Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS

Transkript

1 Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN DYNAMISK OLIGOPOL MODEL: STATISK LIGEVÆGT SAMARBEJDE MELLEM VIRKSOMHEDER BEDSTE AFVIGELSE NASH-TRUSLER: UDLEDNING AF FORSINKELSE I OPDAGELSEN USIKKER OPDAGELSE V V VIII X XII XIII XIX XXI XXIII XXIV Bilag I The Prisoner s Dilemma Introduktion The Prisoner s Dilemma er en velkendte teori fra industriøkonomien. I bund og grund beskriver den det dilemma to fanger havde i forbindelse med om de skulle vidne mod den anden. Hvis den første fange vidne mod den anden, vil den anden fange få en længere straf end hvis der ikke var vidnet mod ham. Hvis de begge vidnede mod hinanden vil de begge få en længere straf, men de vil være med til at dele den længere straf, hvorfor straffen vil være relativ mildere, end hvor kun én vidnede. Hvor ingen vidnede vil straffen være kort begrundet i politiets manglende bevismateriale. ~ i ~

2 Som følge heraf vil deres bedste udfald være, at ingen af dem vidne mod hinanden. Men hvor fangerne ikke har mulighed for at kommunikere med hinanden vil Nashligevægten være at begge fanger vidnede mod hinanden. Dette skyldes, at valget at vidne er det bedste valg ud fra situationen, om at den andens adfærd ikke kendes. Hvis fange A valgte ikke at vidne, og fange B valgte at vidne, vil fange A være stillet ringere end hvis fange A havde valgt at vidne. Der er selvfølgelig muligheden for at fange B ikke vidner, men en sådan adfærd kan kun påvirke fange A positivt. Da adfærden er uvis, vil fange A vælge at vidne, da fange B s adfærd dermed ikke kan påvirke fange A negativt. Opsummeret siger The Prisoner s Dilemma, at viden om hinandens adfærd er afgørende for, om en aftale eller stiltiende aftale kan dannes. Desuden viser teorien, at hvis der kun mødes en gang, er det et stort incitatment til ikke danne en aftale. Eksempelvis vil den ene fange have et stor incitament til at vidne, da risikoen for at den anden fange vidner (og dermed afviger) er for betydelig i forhold til den korte horisont (der kan ikke opnås en mildere straf senere, idet der så allerede er vidnet) I relation til samordnet praksis The Prisoner s Dilemma kan samtidig føres over til samordnet praksis ved at betragte en situation med to virksomheder. 1 Som det ses i figur 1 nedenfor vil det bedste udfald for virksomhederne ligge i en samordnet praksis, men som med ovenstående situation kræver det, at virksomhederne kan kommunikere med hinanden. Dermed er Nash-ligevægten, at begge virksomheder afviger. Derfor vil virksomhederne hvor de kun mødes én gang ikke samordne, idet konsekvensen af at modparten afviger er for betydelig. Hvor virksomhederne derimod mødes flere gange og samtidig har mulighed for at kommunikere (eksempelvis gennem prissignalering i disse flere gange) vil virksomhederne kunne opnå en højere profit (samordningsprofitten), hvilket dermed skader forbrugerne. Dette viser tydeligt den konsekvens kommunikation mellem virksomheder kan have. 1 Moddellen kan selvfølgelig udvises til flere virksomheder, men så mister illustrationen sin simplicitet. ~ ii ~

