24 Find fem primtal som alle giver resten 1 ved division med 24. Undersøg om de fundne tal kan skrives på formen x 2 + 6y

11 2. Trekanter med heltallige sidelængder 2.1 En katete har længden 10 Find de retvinklede trekanter hvor en af kateterne har længden 10, og hvor den anden katete højst har længden Hypotenusen har længden 20 Find de retvinklede trekanter som har en hypotenuse af længden Pythagoræiske trekanter Find alle de retvinklede trekanter hvis sidelængder er hele tal i området Hypotenusen 1 større end den ene katete Fastlæg fire retvinklede trekanter (med sidelængder under 50) hvor hypotenusen er 1 større end den største katete. 2.5 Kateterne har en forskel på 1 Fastlæg tre retvinklede trekanter hvor den ene katete er 1 større end den anden. 2.7 Primtalslængder Find fire retvinklede trekanter hvor såvel længden af hypotenusen som længden af en af kateterne er et primtal. 2.8 Iagtagelser i pythagoræiske trekanter Lav en liste over sidelængderne (a,b,c) i ti pythagoræiske trekanter. Undersøg i din liste om det er rigtigt at (1) Mindst et af de tre tal a, b og c er lige (2) Såvel 3 som 5 går op i et af tallene a,b,c (3) Højst ét af tallene a,b,c er et kvadrattal 2.9 Find hvilket tal der går op Benyt din liste fra foregående opgave. Undersøg hvilket tal der altid vil gå op i produktet af kateternes længder i en retvinklet trekant, og hvilket tal der altid vil gå op i produktet af alle tre sidelængder. Afprøv din formodning ved nogle flere eksempler. 2.6 En side af længden 47 Find en retvinklet trekant med heltallige sidelængder og med en katete af længden 47. Undersøg for en række tal i området om de kan være sidelængde for en katete i en retvinklet trekant. Opstil en antagelse om hvilke tal der kan forekomme som katetelængde og test din antagelse på nogle eksempler Hvis hypotenusens længde er et primtal Lav en liste over pythagoræiske trekanter, og find i listen de trekanter hvor længden af hypotenusen er et primtal. Undersøg hvilken form disse primtal er af: Kan de skrives som 4x+1 eller som 4x+3? Opstil en formodning om hvilke primtal der kan forekomme som længden af hypotenusen i en retvinklet trekant, og afprøv den gennem nogle eksempler

12 3. Tal i forklædning 3.1 Sum af kvadrattal og primtal Find de tal i området som kan skrives som en sum af et kvadrattal (0 medregnet) og et primtal. 3.2 Sum af to kvadrattal Find de tal i området som kan skrives som summen af to kvadrattal. Find det mindste tal som på to måder kan skrives som summen af to kvadrattal. Find de primtal (større end 2) som kan skrives som summen af to primtal. Undersøg hvilken rest disse primtal giver når de divideres med Hvilke lige tal opfylder kravet? Undersøg gennem eksempler hvilke lige tal der kan skrives på formen x 2 - y 2 (y kan eventuelt være 0) Opstil en hypotese og afprøv den gennem en række eksempler. 3.5 Sum af et kvadrattal og et kubiktal Find de tal i området som kan skrives som summen x 2 + y 3 (x og y kan eventuelt være 0) 3.6 Sum af kubiktal og et tal i femte Tallet 1032 kan på to måder skrives som en sum af et kubiktal og et tal opløftet i 5 te. Find de to måder. Det samme gælder for tallet Find de to omskrivninger. 3.7 Primtal som er sum af to kvadrattal Undersøg hvilke primtal i intervallet der kan skrives som summen af to kvadrattal. 3.8 Tre tal i træk Find tre på hinanden følgende tal som alle kan skrives som summen af to kvadrattal. 3.9 Tallet er det mindste tal som på fire måder kan skrives som summen af to kvadrattal. Find de fire måder. 3.4 Hvilke ulige tal opfylder kravet? Undersøg gennem eksempler hvilke ulige tal der kan skrives på formen x 2 - y 2 (y kan eventuelt være 0) Opstil en hypotese og afprøv den gennem en række eksempler. Undersøg også hvilke ulige tal der kun på én måde kan skrives på den anførte form Sum af to kubiktal Find de tal som på to måder kan skrives på formen x 3 + y 3 og hvor x og y begge ligger i området En fejlagtig formodning Formodningen Ethvert ulige tal større end 1 er enten et primtal 21 22

13 eller summen af et primtal og det dobbelte af et kvadrattal er forkert. I talområdet op til findes der to undtagelser. De ligger begge mellem 5700 og Find dem Tallet 252 Dette tal kan på to måder skrives som summen af tre kubiktal. Find de to omskrivninger Goldbachs formodning Goldbach fremsatte i 1742 den formodning at ethvert lige tal større end 2 kan skrives som summen af to primtal. Undersøg ved hjælp af TAL om formodningen passer for tallene i området Tallet 325 Tallet 325 er det mindste tal der på tre måder kan skrives om en sum af to kvadrattal. Find de tre måder Tallet 1729 Tallet 1729 er det mindste tal der på to måder kan skrives som summen af to kubiktal. Find de to måder Tallet 5525 Tallet 5525 er det mindste tal der på seks måder kan skrives som summen af to kvadrattal. Find de seks måder. 4. Find tallet! 4.1 Primtalsafstand Om et tal T oplyses: 1. T er et primtal 2. T er mindre end Det næste primtal i talrækken er T+12 Find T 4.2 Nitten sammensatte tal Om et tal T oplyses: 1. T er mindre end Tallene T+1, T+2,..., T+19 er alle sammensatte tal Find T 4.3 Et signalement af T Om et tal T oplyses: 1. T er fircifret 2. T er delelig med T har kun 4 divisorer (1 og T medregnet) 4. T kan ikke skrives som summen af 2x 2 og et primtal Find T 4.4 Hvor gammel var han? En mand var x år i året x 2. Hvor gammel var han da han deltog i de olympiske lege i Paris i 1924? 23 24

