MASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen

Transkript

1 MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO

2 Oversigt Differentiable funktioner R n R m

3 Differentiable funktioner f : R R En funktion f : R R er differentiabel i x 0 R hvis der findes et tal f (x 0 ) R sådan at f (x 0 + x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) x + ε( x) hvor ε er en funktion defineret nær 0, kontinuert i 0, og med værdi ε(0) = 0 i 0. C 1 (R, R) f (x 0 ) = f (x 0 + x) f (x 0 ) lim x 0 x En funktion f : R R er C 1 hvis den er differentiabel i alle punkter x R og f (x) er kontinuert.

4 Den lineære approximation til funktionen f i punktet x 0 Den lineære approximation til f i x 0 er f (x 0 + x) f (x 0 ) + f (x 0 ) x eller f (x) f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Tangentlinjen for grafen for f i punktet (x 0, f (x 0 )) har ligningen y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )

5 Nødvendig betingelse for lokalt extremum f har lokalt extremum i x 0 = f (x 0 ) = 0 Hvis f (x 0 ) > 0 så er f (x 0 + x) > f (x 0 ) for x > 0 f (x 0 + x) < f (x 0 ) for x < 0 og hvis f (x 0 ) < 0 så er f (x 0 + x) < f (x 0 ) for x > 0 f (x 0 + x) > f (x 0 ) for x < 0 for x tæt ved 0.

6 Kædereglen Differentiable funktioner R n R m Den afledte af en sammensat funktion R f R g R er d(g f ) (t 0 ) = dg dt dx (f (t 0)) df dt (t 0) (g f )(t 0 + t) g(f (t 0 )+ df dt (t 0) t) g(f (t 0 ))+ dg dx (f (t 0)) df dt (t 0)

7 Invers funktion sætning y = ax + b har en entydig løsning for x a 0 y = f (x) har nær x 0 en entydig løsning for x f (x 0 ) 0 Hvis f : R R er C 1 og x 0 R og y 0 = f (x 0 ) så gælder: f har en lokal invers nær y 0 f (x 0 ) 0 og den lokale inverse f 1 har differentialkvotient df 1 dy (y 0) = df dx (x 0) 1 f (x 0 + x) y 0 + a x x 0 + a 1 y f 1 (y 0 + y)

8 Eksempel på lokal invers f (x) f (x) = x 2 + 2x < 3 2 y > > y 1 1 x

9 Differentiable funktioner i økonomi Marginale omkostninger Lad TC(x) være de totale omkostninger ved at producere x enheder af en vare. De marginale omkostninger ved en produktion på x 0 enheder er MC(x 0 ) = dtc dx (x 0)

10 Differentiable funktioner f : R n R m f = 1 f. : R n R m er C 1 hvis alle dens m koodinatfunktioner f m har kontinuerte partielle afledte efter alle n variable, dvs hvis Jacobimatricen ( ) f1. f Df = f 1 f x x n x = f m (x 1,..., x n ) =... f m x 1... eksisterer og er kontinuert. f m x n

11 Lineær approximation til f : R n R m Den lineære approximation til f : R n R m i x 0 R n er f (x 0 + x) f (x 0 ) + Df (x 0 ) x eller f (x) f (x 0 ) + Df (x 0 )(x x 0 )

12 Kædereglen for R n f R m g R k D(g f )(x) = Dg(f (x))df (x) (g f ) (x 1,..., x n ) (x 0) = ( g1. g k ) (y 1,..., y m ) (f (x 0)) (x 1,..., x n ) (x 0) ( ) f1. f m (g i f ) x j = g i y f ( = gi x y 1... j ) g i y m f 1 x j. f m x j m = r=1 g i y r f r x j

13 Example (R 3 f R 2 g R 2 ) D(g f ) = g f y x = (g 1 f ) x 2 = g 1 y ( g1 y 1 g 1 y 2 g 2 y 1 g 2 y 2 ) ( f1 x 1 x 2 x 3 f 1 f 1 f 2 x 1 f 2 x 2 f 2 x 3 f x 2 = g 1 y 1 f 1 x 2 + g 1 y 2 f 2 x 2 ) Example (R n f R m g R) (g f ) x j (x) = m r=1 g y r (f (x)) f r x j (x)

