Landmålingens fejlteori - Fejlforplantning ved geometrisk nivellement - Lektion 6

Transkript

1 Landmålingens fejlteori Fejlforplantning ved geometrisk nivellment Lektion 6 - tvede@math.aau.dk tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 5. maj /19

2 t i : stadieaflæsning ved tilbagesigte f i : stadieaflæsning ved fremsigte n h = (t 1 f 1 ) + (t 2 f 2 ) + + (t n f n ) = t i f i Totallængden l er opdelt i 2n stykker af længde s, dvs. l = 2ns. 2/19

3 Modellen Vi antager af t i og f i er realisationer af uafhængige stokatiske variable T i og F i med samme varians σ 2 a, i = 1,...,n. Denne antagelse kan begrundes med sigteafstanden er fast og den samme for alle observationer. Ydermere bliver h således en realisation af den stokastiske variabel H = n T i F i. Dvs: T 1 F 1... T n F n H t 1 f 1... t n f n h 3/19

4 Variansen af højdemålingen Variansen af H bestemmes ved ( n ) n V(H) = V T i F i = [V(T i ) + V(F i )] = n (σa 2 + σ2 a ) = 2nσ2 a Fra slide 2 er 2n = l/s, således V(H) = lσ 2 a /s = σ2 l. Erfaringer viser at σ a / s kun i ringe grad afhænger af s når s < 100 m. 4/19

5 Variansen af højdemålingen Variansen af H bestemmes ved ( n ) n V(H) = V T i F i = [V(T i ) + V(F i )] = n (σa 2 + σ2 a ) = 2nσ2 a Fra slide 2 er 2n = l/s, således V(H) = lσa 2 /s = σ2 l. Erfaringer viser at σ a / s kun i ringe grad afhænger af s når s < 100 m. Således indføres kilometerspredningen σ k = σ a / s hvor af V(H) = σl 2 = lσ2 a /s 4/19

6 Variansen af højdemålingen Variansen af H bestemmes ved ( n ) n V(H) = V T i F i = [V(T i ) + V(F i )] = n (σa 2 + σ2 a ) = 2nσ2 a Fra slide 2 er 2n = l/s, således V(H) = lσa 2 /s = σ2 l. Erfaringer viser at σ a / s kun i ringe grad afhænger af s når s < 100 m. Således indføres kilometerspredningen σ k = σ a / s hvor af V(H) = σl 2 = lσ2 a /s = lσ2 k σ l er således spredningen på et geometrisk nivellement over længden l. 4/19

7 t model Givet n uafhængige målinger x 1,...,x n af n størrelser µ 1,...,µ n. Målinger er ikke nødvendigvis af samme kvalitet. Fx. kan visse målinger være behæftet ved flere fejlkilder end andre, nogle kan være målt flere gange, etc. Som tidligere er x 1,..., x n realisationer af stokatiske variable X 1,..., X n, hvor E(X i ) = µ i og V(X i ) = σ 2 i ikke nødvendigvis er ens. 5/19

8 t model Hver måling gives en vægt p i som afspejler kvaliteten af målingen - desto højere vægt desto bedre måling. ne er positive tal der vælges således de opfylder vægtrelationen, dvs p 1 σ 2 1 = p 2σ 3 2 = = p nσ 2 n. Eks. hvis to variansen på første måling er dobbelt så stor på som den anden (σ 2 1 = 2σ2 2 ), vælges p 1 = 1 og p 2 = 2 sådan at p 1 σ 2 1 = p 2σ 2 2. Altså, vægten på den bedste måling er dobbelt så stor som på den dårligere måling. 5/19

9 t gennemsnit Antag at µ 1 = µ 2 = = µ n = µ, dvs alle observationer x 1,...,x n er målinger af samme størrelse µ. Fortsat kan er variansen ikke nødvendigvis den samme for alle målinger. Eks. kan der være anvendt måleudstyr af forskellige fabrikanter og/eller kvalitet. 6/19