14 4.5 Find tallet Tallet T giver rest 1 ved division med 2, 3 og 5, men rest 0 ved division med 7. Find det mindste tal der passer med disse oplysninger. 4.6 Sum af kvadrattal Summen af første x kvadrattal er givet ved formlen x*(x+1)*(2x+1)/6 Hvornår er denne sum selv et kvadrattal? Det er den for x=1, men der findes yderligere én løsning. Find den! 4.7 Kvadrattal som også er trekanttal Undersøg om der findes kvadrattal i området som også er trekanttal. 4.8 Sum af to kubiktal Find det mindste trekanttal (større end 1) som kan skrives som en sum af to kubiktal. 4.9 Kvadrattal som ender på 444 Find de to mindste kvadrattal som ender på tre 4-taller Find tallene Om to tal a og b gælder at deres største fælles divisor er 6 og at deres mindste fælles multiplum er 210. Hvad kan a og b være? 4.11 Find tallet Om tallet T gælder at det hverken kan divideres med 2, 3, 4, 5 eller 6: Tallet er hver gang 1 for lille til at divisionen går op. Derimod kan T divideres med 7. Hvad kan T være? Find tre løsninger i området Find tallet! Et tal mellem 1000 og 2000 giver resterne 4, 5 og 6 når det divideres med henholdsvis 7, 11 og 13. Find tallet! 4.13 Find tallet! Find det mindste positive tal som giver rest 1 ved division med 1000 og rest 8 ved division med To trecifrede nabotal Tallet er opbygget af to trecifrede nabotal, 183 og 184. Det sekscifrede tal er et kvadrattal (tjek det!). Undersøg om der findes andre sekscifrede kvadrattal der er opbygget af to trecifrede nabotal. Undersøg også om der findes ottecifrede kvadrattal som på samme måde er opbygget af to fircifrede nabotal. Findes der mon fircifrede kvadrattal der er opbygget af to tocifrede nabotal? (Bemærk at nabotallene godt må have det største tal forrest). Hvad er a og b når summen a+b skal være så lille som mulig? 25 26

15 5. Ligninger i hele tal Ligninger der løses inden for området af hele tal, kaldes diophantiske ligninger efter den græske matematiker Diophant der levede i det tredje århundrede. 5.1 En ligning med to ubekendte Ligningen x 3-7 = y 2 har løsningen x=2, y=1. Men den har endnu en løsning i hele positive tal, hvor x antager en værdi under 100. Find denne løsning. 5.2 Find løsningerne Løs ligningen x = y 2 hvor både x og y ligger i området Løs ligningen Find løsningerne til ligningen x 4-29x = Find prisen En mand køber 57 flasker hvidvin og 158 flasker rødvin til en samlet pris af kr. Hvad var prisen på rødvinen når det oplyses at rødvinen var dyrere end hvidvinen? 5.7 Hvor mange var der? Ved en forlystelse koster billetten 15 kr. for voksne og 7 kr. for børn. Indtægten var i alt 2119 kr. Hvor mange børnebilletter blev der solgt? 5.8 Find x og y Find to heltals-løsninger til ligningen 101x + 753y = Endnu to løsninger Ligningen i foregående opgave har to løsninger for x>25. Find de to løsninger. 5.4 Find to løsninger Find ved hjælp af TAL to løsninger til ligningen x 3-5x 2-8x + 12 = Find alle løsninger Find alle heltals-løsninger til ligningen 23x + 31y = Er der løsninger? Gør rede for at ligningen 5x + 10y = 182 ikke har løsninger i hele positive tal

16 Undersøg dernæst om ligningen 5x + 11y = 182 har løsninger i hele positive tal Største fælles divisor Vælg to tal a og b og find deres største fælles divisor d. Undersøg om det er muligt at finde sådanne værdier for x og y at hvis det ene tal a ganges med x og det andet tal b ganges med y, så bliver differensen mellem de to produkter lig med d: ax - by = d Ni løsninger I en skoleklasse får man til opgave at finde heltals-løsninger til ligningen 5x + 7y = 338 Klassen finder ni forskellige løsninger. Kan du gøre det lige så godt? 5.13 Hvor mange løsninger? I et lotteri skal der bruges 31 gevinster af type A og 257 gevinster af type B. Der skal i alt bruges kr. til gevinsterne. Hvad kan de to typer af gevinster koste? Angiv alle mulige heltalsløsninger Aben og kokosnødderne: Den lette version Tre mand strander på en øde ø. Eneste levende væsen ud over dem er en abe. På øen findes en bunke af kokosnødder. De tre mænd aftaler at de næste morgen vil dele nødderne ligeligt imellem sig. Om natten lister en af dem sig hen til bunken af nødder, og han observerer at de ikke vil kunne deles ligeligt, idet der er en nød for meget. Denne nød giver han til aben, og derefter tager han sin andel af de resterende nødder. Lidt senere lister en anden af de tre mænd hen til bunken af nødder. Også han observerer at der er én nød for meget til at der kan foretages en ligedeling mellem de tre mænd. Han giver derfor også en nød til aben, og tager derefter sin tredjedel af de øvrige. Om morgenen deler de tre mænd de resterende nødder. Denne gang kan bunken ligedeles, og der er ingen nød til aben. Hvor mange kokosnødder var der i den oprindelige bunke? Et forslag til fremgangsmåde: Det oprindelige antal nødder kaldes x og det antal de hver får tildelt i sidste fordeling kaldes y. Vi har da, idet a og b angiver de fordelingsantal der forekommer undervejs: x = 3a + 1 2a = 3b + 1 2b = 3y Af disse ligninger får vi ved at udtrykke b, a og x ved y: 4x = 27y + 10 Vi kan nu ved hjælp af TAL finde løsninger til denne ligning med to ubekendte. Vi kan også bruge hovedregning. Ligningen kan også opskrives direkte ud fra de opgivne oplysninger: 2/3*(2/3*(x-1)-1) = 3y Heraf fås: 29 30

17 (4/9)*x - 4/9-2/3 = 3y som kan omformes til den tidligere opstillede ligning: 4x = 27y + 10 Find nu ved hjælp af TAL (eller ved hovedregning) nogle løsninger til den opstillede ligning. x 2 -xy + 2x - 3y = 1997 Forslag: Omskriv udtrykket til følgende form (find a, b og c) (x + a)*(x - y + b) = c og løs derefter opgaven ved hjælp af TAL Aben og kokosnødderne: Kvartet-versionen Der er nu tale om fire mænd, en abe og en bunke kokosnødder. Fordelingen foregår som før med ligedeling til hver af mændene. De tre første gange bliver der en kokosnød tilovers til aben, men ikke sidste gang hvor ligedeling mellem de fire mænd kan foretages. Hvor mange kokosnødder må der mindst have været i bunken? 5.16 Aben og kokosnødderne: Den klassiske version Her foretages fordelingen mellem fem mænd og en abe. Hvor mange nødder skal der nu mindst være i bunken for at fordelingerne kan finde sted med én nød til aben ved hver af de første fire fordelinger, og ingen ved den sidste fordeling? 5.17 Portobeløb Hvilke portobeløb under 100 kr. kan ikke klares når der kun er frimærker på 2 kr. og på 5 kr. til rådighed? Undersøg det samme spørgsmål når der kun er frimærker på 3 kr. og 5 kr. til rådighed Punkter angivet ved én koordinat Punkter i koordinatsystemet (x,y), hvor x og y antager hele talværdier større end eller lig med 0, kan angives ved en enkelt talværdi p(x,y), positionen, givet ved: p(x,y) = (x + 3y + (x+y) 2 )/2 (1) Beregn positionen for følgende punkter: (0,0) (1,0) (0,1) (1,1) (2,3) (5,0) Undersøg ved hjælp af TAL om det er rigtigt at punkterne (x,y), hvor både x og y gennemløber områderne 0..10, giver lutter forskellige positioner. (2) Find ved hjælp af TAL de punkter der svarer til positionerne: (3) Forklar hvorfor p(x,y) altid vil blive et helt tal Find talpar Find de hele positive tal x og y som opfylder følgende betingelse: 31 32

