Oversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger

Transkript

1 Kursus Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark rhbc@dtu.dk Oversigt 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Oversigt Intro Nogle anvendte fordelinger Intro 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) (Både kontinuerte og diskerete) Diskrete: Binomial fordelingen Den hypergeometriske fordeling Poisson fordelingen Kontinuerte: Normal fordelingen Log-Normal fordelingen Uniform fordelingen Eksponential fordelingen Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

2 Oversigt Eksponential fordelingen Eksponential fordelingen Eksponential fordelingen 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) I bogen: { 1 f(x) = β e x/β x > 0, β > 0 0 ellers I R: { λe xλ x > 0, λ > 0 f(x) = 0 ellers hvor λ = 1/β. En stokastisk variabel X der følger en eksponential fordeling skrives som: X Exp(β) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksponential fordelingen Eksponentialfordelingen Eksponential fordelingen Sammenhæng mellem Eksponential og Poisson fordelingen Eksponential fordelingen er et special tilfælde af Gamma fordelingen Eksponential fordelingen anvendes f.eks. til at beskrive levetider og ventetider Eksponential fordelingen kan bruges til at beskrive (vente)tiden mellem hændelser i poisson fordelingen Middelværdi µ = β Varians σ 2 = β 2 Poisson: Diskrete hændelser pr. enhed Eksponential: Kontinuert afstand mellem hændelser t 1 t 2 tid t Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

3 Eksponential fordelingen Eksponential fordelingen Eksponential fordeling med β= EXP(1) Eksponential fordelingen middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Hvad er sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter? Taethed, f(x) x Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 - løsning Eksponential fordelingen Eksponential fordelingen exp(2) middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Hvad er sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter? Stokastisk variabel: X = ventetid [min] µ X = 2 β = 2; X Exp(β = 2) Find: P (ventetiden > 2min) = P (X > 2) = 1 P (X < 2) tæthed x Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

4 Eksponential fordelingen - løsning i hånden - løsning i R Eksponential fordelingen Find: P (ventetiden > 2 min) = P (X > 2) = 1 P (X < 2), hvor X Exp(2) I hånden: P (X > 2) = 1 P (X < 2) = f(x) dx = 1 0 β e x/β dx = e x/2 dx = 1 [ e x/2 ] 2 0 = 1 ( e 1 + e 0 ) = e Find: P (ventetiden > 2 min) = P (X > 2) = 1 P (X < 2), hvor X Exp(2) 1 - pexp(q = 2, rate = 1/2) ## [1] pexp(q = 2, rate = 1/2, lower.tail = FALSE) ## [1] exp(-1) ## [1] Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

5 Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid 2 Hvad er 2 min (Poisson) intensiteten, når ventetiden er 2 min i gennemsnit? Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid 2 Hvad er 2 min (Poisson) intensiteten, når ventetiden er 2 min i gennemsnit? I gennemsnit 1 besøg pr. 2 min λ 2min = 1. Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid 2 Hvad er 2 min (Poisson) intensiteten, når ventetiden er 2 min i gennemsnit? I gennemsnit 1 besøg pr. 2 min λ 2min = 1. 3 Find P (X = 0), hvor X Pois(λ 2min = 1): Eksempel 2 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 2 middelværdi µ = 2 minutter. En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. Poissonfordelingen 1 X = antal kunder pr. tid 2 Hvad er 2 min (Poisson) intensiteten, når ventetiden er 2 min i gennemsnit? I gennemsnit 1 besøg pr. 2 min λ 2min = 1. 3 Find P (X = 0), hvor X Pois(λ 2min = 1): P (X = 0) = λx e λ x! = 10 e 1 0! = e Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