10 t gennemsnit Antag at µ 1 = µ 2 = = µ n = µ, dvs alle observationer x 1,...,x n er målinger af samme størrelse µ. Fortsat kan er variansen ikke nødvendigvis den samme for alle målinger. Eks. kan der være anvendt måleudstyr af forskellige fabrikanter og/eller kvalitet. Til at estimere µ bruges det vægtede gennemsnit x således mere præcise målinger (observationer med lav varians) vægter mere i gennemsnittet end dårligere bestemte målinger. x = p 1 n 1=i p x i p n n 1=i p x n = i 1 n 1=i p (p 1 x p n x n ), i hvor vægtene er valgt så de opfylder p 1 σ 2 1 = = p nσ 2 n. 6/19

11 Sætning For den stokastiske variabel X = p 1 n 1=i p X i p n n 1=i p i X n = 1 n 1=i p (p 1 X p n X n ) i gælder følgende udsagn 1. X er et centralt estimat, dvs. E( X ) = µ 2. For positive p 1,..., p n er V( X ) mindst når vægtene opfylder p 1 σ 2 1 = = p nσ 2 n. 7/19

12 Sætning - bevis 1. følger ved E( X ) = ( 1 E n 1=i p i ) [p 1 X p n X n ] 8/19

13 Sætning - bevis 1. følger ved E( X ) = = ( 1 E n 1=i p i ) [p 1 X p n X n ] 1 n 1=i p [p 1 E(X 1 ) + + p n E(X n )] i 8/19

14 Sætning - bevis 1. følger ved E( X ) = = = ( 1 E n 1=i p i ) [p 1 X p n X n ] 1 n 1=i p [p 1 E(X 1 ) + + p n E(X n )] i 1 n 1=i p [p 1 µ + + p n µ] i 8/19

15 Sætning - bevis 1. følger ved E( X ) = = = ( 1 E n 1=i p i ) [p 1 X p n X n ] 1 n 1=i p [p 1 E(X 1 ) + + p n E(X n )] i 1 n 1=i p [p 1 µ + + p n µ] i 1 = µ n 1=i p (p p n ) i = µ. 8/19

16 Bevis - fortsat Punkt 2 vises for n = 2, dvs vi betragter X = a 1 X 1 + a 2 X 2, hvor a 1 + a 2 = 1 idet vægtene i sætningen p 1 og p 2 er givet så X = p 1 p 1 + p 2 X 1 + p 2 p 1 + p 2 X 2 altså p 1 p 1 + p 2 + p 2 p 1 + p 2 = 1. 9/19

17 Bevis - fortsat Punkt 2 vises for n = 2, dvs vi betragter X = a 1 X 1 + a 2 X 2, hvor a 1 + a 2 = 1 idet vægtene i sætningen p 1 og p 2 er givet så X = p 1 p 1 + p 2 X 1 + p 2 p 1 + p 2 X 2 altså p 1 p 1 + p 2 + p 2 p 1 + p 2 = 1. Derfor a 2 = 1 a 1, så variansen er givet ved V( X ) = V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) = V(a 1 X 1 + (1 a 1 )X 2 ) = a1 2 σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2. 9/19

18 Bevis - fortsat Vi ønsker at variansen af X skal være mindst mulig. Derfor minimeres udtrykket V( X ) = a1 2σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2 i a 1. Differentiation mht a 1 giver V( X ) a 1 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ /19

19 Bevis - fortsat Vi ønsker at variansen af X skal være mindst mulig. Derfor minimeres udtrykket V( X ) = a1 2σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2 i a 1. Differentiation mht a 1 giver V( X ) a 1 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ 2 2 Sættes dette lig nul får vi: 0 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ2 2 a 1 σ1 2 = (1 a 1 )σ2, 2 10/19

20 Bevis - fortsat Vi ønsker at variansen af X skal være mindst mulig. Derfor minimeres udtrykket V( X ) = a1 2σ2 1 + (1 a 1) 2 σ2 2 i a 1. Differentiation mht a 1 giver V( X ) a 1 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ 2 2 Sættes dette lig nul får vi: hvilket giver 0 = 2a 1 σ (1 a 1)( 1)σ2 2 a 1 σ1 2 = (1 a 1 )σ2, 2 a 1 = σ2 2 σ σ2 2 og a 2 = 1 a 1 = 1 σ2 2 σ σ2 2 = σ2 1 σ σ2 2 10/19

