Dæmpet harmonisk svingning. Tvungne svingninger. Dette er en artikel fra min hjemmeside:

Transkript

1 Dæpt haronis svingning. Tvungn svingningr Dtt r n artil fra in hjsid: Ol Witt-Hansn 8

2 5. Dæpt haronis svingning En haronis svingning r n rtlinit vægls (langs n x-as), hvor dn rsultrnd raft r proportional d afstandn til ligvægtsstillingn (x=) og til stadighd rttt od ligvægtsstillingn. Dr gældr altså ligningn (5.1) F rs x x x Sættr an, findr an dn fuldstændig løsning: (5.) x Acos( t ) A r aplitudn, ω alds dn cylis frvns, og φ r gyndlssfasn. Svingningstidn r givt vd uryt: T T. I atati undrvisningn srivr an dn fuldstændig løsning til (5.1) på n li andn åd: x c1 cost c sint At dtt fatis r dn sa løsningsforl, an indss, idt an anvndr additionsforln på løsningn (5.) cos( u v) cosu cosv sin usin v x Acos( t ) Acos( )cos( t) Asin( )sin( t ) og sættr c1 Acos( ) og c Asin( ), c so har løsningrn: tan og A c c 1 1 c, findr an dt sa ury. Hvis dr r frition i væglsn, sal dr tilføjs ndnu t ld til diffrntialligningn (5.1). Vi vil først gør dn antagls, at fritionn r proportional d og odsat rttt hastighdn. Proportionalittsofficintn vil afhæng af hvilt lg, dr r tal o, og hvilt diu (væs, luft) dn vægr sig i. F gn = -α v => F gn. Diffrntialligningn for væglsn livr hrftr:

3 (5.3) F rs x F gn x x Dt visr sig nogt r sværligt, at løs diffrntialligningn (5.3) nd (5.1). Før vi går i gang, osrivr vi ligningn for at få t r gnrlt ury: (5.4) c x hvor og c (5.4) r n. ordns, linær, hoogn diffrntialligning d onstant officintr og c. Linær, fordi all ld, dr indholdr x optrædr i 1. potns. Hoogn, fordi dr i r nogt ld, so afhængr splicit af t. 5.1 Løsning af diffrntialligningn vd hjælp af opls tal Ligningn (5.) an altid løss, idt løsningn an rducrs til at find d opls løsningr til n. grads ligning. Tilsvarnd an løsning af n n-t ordns linær, hoogn diffrntialligning d onstant officintr, rducrs til at st d opls røddr i t n't grads polynoiu. Slv o opls tal i r n dl af gynasits pnsu i atati, vil vi alligvl vis todn, fordi dn r nl og fftiv. zt For at løs ligningn (5.4) sættr vi x hvor z r t oplst tal. Dt følgr så: z zt og z zt Indsætts dtt i (5.4) og ortforortr an z t får an.gradsligningn: z z c Disriinantn: d 4c. Hvis d > har. gradsligningn d to rll løsningr. (5.5) z 4c z 4c Vndr vi tilag til dn oprindlig diffrntialligning, ss dt, at c=/ >, så gg løsningr i (5.5) r ngativ. (Hvis d = ) rducrs dt til n løsning. Hvis d < har. gradsligningn ingn rll løsningr, n til gngæld d to opls løsningr:

4 (5.5) z i 4c z i 4c Hr r i dn opls nhd. i =-1. I torin for opls funtionr r forln ndnfor (Eulrs ligning) n af d vigtigst forlr (fatis n af d vigtigst forlr i dn atatis analys ovrhovdt). Hvis z x i y r t opls tal, hvor x og y r rll, gældr dr nlig: z x iy x iy x (5.6) (cos y isin y) Vi r (naturligvis) un intrssrt i dn rll dl af løsningn til diffrntialligningn (5.4). zt Vi ærr ndvidr, at da vi fortog sustitutionn x, unn vi lig så go hav srvt zti x A. Hrd får vi to intgrationsonstantr A og. Sættr vi ndvidr 4c an vi sriv løsningn til diffrntialligningn (5.4) på følgnd for t ( (5.7) x t) A cos( t ) Man sr, at løsningn r n haronis svingning d n aplitud, dr aftagr sponntilt d tidn. Dtt alds n dæpt haronis svingning. Indsætts d oprindlig værdir for og c og c, hvor r visosittsofficintn i ligningn: F gn = -α v og r "fjdronstantn", findr an uryt: so indsat givr: 4 t (5.8) x( t) A cos( t ) 4 Forudsætningn for dnn løsning r, at dt so står undr vadratrodstgnt r positivt. I odsat fald, (disriinantn d ovnfor r ngativ), vil dr aldrig o n svingning i gang, n udsvingt vil nær sig sponntilt til ligvægtsstillingn. Man ærr i øvrigt, at når =, går løsningn ovr i dt tidligr ury for n haronis svingning: 5. Traditionl løsning af diffrntialligningn (5.9) x So tidligr osrivr vi ligningn for at få t r gnrlt ury:

5 c x, hvor og c Diffrntialligningn an dog også løss på traditionl vis, n todrn r li forsllig. Dn anvn tod hr, r i faili d dn, dr rugs, når an løsr 1. ordns diffrntialligning. Man indførr n hjælpfuntion til at osriv diffrntialligningn til én, so vi an løs, nlig diffrntialligningn for dn haronis svingning : d y d y d y (5.1) y y y, so har løsningn: (5.11) y Acos t. For at opnå dtt, sr vi på følgnd diffrntialligning, hvor vi har sat y = x t. t d ( x ) t (5.1) x Forålt r, at ofor dnn ligning til dn oprindlig ligning c x passnd valg af onstantrn β og. Vi udrgnr drfor: vd t d ( x t ) d ( t x t ) t t t x t Vi tilføjr lddt d ( x t x t ) t t x t, og sættr rsultatt lig d nul. t d ( x ) t (5.13) x t t x t x t Ligningn rducrs vd division d t. (5.14) ( ) Dtt sanligns da d dn oprindlig diffrntialligning:

6 (5.15) c x Man sr at d to diffrntialligningr r idntis, hvis og un hvis: og c c. 4 4 Vi an iidlrtid løs (5.13) dirt. Hvis vi nlig sættr forn: d y d y (5.16) y y y x t, r diffrntialligningn af Diffrntialligningn (5.16) løsningn: y Acos( t ), så vi findr t t (5.17) y x Acos( t ) x A cos( t ) Tilagførr vi nu fra oprindlig diffrntialligning, hvor and fås: 4. t (5.18) x( t) A cos( t ) 4 Vi findr altså dn sa løsning, so vi fan vd hjælp af opls tal, d n sponntilt aftagnd aplitud Ndnfor r vist n grafn for n nuris løsning af diffrntialligningn x For dn sponntilt dæpd haronis svingning, og hvor dn sponntill indhyldningsurv også r tgnt.

7 Dæpd haronis svingningr finds ovralt i naturn, og uryt (5.14) gnfindr an drfor oft til srivls af sådann svingningr. 6. Tvungn haronis svingning udn dæpning Vi tragtr n tvungn svingning udn dæpning, hvor assn forudn fjdrraftn, (so opfyldr Hoos lov), r påvirt af n ydr tidsafhængig raft. Rsultatrn an dirt ovrførs til n ltris svingningsrds n n spol og n apacitor, so r pålagt n vslspænding. F rs x F ydr (6.1) x F ydr ( t) x F ydr ( t) Vi vil antag, at dn ydr raft varirr haronis. F ydr ( t) f it. Løsningn til diffrntialligningn ovnfor r (so n) n partiulær løsning til dn inhoogn ligning plus dn fuldstændig løsning til dn hoogn ligning:

8 (6.) x so har løsningn: x Acos( t ), hvor Da diffrntialligningn x f it f x it r af. ordn d onstant officintr, an vi st n partiulær løsning so: (hvor ω r dn påtryt frvns), so indsat givr: x A it (6.3) f it it it A A, so løss d hnsyn til A til at giv: f A Dn fuldstændig løsning til diffrntialligningn, an hrftr srivs, so dn partiulær løsning plus dn fuldstændig løsning til dn hoogn ligning f (6.4) x A cos( t ) cos( t) Srivr vi dtt so: x = A cos(ω t+φ)+ B cos(ωt), an vi i tilfældt, hvor A = B anvnd dn først af d logaritis forlr for addition af to cos-funtionr: u v u v cosu cosv cos cos og u v u v cosu cosv sin sin (6.5) x Acos( t ½)cos( t ½) Systt vil altså udfør svingningr d frvnsn og d n aplitud A cos( t ½), dr afhængr af tidn, siftnd ll værdirn -A og A. Fænont alds for svævningr, so især r n for lydølgr.

9 I alindlighd r d to aplitudr A og B, naturligvis i lig d hinandn, n dt ændrr un li på rsultatt, idt an for to tal A og B, altid an st tal C og D, sålds, at A = C+D og B = C - D, og løs for C og D: A B A B C og D Så løsningn (6.4) an srivs A cos(ω t+φ)+ B cos(ωt)=(c+d)cos (ω t+φ)+ (C-D) cos(ωt)= C cos (ω t+φ)+ C cos(ωt)+ D cos (ω t+φ)- D cos(ωt) Hrftr an løsningn osrivs til: (6.6) x C cos( t ½)cos( t ½) Dsin( t ½ )sin( t ½) Rsultatt r sålds to svævningr, d sa frvns, n, hvor aplitudn r ud af fas. Dtt vansliggør n sprintl stls af frvnsn i svævningrn. En dæpt haronis svingning an i princippt handls på hlt sa åd, n dt r indr intrssant, da dæpningslddt vil forsvind ftr n vis tid (afhængig af dæpningn), og an drfor i ftr t sty tid, vil osrvr d svævningsfænonr, dr r srvt ovnfor.