6 Eksempel 2 - løsning i R Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 Eksponential fordelingen Eksempel 3 Find P (X = 0), hvor X Pois(λ 2min = 1): dpois(x = 0, lambda = 1) middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen ## [1] Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 3 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 3 middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen 1 Når 2 min. intensiteten er 1, hvad er så 10 min. intensiteten? Eksempel 3 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 3 middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen 1 Når 2 min. intensiteten er 1, hvad er så 10 min. intensiteten? I gennemsnit 5 besøg pr. 10 min. λ 10min = 5 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

7 Eksempel 3 - løsning Eksponential fordelingen Eksempel 3 Oversigt Regneregler for stokastiske variable middelværdi µ = 2 minutter. Vi betragter nu en periode på 10 minutter Beregn sandynligheden for at der ikke kommer nogen kunder i perioden vha. Poissonfordelingen 1 Når 2 min. intensiteten er 1, hvad er så 10 min. intensiteten? I gennemsnit 5 besøg pr. 10 min. λ 10min = 5 2 Find: P (X = 0), hvor X Pois(λ 10min = 5): P (X = 0) = λx e λ x! = 50 e 5 0! = e Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Regneregler for stokastiske variable Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. (Gælder BÅDE kontinuert og diskret) Vi antager at a og b er konstanter, at X er en stokastisk variabel og at Y = ax + b. Vi er nu interesserede i at finde E(Y ) og V ar(y ). Da gælder nu at Beregn middelværdi og varians for Y = 3X + 2 E(Y ) = E(aX + b) = ae(x) + b V ar(y ) = V ar(ax + b) = a 2 V ar(x) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

8 Eksempel 4 - løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 4 - løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. Beregn middelværdi og varians for Y = 3X Vi kender altså E(X) = 4 og V ar(x) = 6 samt Y = ax + b, hvor a = 3 og b = 2. En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. Beregn middelværdi og varians for Y = 3X Vi kender altså E(X) = 4 og V ar(x) = 6 samt Y = ax + b, hvor a = 3 og b = 2. 2 Find nu E(Y ) og V ar(y ): E(Y ) = ae(x) + b = ( 3)4 + 2 = 10 V ar(y ) = a 2 V ar(x) = ( 3) 2 6 = 59 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 5 Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Følgende linear kombinationer gælder: E(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) a n E(X n ) Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet V ar(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 2 1V ar(x 1 ) a 2 nv ar(x n ) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

9 Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? Y : Totalvægten af passagerer i kg. Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? Y : Totalvægten af passagerer i kg. 2 Hvilken sandsynlighed er vi interesseret i? 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? Y : Totalvægten af passagerer i kg. 2 Hvilken sandsynlighed er vi interesseret i? P (Y > 4000) = 1 P ( Z < 4000 µ Y σ Y ), Z N(0, 1 2 ) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

10 Eksempel 5 løsning Vægten af passagerer på en flystrækning antages normalfordelt X N(70, 10 2 ). Eksempel 5 løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet 1 Hvilken stokastisk variabel er vi intereseret? Y : Totalvægten af passagerer i kg. 2 Hvilken sandsynlighed er vi interesseret i? P (Y > 4000) = 1 P ( Z < 4000 µ Y σ Y ), Z N(0, 1 2 ) 3 Vores opgave er nu: Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 5 løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Eksempel 5 løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) FORKERT! 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

11 Eksempel 5 løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) FORKERT! 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Option 2: Derfor: E(Y ) = 1E(X 1 ) + 1E(X 2 ) E(X 55 ) = 55 i=1 1E(X i ) = = 3850 V ar(y ) = 1 2 V ar(x 1 ) V ar(x 2 ) V ar(x 55 ) 55 = V ar(x i ) = = 5500 i=1 P (Y > 4000) = 1 P ( ) Eksempel 5 - FORKERT løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 5 - FORKERT løsning Find µ Y = E(Y ) og σ Y = V ar(y ), men hvad er Y? 1 Y = 55X, hvor X N(70, 10 2 ) FORKERT! 2 Y = X 1 + X X 55, hvor X 1,..., X 55 N(70, 10 2 ) Option 1: FORKERT! Derfor: E(Y ) = 55E(X) = = 3850 V ar(y ) = 55 2 V ar(x) = = P (Y > 4000) = 1 P Stor overvurdering af variansen! ( ) Eksempel 5 i R Korrekt løsning (option 2): 1 - pnorm(( )/sqrt(5500)) ## [1] ## eller: 1 - pnorm(q = 4000, mean = 3850, sd = sqrt(5500)) ## [1] Forkert løsning (option 1): 1 - pnorm(( )/550) ## [1] ## eller pnorm(q = 4000, mean = 3850, sd = 550, lower.tail = FALSE) ## [1] Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