21 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. 11/19

22 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. Bemærk at a 1 σ 2 1 = a 2 σ /19

23 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. Bemærk at a 1 σ1 2 = a 2 σ2 2 σ2 2 σ1 2 + σ σ2 1 2 = σ2 1 2 σ1 2 + σ σ /19

24 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. Bemærk at a 1 σ1 2 = a 2 σ2 2 σ2 2 σ1 2 + σ σ2 1 2 = σ2 1 2 σ1 2 + σ σ2 2 2 σ2σ = σ1σ 2 2, 2 2 dvs variansen er mindst når vægtrelationen er opfyldt. 11/19

25 Bevis - fortsat Dvs variansen V(a 1 X 1 + a 2 X 2 ) er mindst for a 1 σ 2 1 = a 2σ 2 2 under antagelsen af a 1 + a 2 = 1. Bemærk at a 1 σ1 2 = a 2 σ2 2 σ2 2 σ1 2 + σ σ2 1 2 = σ2 1 2 σ1 2 + σ σ2 2 2 σ2σ = σ1σ 2 2, 2 2 dvs variansen er mindst når vægtrelationen er opfyldt. Sættes a 1 = p1 p 1+p 2 og a 2 = p2 p 1+p 2 er sætningen således bevist, dvs ( V( X p1 ) = V X 1 + p ) 2 X 2 er mindst for p 1 σ1 2 p 1 + p 2 p 1 + p = p 2σ /19

26 Estimator af σ 2 0 Idet vægtrelationen foreskriver p i σ 2 i er ens for alle i, kan σ 2 0 indføres som σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p 2σ /19

27 Estimator af σ 2 0 Idet vægtrelationen foreskriver p i σ 2 i er ens for alle i, kan σ 2 0 indføres som σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p 2σ 2 2. Som estimator for σ 2 0 anvendes S 2 0 = n p i(x i X ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( X ) 2 n n 1 p i. 12/19

28 Estimator af σ 2 0 Idet vægtrelationen foreskriver p i σ 2 i er ens for alle i, kan σ 2 0 indføres som σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p 2σ 2 2. Som estimator for σ 2 0 anvendes S 2 0 = n p i(x i X ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( X ) 2 n n 1 p i. 12/19

29 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + 13/19

30 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = n ( pi p + ) 2 V(X i ) 13/19

31 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = = n n ( pi p + p 2 i σ2 i p 2 + ) 2 V(X i ) 13/19

32 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = = = n n n ( pi p + p 2 i σ2 i p 2 + p i σ 2 0 p 2 + ) 2 V(X i ) pga. σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n 13/19

33 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = = = n n ( pi p + p 2 i σ2 i p 2 + n p i σ0 2 p 2 + n p i ) 2 V(X i ) pga. σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n = σ0 2 ( n p 2 i) 13/19

34 Variansen af X og σ 0. Lad p + = n p i og dermed X = p1 p + X pn p + X n. Bemærk ( V( X p1 ) = V X p ) n X n p + p + = = = n n ( pi p + p 2 i σ2 i p 2 + n p i σ0 2 p 2 + ) 2 V(X i ) pga. σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n n = σ0 2 p i ( n p ) 2 = σ2 0 n i p. i 13/19

35 Estimat af σ 2 0 Således er variansen på det vægtede gennemsnit givet ved ( V( X ) = σ2 0 n p og dermed X σ 2 ) 0 N µ, n i p i Som estimat af S0 2 anvendes s2 0, hvor de stokatiske variable er erstattet af de observerede værdier, s 2 0 = n p i(x i x ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( x ) 2 n n 1 p i. 14/19

36 Estimat af σ 2 0 Således er variansen på det vægtede gennemsnit givet ved ( V( X ) = σ2 0 n p og dermed X σ 2 ) 0 N µ, n i p i Som estimat af S0 2 anvendes s2 0, hvor de stokatiske variable er erstattet af de observerede værdier, s 2 0 = n p i(x i x ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( x ) 2 n n 1 p i Estimatet for variansen af det vægtede gennemsnit er således. s 2 0 n p i. 14/19

