Landmålingens fejlteori - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement - Lektion 6

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Landmålingens fejlteori - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement - Lektion 6"

Transkript

1 Landmålingens fejlteori Fejlforplantning ved geometrisk nivellment Lektion tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 5. maj /19

2 t i : stadieaflæsning ved tilbagesigte f i : stadieaflæsning ved fremsigte n h = (t 1 f 1 ) + (t 2 f 2 ) + + (t n f n ) = t i f i Totallængden l er opdelt i 2n stykker af længde s, dvs. l = 2ns. 2/19

3 Modellen Vi antager af t i og f i er realisationer af uafhængige stokatiske variable T i og F i med samme varians σ 2 a, i = 1,...,n. Denne antagelse kan begrundes med sigteafstanden er fast og den samme for alle observationer. Ydermere bliver h således en realisation af den stokastiske variabel H = n T i F i. Dvs: T 1 F 1... T n F n H t 1 f 1... t n f n h 3/19

4 Variansen af højdemålingen Variansen af H bestemmes ved ( n ) n V(H) = V T i F i = [V(T i ) + V(F i )] = n (σa 2 + σ2 a ) = 2nσ2 a Fra slide 2 er 2n = l/s, således V(H) = lσ 2 a /s = σ2 l. Erfaringer viser at σ a / s kun i ringe grad afhænger af s når s < 100 m. 4/19

5 Variansen af højdemålingen Variansen af H bestemmes ved ( n ) n V(H) = V T i F i = [V(T i ) + V(F i )] = n (σa 2 + σ2 a ) = 2nσ2 a Fra slide 2 er 2n = l/s, således V(H) = lσa 2 /s = σ2 l. Erfaringer viser at σ a / s kun i ringe grad afhænger af s når s < 100 m. Således indføres kilometerspredningen σ k = σ a / s hvor af V(H) = σl 2 = lσ2 a /s 4/19

6 Variansen af højdemålingen Variansen af H bestemmes ved ( n ) n V(H) = V T i F i = [V(T i ) + V(F i )] = n (σa 2 + σ2 a ) = 2nσ2 a Fra slide 2 er 2n = l/s, således V(H) = lσa 2 /s = σ2 l. Erfaringer viser at σ a / s kun i ringe grad afhænger af s når s < 100 m. Således indføres kilometerspredningen σ k = σ a / s hvor af V(H) = σl 2 = lσ2 a /s = lσ2 k σ l er således spredningen på et geometrisk nivellement over længden l. 4/19

7 t model Givet n uafhængige målinger x 1,...,x n af n størrelser µ 1,...,µ n. Målinger er ikke nødvendigvis af samme kvalitet. Fx. kan visse målinger være behæftet ved flere fejlkilder end andre, nogle kan være målt flere gange, etc. Som tidligere er x 1,..., x n realisationer af stokatiske variable X 1,..., X n, hvor E(X i ) = µ i og V(X i ) = σ 2 i ikke nødvendigvis er ens. 5/19

8 t model Hver måling gives en vægt p i som afspejler kvaliteten af målingen - desto højere vægt desto bedre måling. ne er positive tal der vælges således de opfylder vægtrelationen, dvs p 1 σ 2 1 = p 2σ 3 2 = = p nσ 2 n. Eks. hvis to variansen på første måling er dobbelt så stor på som den anden (σ 2 1 = 2σ2 2 ), vælges p 1 = 1 og p 2 = 2 sådan at p 1 σ 2 1 = p 2σ 2 2. Altså, vægten på den bedste måling er dobbelt så stor som på den dårligere måling. 5/19

9 t gennemsnit Antag at µ 1 = µ 2 = = µ n = µ, dvs alle observationer x 1,...,x n er målinger af samme størrelse µ. Fortsat kan er variansen ikke nødvendigvis den samme for alle målinger. Eks. kan der være anvendt måleudstyr af forskellige fabrikanter og/eller kvalitet. 6/19

