Det skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Det skrå kåst. Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse"

Transkript

1 Det skrå kåst Af Allan Tobias Langhoff, Nikolaj Egholk Jakobsen og Suayb Köse 19/

2 Matematik Opstil stedfunktionen s x (t) og s y (t) for den lodrette og den vandrette bevægelse, som funktion af tiden t. Når vi skal opstille stedfunktionen for den lodrette og vandrette bevægelse, bliver vi nødt til at tage udgangspunkt i noget. Vi tager derfor udgangspunkt i følgende formel fra fysikkens verden: For at opstille stedfunktionen for s x (t) skal vi multiplicere med den vinkel som kuglen bliver skudt af sted med. Dermed har vi den ene halvdel af stedfunktionen. Den anden halvdel, s y (t), findes på samme måde, dog med den ændring, at vi skal tage højde for tyngdeaccelerationen, da kuglen vil blive påvirket af dette. Dvs. at vores stedfunktion for den lodrette og vandrette bevægelse ser således ud: ( ) Vis at bevægelsen er en parabel ved at eliminere t i de to formler for x og y. Når vi skal vise at bevægelsen er en parabel, skal vi som angivet eliminere t i de to formler. Det gøres først ved at isolere t i formlen for x: Derefter indsætter vi t i formlen for y: Dermed har vi udledt en forskrift for en parabel, men da vi ikke kan være 100 % sikre på at bevægelsen danner en parabel, angiver vi V 0 til en værdi på 20 m/s og vinklen v til 45ᵒ. Vi kender allerede g, da dette er tyngdeaccelerationen, som har en værdi på 9,82 m/s 2. Derefter indsætter vi i Geogebra: 1

3 ( ) ( ) Dvs. at ud fra vores udledte forskrift og tegning fra Geogebra kan vi se, at bevægelsen er en parabel. Differentier udtrykkene så i finder hastighedsfunktionerne og en gang til så i finder accelerationsfunktionerne. Når vi skal differentiere hastighedsfunktionerne og accelerationsfunktionerne for udtrykkene er det ikke lige meget i hvilken rækkefølge. Vi bliver nødt til at differentiere hastighedsfunktionerne først, således at vi kan differentiere dette resultat, så vi får accelerationsfunktionerne. Hastighedsfunktionerne: Accelerationsfunktionerne: ( ) ( ) ( ) 2

4 ( Dvs. at hastighedsfunktionerne er ( ) accelerationsfunktionerne er ( ). ), mens Brug dette til at finde udtrykkene for maksimal stighøjde (Y max ) og maksimal kastelængde (X max ): og Til at finde udtrykkene for maksimal stighøjde og maksimal kastelængde, skal vi gøre t afhængig af de tre andre variabler. Det kan bedst gøres ved at sætte hastighedsfunktionen for y lig med 0: Det gør at vi nu kan isolere t: Derefter sætter vi vores t ind i stedfunktionen for y, hvorefter vi kan forkorte indtil vi har udledt udtrykket for maksimal stighøjde. 3

5 Herefter kan vi gå videre til at udlede udtrykket for maksimal kastelængde. Vi skal ligesom maksimal stighøjde gøre t afhængig af de tre andre variabler. Denne gang gøres det dog lidt anderledes, da vi nu starter med at anvende stedfunktionen for y. Vi sætter den lig med 0, hvorefter vi isolere t ved at sætte uden for parentes. Dermed kan vi udlede, at der må være to løsninger: t er enten 0 eller summen af parentesen er 0. Vi kan derfor fortsætte med at udlede: Dermed kan vi sætte t ind i stedfunktionen for x: Herefter tillader vi os at lave et lille indgreb, hvilket vil sige at vi fjerner -½ i nævneren og erstatter det med at multiplicere tælleren med 2. Det svarer til det akkurat det samme. Derefter vil vi nu anvende en standardformel fra matematik, som lyder:. Det betyder kort sagt, at vi kan omskrive vores om til i tælleren. 4