18 6. Divisorer og delelighed 6.1 Hvilke tal? Hvilke tal har kun 2 divisorer? Hvilke har 3 divisorer? Og hvilke har 4 divisorer? Afprøv din formodning på en række eksempler. Giv et argument for din formodnings rigtighed. 6.7 Et tal med 12 divisorer Find det mindste tal som har 12 divisorer. 6.8 Et tal med 16 divisorer Find det mindste tal som har mindst 16 divisorer. 6.2 Tre på hinanden følgende tal Find tre på hinanden følgende tal som alle har 4 divisorer. 6.9 Et tal med 32 divisorer Find det mindste tal som har mindst 32 divisorer. 6.3 Ulige antal divisorer Undersøg gennem eksempler hvilke tal der har et ulige antal divisorer. Opstil en hypotese og afprøv den gennem en række eksempler. 6.4 Tal med 6 divisorer og tal med 8 divisorer Find nogle tal som har 6 divisorer. Se på tallenes primfaktoropløsning. Kan du beskrive hvordan et tals primfaktoropløsning skal være for at der lige netop er 6 divisorer i tallet? Giv derefter en beskrivelse af primfaktoropløsningen for tal som har 8 divisorer Et tal med 50 divisorer Find det mindste tal som har mindst 50 divisorer Fircifrede tal Hvor mange divisorer kan et fircifret tal højst have? Find det mindste fircifrede tal som har dette antal af divisorer Sekscifrede tal Hvor mange divisorer kan et sekscifret tal have? Find det mindste sekscifrede tal som har dette antal af divisorer. 6.5 Fire på hinanden følgende tal Prøv om du kan finde fire på hinanden følgende tal som alle har 6 divisorer Hvilket tal går op i produktet? Tag tre på hinanden følgende lige tal og gang dem sammen. Hvilket tal vil altid gå op i produktet? 6.6 Fem på hinanden følgende tal Et sted mellem og findes fem på hinanden følgende tal som alle har det samme antal af divisorer. Find dem Fem tal i rækkefølge Tag fem tal i rækkefølge og gang dem sammen. Hvilket tal vil altid gå op i produktet? 33 34

19 6.15 Rest ved division med 24 Undersøg ved eksempler om det er rigtigt at kvadratet på et primtal (større end 3) giver resten 1 ved division med Antal divisorer i produktet Vælg to tal a og b som ikke har andre fælles divisorer end 1. Find antallet af divisorer i a og i b. Find dernæst antallet af divisorer i produktet a*b. - Formuler en regel om antallet af divisorer i et produkt af to tal, og afprøv reglen på nogle eksempler. 7. Klassiske taltyper 7.1 Overvægtige tal Et tal N er divisor-overvægtigt når summen af alle dets ægte divisorer er større end N. De fem mindste divisor-overvægtige tal er 12, 18, 20, 24 og 30. Vis at det ulige tal er divisor-overvægtigt. Find det mindste ulige tal som er divisor-overvægtigt. Det ligger i området og har 16 divisorer. 7.2 Tetraediske tal Tetraediske tal kan skrives som x*(x+1)*(x+2)/6 hvor x antager værdierne 1,2,3,... Udskriv en liste over de 50 første tetraediske tal. 7.3 Tetraediske tal og andre tal Undersøg om der findes tetraediske tal der er kvadrattal. Undersøg om der findes tetraediske tal der er trekanttal. Findes der tetraediske tal der er primtal? 7.4 Sum af tetraediske tal Næsten ethvert tal der ender på 6 kan skrives som summen af højst fire tetraediske tal (som ikke behøver at være forskellige). Undersøg om det gælder for tallene: 6, 16, 26,...,

20 7.5 Kubiktal som nabo til kvadrattal Undersøg nogle talområder for at finde eksempler på kubiktal og kvadrattal som er nabotal. Bog 9, sætning 36). Et bevis for at et lige fuldkomment tal kun kan være af denne form er givet omkring 1740 af Euler ( ).] 7.6 Kvadrattal som er trekanttal De tre mindste kvadrattal x 2 som også er trekanttal, findes let for x inden for området De næste to er sværere at finde: Prøv med x i nærheden af 200, og prøv med x i nærheden af T+1 er et kvadrattal Efterprøv gennem eksempler om det er rigtigt at når T er et trekanttal, så er tallet 8T+1 et kvadrattal. 7.8 Fuldkomne tal For tallet 6 gælder at summen af dets ægte divisorer er lig med tallet selv. Et sådant tal kaldes et fuldkomment tal. Der findes under 100 yderligere kun ét fuldkomment tal. Find det! Der findes ét trecifret fuldkomment tal (i nærheden af 500) og ét fircifret fuldkomment tal (lidt større end 8000). Find de to tal! ( Benyt eventuelt ved søgningen at et fuldkomment tal større end 6 altid vil give rest 1 ved division med 9). Det femte fuldkomne tal er Tjek at det anførte tal er fuldkomment. [De fuldkomne tals historie er nært knyttet til Mersenne-tallene. Det er endnu et åbent spørgsmål om der findes fuldkomne tal som er ulige. Allerede hos Euklid findes et bevis for, at ethvert tal af formen (2 x -1) * 2 x-1, hvor 2 x -1 er et primtal, er et fuldkomment tal (Euklids Fuldkomne tal som sum af kubiktal De kendte fuldkomne tal (fraset tallet 6) kan skrives som en sum af ulige kubiktal. De to først er: For hvert nyt fuldkomment tal tages dobbelt så mange led med i udregningen som ved det foregående tal. Undersøg om disse summer giver de tal du fandt i den foregående opgave Trecifrede palindromer Et tal der skrives ens forfra og bagfra kaldes et palindrom. Lav en liste over alle primtal mellem 100 og 999 og afmærk de primtal som er palindromer. Opstil dernæst en søgeprocedure i TAL som finder de trecifrede palindromer der er primtal Fircifrede palindromer Undersøg ved hjælp af søgefunktionen i TAL om der findes fircifrede palindromer (se foregående opgave) som er primtal. Undersøg endvidere om der findes fircifrede palindromer der er kvadrattal. Find et fircifret palindrom der er kubiktal, og find et fircifret palindrom der er trekanttal. Find et tal der går op i alle fircifrede palindromer. 38