14 Example (R 2 f R 2 g R) f (s, t) ( ) ( s s f = 2 + t 2 ) ( ) x g = xy t s/t y ( ) ( ) 2s 2t g x 1/t s/t 2 = (y x) (x, y) y ( ) s = g ( s 2 + t 2 ) ( ) f s t (s, t) s/t (s, t) t ( ) s = t (g f ) (s, t) = (s/t s 2 + t 2 ) = ( 3s 2 + t 2 t ( 2s 2t 1/t s/t 2 st 2 s 3 t 2 ) ) Maple kode

15 Invertibel funktion En funktion f : U V er invertibel hvis ligningen f (u) = v har netop en løsning u U for ethvert v V. Hvis f : U V er invertibel så findes en invers funktion U V : f 1 givet ved f (u) = v u = f 1 (v). Lokalt invertibel funktion En funktion f : X Y er lokalt invertibel nær x 0 X hvis der findes omegne U X af x 0 og V Y af f (x 0 ) så V f U : U V er invertibel. Example x 2 : R R er lokalt (ikke globalt) invertibel nær ethvert x 0 0 fordi (co-) restriktionen R + x 2 R ± : R ± R + er bijektiv med lokal inverse ± x : R + R ±.

16 Invertible funktioner R n R n Invers funktion sætning handler om at løse ligninger Antag at vi har en ligning af formen f (x) = y, f : R n R n, x R n, y R n Kan vi finde x? Problemet er altså Hvornår kan vi entydigt løse ligningen f (x) = y for x? Findes der en funktion g : R n R n så f (x) = y x = g(y)

17 Invers funktion sætning i dimension n = 2 ( ) a11 x 1 + a 12 x 2 = y 1 har en entydig løsning for (x a 21 x 1 + a 22 x 2 = y 1, x 2 ) 2 ( ) a11 a det 12 0 a 21 a 22 ( ) f1 (x 1, x 2 ) = y 1 har en entydig løsning for (x f 2 (x 1, x 2 ) = y 1, x 2 ) 2 ) det ( f1 x 1 f 1 x 2 f 2 x 1 f 1 x 2 0

18 Invers Funktion Sætning Antag at X, Y R n er åbne, f : X Y er C 1, f (x 0 ) = y 0. f er lokalt invertibel nær x 0 f x (x 0) er invertibel det f x (x 0) 0 Den lokale invers f 1 : V U er C 1 med Jacobi matrix (f 1 ( ) ) f 1 (y 0 ) = y x (x 0) Vi har for små vektorer y. ( ) f 1 f 1 (y 0 + y) x 0 + x (x 0) y

19 U f (x 0 + x) y 0 + Df (x 0 ) x V x 0 + x x 0 y Df (x 0 ) x Df (x 0 ) 1 y x y 0 y 0 + y x 0 + Df (x 0 ) 1 y f 1 (y 0 + y)

20 Example ( ) ( s s f = 2 + t 2 ) ( ) 5 +, f t s/t 1 h1 1/2 + h 2 ( ) 1 + h1 /10 + 8h 2 /5 2 + h 1 /5 4h 2 /5 Maple kode

21 Example (Påfugle funktion) f : R + R R 2 (0, 0), f (ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ) ( ) f cos θ ρ sin θ (ρ, θ) = f, det sin θ ρ cos θ (ρ, θ) = ρ f er lokalt (ikke globalt) invertibel med lokal invers (f 1 ) (x, y) = f 1 : R 2 (R {0}) R + R, f 1 (x, y) = ( x 2 + y 2, Arctan(y/x)) ( ) f 1 = 1 ( ) ρ cos(θ) ρ sin(θ) (ρ, θ) ρ sin(θ) cos(θ) ) = ( xx 2 +y 2 y y x 2 +y 2 x xjmm 2 +y 2 MASO x 2 +y 7 2