6 Dvs. at vi nu har udledt udtrykkene for maksimal stighøjde, Y max, og maksimal kastelængde, X max. Vis hvornår den maksimale kastelængde opstår. Vis, at der findes vinkelpar der giver samme kastevidde. Den maksimale kastelængde kan vises vha.. Det kan vi gøre ved først og fremmest, at slå fast. Derfor er der kun én variabel tilbage, nemlig vinklen,. Ud fra enhedscirklen ved vi, at sinus maksimalt kan være én, og dette fås ved 90 grader. Da vinklen i dette tilfælde skal multipliceres med 2 kan vi udlede, at den maksimale kastelængde opstår ved 45ᵒ, da. Når vi skal vise at der findes vinkelpar med samme kastevidde, går vi ind og kigger på den maksimale kastelængde på 45ᵒ, da vi kan det med en x-værdi. Som eksempel kan vi gå ind og sige 45ᵒ 10ᵒ = 35ᵒ og 55ᵒ. Herefter sætter vi vinklerne ind i en del af udtrykket for den maksimale kastelængde:. Dermed kan vi udlede at 35ᵒ og 55ᵒ er et vinkelpar med samme kastevidde. Man kan generelt sige at hvis man subtrakterer og addere med det samme i forhold til den maksimale kastelængdes vinkel, vil man få et vinkelpar der har den samme kastelængde. Dvs. at den maksimale kastelængde opstår ved 45ᵒ, mens at man vil få vinkelpar med samme kastelængde hvis man subtrakterer og addere med det samme i forhold til den maksimale kastelængdes vinkel. Beregn X max og Y max for forskellige vinkler og sammenlign med målte værdier fra forsøget. Følgende skema er taget fra fysik-delen af denne rapport: Lodret h= V 0 = Xmax målt Xmax beregn Evt. Ymax målt Evt. Ymax Beregn

7 Hvis vi sammenligner X max værdierne med hinanden kan man se, at der ikke er den helt store afvigelse på vinklen med 20ᵒ. Men de andre vinkler har en ret så stor afvigelse, hvilket kan skyldes mange forskellige ting. Vi kan dog sige at de beregnede resultater er korrekte, hvilket vil sige at vi formentlig ikke har målt præcist nok. Vi kan ikke sammenligne Y max, da vi ikke havde mulighed for at måle højden. Dvs. at der er temmelig stor afvigelse mellem de målte og beregnede X max resultater. Rapporten skal indeholde en introduktion til differentialregning ved hjælp af tretrinsreglen. Målgruppen er andre 2. års HTX elever, der ikke kender til differentialregning. Tretrinsreglen anvendes som hjælp til at man kan lave differentialregning. Differentialregning kan bruges når man ønsker at finde hældningen i et bestemt punkt på en funktion. I en lineær funktion vil dette ikke være noget problem, da hældningen kan findes ud fra følgende formel: Har man derimod en funktion hvor hældningen varierer fra punkt til punkt, kan man ikke bruge denne formel. Ideen med disse funktioner, er, at man finder hældningen af tangenten (den røde streg) i punktet, som derfor bliver hældningen af punktet. Her kan vi anvende tretrinsreglen til at udregne hældningen. Tretrinsreglen er opdelt i 3 trin: 1 trin: Her skal man finde funktionstilvæksten, det finder man ved at sige: 2 trin: Her skal man finde sekanthældningen, som findes ved: 3 trin: Her skal man lade h gå mod 0 (udregne tangenthældningen). Det udregner man ved at sige: Som eksempel kunne vi tage følgende, således at vi kan se hvordan tretrinsreglen anvendes: f(x) = 3x-4 og x 0 = 5 Først starter vi med trin ét, hvor vi skal finde : 6

8 Herefter findes i trin to : Hvorefter man til sidst i trin tre finder : Dvs. at hældningen i dette punkt er 3. 7

9 Fysikforsøg fjederkanon Indledning I fysikdelen er formålet at kunne beregne starthastigheden v 0, men også beregne kastevidden x max ved forskellige affyringsvinkler. Teori Kræfterne der påvirker X og Y. Når vi laver et skråt kast er der nogle kræfter der påvirker, hvordan vores kugle vil flyve i x- og y- retningen. I vores forsøg er de kræfter der påvirker kastet i x-retningen luftmodstanden og starthastigheden. I vores udregning er det dog kun starthastigheden der påvirker kastet, da vi ikke har taget forbehold for vindmodstand. I vores y retning er der flere kræfter som vil have en indvirkning på kastet.starthastigheden har også her en indflydelse, men her har også accelerationen en indvirkning i form af tyngdekraften. Den har indflydelse på y retningen, da den nedsætter farten og derefter øger hastigheden igen når den har nået. Bevægelsesligningerne Bevægelsesligningerne er to ligninger der bruges til at bestemme bevægelsen ud af x- og y-aksen. Der er to bevægelsesligninger, én for hver af de to retninger. Med disse to ligninger kan man udregne hvor kuglen vil være på et hvilket som helst givent tidspunkt. Ligningerne er som følger: Man kan også ved at ændre i disse ligninger, bruge dem til at finde ud af hvor højt kuglen kommer op af y-aksen, og hvor langt kuglen kommer hen af x-aksen. Bevægelse med konstant hastighed Hvis man ved at hastigheden i en bevægelse er konstant, kan denne regnes ud, hvis man bare kender strækningen som den strækker sig over, og den tid det tager at gennemføre strækningen. Derfor bliver formlen for udregningen af hastigheden: 8