21 7.12 Femcifrede palindromer med 0 i midten Opstil en søgeprocedure for de femcifrede palindromer der har 0 som midterste ciffer. Undersøg om der findes sådanne tal som er primtal. Findes der sådanne tal som er trekanttal? Kvadrattal? Kubiktal? [Venskabelige tal. Matematikeren Euler ( ) fandt i 1740 erne 60 par af venskabelige tal. Han overså imidlertid det næstmindste par, det blev først fundet i 1866 af en 16-årig skoleelev. Der kendes nu flere tusinde par af venskabelige tal. Et par af ulige 152-cifrede venskabelige tal blev fundet i 1972.] 7.13 Femcifrede palindromer som er kvadrattal Find fem femcifrede palindromer som er kvadrattal. Findes der femcifrede palindromer som er kubiktal? 7.14 Venskabelige tal To tal a og b er venskabelige tal når summen af de ægte divisorer i a er lig med b, og samtidig summen af de ægte divisorer i b er lig med a. I området op til 1000 findes kun ét par af venskabelige tal. Det ene tal af de to er 220. Find det andet og tjek at der er tale om venskabelige tal. Et af tallene i det næste par af venskabelige tal er Find det andet tal og tjek at der er tale om venskabelige tal. Undersøg om 2620 kan være det ene tal i et par af venskabelige tal. Også ulige tal kan være venskablige tal. Det første eksempel på et par af ulige venskabelige tal indeholder tallet Find det andet tal. Tallene i det efterfølgende par af venskabelige tal har også fem cifre. Det ene tal er Find det andet og tjek at der er tale om venskabelige tal. Et af tallene i et par af venskabelige tal er det syvcifrede tal Find det andet! Yderligere et eksempel på ulige venskabelige tal forekommer med som det ene tal. Find det andet Kæde af tal Start med tallet Find summen af de ægte divisorer i tallet. Find dernæst summen af de ægte divisorer i dette nye tal. Fortsæt sådan indtil du når tilbage til udgangstallet En længere kæde Start med tallet og gå frem som i den foregående opgave. Hvor mange tal indgår der i kæden? 7.17 Et tal ganges med sit spejltal Tag et tocifret tal T og gang det med sit spejltal, dvs. det tal der fremkommer når cifrene ombyttes. Eksempel: 57*75. Undersøg hvornår produktet er et kvadrattal Kvadrattal? Undersøg for x og y i området om udtrykket x 2 + 2xy + y 2 giver et kvadrattal. Kunne du på forhånd have sagt hvad resultatet af undersøgelsen ville blive? Undersøg dernæst for de samme værdier om udtrykket x 2 + 3xy + y 2 kan give et tal der er et kvadrattal

22 7.19 Rest 1 ved division med 8 Undersøg om det er rigtigt at kvadratet på et ulige tal giver resten 1 ved division med En talprofil Vælg et tal. Tag til eksempel Undersøg om 1997 er et primtal, et kvadrattal, et kubiktal eller et trekanttal. 2. Hvor mange primtal findes der i området ? 3. Undersøg om 1997 kan skrives som summen af to kvadrattal og om en sådan omskrivning kan foregå på flere måder. 4. Undersøg om 1997 kan skrives som differensen mellem to kvadrattal. 5. Undersøg om 1997 kan skrives som summen af tre kvadrattal og om denne omskrivning kan foregå på flere måder. 6. Undersøg om 1997 kan skrives som summen af et primtal og et kvadrattal. 7. Undersøg om 1997 kan skrives som summen af et primtal og det dobbelte af et kvadrattal. INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram på Danmarks Lærerhøjskole Projektledelse: Allan C. Malmberg Inge B. Larsen Viggo Sadolin Distribution af programmer og tekster: INFA, Danmarks Lærerhøjskole Emdrupvej 115B, 2400 NV Tekst: * Allan C. Malmberg 8. Find en heltallig løsning til ligningen x 2-7y 2 = Find det mindste tal x for hvilket det gælder at 19x giver resten 97 ved division med Find alle løsninger til ligningen 19x + 97y = 1997, hvor x og y er hele positive tal. Layout: Leif Glud Holm INFA

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172)

Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side172) Forslag til løsning af Opgaver til ligningsløsning (side17) Opgave 1 Hvis sønnens alder er x år, så er faderens alder x år. Der går x år, før sønnen når op på x år. Om x år har faderen en alder på: x x

Læs mere

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører.

Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. Opgave 1 Alle tallene er reelle tal, så opgaven er at finde den mindste talmængde, som resultaterne tilhører. A. Q B. R (sidelængden er 5, som er irrational) C. Q Opgave 2 A. 19 = 1 19 24 = 2 3 3 36 =

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.

TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, marts 2007, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan

Læs mere

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer.

TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Primfaktoropløsning og divisorer, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Primfaktoropløsning og divisorer. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne

Læs mere

Variabel- sammenhænge

Variabel- sammenhænge Variabel- sammenhænge Udgave 2 2009 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for stx og hf. Hæftet er en introduktion til at kunne behandle to sammenhængende

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)

Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338) Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,

Læs mere

Afstand fra et punkt til en linje

Afstand fra et punkt til en linje Afstand fra et punkt til en linje Frank Villa 6. oktober 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Tal, funktioner og grænseværdi

Tal, funktioner og grænseværdi Tal, funktioner og grænseværdi Skriv færdig-eksempler der kan udgøre en væsentlig del af et forløb der skal give indsigt vedrørende begrebet grænseværdi og nogle nødvendige forudsætninger om tal og funktioner

Læs mere

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Reelle tal. Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 9. klasse handler om de reelle tal. Første halvdel af kapitlet har karakter af at være opsamlende i forhold til, hvad eleverne har arbejdet med på tidligere

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C

T A L K U N N E N. Datasæt i samspil. Krydstabeller Grafer Mærketal. INFA Matematik - 1999. Allan C T A L K U N N E N 3 Allan C Allan C.. Malmberg Datasæt i samspil Krydstabeller Grafer Mærketal INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et