3 Bilag II Gennemsigtighedens betydning Figuren nedenunder viser betydningen af en øget gennemsigtighed grafisk. I figuren viser π N profitten ved almindelig konkurrence, π C profitten ved en samordnet praksis og π D viser profitten ved at afvige (for en virksomhed). Den almindelige linje viser det normale forløb ved en afvigelse, hvor forløbet bygger på forudsætningerne i sektion 3. Den stiplede linjer viser konsekvensen af en øget markedsgennemsigtighed. Som det kan det ses påvirkes forløbet på forskellige punkter. Allerførst påvirkes afvigelsesperioden, således at de øvrige virksomheder opdager en afvigelses tidligere. Modsat opnår den afvigende virksomhed en større profit pr. periode, idet flere forbrugere bliver opmærksomme på afvigelsen, og dermed skifter leverandør. Dernæst påvirkes perioden efter afvigelsen, således at virksomheden får det laveste af de mulige profitter i længere periode hvilket åbenlyst hænger sammen den førnævnte konsekvens. Samtidig er det ikke usandsynligt at profitten vil være lavere end normalt efter afvigelsesperioden, idet dette kan være et punkt i straffen (samtidig illustrerer det den konsekvens en afvigelse kan have). Dog skal det bemærkes, at profitten ligeså vel kunne have været ens. ~ iii ~

4 En øget markedsgennemsigtighed kan derfor påvirke samordnet praksis betydeligt, idet det kan være med til at fremme eller modsat besværliggøre samordnet parksis. Hvilken konsekvens der dominerer, vil afhænge af de to område A og B. Hvis A bliver størst, vil en øget markedsgennemsigtighed besværliggøre samordnet praksis og omvendt. Derfor afhænger resultatet af den ekstra profit en øget markedsgennemsigtighed medfører i afvigelsesperioden, hvor meget kortere afvigelsesperioden bliver, og om profitten evt. vil blive mindre efter afvigelsesprofitten og i så fald hvor meget. Dog viser figuren tydeligt, hvorledes en øget markedsgennemsigtighed påvirker samordnet praksis. ~ iv ~

5 Matematisk appendiks Generelt Det matematiske appendiks viser udledninger til modellen i sektion 2, hvor udledningerne er delt op i sektioner svarende til sektionerne i sektion 2. De nummererede matematiske udtryk er de udtryk, der er anført i sektion 3. Tilbagediskonteringsfaktoren Den samlede tilbagediskonteret værdi ved at samarbejde er en udledning af formlen for den uendelige række af profitter, hvor værdien er 1 det første år, hvorefter den vokser med renten (tilbagediskonteringsfaktoren) i n perioder Ved at indsætte den profit, som opnås ved at en samordnet praksis findes den samlede tilbagediskonteret værdi Den forventede tilbagediskonterede værdi ved at afvige udgøres af afvigelsesprofitten i afvigelsesperioden, samt den samlede tilbagediskonteret profit ved ikke at have en samordnet praksis fra perioden efter. Dermed er værdien givet ved 1. ( ( ) ~ v ~

6 2. Hvis en samordnet praksis skal holde, skal den samlede værdien for at samordne være større end den samlede værdien ved at afvige 3. Hermed kan kravet til diskonteringsfaktoren udledes ( ) 4. Hvor er straffen for at afvige fra den samordnet praksis, og er gevinsten ved at afvige fra den samordnet praksis, og δ(φ) er den krævende diskonteringsfaktor for at opretholde en samordning. For at se hvorvidt eventuelle ændringer i markedsgennemsigtigheden påvirker konkurrencen på markedet, differentieres ovenstående udtryk med hensyn til ~ vi ~

7 [ ] [ ] ( ) Idet nævneren vil pr. definition vil være positiv, kan nævneren fjernes og udtrykket kan omskriver til { } { [ ] [ ]} [ ] [ ] Det kan således udledes, at [ ] [ ] Dermed gælder, at 5. ~ vii ~

8 Sammenhæng mellem diskonteringsfaktoren (δ) og markedsgennemsigtigheden er givet ved den krævede diskonteringsfaktor er stigende (aftagende) i markedsgennemsigtighed, hvis gevinsten ved at afvige er mere (mindre) sensitiv overfor ændring i markedsgennemsigtigheden end straffen for at afvige. Dynamisk oligopol model: Den specifikke inverse efterspørgselsfunktion (svarende til ligning 6) i opgaveteksten i sektion 2.1.4, følger af den simple lineære inverse efterspørgselsfunktion, der antages givet ved Hvor α > 0 og β > γ 0. Ved invetering findes den direkte efterspørgselsfunktion for en virksomhed (virksomhed i og virksomhed j). Idet findes at Og på grund af symmetrien i modellen, at Ved indsættelse følger ~ viii ~