12 Eksempel 6 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. Eksempel 6 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. 1 Hvilken stokastisk variabel er vi interesseret i? Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 6 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. 1 Hvilken stokastisk variabel er vi interesseret i? Fortjenesten: Y = 120kr/passager X passagerer = 120X [kr] Eksempel 6 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. 1 Hvilken stokastisk variabel er vi interesseret i? Fortjenesten: Y = 120kr/passager X passagerer = 120X [kr] 2 Derfor: E(Y ) =120 E(X) = = V ar(y ) =120 2 V ar(x) = = Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

13 Eksempel 6 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 6 En færge medtager X passagerer. Det oplyses, at E[X] = 400 og V ar[x] = 40 2 og at X er normalfordelt. Færgeselskabet har en fortjeneste på 120 kr. pr. passager Beregn middelværdi og varians for færgeselskabets fortjeneste, og beregn sandsynligheden for at fortjenesten vil overstige kr. 1 Hvilken stokastisk variabel er vi interesseret i? Fortjenesten: Y = 120kr/passager X passagerer = 120X [kr] 2 Derfor: Eksempel 7 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? E(Y ) =120 E(X) = = V ar(y ) =120 2 V ar(x) = = Sandsynligheden for Y > : P (Y > ) = 1 P ( Z < ) % Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? Omsætning af ord til matematik: Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? Omsætning af ord til matematik: 1 Hvilken fordeling følger antal sten pr. 10m 3? 2 Hvor mange sten ville jeg forvente (i gennemsnit) i 10m 3? Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

14 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? Omsætning af ord til matematik: 1 Hvilken fordeling følger antal sten pr. 10m 3? Poisson fordeling 2 Hvor mange sten ville jeg forvente (i gennemsnit) i 10m 3? Jeg forventer sten m 1 = 5 sten 10m 3 λ 10m 3 = 5 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Antag, at du vil købe noget sand, da du vil lave en ny indkørsel til dit hus. Det er specielt vigtigt for dig, at der ikke er sten blandet i sandet. Producenten lover, at der i gennemsnit kun er 0.5 sten pr. m 3. Du køber nu 10 m 3 sand og erfarer, at der er 11 sten i blandingen. Føler du dig snydt af producentens løfte om at der kun er 0.5 sten pr. m 3? Omsætning af ord til matematik: 1 Hvilken fordeling følger antal sten pr. 10m 3? Poisson fordeling 2 Hvor mange sten ville jeg forvente (i gennemsnit) i 10m 3? Jeg forventer sten m 1 = 5 sten λ 10m 3 10m 3 = 5 Altså: Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5). Føler jeg mig snydt? 1 Er 11 sten meget mere end de gennemsnitlige 5 sten pr. 10m 3? 2 Hvor (u)sandsynligt er det at observere X 11, hvis producenten har ret? Hvis denne sandsynlighed er lille, så har jeg grund til at betvivle producentens påstand! Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5). Føler jeg mig snydt? 1 Er 11 sten meget mere end de gennemsnitlige 5 sten pr. 10m 3? 2 Hvor (u)sandsynligt er det at observere X 11, hvis producenten har ret? Hvis denne sandsynlighed er lille, så har jeg grund til at betvivle producentens påstand! Løsning: P (X 11) = 1 P (X 10), X Pois(λ 10m 3 = 5) 1.37% Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