Læs mere

Allan C. Malmberg. Terningkast

Allan C. Malmberg. Terningkast Allan C. Malmberg Terningkast INFA 2008 Programmet Terning Terning er et INFA-program tilrettelagt med henblik på elever i 8. - 10. klasse som har særlig interesse i at arbejde med situationer af chancemæssig

Læs mere

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver

Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Funktionalligninger - løsningsstrategier og opgaver Altså er f (f (1)) = 1. På den måde fortsætter vi med at samle oplysninger om f og kombinerer dem også med tidligere oplysninger. Hvis vi indsætter =

Læs mere

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side

Talrækker. Aktivitet Emne Klassetrin Side VisiRegn ideer 3 Talrækker Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA juli 2001 Indhold: Aktivitet Emne Klassetrin Side Vejledning til Talrækker 2-4 Elevaktiviteter til Talrækker 3.1 Talrækker (1) M-Æ 5-9 3.2 Hanoi-spillet

Læs mere

Polynomier et introforløb til TII

Polynomier et introforløb til TII Polynomier et introforløb til TII Formål At introducere polynomier af grad 0, 1, 2 samt højere, herunder grafer og rødder At behandle andengradspolynomiet og dets graf, parablen, med fokus på bl.a. toppunkt,

Læs mere

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium

VIA læreruddannelsen Silkeborg. WordMat kompendium VIA læreruddannelsen Silkeborg WordMat kompendium Bolette Fisker Olesen 25-11-2015 Indholdsfortegnelse Ligning... 2 Løs ligning... 2 WordMat som lommeregner... 4 Geometri... 4 Trekanter... 4 Funktioner...

Læs mere

Den bedste dåse, en optimeringsopgave

Den bedste dåse, en optimeringsopgave bksp-20-15e Side 1 af 7 Den bedste dåse, en optimeringsopgave Mange praktiske anvendelser af matematik drejer sig om at optimere en variabel ved at vælge en passende kombination af andre variable. Det

Læs mere

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori

Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Grafteori Grafteori, Kirsten Rosenkilde, september 007 1 1 Grafteori Grafteori Dette er en kort introduktion til de vigtigste begreber i grafteori samt eksempler på opgavetyper inden for emnet. 1.1 Definition af

Læs mere

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.

Talteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde. Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske

Læs mere

Andengradspolynomier

Andengradspolynomier Andengradspolynomier Teori og opgaver (hf tilvalg) Forskydning af grafer...... 2 Andengradspolynomiets graf (parablen)..... 5 Andengradsligninger. 10 Andengradsuligheder 13 Nyttige formler, beviser og

Læs mere

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden

Det er altså muligt at dele lige på to kvalitativt forskellige måder: Deling uden forståelse af helheden Deling med forståelse af helheden DELE 1 Vejledning Division Allerede i børnehaven oplever man børn travlt optaget af at dele legetøj, mad eller andet af interesse ud fra devisen en til dig og en til mig. Når der ikke er flere tilbage

Læs mere

Spørgeskema på HVAL.DK

Spørgeskema på HVAL.DK Skive, d. 24-05-2006 Journal nr. 7.5.286 Spørgeskema på HVAL.DK Et webbaseret værktøj udviklet af Programdatateket i Viborg amt i forbindelse med Videndeling. Indholdsfortegnelse INDHOLDSFORTEGNELSE 2

Læs mere

Ligninger med reelle løsninger

Ligninger med reelle løsninger Ligninger med reelle løsninger, marts 2008, Kirsten Rosenkilde 1 Ligninger med reelle løsninger Når man løser ligninger, er der nogle standardmetoder som er vigtige at kende. Vurdering af antallet af løsninger

Læs mere

Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD)

Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD) Sådan benytter du HOTLINEs ServiceDesk (SD) Hvor finder jeg ServiceDesk?...2 Fanebladet Start Startside...3 Hvordan opretter jeg en ny opgave?...4 Hvordan laver jeg et skærmdump og får lagt det ind i min

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde

Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2011 2. runde Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 20 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne

Læs mere

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple

Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Løsningsvejledning til eksamenssæt fra august 2008 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - Trigonometri I en trekant ABC får vi opgivet følgende: Vi skitserer trekanten i GeoGebra: Vi beregner

Læs mere

Afstandsformlerne i Rummet

Afstandsformlerne i Rummet Afstandsformlerne i Rummet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

Statistikkompendium. Statistik

Statistikkompendium. Statistik Statistik INTRODUKTION TIL STATISTIK Statistik er analyse af indsamlet data. Det vil sige, at man bearbejder et datamateriale, som i matematik næsten altid er tal. Derved får man et samlet overblik over

Læs mere

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x))

4x + 3y + k 4(x + 3y + k) 2(y + x) + 2(xy + k) 7(2y + 3x) 2(k + 2(y + x)) A.0 A Algebradans x + y + k (x + y + k) (y + x) + (xy + k) (y + x) (k + (y + x)) k + k + k + (y +xy + k) (y + x) + k x + x + x + x + x + k (xy + (y + x) xy + xy + k (k + y + k) (xy + x) + y 6(x + xy) k

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod

Potens & Kvadratrod. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 22 Ekstra: 4 Point: Matematik / Potens & Kvadratrod Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Potens & Kvadratrod Opgaver: Ekstra: Point: http://madsmatik.dk/ d.0-0-01 1/1 Potenser: Du har måske set udtrykket før eller måske 10 1. Begge to er det vi kalder

Læs mere

Frank Villa. 15. juni 2012

Frank Villa. 15. juni 2012 2 er irrationel Frank Villa 15. juni 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som aonnerer på MatBog.dk. Se yderligere etingelser for rug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik potenstal og rodtal F ISBN: 978-87-92488-06-0 2. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Gode råd om CV. Denne pjece indeholder vejledning til dig om oprettelse og vedligeholdelse af CV på Jobcenterets hjemmeside. www.jobnet.

