[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

Transkript

1 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0

2 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv... Definitionsmængde... Værdimængde... 5 Egenskaber ved funktioner... 6 Monotoni... 6 Monotoniforhold... 7 Ekstremaer... 7 Sammensatte funktioner... 8 Inverse funktioner... 9 Kontinuert... 0

3 Funktioner Vi har tidligere arbejdet med sammenhæng mellem en variabel x (den uafhængige variabel) og y (den afhængige variabel). Vi kunne tegne sammenhængen ind i et koordinatsystem som punkter (x,y). Nu skal vi kigge nærmere på sammenhængen mellem x og y. (video) Entydighed Hvis sammenhængen er entydig, så siges y at være en funktion af x. Definition: Entydighed. Til et hvert x i definitionsmængden* hører en og kun en y-værdi * En definitionsmængde for f er mængden af de værdier, som den uafhængige variable (oftest x) kan antage. Funktioner kan have mange navne, oftest benyttes f(x), g(x) og h(x). Symbolet f(x) læses f af x. Koblingen fra tidligere bliver altså at y kan erstattes med f(x), hvis sammenhængen er entydig. Ligning for cirklen (x - 0)² + (y - 0)² = ² ( ) % % For et punkt på en funktion gælder der nu, at koordinatet ikke længere bare er (x,y) men nu (x,f(x)). Vi har dermed indført begrebet f af x også skrevet som f(x). Når vi indsætter en værdi på x-plads, så kommer der en funktionsværdi ud. Lav opgave side 78, opgave side 78 og opgave 5 side 78

4 Injektiv Vi har lige set at en sammenhæng må kaldes en funktion, hvis sammenhængen mellem den uafhængige variabel og den afhængige variabel er entydig. Denne entydighed kan også gælde fra y til x og så kan vi kalde funktionen for injektiv. (video) Definition: Injektiv Til et hvert x i definitionsmængden hører én og kun én y værdi fra værdimængden, men ligeledes gælder der, at til et hvert y i værdimængden hører én og kun én x-værdi fra definitionsmængden. y f(x) y f(x) f()=.5 f() f(-)= x=- x= x x x=0 x=-. x=. % Hvis vi ser på nedenstående billede, kan vi se, at der kun er f der er injektiv, og vi kan også se, at det der den eneste, der er monoton. Alle monotone funktioner er nemlig altid injektive.

5 Definitionsmængde Nu skal vi kigge lidt på hvilke x-værdier der egentlig er med til at tegne vores graf/funktion. (video) En definitionsmængde for f er mængden af de værdier, som den uafhængige variable (oftest x) kan antage. Definitionsmængden for f skrives som Dm(f). ( ) ( ) x kan ikke antage negative værdier, da vi ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal, når vi befinder os i de reelle tal. x kan ikke antage værdien 0, da det ikke er tilladt at dividere med 0. Eksempel ( ) ( ) Bestem definitionsmængden for f, når det oplyses at ( ) Nævneren må ikke give nul, så x = - er ikke en del af definitionsmængden. ( ) Ses grafisk her. Lav øvelse.7 side 6 (læs og forstå øvelse), opgave 6 side 78 og opgave 5 side 79

6 Værdimængde Nu skal vi kigge lidt nærmere på de y-værdier/funktionsværdier som en funktion/graf kan antage. (video) Værdimængden af f er mængden af alle de funktionsværdier som kan forekomme når x gennemløber definitionsmængden. Værdimængden af f skrives som Vm(f). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I nedenstående graf er ( ) og Dm(f) = [-;]. Vi kan bestemme værdimængden til Vm(f) = [;7] Lav øvelse.0 side 6, opgave 7 side 78 og opgave 5 5

7 Egenskaber ved funktioner Nedenfor benyttes symbolet. Det læses for alle og kaldes al-kvantoren. Monotoni Som vi har set ovenover, så gælder der for en injektiv funktion, at den enten er konstant voksende eller konstant aftagende. En sådan injektiv funktion siges også at være monoton. (video) En funktion f kaldes monotont voksende, hvis det for alle x og x i definitionsmængden gælder, at hvis x < x, så er f(x ) < f(x ) x, x Dm(f) : x <x f(x ) < f(x ) Løst formuleret: større x-værdier giver større funktionsværdier. En funktion f kaldes monotont aftagende, hvis det for alle x og x i definitionsmængden gælder, at hvis x < x, så er f(x ) > f(x ) x, x Dm(f) : x <x f(x ) > f(x ) Løst formuleret: større x-værdier giver mindre funktionsværdier. (x,f(x )) (x,f(x ) (x,f(x )) (x,f(x )) Figur : Grafen for en voksende funktion Figur : Grafen for en aftagende funktion Det vigtige er, at der i definitionerne står for alle x og x osv. Denne figur (til venstre) viser hvorfor. Man observerer følgende på figuren: x < x og f(x ) > f(x ) x < x og f(x ) < f(x ) Grafen er altså hverken voksende eller aftagende. Oplysninger om i hvilke intervaller en given funktion er hhv. voksende og aftagende kaldes almindeligvis for funktionens monotoniforhold. 6