10 t gennemsnit Antag at µ 1 = µ 2 = = µ n = µ, dvs alle observationer x 1,...,x n er målinger af samme størrelse µ. Fortsat kan er variansen ikke nødvendigvis den samme for alle målinger. Eks. kan der være anvendt måleudstyr af forskellige fabrikanter og/eller kvalitet. Til at estimere µ bruges det vægtede gennemsnit x således mere præcise målinger (observationer med lav varians) vægter mere i gennemsnittet end dårligere bestemte målinger. x = p 1 n 1=i p x i p n n 1=i p x n = i 1 n 1=i p (p 1 x p n x n ), i hvor vægtene er valgt så de opfylder p 1 σ 2 1 = = p nσ 2 n. 6/19

11 Sætning For den stokastiske variabel X = p 1 n 1=i p X i p n n 1=i p i X n = 1 n 1=i p (p 1 X p n X n ) i gælder følgende udsagn 1. X er et centralt estimat, dvs. E( X ) = µ 2. For positive p 1,..., p n er V( X ) mindst når vægtene opfylder p 1 σ 2 1 = = p nσ 2 n. 7/19

12 Sætning - bevis 1. følger ved E( X ) = ( 1 E n 1=i p i ) [p 1 X p n X n ] 8/19

13 Sætning - bevis 1. følger ved E( X ) = = ( 1 E n 1=i p i ) [p 1 X p n X n ] 1 n 1=i p [p 1 E(X 1 ) + + p n E(X n )] i 8/19

14 Sætning - bevis 1. følger ved E( X ) = = = ( 1 E n 1=i p i ) [p 1 X p n X n ] 1 n 1=i p [p 1 E(X 1 ) + + p n E(X n )] i 1 n 1=i p [p 1 µ + + p n µ] i 8/19

15 Sætning - bevis 1. følger ved E( X ) = = = ( 1 E n 1=i p i ) [p 1 X p n X n ] 1 n 1=i p [p 1 E(X 1 ) + + p n E(X n )] i 1 n 1=i p [p 1 µ + + p n µ] i 1 = µ n 1=i p (p p n ) i = µ. 8/19

16 Bevis - fortsat Punkt 2 vises for n = 2, dvs vi betragter X = a 1 X 1 + a 2 X 2, hvor a 1 + a 2 = 1 idet vægtene i sætningen p 1 og p 2 er givet så X = p 1 p 1 + p 2 X 1 + p 2 p 1 + p 2 X 2 altså p 1 p 1 + p 2 + p 2 p 1 + p 2 = 1. 9/19

17 Bevis - fortsat Punkt 2 vises for n = 2, dvs vi betragter X = a 1 X 1 + a 2 X 2, hvor a 1 + a 2 = 1 idet vægtene i sætningen p 1 og p 2 er givet så X = p 1 p 1 + p 2 X 1 + p 2 p 1 + p 2 X 2 altså p 1 p 1 + p 2 + p 2 p 1 + p 2 = 1. Derfor a 2 = 1 a 1, så variansen er givet ved V( X ) = V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) = V(a 1 X 1 + (1 a 1 )X 2 ) = a1 2 σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2. 9/19

18 Bevis - fortsat Vi ønsker at variansen af X skal være mindst mulig. Derfor minimeres udtrykket V( X ) = a1 2σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2 i a 1. Differentiation mht a 1 giver V( X ) a 1 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ /19

19 Bevis - fortsat Vi ønsker at variansen af X skal være mindst mulig. Derfor minimeres udtrykket V( X ) = a1 2σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2 i a 1. Differentiation mht a 1 giver V( X ) a 1 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ 2 2 Sættes dette lig nul får vi: 0 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ2 2 a 1 σ1 2 = (1 a 1 )σ2, 2 10/19