10 Hvor v er hastigheden, t er forbrugt tid og s er tilbagelagt strækning. Grunden til at man kan bruge denne meget simple formel, er, at man ved en konstant hastighed bare skal finde ud af hvad hastigheden er i ét sekund og man vil derefter have hastigheden for hele bevægelsen. Materialeliste Magnetisk kugle (72 g) Metode Fjederkanon Hæve/sænke platform til at justere højden Kridtstøv Målebånd Vinkelmåler Vi startede med at sætte kanonen på et bord og give kanonen en affyringsvinkel på 90 grader. Vi målte hvor lang tid, der gik før kuglen landede ved affyringspunktet igen. Herefter indstillede vi kanonen til den specifikke vinkel som vi skulle måle efter og sørgede for at vores platform havde en højde der var lig med affyringspunktet af kuglen. Inden vi skød kuglen af sted dækkede vi toppen af platformen med kridtstøv, således at vi kunne se hvor kuglen ramte henne på platformen, og så vi dermed kunne måle længden som vores kugle havde fløjet. Vi tog så og placerede platformen dér hvor kuglen havde ramt og affyrede den således igen. Når vi så ramte platformen, lavede kuglen et mærke i kridtstøvet, som vi så kunne måle længden over til. Dette gentog vi, indtil vi havde målt de nødvendige vinkler. Resultater Lodret h= V 0 = Xmax målt Xmax beregn Evt. Ymax målt Evt. Ymax Beregn Tid 20ᵒ 233 cm 227 cm 17 cm 0,567 s 30ᵒ 258 cm 306 cm 43 cm 0,666 s 40ᵒ 253 cm 348 cm 72 cm 0,800 s 45ᵒ 245 cm 353 cm 87 cm 0,932 s 50ᵒ 207 cm 348 cm 102 cm 0,998 s 90ᵒ cm 176 cm 1,2 s Beregninger Start hastigheden 9

11 Vi starter med at udregne vores start hastighed ved hjælp af formlen: Tiden (t) som vi bruger i denne formel er tiden for kuglen til at nå i forsøget med 90ᵒ. Vi indsætter herefter vores værdier i formlen: Dette giver så en starthastighed på 11,784 m/s. Udregning af X max For at udregne bruger vi denne formel: Herefter indsætter vi bare vores værdier for starthastighed (V 0 ), vinkel og tyngdeacceleration (g). I dette eksempel bruger vi vinklen 20ᵒ: Herefter får vi så resultatet på hvor langt vores kugle burde have fløjet, i dette tilfælde giver det 2,27 m eller 227 cm. Dette gør vi så med alle de forskellige vinkler som vi har lavet forsøget med. Udregning af Y max For at udregne bruger vi denne formel: Ligesom i formlen oven for har vi g, tyngdeaccelerationen,, vinklen, t, tiden, og som er hvor højt kuglen kommer på y-aksen i forhold til hvor den lander. Når vi nu har fundet denne formel, sætter vi alle vores værdier fra vores forsøg ind. I dette eksempel har vi lige som oven for brugt værdierne fra vores forsøg med 20ᵒ: 10

12 Dette giver os så vores Herefter har vi så gjort det for alle de andre vinkler som vi har lavet forsøg med. Diskussion Vi kan ud fra vores resultater se, at der er en temmelig stor forskel mellem de målte værdier og så de teoretisk beregnede værdier for X max. Man kan se på nedenstående skema, at afvigelsen gradvist bliver større og større, nu højere vinkel vi har angivet kanonen til. Grader Xmax målt Xmax beregn Afvigelse % % % % % Som fejlkilder kan der nævnes et par væsentlige. Den mest markante grund til at afvigelserne gradvist bliver større, er, at kuglen derved kommer højere op i luften, samt at den er længere tid luften. Dette bevirker at der er større risiko for, at kuglen bliver påvirket af en vis form for luftmodstand, som vi jo ikke har taget højde for. Hvis forsøget skulle være udført fuldstændig korrekt, var man nødt til at udføre det i et vakuum lukket rum. En anden fejlkilde som formentlig gør sig gældende, er, at vores målinger blev meget på øjemål. Det vil sige at der formentlig har været en menneskelig fejlkilde, da vi ikke har målt det præcist nok. Hvis forsøget skulle være udført fuldstændig korrekt, var man nødt til at have noget mere præcist måleudstyr. Derudover kan der være en tredje fejlkilde, som på ingen måde er sikker. Fjederkanonen kan have været slidt, således at den ikke skød kuglen af sted med den samme starthastighed ved hvert forsøg. Det kan have ændret en del, men igen, det er bare et gæt. Konklusion Det lykkedes os at udregne Ymax, Xmax og finde tiden. Vi kan dog konkludere at vores beregnede værdier i gennemsnit har 34,4 % afvigelse i forhold til vores målte værdier. Det ved vi dog godt hvorfor, da vi ikke har taget forbehold for vindmodstand og andre diverse ting. 11