8 Monotoniforhold En funktion som ikke er monoton eller konstant, kan opdeles i monotone intervaller (monotoniintervaller). Intervallerne betegnes med I og nummereres,,... Definitionsmængden opdeles med andre ord i små sektioner, hvor i funktionen er monoton. Disse intervaller angives således: f er voksende i I=[-;0] f er aftagende i I=[0;] f er voksende i I=[;.5] Ekstremaer Når en funktion skifter fra at være voksende/aftagende til aftagende/voksende funktionsværdien i punktet at være en maksimum-værdi eller en minimum-værdi. Disse værdier betegnes som ekstremaer, og kan enten være lokale eller globale. (video) 6 5 (0., 0.) B (.5, 6.5) - (-., -.) - (., -.) A C -5 f har et globalt minimum i punktet A(-,-) (min f(x) = f(-) = - ) f har et lokalt maksimum i punktet B(0,0) (maksimumsværdien er 0) f har et globalt minimum i punktet C(,-) (min f(x) = f() = - ) f har et globalt maksimum i punktet D(.5,6.5) (max f(x) = f(.5) = 6.5) D Dm(f) = [-;.5] Vm(f) = [-;6.5] (her vil der eksistere et max f(x) og et min f(x)) Under differentialregning skal vi se på en metode til let at finde samtlige ekstremaer. 7

9 I første omgang kunne vi bruge TI Nspire ved at (video): Indsæt en graf. Vælg funktion under graf type. Indtast funktionen. Tilpas vindue så ekstremaerne er synlige. Undersøg nu grafen for min/maks. Lav øvelse. side 6, opgave 8 side 78, opgave 9 side 78 og opgave 50 side 79 Sammensatte funktioner Vi ved godt hvordan vi bestemmer en funktionsværdi f(x) udfra en given x-værdi. Men vi kan også indsætte en funktion i en anden funktion. Resultatet af dette kaldes en sammensat funktion. (video) Funktionen h siges at være sammensat af funktionerne f og g (i nævnte rækkefølge), hvis h(x) = f(g(x)) Matematikere bruger en særlig notation for sammensatte funktioner. Med denne notation skrives ovenstående eksempel som ( ) ( ( )) ( )( ) det der står efter sidste lighedstegn, læses som f bolle g af x. Ved sammensætning af funktioner er rækkefølgen vigtig. Hvis vi har ( ) og ( ) så kan vi prøve at bestemme ( ( )) og ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) Ved inverse funktioner at rækkefølgen er underordnet. Her giver resultatet nemlig altid x. Lav opgave 6 side 80. Opdigt funktioner og sammensæt dem på forskelligvis. 8

10 Inverse funktioner Kort fortalt er den inverse funktion en funktion, som bringer dig hjem til udgangspunktet igen. Med andre ord, så vil konstruktionen af den sammensatte funktion resultere i x. For at have en invers funktion, så skal hovedfunktionen være injektiv. (video) Matematisk kan man definere den inverse funktion f af funktionen f på følgende måde: ( ( )) samt ( ( )) (Den hævede tekst "-" er ikke en eksponent.) Grafen til højre viser ovenstående på to inverse funktion. Når vi skal bestemme den inverse funktion, så isoleres den uafhængigevariable, og herefter byttes rundt på x og y. I eksemplet har vi funktionen. Lad os finde den inverse: y () () y=x () () y=x y=x/ x, vi bytter så om på x og y, hvilket giver os som er den inverse funktion. Grafisk kan vi illustrere det ved at tegne en funktion. Derefter indlægges linjen y = x og grafen spejles i denne. Den fremkomne graf er den invers til den oprindelige og omvendt. Eksempelvis: f(x) = x y = x g(x) = x / f(x) = 0^x y = x log(x) Figur : Den sammensatte funktion vil give f(g(x)) = f(x/) = (x/) = x g(f(x)) = g(x) = x/ = x Figur : Den sammensatte funktion vil give f(g(x)) = f(log(x)) = 0^(log(x)) = x g(f(x)) = g(0^x) = log(0^x) = x Find den inverse funktion til følgende og tegn begge i TII omkring spejlingslinjen: f(x) = x, g(x) = x +, h(x) = x, i(x) = /x og j(x) = 9 x 9

11 Kontinuert En funktion kaldes kontinuert, hvis dens graf er sammenhængende. Hvis grafen kan tegnes uden at løfte blyanten, så er den kontinuert. Når vi kender mere til grænseværdier, så er en mere præcis definition af kontinuitet denne. (video) En funktion f siges at være kontinuert (sammenhængende) i et punkt grænseværdi for x gående mod, og denne grænseværdi er ( )., hvis den har en ( ) ( ) En funktion siges at være kontinuert i et interval, hvis den er kontinuert i et hvert punkt i intervallet. 0