9 ( ) ( ) Da det gælder, at Videre findes, at Det giver den direkte efterspørgselsfunktion, som funktion af de priser, der svare til ligning 7 i opgaveteksten. De specifikke udtryk i ligning 6 og 7 i opgaveteksten findes, idet det antages, at for det første at β + γ = 1, og for det andet at γ = βφ, hvor φ ϵ ]0,1[. Det følger af at og. For tredje er α 1 blot en normalisering. Således findes ved indsættelse ~ ix ~

10 6. Og 7. Den samlede markedsefterspørgsel findes, idet = ( ) 8. Statisk ligevægt Maksimeringsproblemet for virksomhed i kan opskrives som 9. 2 Hvorved reaktionsfunktionen, svarende til ligning 10 i opgaveteksten, for virksomhed i findes som 2 FOC = First Ordre Condition. ~ x ~

11 10. Ligevægtspriser symmetri) som findes ud fra de to reaktionsfunktioner (idet der 11. I iden symmetriske ligevægt gælder ligeledes, hvilket betyder, at Af ovenstående følger ligevægtsprofitterne som 12. ~ xi ~

12 Samarbejde mellem virksomheder Hvor to virksomheder danner en samordnet praksis, sætter de identiske priser, der maksimerer den samlede profit på markedet { } 13. { } Hvorved førsteordensbetingelsen for virksomhed i findes som Grundet symmetrien er det samme gældende for virksomhed j Ved indsættelses findes dermed 14. Idet virksomhederne sætter identiske priser, findes via ligning 7, at, og det følger umiddelbart heraf, at ~ xii ~

13 15. Bedste afvigelse Hvor virksomhed i forventer, at virksomhed j sætter samarbejdsprisen virksomhed i have et incitament til at sætte en lavere pris og dermed tage markedsandele fra virksomhed j. Forudsat at virksomhed i kan tage hele markedet, og alle køber kun vil købe til den laveste pris, vil det være givet, at, samt at det findes ud fra ligning 6, at, hvoraf det følger at, vil Ovenstående ligning vil være virksomhed i s efterspørgsel, hvis Dvs. hvis ~ xiii ~

14 16. Virksomhed i s efterspørgsel givet, falder til nul, hvis, dvs. hvis 17. Opsummeret kan virksomheds i s efterspørgsel som en funktion af, givet, som ~ xiv ~

15 19. { Ovenstående opsummering kan herefter bruges til at finde virksomhed i s payoff funktion. Det er umiddelbart klart ud fra ovenstående, at aldrig kan være en bedste reaktion, da virksomheden altid vil have incitament til at sætte en lavere pris og dermed undgå et fald i markedsandelen. Optima i intervallerne [ ] og [ ] står hermed tilbage at blive sammenlignet. Idet betegner bedste svar til samarbejdsprisen givet vil virksomhed i s efterspørgsel ud fra ligning 19 være givet ved Den ubetingede løsning findes ved at maksimere virksomhed i s profit. Dvs. ( ) Førsteordens betingelse findes som Den betingede løsning udledes idet ] [ ~ xv ~

16 Samt Herefter isoleres Da det gælder ~ xvi ~

17 Da ] [ findes løsningen som. Dermed er mest optimal for virksomhed i, hvor. Virksomhed i s efterspørgsel er givet ved Den ubetingede løsning findes ved at maksimere virksomhed i s profit. Dvs. () Førsteordens betingelse findes som Da findes den betingede løsning som Sammenfattende gælder det, at det bedste svar for virksomhed i er givet ved for og for. For findes at. Opsummeret vil det sige, at 20. { Det gælder såleds, at for og for. Tilhørende payoff findes idet ( ) Dermed gælder det, at. ~ xvii ~