13 IT Brugergrænse = det grafiske brugergrænse fladen er det som dataen viser i 2D med en x og y koordinat og grafen. data = definitioner data er de tal og koder samt. Skrift som tilsammen giver et koordinatsystem med en eller flere linjer. logik = handlinger i data/behandling funktionaliteter logik laget omhandler alle de koder som vi bruger til at lave det grafiske. fx kan man i #-- 5.Draw graph sætte 2 mål, y og x. hvor x er længden og y er højden. Der er 10 koder som kan bruges til forskellige ting og få en lang linje. x1 øges med værdien 1 y1 sænkes med værdien 0.5 En rød linje tegnes mellem x1,y1 og x2,y2 x2 får samme værdi som x1 y2 får samme værdi som y1 Redegør på 1 dias-slide følgende: a. Redegør hvad der sker, når y1-=.5 ændres til y1+=.5 y værdien ændres fra at sænke 0,5 til at øge 0,5 b. Redegør hvorfor den røde-linje stiger opad, når y1 har en negativ værdi. Normalt ville vi sige at noget går ned af en akse når der står minus, men computeren aske starter fra venstre hjørne fra toppunktet af skærmen og går ned derfra. Derfor er aksen på computeren omvendt og derfor giver minus, op. c. Redegør hvad der sker, når y1-=.5 ændres til y1-=2 y værdien sænkes yderligere med 1,5. d. Redegør hvordan #--5.Draw graph-- delen tilhører data-laget, logik-laget og/eller brugergrænseflade-laget. Brugergrænse = det grafiske brugergrænsefladen er det som dataen viser eventuelt med en x og y koordinat og grafen. data = definitioner data er de tal og koder samt. Skrift som tilsammen giver et koordinatsystem med en eller flere linjer. logik = handlinger i data/behandling funktionaliteter logik laget omhandler alle de koder som vi bruger til at lave det grafiske. fx kan man i #-- 5.Draw graph sætte 2 mål, y og x. hvor x er længden og y er højden. Der er 10 koder som kan bruges til forskellige ting for at få en lang linje. 12

14 De 10 opgaver vi skulle lave i Python 1 creating horisontal lines I den her opgave skulle vi lave koder som oprettede vandrette linjer. 2 creating vertical lines I den her opgave skulle vi lave lodrette linjer, den mindede meget om den forrige, det var bare at ændre på nogle tal. 3 creating horisontal axis labels Her skulle vi lave nogle mærker for der hvor de forskellige mål var i programmet. Det var så det var nemmere at se hvor højt kastet blev osv. 4 creating vertical axis labels Denne opgave var den samme som den forrige... Her skulle det bare være på y-aksen. simulation while(time<timemax) : time+=1 5 draw graf Her skulle vi bare lave en linje, ligesom i et koordinatsystem. Senere skal vi prøve at få den til at ligne linjen du laver når du kaster med, eksempelvis, en tennisbold. 6 converting movement into position I den her opgave skulle vi få genstanden til at bevæge sig i mere naturlige bevægelser, så vi fik den til at bevæge sig i en bue, istedet for at den bare at være en linje. 7 gravity Gravity -opgave er, som der sjovt nok står, tyngdekraft. Her skulle vi simulere en kraft som trækker ned i genstanden, ellers kunne den bare blive ved med at bevæge sig, Newtons 2. lov(en genstand der ikke bliver påvirket af nogen ydre kraft har en konstant acceleration a=0. Genstand i vakuum) 8 collision with floor I denne her lille opgave skulle vi sørge for at genstanden stoppede når den nåede til den yderste streg i vores simulation, så den ydre streg skulle forestille at være en væg, ellers ville den også bare fortsætte ud af vores simulation, så kunne vi ikke rigtig se så meget på det vi havde lavet. Her havde vi nogle problemer med stepsize.. Fordi at den ikke beregner hele tiden, men kun en gang imellem, hvilket gjorde at den kom til at gå igennem vores væg, bare med en smule, 13