20 Bevis - fortsat Vi ønsker at variansen af X skal være mindst mulig. Derfor minimeres udtrykket V( X ) = a1 2σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2 i a 1. Differentiation mht a 1 giver V( X ) a 1 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ 2 2 Sættes dette lig nul får vi: hvilket giver 0 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ2 2 a 1 σ1 2 = (1 a 1 )σ2, 2 a 1 = σ2 2 σ σ2 2 og a 2 = 1 a 1 = 1 σ2 2 σ σ2 2 = σ2 1 σ σ2 2 10/19

21 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. 11/19

22 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. Bemærk at a 1 σ 2 1 = a 2 σ /19

23 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. Bemærk at a 1 σ1 2 = a 2 σ2 2 σ2 2 σ1 2 + σ σ2 1 2 = σ2 1 2 σ1 2 + σ σ /19

24 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. Bemærk at a 1 σ1 2 = a 2 σ2 2 σ2 2 σ1 2 + σ σ2 1 2 = σ2 1 2 σ1 2 + σ σ2 2 2 σ2σ = σ1σ 2 2, 2 2 dvs variansen er mindst når vægtrelationen er opfyldt. 11/19

25 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. Bemærk at a 1 σ1 2 = a 2 σ2 2 σ2 2 σ1 2 + σ σ2 1 2 = σ2 1 2 σ1 2 + σ σ2 2 2 σ2σ = σ1σ 2 2, 2 2 dvs variansen er mindst når vægtrelationen er opfyldt. Sættes a 1 = p1 p 1+p 2 og a 2 = p2 p 1+p 2 er sætningen således bevist, dvs ( V( X p1 ) = V X 1 + p ) 2 X 2 er mindst for p 1 σ1 2 p 1 + p 2 p 1 + p = p 2σ /19

26 Estimator af σ 2 0 Idet vægtrelationen foreskriver p i σ 2 i er ens for alle i, kan σ 2 0 indføres som σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p 2σ /19

27 Estimator af σ 2 0 Idet vægtrelationen foreskriver p i σ 2 i er ens for alle i, kan σ 2 0 indføres som σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p 2σ 2 2. Som estimator for σ 2 0 anvendes S 2 0 = n p i(x i X ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( X ) 2 n n 1 p i. 12/19

28 Estimator af σ 2 0 Idet vægtrelationen foreskriver p i σ 2 i er ens for alle i, kan σ 2 0 indføres som σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p 2σ 2 2. Som estimator for σ 2 0 anvendes S 2 0 = n p i(x i X ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( X ) 2 n n 1 p i. 12/19

29 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + 13/19

30 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = n ( pi p + ) 2 V(X i ) 13/19

31 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = = n n ( pi p + p 2 i σ2 i p 2 + ) 2 V(X i ) 13/19

32 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = = = n n n ( pi p + p 2 i σ2 i p 2 + p i σ 2 0 p 2 + ) 2 V(X i ) pga. σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n 13/19

33 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = = = n n ( pi p + p 2 i σ2 i p 2 + n p i σ0 2 p 2 + n p i ) 2 V(X i ) pga. σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n = σ0 2 ( n p 2 i) 13/19

34 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = = = n n ( pi p + p 2 i σ2 i p 2 + n p i σ0 2 p 2 + ) 2 V(X i ) pga. σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n n = σ0 2 p i ( n p ) 2 = σ2 0 n i p. i 13/19

35 Estimat af σ 2 0 Således er variansen på det vægtede gennemsnit givet ved ( V( X ) = σ2 0 n p og dermed X σ 2 ) 0 N µ, n i p i Som estimat af S0 2 anvendes s2 0, hvor de stokatiske variable er erstattet af de observerede værdier, s 2 0 = n p i(x i x ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( x ) 2 n n 1 p i. 14/19

36 Estimat af σ 2 0 Således er variansen på det vægtede gennemsnit givet ved ( V( X ) = σ2 0 n p og dermed X σ 2 ) 0 N µ, n i p i Som estimat af S0 2 anvendes s2 0, hvor de stokatiske variable er erstattet af de observerede værdier, s 2 0 = n p i(x i x ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( x ) 2 n n 1 p i Estimatet for variansen af det vægtede gennemsnit er således. s 2 0 n p i. 14/19