18 ( ) ( ) ( ) For findes ( ) og tilhørende payoff findes som ~ xviii ~

19 Opsummeret er virksomhed i s payoff givet ved { 21. Hvoraf det følger, at π D (φ) ½ for φ 1 og π D (φ) ¼ for φ 0 Nash-trusler: En perfekt samordnet praksis kan opretholdes, hvis ligning 4 er opfyldt. Idet det gælder, at og findes Det fremgår, at ( ( )) ( ) ] [ 22. Idet for findes Mens hvis, hvor det således findes, at ~ xix ~

20 Ovenstående kan summeres i følgende udtryk 23. { Videre findes det for, at ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mens det for findes, at ~ xx ~

21 Opsummeret gælder det således, at ] [ 24. { ] [ Udledning af kan udeledes fra udtrykket i ligning 5. Først betragtes tilfældet hvor gælder jf. ligning 24, at. Det ( ) ( ) Og tilsvarende findes ud fra ligning 22, at Det betyder jf. ligning 5, at ( ) ( ) Betragtes anden del af udtrykket isoleret, findes Da findes, jf. ovenstående, for. Det betyder, at δ er stigende i i intervallet ] [. Hvor situationen betragtes, kan det udledes af ligning 24, at ~ xxi ~

22 Da ( ) er uændret i forhold til ovenstående gælder det, at Betragtes igen anden del af udtrykket isoleret, findes Løsningen til findes som Da findes Det betyder jf. ovenstående, og udtrykket i ligning 5, at Det betyder sammenfattende, at δ er stigende i for, opnår sit maksimum for og er aftagende for, hvor er givet ved. ~ xxii ~

23 Forsinkelse i opdagelsen Udledningerne her på virksomhedssiden har det samme udgangspunkt som ved forbrugersiden, hvorfor virksomhederne ved at samordne kan opnå en profit 25. Afvigelsesprofitten vil være den samme med den forskel, att tidsperioden er ikkestatisk. Dermed opnås der en profit givet ved 26. Mellemregningerne er de samme som ovenover, hvorfor der henvises dertil for uddybning. Dermed kommer man frem til et forkortet udtryk ved ( ) 27. Igen kræves det at profitten ved en samordnet praksis er større eller lig med afvigelsesprofitten, hvilket kan udtrykkes ved ( ) 28. Igen kan kravet til diskonteringsfaktoren udledes, hvilket sker på samme måde som ovenover, hvorfor der henvises dertil for uddybning. Kravet til diskonteringsfaktoren kan dermed udledes til 29. Det ses at ligningen er stort set det samme som ligning 4, hvor eneste forskel er kvadratroden. Derfor er T(φ) og D(φ) også det samme udtryk som i ligning 4. Forskellen ligger dog ved, at tidsperioden påvirkes, hvilket betyder, at en større periode forøger kravet til diskonteringsfaktoren. ~ xxiii ~

24 Usikker opdagelse Igen vil virksomhederne kunne få den samme profit ved samordne, der er givet ved Igen er det afvigelsesprofitten der påvirkes. Den påvirkes således, at virksomheden opnår afvigelsesprofitten, men i stedet for at gå tilbage prisen under normal konkurrencen med sikkerhed, er det muligt at vende tilbage til prisen under samordnet praksis, hvis afvigelsen ikke opdages. Med andre ord er det ikke sikkert at virksomheden ved en afvigelse bliver straffet. Dermed vil afvigelsesprofitten være givet ved ( ) 30. Og igen kræves det at profitten ved en samordnet praksis er større eller lig med afvigelsesprofitten, hvilket kan udtrykkes ved ( ) 28. Dermed kan kravet til diskonteringsfaktoren udledes, hvilket sker på samme måde som ovenover, hvorfor der henvises dertil for uddybning. Kravet til diskonteringsfaktoren kan dermed udledes til ( ) 31. Det ses, at δ(ω) er aftagende i ω. Det kan derfor konkluderes, at en højere gennemsigtighed på virksomhedssiden, der resulterer i en lavere usikkerhed i opdagelsen, er med til styrke en samordning. ~ xxiv ~