37 Estimat af σ 2 0 Således er variansen på det vægtede gennemsnit givet ved ( V( X ) = σ2 0 n p og dermed X σ 2 ) 0 N µ, n i p i Som estimat af S0 2 anvendes s2 0, hvor de stokatiske variable er erstattet af de observerede værdier, s 2 0 = n p i(x i x ) 2 n 1 = n p ixi 2 ( x ) 2 n n 1 p i Estimatet for variansen af det vægtede gennemsnit er således. s 2 0 n p i. Pga. vægtrelationen kan den i te varians σ 2 i skrives som σ 2 i = σ 2 0 /p i. Heraf kan σ 2 i estimeres vha. s 2 0 /p i. 14/19

38 Eksempel - Højdeforskel nivelleret over n strækninger med samme kilometerspredning σ k. Variansen over en længde l er fra tidligere givet ved σ 2 k l. Højdeforskel h Længde l Varians på h over l h 1 l 1 σ 2 1 = σ2 k l 1 h 2 l 2 σ 2 2 = σ2 k l 2... h n l n σ 2 n = σ 2 k l n Forskellig varians på målinger pga l i l j, dvs. vægtede observationer. 15/19

39 Eksempel - Vægtrelationen er opfyldt når σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n 16/19

40 Eksempel - Vægtrelationen er opfyldt når σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n Indsættes udtrykket for σ 2 i = l i σ 2 k har vi: σ 2 0 = p 1 σ 2 kl 1 = = p n σ 2 kl n 16/19

41 Eksempel - Vægtrelationen er opfyldt når σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n Indsættes udtrykket for σ 2 i = l i σ 2 k har vi: Heraf fremgår det at hvis p i = l 1 i σ 2 0 = p 1 σ 2 kl 1 = = p n σ 2 kl n er ligheden opfyldt: σ0 2 = l 1 1 σ2 kl 1 = = ln 1 σkl 2 n = σk 2 = = σ2 k. Dvs. vægte kan vælges til p i = (l i ) 1 altså er vægten den resiprokke længde. 16/19

42 Eksempel - polygonvinkler Vi måler vinklerne i punkterne Alle vinkler er målt med samme varians σ 2 v. Lad σ 2 m,i være variansen af middelsatsen i punkt i. Punkt Antal satser σ 2 m,i 13 2 σ 2 m,13 = σ2 v σ 2 m,14 = σ2 v σ 2 m,15 = σ2 v σ 2 m,16 = σ2 v 6 17/19

43 Eksempel - fortsat Ifølge vægtrelationen skal p i σ 2 m,i være ens for alle i, p 13 σ 2 m,13 = p 14σ 2 m,14 = p 15σ 2 m,15 = p 16σ 2 m,16. Jf. udtrykkene fra forrige slide σv 2 p 13 2 = p σv = p σv = p σv Således kan vægtene vælges lig antal satser for hvert punkt. 18/19

44 Eksempel - Vinkelmålinger Vinkler målt med forskellige satser med samme vinkelspredning σ v. Variansen på vinkler målt med k satser er fra tidligere givet ved σ 2 v/k. Vinkel v Sats k Varians på middelsats v 1 k 1 σ1 2 = σ2 v /k 1 v 2 k 2 σ2 2 = σ2 v/k v n k n σn 2 = σ2 v /k n Forskellig varians på målinger pga. forskelligt antal satser, dvs. vægtede observationer. 19/19

45 Eksempel - Vinkelmålinger Vinkler målt med forskellige satser med samme vinkelspredning σ v. Variansen på vinkler målt med k satser er fra tidligere givet ved σ 2 v/k. Vinkel v Sats k Varians på middelsats v 1 k 1 σ1 2 = σ2 v /k 1 v 2 k 2 σ2 2 = σ2 v/k v n k n σn 2 = σ2 v /k n Forskellig varians på målinger pga. forskelligt antal satser, dvs. vægtede observationer. Vægtrelationen er opfyldt når σ 2 0 = p 1σ 2 1 = = p nσ 2 n. Fra tabellen ses det at vægten kan vælges til p i = k i dvs vægten er antal satser. 19/19