37 Estimat af σ 2 0 Således er variansen på det vægtede gennemsnit givet ved ( V( X ) = σ2 0 n p og dermed X σ 2 ) 0 N µ, n i p i Som estimat af S0 2 anvendes s2 0, hvor de stokatiske variable er erstattet af de observerede værdier, s 2 0 = n p i(x i x ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( x ) 2 n n 1 p i Estimatet for variansen af det vægtede gennemsnit er således. s 2 0 n p i. Pga. vægtrelationen kan den i te varians σ 2 i skrives som σ 2 i = σ 2 0 /p i. Heraf kan σ 2 i estimeres vha. s 2 0 /p i. 14/19

38 Eksempel - Højdeforskel nivelleret over n strækninger med samme kilometerspredning σ k. Variansen over en længde l er fra tidligere givet ved σ 2 k l. Højdeforskel h Længde l Varians på h over l h 1 l 1 σ 2 1 = σ2 k l 1 h 2 l 2 σ 2 2 = σ2 k l 2... h n l n σ 2 n = σ 2 k l n Forskellig varians på målinger pga l i l j, dvs. vægtede observationer. 15/19

39 Eksempel - Vægtrelationen er opfyldt når σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n 16/19

40 Eksempel - Vægtrelationen er opfyldt når σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n Indsættes udtrykket for σ 2 i = l i σ 2 k har vi: σ 2 0 = p 1 σ 2 kl 1 = = p n σ 2 kl n 16/19

41 Eksempel - Vægtrelationen er opfyldt når σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n Indsættes udtrykket for σ 2 i = l i σ 2 k har vi: Heraf fremgår det at hvis p i = l 1 i σ 2 0 = p 1 σ 2 kl 1 = = p n σ 2 kl n er ligheden opfyldt: σ0 2 = l 1 1 σ2 kl 1 = = ln 1 σkl 2 n = σk 2 = = σ2 k. Dvs. vægte kan vælges til p i = (l i ) 1 altså er vægten den resiprokke længde. 16/19

42 Eksempel - polygonvinkler Vi måler vinklerne i punkterne Alle vinkler er målt med samme varians σ 2 v. Lad σ 2 m,i være variansen af middelsatsen i punkt i. Punkt Antal satser σ 2 m,i 13 2 σ 2 m,13 = σ2 v σ 2 m,14 = σ2 v σ 2 m,15 = σ2 v σ 2 m,16 = σ2 v 6 17/19

43 Eksempel - fortsat Ifølge vægtrelationen skal p i σ 2 m,i være ens for alle i, p 13 σ 2 m,13 = p 14σ 2 m,14 = p 15σ 2 m,15 = p 16σ 2 m,16. Jf. udtrykkene fra forrige slide σv 2 p 13 2 = p σv = p σv = p σv Således kan vægtene vælges lig antal satser for hvert punkt. 18/19

44 Eksempel - Vinkelmålinger Vinkler målt med forskellige satser med samme vinkelspredning σ v. Variansen på vinkler målt med k satser er fra tidligere givet ved σ 2 v/k. Vinkel v Sats k Varians på middelsats v 1 k 1 σ1 2 = σ2 v /k 1 v 2 k 2 σ2 2 = σ2 v/k v n k n σn 2 = σ2 v /k n Forskellig varians på målinger pga. forskelligt antal satser, dvs. vægtede observationer. 19/19

45 Eksempel - Vinkelmålinger Vinkler målt med forskellige satser med samme vinkelspredning σ v. Variansen på vinkler målt med k satser er fra tidligere givet ved σ 2 v/k. Vinkel v Sats k Varians på middelsats v 1 k 1 σ1 2 = σ2 v /k 1 v 2 k 2 σ2 2 = σ2 v/k v n k n σn 2 = σ2 v /k n Forskellig varians på målinger pga. forskelligt antal satser, dvs. vægtede observationer. Vægtrelationen er opfyldt når σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n. Fra tabellen ses det at vægten kan vælges til p i = k i dvs vægten er antal satser. 19/19

Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen

Vægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8

Landmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8 Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl

Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering

Landmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og

Læs mere

Geometrisk nivellement. Landmålingens fejlteori - Lektion 7 - Repetition - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement. Modellen.