15 før den begik sig i den anden retning igen. Vi fik ordnet det med at sætte vores stepsize ned, men valgte så at droppe det, pga det foresagede problemer senere i vores projekt. 9 collision with wall Denne opgave er den samme som den sidste, her skulle vi også bare have den nederste streg var en væg. Vi havde de samme problemer som med den sidste. 10 air resistance I den sidste opgave skulle vi lave luftmodstand, for at virkeliggøre simulationen endnu mere. der er ikke rigtig så meget at sige om det, udover det var svært at finde ud af hvor meget vi skulle have for at det fungerede ordentligt. Redegør hvordan #--6.Converting movement into position-- delen tilhører data-laget, logik-laget og/eller brugergrænseflade-laget. brugergrænsefladen: ved at skrive en vores kode får vi en linje som er skrå, som skulle simulere kastet. der viser det grafiske i denne opgave. som viser os tegningen forneden og bevægelsen viser os noget grafisk og er derfor en del af brugergrænsefladen. data: data laget er de koder og skrift som programmer indeholder og derfor tilhører alle de 10 opgaver også data laget. logik laget: Converting movement into position tilhører logik laget fordi den ændrer bevægelses efter det data som er blevet skrevet ind. 14

16 Nu vil vi forklare og vise hvordan vi har lavet billederne. I dette billed kan vi se at linjen bevæger sig opad og til højre, men jo mere stregen går opad desto mere drejer den til venstre side og en smule ned. For at kunne få dette restultat. Skal man skrive: w.creatline(x1,y1,x2,y2,fill="ff0000") x2=x1 y2=y1 under: #--5.Draw Graf-- Og w.creatline(x1,y1,x2,y2,fill="ff0000") x2=x1 y2=y1 under: #--6.Converting movement into position-- 15

17 x1+vx y1+=vy vy+=.5 FF0000 er farven sort. man kan evt. ændre farven blot ved at skrive 6 sifret kode som man kan finde her under eller ved at søge efter HTML color codes. 16

18 Nu vil vi visse hvordan man kan lave en mur så stregen ikke kan komme videre fra x punktet i y kordinatten. Under feltet initiation of variables skal der ændres: vx=20.0 #x start velocity vy=-20.0#y start velocity nu hvor det er ændret nu sat en mur som stregen ikke kan komme igennem og derfor falder ned og lidt tilbag 17

19 Collision with floor efter mod 18

20 Collision with floor part 2 Collision with floor 19

21 Collision with wall 20

22 21

23 Collision with wall 2 Converting movement into position 22

24 23

25 Converting movement into position 1 24

26 Converting movement into position 2 25

27 Converting movement into position 3 26

28 Creating horizontal axis labels 27

29 Creating vertical axis labels 28

30 Draw graph 29

31 Gravity 30

Det skrå kast, en simulation

Det skrå kast, en simulation Det skrå kast, en simulation Oplæg skrevet af Bartlomiej Rohard Warszawski den 5.november 29 Formål Eleven skal lave et program i Python, der udfører en simpel simulation af acceleration, hastighed, position,

Læs mere

Lavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f

Lavet af Ellen, Sophie, Laura Anna, Mads, Kristian og Mathias Fysikrapport blide forsøg Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med f Rapport 6, skråt kast med blide Formål Formålet med forsøget er at undersøge det skrå kast, bl.a. med fokus på starthastighed, elevation og kastevidde. Teori Her følger der teori over det skrå kast Bevægelse

Læs mere

Bevægelse i to dimensioner

Bevægelse i to dimensioner Side af 7 Bevægelse i to dimensioner Når man beskriver bevægelse i to dimensioner, som funktion af tiden, ser man bevægelsen som var den i et almindeligt koordinatsystem (med x- og y-akse). Ud fra dette

Læs mere

Michael Jokil 11-05-2012

Michael Jokil 11-05-2012 HTX, RTG Det skrå kast Informationsteknologi B Michael Jokil 11-05-2012 Indholdsfortegnelse Indledning... 3 Teori... 3 Kravspecifikationer... 4 Design... 4 Funktionalitet... 4 Brugerflade... 4 Implementering...

Læs mere

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:

Arbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen: Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Kasteparabler i din idræt øvelse 1

Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Kasteparabler i din idræt øvelse 1 Vi vil i denne første øvelse arbejde med skrå kast i din idræt. Du skal lave en optagelse af et hop, kast, spark eller slag af en person eller genstand. Herefter skal

Læs mere

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold.

Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Formål Formålet med dette forsøg er at lave en karakteristik af et 4,5 V batteri og undersøge dets effektforhold. Teori Et batteri opfører sig som en model bestående af en ideel spændingskilde og en indre

Læs mere

Rapport uge 48: Skråplan

Rapport uge 48: Skråplan Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................