22 Differentiable funktioner f : R n R Retningsafledet Partiel afledet f v(x 0 ) = d dt (t f (x 0 + tv)) t=0 Gradient f x 1 (x 0 ) = f e 1 (x 0 ) = d dt (t f (x 0 + te 1 )) t=0 = d dx 1 (x 1 f (x 1, x 0 2,..., x 0 n )) x1 =x 0 1 f x 1 (x 0 ) f (x 0 ) =. f x n (x 0 )

23 Lineær approximation til f : R n R Hvis f : R n R er C 1 og x 0 R n så er f (x 0 + x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) x + ε( x) x hvor ε(0) = 0 og ε( x) 0 for x 0. Altså er f (x 0 + x) f (x 0 ) + f (x 0 ) x Tangenthyperplanen til grafen for f i (x 0, f (x 0 )) har ligningen y = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 )

24 Kædereglen for R x R n f R d f (f x)(t) = dt = dx 1 dt (x 1,..., x n ) (x(t)) (t). dx n dt (t) n i=1 f x i (x(t 0 )) dx i dt (t 0) = f (x(t)) x (t) = f x (t) (x(t)) f v(x 0 ) = f (x 0 ) v Gradienten viser den retning hvor f har størst vækst.

25 Middelværdisætningen Hvis f : R n R er C 1 og x 0, x 1 R n så er f (x 1 ) f (x 0 ) = f (x 0 )(x) (x 1 x 0 ) for et x på linjen mellem x 0 og x 1. Nødvendig betingelse for lokalt ekstremum Hvis f : R n R er C 1 og x 0 R n så gælder: f har lokalt ekstremum i x 0 = f (x 0 ) = 0 Hvis f (x 0 ) 0, så er f f (x 0 ) (x 0) = f (x 0 ) 2 > 0 og f antager værdier både > f (x 0 ) og < f (x 0 ) på linjen gennem x 0 i retning f (x 0 ).

26 Eksempel på gradient, lineær approximation, sammensat funktion f (x 1, x 2 ) = sin(x1 2 + x 2) f (x 1, x 2 ) = ( 2x 1 cos(x1 2 + x 2) cos(x1 2 + x 2) ) f f (0, 0) = 0, (x 1, x 2 ) (0, 0) = ( 0 1 ) ( ) x1 f ( 0 1 ) ( ) x 1 = x x 2 x 2 2 f (t, t 2 ) t = ( 2t cos(2t 2 ) cos(2t 2 ) ) ( ) 1 = 4t cos(2t 2 ) 2t

27 Nulvæksthyperfladen f 1 (c) Bevis. Gradient og f -niveauer Gradienten er vinkelret på tangenthyperplanen til niveauhyperfladen f 1 (c) Lad x(t) være en kurve på f 1 (c). Da f (x(t)) = c er konstant er 0 = f (x 0 ) (x(t 0 )) dx dt (t 0). Ligning for tangent Tangentrummet i x 0 til nulvæksthyperfladen f 1 (c) har ligningen f (x 0 ) (x x 0 ) = 0 (forudsat f (x 0 ) 0).

28 Gradienten peger i den retning hvor f vokser hurtigst. står vinkelret på nulvæksthyperfladen Example Niveaukurver til f (x, y) = 1 4 x 2 + y 2. Antag at f (x 0, y 0 ) = d. Niveaukurven f 1 (d) er en ellipse gennem (x 0, y 0 ). Gradienten i (x 0, y 0 ) er f (x 0, y 0 ) = ( 1 2 x 0 2y 0 ) Tangenten i (x 0, y 0 ) til ellipsen f 1 (d) er 1 2 x 0x + 2y 0 y = 2d

29 Maple kode Example of Chain Rule Kæderegel eksempel (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

30 Maple kode Example: Inverse Function Theorem Invers Funktion Sætning (1) (2) (3) (4) (5) (6)