Geometrisk nivellement. Landmålingens fejlteori - Lektion 7 - Repetition - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement. Modellen. Landmålingen fejlteori Lektion 7 Repetition Fejlforplantning ved geometrik nivellement h t f t f t f t 4 f 4 t n f n - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervining/lf Intitut for Matematike Fag

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen

Landmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med

Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X

Læs mere

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning

Fejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning. Repetition: Varians af linear kombination. Eksempel: Vinkelberegning Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke kan

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable

Landmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning

Landmålingens fejlteori - Lektion 5 - Fejlforplantning Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - kkb@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/30 Fejlforplantning Landmåling involverer ofte bestemmelse af størrelser som ikke

Læs mere

Antag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.

Antag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n. Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3

Landmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3 Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april

Læs mere

Definition. Definitioner

Definition. Definitioner Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/

Læs mere

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge

Læs mere

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable

1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable

Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset

Læs mere

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder

Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring

Læs mere

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo

Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte

Læs mere

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31

Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Økonometri Lektion 1 Simpel Lineær Regression 1/31 Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Statistisk model: Vi antager at sammenhængen

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte

Læs mere

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17

Analysestrategi. Lektion 7 slides kompileret 27. oktober 200315:24 p.1/17 nalysestrategi Vælg statistisk model. Estimere parametre i model. fx. lineær regression Udføre modelkontrol beskriver modellen data tilstrækkelig godt og er modellens antagelser opfyldte fx. vha. residualanalyse

Læs mere

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)

Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd

I dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt

Læs mere

Hvorfor er normalfordelingen så normal?

Hvorfor er normalfordelingen så normal? Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram

Læs mere

Simpel Lineær Regression

Simpel Lineær Regression Simpel Lineær Regression Mål: Forklare variablen y vha. variablen x. Fx forklare Salg (y) vha. Reklamebudget (x). Vi antager at sammenhængen mellem y og x er beskrevet ved y = β 0 + β 1 x + u. y: Afhængige

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

! Proxy variable. ! Målefejl. ! Manglende observationer. ! Dataudvælgelse. ! Ekstreme observationer. ! Eksempel: Lønrelation (på US data)

! Proxy variable. ! Målefejl. ! Manglende observationer. ! Dataudvælgelse. ! Ekstreme observationer. ! Eksempel: Lønrelation (på US data) Dagens program Økonometri 1 Specifikation, og dataproblemer 10. april 003 Emnet for denne forelæsning er specifikation (Wooldridge kap. 9.-9.4)! Proxy variable! Målefejl! Manglende observationer! Dataudvælgelse!

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

Motivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser

Motivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/27 Multipel Lineær Regression Sidst så vi på simpel lineær regression, hvor y er forklaret af én variabel. Der er intet, der forhindre os i at have mere

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.

Kursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M. Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen

Læs mere

Anvendt Lineær Algebra

Anvendt Lineær Algebra Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2003 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive

Læs mere

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som

MLR antagelserne. Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som MLR antagelserne Antagelse MLR.1:(Lineære parametre) Den statistiske model for populationen kan skrives som y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + + β k x k + u, hvor β 0, β 1, β 2,...,β k er ukendte parametere,

Læs mere

Noter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.1

Noter i fejlteori. Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen. Version 1.1 Noter i fejlteori Kasper Klitgaard Berthelsen Poul Winding & Jens Møller Pedersen Version 1.1 April 2013 2 Indhold 1 Motivation 3 2 Det matematiske fundament 5 2.1 Lidt sandsynlighedsregning......................