Læs mere

1. Bevægelse med luftmodstand

1. Bevægelse med luftmodstand Programmering i TI nspire. Michael A. D. Møller. Marts 2018. side 1/7 1. Bevægelse med luftmodstand Formål a) At lære at programmere i Basic. b) At bestemme stedbevægelsen for et legeme, der bevæger sig

Læs mere

Det skrå kast uden luftmodstand

Det skrå kast uden luftmodstand Det skrå kast uden luftmodstand I dette lille tillæg skal i smart benytte ektorer til at udlede udtryk for stedfunktionen og hastigheden i det skrå kast uden luftmodstand. Vi il gøre brug af de fundamentale

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Bevægelse med luftmodstand

Bevægelse med luftmodstand SRP 4. Bevægelse med luftmodstand. Bevægelse med luftmodstand Banekurve beskrevet af Albert af Sachsen. Kilde: Fysikhistorie.dk. SRP 4. Bevægelse med luftmodstand. side 2/8 Problemformulering At bestemme

Læs mere

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri

VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner

Læs mere

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3

Opvarmningsopgaver. Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3. Forkort brøken. Gang parentesen ud: (x 0 + x) 3 eks. Intro til differentialregning side 1 Opvarmningsopgaver 10. november 2012 12:58 Gang parentesen ud: Forkort brøken: Gang parentesen ud: (1.5 + x) 2 (1 + x) 3 Gang parentesen ud: Forkort brøken (x

Læs mere

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen

Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser. John V Petersen Newtons love - bevægelsesligninger - øvelser John V Petersen Newtons love 2016 John V Petersen art-science-soul Indhold 1. Indledning og Newtons love... 4 2. Integration af Newtons 2. lov og bevægelsesligningerne...

Læs mere

Harmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall

Harmonisk oscillator. Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall Harmonisk oscillator Thorbjørn Serritslev Nieslen Erik Warren Tindall November 27, 2007 Formål At studere den harmoniske oscillator, som indgår i mange fysiske sammenhænge. Den harmoniske oscillator illustreres

Læs mere

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...

Læs mere

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer

Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Lektion 7 Funktioner og koordinatsystemer Brug af grafer og koordinatsystemer Lineære funktioner Andre funktioner lignnger med ubekendte Lektion 7 Side 1 Pris i kr Matematik på Åbent VUC Brug af grafer

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P

Differentialregning. Et oplæg Karsten Juul L P Differentialregning Et oplæg L P A 2009 Karsten Juul Til eleven Dette hæfte kan I bruge inden I starter på differentialregningen i lærebogen Det meste af hæftet er små spørgsmål med korte svar Spørgsmålene

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Matematik A og Informationsteknologi B

Matematik A og Informationsteknologi B Matematik A og Informationsteknologi B Projektopgave 2 Eksponentielle modeller Benjamin Andreas Olander Christiansen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 6. december 2010 Vejledere: Jørn Christian Bendtsen og

Læs mere

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13

FUNKTIONER. Eks. hvis man sætter 3 ind på x s plads bliver værdien 2*3 + 5 = 11. Sætter man 4 ind på x s plads vil værdien blive 2*4 + 5 = 13 En funktion beskriver, hvordan en afhængig variabel afhænger af en uafhængig variabel. Læringsmål Forstå koordinatsystemet Vide hvad 1. og 2. aksen er Vide at x er 1. akse og y er 2. akse Forståelsen for

Læs mere

Funktioner. 1. del Karsten Juul

Funktioner. 1. del Karsten Juul Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008

Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008 ROSKILDE TEKNISKE GYMNASIUM Brydningsloven og bestemmelse af brydningsindeks Fysikrapport, 5/9-2008 Louise Regitze Skotte Andersen, Klasse 2.4 Lærer: Ashuak Jacob France 2 Indhold Indledning... 3 Materialeliste...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 3 Ligninger & formler 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens.

Rapport Bjælken. Derefter lavede vi en oversigt, som viste alle løsningerne og forklarede, hvad der gør, at de er forskellige/ens. Rapport Bjælken Indledning Vi arbejdede med opgaverne i grupper. En gruppe lavede en tabel, som de undersøgte og fandt en regel. De andre grupper havde studeret tegninger af bjælker med forskellige længder,

Læs mere

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her:

Kinematik. Lad os betragte en cyklist der kører hen ad en cykelsti. Vi kan beskrive cyklistens køretur ved hjælp af en (t,s)-tabel, som her: K Kinematik Den del af fysikken, der handler om at beskrive bevægelser hedder kinematik. Vi kan se på tid, position, hastighed og acceleration, men disse ting må altid angives i forhold til noget. Fysikere

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Skråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008

Skråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008 Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................

Læs mere

Funktioner. 3. del Karsten Juul

Funktioner. 3. del Karsten Juul Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren

Læs mere

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.

Dynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger

Læs mere

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder.

Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. En parabels skæring med x-aksen kaldes nulpunkter eller rødder. Parabler En funktion med grundformlen y = ax 2 + bx + c kaldes en andengradsfunktion. Det grafiske billede af en andengradsfunktion er altid en parabel. 1. Hvis a = 0, er det ikke en andengradsfunktion.

