Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.

Transkript

1 2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X 3 ). Z-aksen er parallel med Jordens omdrejningsakse, X-Z planen falder sammen med Greenwich meridianplanen og centrum falder i Jordens centrum, et CTS. Men vi har brug for mange andre typer af koordinater. Sædvanlige sfæriske koordinater (2.1) er polære koordinater i rummet, se Figur 2.1. Omvendt har vi (2.2) Til brug på eller nær Jordens overflade benytter vi geografiske eller geodætiske koordinater (,, h) eller (,, H) se Figur 2.1 og 2.2. er vinklen mellem normalen nedfældet fra punktet P på ellipsoiden og ækvatorplanet og h er afstanden langs normalen fra ellipsoiden. Da er tæt på vinklen mellem lodlinien og Ækvator, blev benyttet til kortlægning baseret på astronomiske målinger.

2 2.2 I stedet for h benyttes i praksis højden over havet H. Her må vi præcisere, hvad vi mener med "havet", og det er her geoiden, se Figur 2.3. Sammenhængen er Vi skal nu udlede sammenhængen mellem de forskellige former for bredde, se Figur 2.4. Udgangspunktet er ellipsens ligning, som vi her udtrykker i X og Z koordinater, da ellipsoiden fremkommer ved en rotation on Z-aksen, (2.3) (2.4) hvor ellipsens halve storakse er a og den halve lilleakse er b. Formel (2.4) udtrykker at punkterne på ellipsen er det geometriske sted for de punkter, hvor summen af afstanden fra 2 punkter (de 2 focii) er konstant (= 2a). Midtpunktet mellem de to focii kaldes ellipsens centrum, og det skal falde sammen med vort koordinatsystems nulpunkt. Afstanden E

3 2.3 (excentriciteten) fra centrum til et af de to focii findes ved Pytagoras (2.5) For Jorden benytter vi i dag a = m og b = m Opgave 2.1. Udregn f, e, e' samt E. For at kunne finde sammenhængen mellem den geografiske og den geocentriske bredde betragter vi nu ellipsen som en kurve i planen, dvs. en afbildning også kaldet en parameterfremstilling. For en cirkel har vi som bekendt For ellipsen vil vi forsøge at finde et udtryk på samme form Da ellipsens ligning skal være opfyldt fås kaldes den reducerede bredde, se Figur 2.5. Geometrisk findes den ved at omskrive ellipsen med en cirkel med radius a, nedfælde den vinkelrette på X-aksen og dernæst forbinde skæringspunktet med cirklen med centrum i ellipsen.

4 Vi skal nu benytte til af finde. Den findes simpelthen som 90 o minus tangentens hældning, (polarafstanden). Tangentens hældning finder vi ved at differentiere parameterfremstillingen for den kurve, c( ), der fremstiller ellipsen. 2.4 så eller Nu er også så på ellipsoiden gælder Opgave 2.2. Den geografiske bredde for et punkt på ellipsoiden er 56 o. Hvad er den reducerede bredde og den geocentriske bredde. Hvis den geocentriske bredde er 56 o, hvad er så de 2 andre bredder? (a, b som benyttet i opgave 2.1). Vi kan nu udtrykke den reducerede bredde udfra den geografiske bredde, og dermed finde X og senere Z udtrykt ved denne. Vi har

5 2.5 Da så får vi den meget vigtige formel: Opgave 2.3. = 56 o. Hvad er N? Vi har så mere generelt: Vi mangler nu at udtrykke Z. Her opstiller vi normalens ligning som en ret linie i X-Z koordinatsystemet, jvf. Figur 2.6 b. Normalens ligning er

6 2.6 og skæring med Z-aksen fremkommer for X = 0: så Disse vigtige formler findes i Torge, s. 49. Den omvendte afbildning er singulær på polerne. For længden vi har = arctan(y/x), mens og h normalt regnes iterativt. Der findes dog også lukkede formler Enheder. De vigtigste enheder er: meter, afstand lyset løber i vakuum i løbet af 1/ sek. 1 sek er perioder for Cæsium 133's overgang mellem to hyperfinstrukturer. Vinkler: Radianer, 180 o =. Meget benyttet blandt landinspektører er de såkaldte nygrader eller gon, indført i 1791, 1 gon = 0.9 o = 54' (bueminutter) = / 200 radian. TS, tusindedele benyttes militært = 360 o. Grader, minutter, sek benævnes seksagesimale grader. Af andre længdeenheder finder vi 1 favn = 3 alen = 6 fod, 1 mil = alen, 1 fod = m Elementære formler i planen eller på en kugle.

7 2.7 For den plane trekant med siderne a, b, c har vi (se figur 2.7): For den sfæriske trekant har vi tilsvarende simple formler, for betegnelser se Figur 2.8. Hvis C ligger i Nordpolen, så har vi

8 2.8 c er så den sfæriske afstand mellem A og B, Formlen bevises let ved at tage skalarproduktet af 2 enhedsvektorer udtrykt i sfæriske koordianter (dvs. r = 1). Skalarproduktet mellem to enhedsvektorer er netop cosinus til den sfæriske afstand. Formlerne kan anvendes til en grov afstandsberegning mellem 2 punkter på en kugle med radius lig med Jordens middelradius, 6371 km. Af andre vigtige formler er sinusrelationerne, der er komplicerede at udlede: Disse formler kan benyttes til at regne grove retninger og afstande udfra 3 kendte størrelser. Kender vi længde og bredde for 2 punkter kan vi regne azimuth,. Det regnes positivt med uret fra nord! Opgave 2.4. Der er giver to punkter i kortblad 1314 III. P =( =56 o, =10 o ), Q = ( = 56 o 52', = 10 o 18'). Benyt formlerne til at regne afstand og azimuth fra P til Q på en kugle med radius 6371 km. Sammenlign med afstand og retning i kortet.