Gode råd om CV. Denne pjece indeholder vejledning til dig om oprettelse og vedligeholdelse af CV på Jobcenterets hjemmeside. www.jobnet. Gode råd om CV Denne pjece indeholder vejledning til dig om oprettelse og vedligeholdelse af CV på Jobcenterets hjemmeside www.jobnet.dk Alle ledige medlemmer skal oprette et CV, som A-kassen efterfølgende

Læs mere

Python 3 Matematik Programmerings kursus:

Python 3 Matematik Programmerings kursus: Python 3 Matematik Programmerings kursus: Kompendiet indeholder: Hello World (første program) Variable (String & Integer) Løkker (while-loop) Regneoperationer If-else statement Funktioner Opgaver o Læg

Læs mere

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier:

Opgave 1. 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: 1b - Trigonometri Vi får opgivet en trekant med følgende værdier: Løsningsvejledning til eksamenssæt fra januar 2009 udarbejdet af René Aagaard Larsen i Maple Opgave 1 1a - To linjer Vi får opgivet linjen m: Vi skal bestemme en ligning til linjen l, som er parallel med

Læs mere

Om hvordan Google ordner websider

Om hvordan Google ordner websider Om hvordan Google ordner websider Hans Anton Salomonsen March 14, 2008 Man oplever ofte at man efter at have givet Google et par søgeord lynhurtigt får oplysning om at der er fundet et stort antal - måske

Læs mere

Arealer under grafer

Arealer under grafer HJ/marts 2013 1 Arealer under grafer 1 Arealer og bestemt integral Som bekendt kan vi bruge integralregning til at beregne arealer under grafer. Helt præcist har vi denne sætning. Sætning 1 (Analysens

Læs mere

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte

Matematik. på Åbent VUC. Trin 2 Xtra eksempler. Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Matematik på Åbent VUC Trin Xtra eksempler Trigonometri, boksplot, potensfunktioner, to ligninger med to ubekendte Trigonometri Sinus og cosinus Til alle vinkler hører der to tal, som kaldes cosinus og

Læs mere

Oprettelse af Aktivitet

Oprettelse af Aktivitet Oprettelse af Aktivitet 1. Fra Organizerens forside Kalender vælges og det ønskede tidspunkt for aktiviteten. 2. Nu dukker formen frem som aktiviteten bliver oprettet med. Formen har som udgangspunkt 3

Læs mere

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO

Areal. Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Areal Et af de ældste skrifter om matematik, der findes, hedder Rhind Papyrus. NTRO Det stammer fra Egypten og er ca. 3650 år gammelt. I Rhind Papyrus findes optegnelser, der viser, hvordan egypterne beregnede

Læs mere

Fermat, ABC og alt det jazz...

Fermat, ABC og alt det jazz... Fermat, ABC og alt det jazz... Matematiklærerdag 2013 Simon Kristensen Institut for Matematik Aarhus Universitet 22. marts 2013 Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen? Oversigt 1 Hvad er ABC-formodningen?

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner

Regnetest B: Praktisk regning. Træn og Test. Niveau: 9. klasse. Med brug af lommeregner Regnetest B: Praktisk regning Træn og Test Niveau: 9. klasse Med brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag Et forskningsprogram

Læs mere

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point:

Brøkregning. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 24 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Brøkregning Følgende gennemgås: Brøk typer Forlængning Forkortning Addition Subtraktion Blandede tal Multiplikation Division Heltal & Brøk Brøk & decimal & Procent

Læs mere

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45

Bogstavregning. Formler... 46 Reduktion... 47 Ligninger... 48. Bogstavregning Side 45 Bogstavregning Formler... 6 Reduktion... 7 Ligninger... 8 Bogstavregning Side I bogstavregning skal du kunne regne med bogstaver og skifte bogstaver ud med tal. Formler En formel er en slags regne-opskrift,

Læs mere

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen

Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning. John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning John V Petersen Finde invers funktion til en 2-gradsfunktion - ved parallelforskydning 2015 John V Petersen art-science-soul Indhold

Læs mere

Løsningsforslag 7. januar 2011

Løsningsforslag 7. januar 2011 Løsningsforslag 7. januar 2011 May 9, 2012 Opgave 1 (5%) Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = ln(x 2) + x 2. a) Bestem definitionsmængden for f. b) Beregn f (x). a) Definitionsmængden Logaritmen

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi

MATEMATIK A-NIVEAU. Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX. Anders Jørgensen & Mark Kddafi MATEMATIK A-NIVEAU Eksempel på løsning af matematik A eksamenssæt STX143-MAT/A-05122014 Matematik A, STX 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 2012

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1

Vejledning til Photofiltre nr.129 Side 1 Side 1 Til denne vejledning laver vi lidt ekstra ved hvert billede. Vi skal bruge det der hedder Image Curl. Vi skal altså bruge en fil der kan hentes på min hjemmeside under Photofiltre 7 og nederst på

Læs mere

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C

Programmering C. Casper Hermansen Klasse 2.7 Programmering C. Navn: Casper Hermansen. Klasse: 2.7. Fag: Programmering C Navn: Casper Hermansen Klasse: 2.7 Fag: Skole: Roskilde tekniske gymnasium Side 1 af 16 Indhold Indledende aktivitet... 3 Projektbeskrivelse:... 3 Krav:... 3 Målgrupper:... 3 Problemformulering:... 3 Diskussion

Læs mere

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning

Arbejdsmiljøgruppens problemløsning Arbejdsmiljøgruppens problemløsning En systematisk fremgangsmåde for en arbejdsmiljøgruppe til løsning af arbejdsmiljøproblemer Indledning Fase 1. Problemformulering Fase 2. Konsekvenser af problemet Fase

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af ligninger og formler... 39 To ligninger med to ubekendte... 44 Formler, ligninger, funktioner og grafer Side 38 Omskrivning af ligninger og formler

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen

Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Gode råd om læsning i 3. klasse på Løjtegårdsskolen Udarbejdet af læsevejlederne september 2014. Kære forælder. Dit barn er på nuværende tidspunkt sikkert rigtig dygtig til at læse. De første skoleår er

Læs mere

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel)

Projekt 4.8. Kerners henfald (Excel) Projekt.8. Kerners henfald (Excel) Når radioaktive kerner henfalder under udsendelse af stråling, sker henfaldet I følge kvantemekanikken helt spontant, dvs. rent tilfældigt uden nogen påviselig årsag.

Læs mere

Regn med tallene. 1 Spil Væddeløbet. Du skal bruge Kuber. To terninger. Arbejdsark

Regn med tallene. 1 Spil Væddeløbet. Du skal bruge Kuber. To terninger. Arbejdsark Regn med tallene 1 Spil Væddeløbet Du skal bruge Kuber To terninger Arbejdsark 47 48 KG 2 Regn med lommeregner Du skal bruge Lommeregner Målebånd Stopur Vægt Arbejdsark 49 50 51 KG Værksted : Leg butik.