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og Funktioner Lærervejledning 12-02-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Indhold Introduktion... 3

Læs mere

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter.

Kræfter og Energi. Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. Kræfter og Energi Jacob Nielsen 1 Nedenstående sammenhæng mellem potentiel energi og kraft er fundamental og anvendes indenfor mange af fysikkens felter. kraften i x-aksens retning hænger sammen med den

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Fredericia Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik B Susanne Holmelund

Læs mere

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje.

Maple. Skærmbilledet. Vi starter med at se lidt nærmere på opstartsbilledet i Maple. Værktøjslinje til indtastningsområdet. Menulinje. Maple Dette kapitel giver en kort introduktion til hvordan Maple 12 kan benyttes til at løse mange af de opgaver, som man bliver mødt med i matematiktimerne på HHX. Skærmbilledet Vi starter med at se lidt

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1

MATEMATIK A-NIVEAU. Kapitel 1 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 01 Kapitel 1 016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik 01

Læs mere

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet

Løsninger til udvalgte opgaver i opgavehæftet V3. Marstal solvarmeanlæg a) Den samlede effekt, som solfangeren tilføres er Solskinstiden omregnet til sekunder er Den tilførte energi er så: Kun af denne er nyttiggjort, så den nyttiggjorte energi udgør

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger

MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Differentialligninger 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse.

Matematik C. Cirkler. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse. Cirkler Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.år HTX Slagelse Side Indholdsfortegnelse Cirklen ligning Tegning af cirkler Skæring mellem cirkel og x-aksen

Læs mere

PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL

PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL PETERTROELSENTEKNISKGYMNASI UMHADERSLEVHTXPETERTROELSE NTEKNISKGYMNASIUMHADERSLEV HTXPETERTROELSENTEKNISKGYMN ASIUMHADERSLEVHTXPETERTROEL Dæmpede svingninger SENTEKNISKGYMNASIUMHADERSLE Studieretningsprojekt

Læs mere

Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt, plader til at lave bakker med, niveauborde.

Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt, plader til at lave bakker med, niveauborde. Lego Mindstorms Education EV3 Projektarbejde med Lego Mindstorms version EV3. til Windows 7og 8 og Mac Apparatur: 1 EV3 startkasse, målebånd, sort bred lærredstape, oplader, kan benyttes som passer, kridt,

Læs mere

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul

Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional. for hf Karsten Juul Potensfunktioner samt proportional og omvent proportional for hf 2018 Karsten Juul Potensfunktion 1. Oplæg til forskrift for potensfunktion...1 2. Forskrift for potensfunktion...2 3. Udregn x eller y i

Læs mere

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017

Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017 Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2019, eksamen maj / juni 2019 Institution Kolding HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 12. december, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Lineære sammenhænge, residualplot og regression

Lineære sammenhænge, residualplot og regression Lineære sammenhænge, residualplot og regression Opgave 1: Er der en bagvedliggende lineær sammenhæng? I mange sammenhænge indsamler man data som man ønsker at undersøge og afdække eventuelle sammenhænge

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012.

MATEMATIK A-NIVEAU. Anders Jørgensen & Mark Kddafi. Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012. MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver og eksamensopgaver i matematik, 2012 Kapitel 6 Differentialregning og modellering med f 2016 MATEMATIK A-NIVEAU Vejledende eksempler på eksamensopgaver

Læs mere

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg

Matematik B. Højere Teknisk Eksamen. Projektoplæg Matematik B Højere Teknisk Eksamen Projektoplæg htx113-mat/b-11011 Udleveres mandag den 1. december 011 Side 1 af 10 sider Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Gokartkørsel. Projektbeskrivelsen

Læs mere

Parameterkurver. Kapitel 7:

Parameterkurver. Kapitel 7: Kapitel 7: Parameterkurver 7 Oversigt af tegning af parameterkurver... 116 Oversigt over tegning af parameterkurver... 117 Forskelle mellem tegning af parameterkurver og funktioner... 118 I dette kapitel

Læs mere

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver

Matematik A, STX. Vejledende eksamensopgaver Matematik A, STX EKSAMENSOPGAVER Vejledende eksamensopgaver 2015 Løsninger HF A-NIVEAU AF SAEID Af JAFARI Anders J., Mark Af K. & Saeid J. Anders J., Mark K. & Saeid J. Kun delprøver 2 Kun delprøve 2,

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin 5. 6. semester efterår 2013-forår 2014 Institution Grenaa Tekniske Gymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)