15 Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5). Føler jeg mig snydt? 1 Er 11 sten meget mere end de gennemsnitlige 5 sten pr. 10m 3? 2 Hvor (u)sandsynligt er det at observere X 11, hvis producenten har ret? Hvis denne sandsynlighed er lille, så har jeg grund til at betvivle producentens påstand! Løsning: P (X 11) = 1 P (X 10), X Pois(λ 10m 3 = 5) 1.37% Jeg føler mig snydt! Eksempel 7 løsning Regneregler for stokastiske variable Eksempel 7 Producenten hævder at X Pois(λ 10m 3 = 5). Føler jeg mig snydt? 1 Er 11 sten meget mere end de gennemsnitlige 5 sten pr. 10m 3? 2 Hvor (u)sandsynligt er det at observere X 11, hvis producenten har ret? Hvis denne sandsynlighed er lille, så har jeg grund til at betvivle producentens påstand! Løsning: P (X 11) = 1 P (X 10), X Pois(λ 10m 3 = 5) 1.37% Jeg føler mig snydt! I R: 1 - ppois(q = 10, lambda = 5) ## [1] Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Oversigt Transformationer Transformationer Transformationer 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Såfremt data afviger fra at være normal fordelt, kan man ofte med fordel transformere data, således at de transformerede data kan antages at være normal fordelt. Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

16 Transformationer - Før Transformationer Transformationer - Efter Transformationer Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Transformationer Hyppigt anvendte transformationer Transformationer Transformationer Gør store værdier mindre: log e x eller log 10 x x 1 x x 1/4 Gør store værdier større: x 2 x 3 Ofte vil man udføre statistiske analyser på de transformerede data, såfremt det viser sig, at de transformerede data er pænere, f.eks. mere symmetriske. Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

17 Normalplot Normalplot Oversigt Normalplot 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer Man kan kontrollere/undersøg om data ser ud til at være normalfordelt: Plotte histogram Lave box plots Lave et normalplot: En direkte sammenligning med normalfordelingen 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Normalplot Normalplot eksempel fra bogen Normalplot med R Normalplot Er data normalfordelte? Data: 67, 48, 76, 81 Plot fraktiler i normalfordelingen versus de ordnede data. Ligger observationerne på en ret linje? ## Bogens normalplot: x <- c(67, 48, 76, 81) n <- length(x) i <- 1:n p_i <- i/(n + 1) plot(qnorm(p_i), sort(x)) sort(x) qnorm(p_i) Er data normalfordelte? R bruger en lidt anden definition af p i qqnorm(x) ## R bruger: p_i <- (i - 1/2)/n # n >= 11 p_i <- (i - 3/8)/(n + 1/4) # n <= 10 q_i <- qnorm(p_i) points(q_i, sort(x), col = "blue", cex = 2) Sample Quantiles Normal Q Q Plot Theoretical Quantiles Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47

18 Oversigt R (R Note afsnit 5 ) R (R note 5) R (R Note afsnit 5 ) 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) R Betegnelse norm Normalfordelingen unif Den uniforme fordeling lnorm Log-normalfordelingen exp Exponentialfordelingen d Tæthedsfunktion f(x) (density/probability distribution). p Fordelingsfunktion F (x) (cumulative distribution function). q Fraktil (quantile) i fordeling. r Tilfældige tal fra fordelingen (Forelæsning 10). Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47 R (R Note afsnit 5 ) Oversigt 1 Intro 2 Eksponential fordelingen Eksempel 2 Eksempel 3 3 Regneregler for stokastiske variable Eksempel 4 Eksempel 5 Eksempel 6 Eksempel 7 4 Transformationer 5 Normalplot 6 R (R Note afsnit 5 ) Rune H B Christensen (rhbc@dtu.dk) Introduktion til Statistik, Forelæsning 4 Foråret / 47