Læs mere

Lille Georgs julekalender 08. 1. december

Lille Georgs julekalender 08. 1. december 1. december Et digitalur viser 20:08. Hvor lang tid går der før de samme fire cifre vises igen (gerne i en anden rækkefølge)? Svar: 4 timer og 20 minutter Forklaring: Næste gang cifrene vises, er klokken

Læs mere

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen

Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen 36 Induktion: fra naturlige tal til generaliseret skønhed Dan Saattrup Nielsen En artikel om induktion, hvordan er det overhovedet muligt? Det er jo trivielt! Bevis ved induktion er en af de ældste matematiske

Læs mere

Få mere synlighed! Vejledningshæfte

Få mere synlighed! Vejledningshæfte Få mere synlighed! Vejledningshæfte Vejledning Sådan kommer dit arrangement på OplevRudersdal.dk Dit arrangement kommer nemt og enkelt på www.oplevrudersdal.dk ved at du opretter dit arrangement på hjemmesiden.

Læs mere

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83

RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-82 og TI-83 RUMGEOMETRI-programmet D3GEO til TI-8 og TI-83 Af Frans Morville. Programmet har menuer i to niveauer organiseret efter de oplysninger, der opgivet (kendte) og som skal bruges i beregninger. Overskrifterne

Læs mere

Sådan skal du udfylde og sende dit dagpengekort

Sådan skal du udfylde og sende dit dagpengekort 9. juli 2014 Version 1.1 Sådan skal du udfylde og sende dit dagpengekort Du kan altid se på forsiden af Mit3F, hvornår du skal indsende det næste dagpengekort. Du finder dagpengekortet på Mit3f ved at

Læs mere

Årsafslutning i SummaSummarum 4

Årsafslutning i SummaSummarum 4 Årsafslutning i SummaSummarum 4 Som noget helt nyt kan du i SummaSummarum 4 oprette et nyt regnskabsår uden, at det gamle (eksisterende) først skal afsluttes. Dette betyder, at det nu er muligt at bogføre

Læs mere

Manual til skinnelayoutprogram

Manual til skinnelayoutprogram Manual til skinnelayoutprogram Version 1.1 13. marts 2005 Skinnelayoutmanual af 13. marts 2005, version 1.1 1 Indholdsfortegnelse 1. Indledning... 3 2. Oversigt over startbillede... 3 3 Menulinie... 4

Læs mere

K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T P E R S O N A L E S E K T I O N E N. ScanPas. Fiktivt cpr.nr. Decentral vejledning

K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T P E R S O N A L E S E K T I O N E N. ScanPas. Fiktivt cpr.nr. Decentral vejledning K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T P E R S O N A L E S E K T I O N E N ScanPas ScanPas Brugervejledning Version 1.0 27. oktober 2010 Indhold Symboler i denne vejledning... 2 Oversigt over funktionstaster...

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.

Læs mere

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift:

Matematik projekt 4. Eksponentiel udvikling. Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009. Underskrift: Matematik projekt 4 Eksponentiel udvikling Casper Wandrup Andresen 2.F 16-01-2009 Underskrift: Teorien bag eksponentiel udvikling er som sådan meget enkel. Den har forskriften: B er vores begndelsesværdi

Læs mere

Sorteringsmaskinen. Hej med dig!

Sorteringsmaskinen. Hej med dig! Sorteringsmaskinen Hej med dig! Jeg er Thomas Tandstærk, og jeg ved en masse om teknik og natur. Jeg skal lære dig noget om at lave forsøg og undersøgelser. Når klassen er færdig får I et flot diplom!

Læs mere

Geometri med Geometer I

Geometri med Geometer I f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller

Læs mere

L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke.

L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. Bilag 4 Transskription af Per Interviewere: Louise og Katariina L: Louise K: Katariina L: Præsenterer og spørger om han har nogle spørgsmål inden de går i gang. Det har han ikke. L: Vi vil gerne høre lidt

Læs mere

Fakturering kan foretages som en massefakturering eller for en enkelt ordre.

Fakturering kan foretages som en massefakturering eller for en enkelt ordre. Fakturering Fakturering kan foretages som en massefakturering eller for en enkelt ordre. Massefakturering. På fanen Dagligt findes mappen Faktura. Herunder kan man vælge mellem Dagligt, Ugentligt, 14 dage

Læs mere

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, F+E+D ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning 1 del () (1) 006 Karsten Juul Indhold 1 Funktionsværdi, graf og tilvækst1 Differentialkvotient og tangent8 3 Formler for differentialkvotient16 4 Opgaver med tangent 5 Væksthastighed5

Læs mere

Indholdsfortegnelse: Hvad hedder det forskellige på sitet? Forsiden Servicemenu. Manual Skive Kommune Umbraco subsite

Indholdsfortegnelse: Hvad hedder det forskellige på sitet? Forsiden Servicemenu. Manual Skive Kommune Umbraco subsite Manual Skive Kommune Umbraco subsite Du logger ind i Umbraco via adressen: subsite.skive.netmester.dk/umbraco uden at skrive https:// http:// eller www. foran. Indholdsfortegnelse: Hvad hedder det forskellige

Læs mere

Løsning af præmie- og ekstraopgave

Løsning af præmie- og ekstraopgave 52 Læserbidrag Løsning af præmie- og ekstraopgave 23. årgang, nr. 1 Martin Wedel Jacobsen Både præmieopgaven og ekstraopgaven er specialtilfælde af en mere generel opgave: Hvor mange stykker kan en n-dimensionel

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk

Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk Ansøgervejledning for elever i 9. kl. Brugervejledning til Optagelse.dk Forfatter: Tine Kanne Sørensen, Ulrik Sølgaard-Nielsen Styrelsen

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 1stx131-MATn/A-405013 Fredag den 4. maj 013 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret

Læs mere

Excel formler og funktioner. Underviser: Nina Kirkegaard Schou Mobil: 21 48 65 16

Excel formler og funktioner. Underviser: Nina Kirkegaard Schou Mobil: 21 48 65 16 Excel formler og funktioner Underviser: Nina Kirkegaard Schou ns@teamcrm.dk Mobil: 21 48 65 16 www.teamcrm.dk EXCEL FORMLER OG FUNKTIONER Tilpasninger og nyttige værktøjer Absolut reference og navngivning

Læs mere

Vejledning til dagpengekortet på Selvbetjeningen

Vejledning til dagpengekortet på Selvbetjeningen Vejledning til dagpengekortet på Selvbetjeningen Denne vejledning indeholder eksempler på, hvordan du udfylder dit dagpengekort. Du kan benytte samme vejledning til udfyldelse af efterlønskort eller et

Læs mere

https://secure.capevo.net/xform/frontend/show.aspx?action=print&blanketid=2141&...

https://secure.capevo.net/xform/frontend/show.aspx?action=print&blanketid=2141&... Side 1 af 9 Vejledning til det elektroniske ansøgningsskema Alle felterne skal udfyldes, før det er muligt at gå til næste side. Klik på knappen "Næste" for at fortsætte. Hvis et eller flere felter ikke