Læs mere

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33

Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Økonometri: Lektion 2 Multipel Lineær Regression 1/33 Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 +β 1 x +u, hvor fejlledet u,

Læs mere

Simpel Lineær Regression: Model

Simpel Lineær Regression: Model Simpel Lineær Regression: Model Sidst så vi på simpel lineære regression. Det er en statisisk model på formen y = β 0 + β 1 x + u, hvor fejlledet u, har egenskaben E[u x] = 0. Dette betyder bl.a. E[y x]

Læs mere

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6

Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6 Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået

Læs mere

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable 3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.

Læs mere

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål

Momenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive

Læs mere

Hvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.

Hvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag. Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er

Læs mere

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1

Landmålingens fejlteori - Sandsynlighedsregning - Lektion 1 Landmålingens fejlteori Sandsynlighedsregning Lektion 1 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 23. april 2009 1/28 Landmålingens

Læs mere

Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007

Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 2. januar 2007 Rettevejledning til eksamen i Kvantitative metoder 1,. årsprøve. januar 007 I rettevejledningen henvises der til Berry and Lindgren "Statistics Theory and methods"(b&l) hvis ikke andet er nævnt. Opgave

Læs mere

Note om Monte Carlo metoden

Note om Monte Carlo metoden Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2002 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Kvantitative metoder 2 Specifikation og dataproblemer 2. maj 2007 KM2: F22 1 Program Specifikation og dataproblemer, fortsat (Wooldridge kap. 9): Betydning af målefejl Dataudvælgelse: Manglende observationer

Læs mere

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen

Et firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

4 Oversigt over kapitel 4

4 Oversigt over kapitel 4 IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive

Læs mere

Anvendt Lineær Algebra

Anvendt Lineær Algebra Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)

Læs mere

Konfidensintervaller og Hypotesetest

Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller

Læs mere

Trin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse

Trin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Nanostatistik: Opgavebesvarelser

Nanostatistik: Opgavebesvarelser Nanostatistik: Opgavebesvarelser JLJ Nanostatistik: Opgavebesvarelser p. 1/16 Pakkemaskine En producent hævder at poserne indeholder i gennemsnit 16 ounces sukker. Data: 10 pakker sukker: 16.1, 15.8, 15.8,

Læs mere

Opgaver til kapitel 3

Opgaver til kapitel 3 Opgaver til kapitel 3 3.1 En løber er interesseret i at undersøge om hendes løbeur er kalibreret korrekt. Hun udmåler derfor en strækning på præcis 1000 m og løber den 16 gange. For hver løbetur noterer

Læs mere

Program. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18

Program. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)

Læs mere

En martingalversion af CLT

En martingalversion af CLT Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske

Læs mere

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007

Kvantitative Metoder 1 - Forår 2007 Dagens program Estimation: Kapitel 9.1-9.3 Estimation Estimationsfejlen Bias Eksempler Bestemmelse af stikprøvens størrelse Konsistens De nitioner påkonsistens Eksempler på konsistente og middelrette estimatorer

Læs mere

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori

Eksamen 2014/2015 Mål- og integralteori Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal

Læs mere

Mat2SS Vejledende besvarelse uge 11

Mat2SS Vejledende besvarelse uge 11 MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x

Læs mere

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006

Økonometri 1. Dagens program. Den simple regressionsmodel 15. september 2006 Dagens program Økonometri Den simple regressionsmodel 5. september 006 Den simple lineære regressionsmodel (Wooldridge kap.4-.6) Eksemplet fortsat: Løn og uddannelse på danske data Funktionel form Statistiske

Læs mere

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009

Løsning til eksaminen d. 14. december 2009 DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,

Læs mere

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable

Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret

Læs mere

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.

Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:

Læs mere

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.

NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,

Læs mere

Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler

Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni timers prøve med hjælpemidler Rettevejledning til Kvantitative metoder 1, 2. årsprøve 18. juni 2007 4 timers prøve med hjælpemidler Opgaven består af re delopgaver, som alle skal besvares. De re opgaver indgår med samme vægt. Opgaverne

Læs mere

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved

Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,

Læs mere

Løsning til prøveeksamen 1

Løsning til prøveeksamen 1 IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =

Læs mere

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501

Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 SYDDANSK UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Science statistik- ST501 Torsdag den 21. januar Opgavesættet består af 5 opgaver, med i alt 13 delspørgsmål, som vægtes ligeligt.

Læs mere

Dagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22

Dagens Emner. Likelihood teori. Lineær regression (intro) p. 1/22 Dagens Emner Likelihood teori Lineær regression (intro) p. 1/22 Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 ) = ( 1 2πσ 2)n/2 e 1 2σ 2 P n (x i µ) 2 er tætheden som

Læs mere

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1

Naturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1 Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen

Læs mere

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800

Læs mere

Fortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.

Fortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20. Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition

Læs mere

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression

Statikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives

Læs mere

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration

Program. Modelkontrol og prædiktion. Multiple sammenligninger. Opgave 5.2: fosforkoncentration Faculty of Life Sciences Program Modelkontrol og prædiktion Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Test af hypotese i ensidet variansanalyse F -tests og F -fordelingen. Multiple sammenligninger. Bonferroni-korrektion

Læs mere

Notat vedr. interkalibrering af ålegræs

Notat vedr. interkalibrering af ålegræs Notat vedr. interkalibrering af ålegræs Notat fra DCE - Nationalt Center for Miljø og Energi Dato: 4. januar 2012 Michael Bo Rasmussen Thorsten Balsby Institut for Bioscience Rekvirent: Naturstyrelsen

Læs mere

Undervisningsnoter til øvelse i Panel Modeller. %, it. E(x kjs

Undervisningsnoter til øvelse i Panel Modeller. %, it. E(x kjs 4 I afsnit 3 beskæftigede vi os med 1EC modellen og viste, hvordan den kunne estimereres med FGLS - bla under forudsætning af, at det individspecifikke stokastiske led er ukorreleret med de forklarende

Læs mere

Nanostatistik: Test af hypotese

Nanostatistik: Test af hypotese Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling

Læs mere

Løsning eksamen d. 15. december 2008

Løsning eksamen d. 15. december 2008 Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th

Læs mere

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser

Uge 43 I Teoretisk Statistik, 21. oktober Forudsigelser Uge 43 I Teoretisk Statistik,. oktober 3 Simpel lineær regressionsanalyse Forudsigelser Fortolkning af regressionsmodellen Ekstreme observationer Transformationer Sammenligning af to regressionslinier

Læs mere

standard normalfordelingen på R 2.

standard normalfordelingen på R 2. Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

En martingalversion af CLT

En martingalversion af CLT Kapitel 9 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske variable,

Læs mere

Estimation og usikkerhed

Estimation og usikkerhed Estimation og usikkerhed = estimat af en eller anden ukendt størrelse, τ. ypiske ukendte størrelser Sandsynligheder eoretisk middelværdi eoretisk varians Parametre i statistiske modeller 1 Krav til gode

Læs mere

Muligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.

Muligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling. Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side

Læs mere

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006

Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006 Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge

Statistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2

Læs mere

Nanostatistik: Opgaver

Nanostatistik: Opgaver Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner

Læs mere

Module 12: Mere om variansanalyse

Module 12: Mere om variansanalyse Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9)

Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 8: Inferens for varianser (kap 9) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby

Læs mere

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader

Stikprøver og stikprøve fordelinger. Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Stikprøver og stikprøve fordelinger Stikprøver Estimatorer og estimater Stikprøve fordelinger Egenskaber ved estimatorer Frihedsgrader Statistik Statistisk Inferens: Prediktere og forekaste værdier af

Læs mere

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)

02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) 02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:

Læs mere