Læs mere

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen

FORSØGSVEJLEDNING. Kasteparablen Fysik i idræt - Idræt i fysik 006 FORSØGSVEJLEDNING Kasteparablen Formål: At bestemme kastelængden (x-positionen) for kast ed forskellige afleeringsinkler: o Ca. 30 o. o Ca. 45 o. o Ca. 60 o. og ed brug

Læs mere

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015

Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 2015 Besvarelser til Calculus og Lineær Algebra Globale Forretningssystemer Eksamen - 8. Juni 05 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en

Læs mere

MATEMATIK C. Videooversigt

MATEMATIK C. Videooversigt MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydningsloven Når en bølge, fx en lysbølge, rammer en grænseflade mellem to stoffer, vil bølgen normalt blive spaltet i to: Noget af bølgen kastes tilbage (spejling), hvor udfaldsvinklen u

Læs mere

FYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim

FYSIK RAPPORT. Fysiske Kræfter. Tim, Emil, Lasse & Kim FYSIK RAPPORT Fysiske Kræfter Tim, Emil, Lasse & Kim Indhold Indledning... 2 Newtons love... 3 1. Lov: Inertiloven... 3 2. Lov: Kraftloven... 3 3. Lov: Loven om aktion/reaktion... 3 Kræfter... 4 Formler:...

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Brugervejledning til Graph

Brugervejledning til Graph Graph (brugervejledning) side 1/17 Steen Toft Jørgensen Brugervejledning til Graph Graph er et gratis program, som ikke fylder meget. Downloades på: www.padowan.dk/graph/. Programmet er lavet af Ivan Johansen,

Læs mere

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4

Læringsprogram. Numeriske metoder. Matematik A Programmering C Studieområdet. Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Læringsprogram Numeriske metoder Matematik A Programmering C Studieområdet Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 3.4 Lau Lund Leadbetter Mikkel Karoli Johnsen Tobias Sønderskov Hansen Lineær regression ved

Læs mere

Computerundervisning

Computerundervisning Frederiksberg Seminarium Computerundervisning Koordinatsystemer og funktioner Elevmateriale 30-01-2009 Udarbejdet af: Pernille Suhr Poulsen Christina Klitlyng Julie Nielsen Opgaver GeoGebra Om at genkende

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

Pointen med Differentiation

Pointen med Differentiation Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v

Faldmaskine. , får vi da sammenhængen mellem registreringen af hullerne : t = 2 r 6 v Faldmaskine Rapport udarbejdet af: Morten Medici, Jonatan Selsing, Filip Bojanowski Formål: Formålet med denne øvelse er opnå en vis indsigt i, hvordan den kinetiske energi i et roterende legeme virker

Læs mere

Formler, ligninger, funktioner og grafer

Formler, ligninger, funktioner og grafer Formler, ligninger, funktioner og grafer Omskrivning af formler, funktioner og ligninger... 1 Grafisk løsning af ligningssystemer... 1 To ligninger med to ubekendte beregning af løsninger... 15 Formler,

Læs mere

Erik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller

Erik Vestergaard   1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...

Læs mere

Grundlæggende Opgaver

Grundlæggende Opgaver Grundlæggende Opgaver Opgave 1 En retvinklet trekant har sine vinkelspidser i (,4),(4, 4) og (, 4). a) Hvor store er kateterne? b) Hvor store er hypotenusen? c) Beregn trekantens areal. d) Bestem kateterne,

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi

Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Analyse af en lineær regression med lav R 2 -værdi Denne gennemgang omhandler figur 13 i Regn med biologi. Man kan sagtens lave beregninger på egne data. Forsøgsmæssigt kræver det bare en tommestok tapet

Læs mere

Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Vektorfunktioner Parameterfremstillinger Parameterkurver x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium April 019 ; Michael Szymanski ; mz@ghg.dk Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... 1. Skæringer med koordinatakserne...

Læs mere

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012

Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Løsningsforslag Mat B 10. februar 2012 Opgave 1 (5 %) En linje er givet ved: y = 3 4 x + 3 En trekant er afgrænset af linjen og koordinatakserne i første kvadrant. a) Beregn trekantens sider og areal.

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematikprojekt Belysning

Matematikprojekt Belysning Matematikprojekt Belysning 2z HTX Vibenhus Vejledning til eleven Du skal nu i gang med matematikprojektet Belysning. Dokumentationen Din dokumentation skal indeholde forklaringer mm, således at din tankegang

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde.

Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Bevægelse op ad skråplan med ultralydssonde. Formål: a) At finde en formel for accelerationen i en bevægelse op ad et skråplan, og at prøve at eftervise denne formel, ud fra en lille vinkel og vægtskål

Læs mere

Rettevejledning, FP10, endelig version

Rettevejledning, FP10, endelig version Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul

Start pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit

Læs mere