Læs mere

Teknologi & Kommunikation

Teknologi & Kommunikation Side 1 af 6 Indledning Denne note omhandler den lineære funktion, hvis graf i et koordinatsystem er en ret linie. Funktionsbegrebet knytter to størrelser (x og y) sammen, disse to størrelser er afhængige

Læs mere

Brugervejledning til Web-LIMS Online registrering af prøver til Toldlaboratoriet

Brugervejledning til Web-LIMS Online registrering af prøver til Toldlaboratoriet Brugervejledning til Web-LIMS Online registrering af prøver til Toldlaboratoriet Indhold Adgang og opstart... 2 Registrering af opgave... 3 Registrering af opgave med fysisk prøve... 3 Registrering af

Læs mere

MANUAL TIL RESULTATINDBERETNING OG OPDATERING AF KLUBSPECIFIKKE DATA I DANSK TENNIS FORBUND OG UNIONERNES HOLDTURNERINGSPROGRAM (HTP)

MANUAL TIL RESULTATINDBERETNING OG OPDATERING AF KLUBSPECIFIKKE DATA I DANSK TENNIS FORBUND OG UNIONERNES HOLDTURNERINGSPROGRAM (HTP) MANUAL TIL RESULTATINDBERETNING OG OPDATERING AF KLUBSPECIFIKKE DATA I DANSK TENNIS FORBUND OG UNIONERNES HOLDTURNERINGSPROGRAM (HTP) Dansk Tennis Forbund 22. april 2015 side 1 af 10 Indholdsfortegnelse

Læs mere

Brugerguide til Wuxus - For dig som er Vognmand.

Brugerguide til Wuxus - For dig som er Vognmand. Brugerguide til Wuxus - For dig som er Vognmand. Opret vogn og chauffør Trin 1 - Opret en vogn Trin 2 - Opret en chauffør Trin 3 - Tildel en chauffør til en vogn Søg og book en vogn Trin 1 - Detaljer Trin

Læs mere

BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT

BRØK, DECIMALTAL OG PROCENT Opgave 1 B. C. Fx,,,,, Opgave 2 10 flasker B. 6 flasker C. liter 1 3 4 6 7 liter 1 2 3 4 5 D. L 1 2 3 5 10 5 20 25 10 35 40 15 3 3 3 3 3 3 liter 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Opgave 3 liter B. = 1 L + Liter C. Det

Læs mere

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk

VEJLEDNING SPAMFILTERET. 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk VEJLEDNING SPAMFILTERET 1. Udgave, august 2015 Tilpasset FirstClass version 12.1, Dansk Udarbejdet af: Styrelsen for IT og Læring Vester Voldgade 123, 1552 København V Indholdsfortegnelse Vejledning -

Læs mere

FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS

FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN EXCEL FOR TILLIDSREPRÆSENTANTER DEL 4: FORMATERING AF REGNEARKET INFORMATIONSBOKS FÅ OVERBLIK OVER LØNNEN Få overblik over lønnen Excel for tillidsrepræsentanter Del 4: Formatering af regnearket Trin 8: Justér visningen af tallene Nu er vi færdige med selve tal-beregningerne i Excel.

Læs mere

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter.

Manual til TI-89. Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen. Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Manual til TI-89 Af: Martin Kyhl og Andreas Kristansen Med denne i hånden til eksamen burde de fleste opgaver kunne løses på få minutter. Indholdsfortegnelse 0 Indledning...3 0.1 Forord...3 0.2 Syntax

Læs mere

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre

Vejledning til Photofiltre nr.166 Side 1 Lave små grafik knapper i Photofiltre Side 1 Photofiltre er jo først og fremmest et fotoredigeringsprogram. MEN det er også udmærket til at lave grafik med. F.eks. disse knapper er hurtig og nemme at lave. Her er der sat en hvid trekant med

Læs mere

AU-HR Sharepoint Vejledning Medarbejder indplacering

AU-HR Sharepoint Vejledning Medarbejder indplacering 2012 AU-HR Sharepoint Vejledning Medarbejder indplacering Version 2.3 Aarhus Universitet 23-02-2012 Velkommen til AU-HR sharepoint site Databasen Medarbejder indplacering skal anvendes til at sikre, at

Læs mere

Før du går i gang med din ansøgning. Sådan udfylder du ansøgningen

Før du går i gang med din ansøgning. Sådan udfylder du ansøgningen Sa dan udfylder du ansøgning om optagelse pa en 2- faglig kandidatuddannelse med kandidattilvalg i Russisk, Religionsvidenskab eller Oldtidskundskab- Vinteroptag Hvis din bacheloruddannelse er blevet forlænget

Læs mere

Matematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G

Matematikvejledning i praksis. Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G Matematikvejledning i praksis Marianne Bie, Rysensteen Hans Bolvinkel, Nørre G 1 De tre projekter Projekt 1 Projekt 2 Projekt 3 Tema: Begreber og begrebsdannelse Sprog og ligninger Tema: Argumentation

Læs mere

Få helt styr på NemID WWW.KOMPUTER.DK

Få helt styr på NemID WWW.KOMPUTER.DK KOMPUTER FOR ALLE Få helt styr på Gå på netbank og borgerservice med Her viser vi, hvordan du bestiller og bruger, så du kan bruge netbank og de mange offentlige internettjenester. Når du vil logge på

Læs mere

Picasa Web. En ressource i SkoleIntra. Version: August 2012

Picasa Web. En ressource i SkoleIntra. Version: August 2012 Picasa Web En ressource i SkoleIntra Version: August 2012 Indholdsfortegnelse Hvad er PicasaWeb?...4 Kom på!...5 Google-konto...5 Når du er logget ind: Indstillinger...5 Når du er logget ind: Upload...6

Læs mere

Loginvejledning, tips og hjælp

Loginvejledning, tips og hjælp Loginvejledning, tips og hjælp Denne vejledning er en hjælp til dig, der skal søge ind på IT-Universitetets kandidatuddannelser. Ansøgning om optagelse gennemføres digitalt i ansøgningssystemet STADS-DANS.

Læs mere

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag.

VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1. Jacob Weng & Jeppe Boese. Matematik A & Programmering C. Avedøre-værket. Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4. Fag. VEKTOR I RUMMET PROJEKT 1 Fag Matematik A & Programmering C Tema Avedøre-værket Jacob Weng & Jeppe Boese Roskilde Tekniske Gymnasium 3.4 07-10-2010 1 Vektor i rummet INDLEDNING Projektet omhandler et af

Læs mere