Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl

Transkript

1 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl hhx111-mat/a Mandag den 3. maj 011 kl

2 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time. Dette opgavesæt består af 5 opgaver, der indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning. Hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, må ikke benyttes. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration.

3 Side 1 af 1 side Side 1 af 1 side Opgave 1 Vektorerne a og b er givet ved a =, b = 1 t a) Bestem værdien af t, således at a og b er ortogonale. Opgave En funktion f er givet ved forskriften f ( x) = 3x +. En stamfunktion F ( x) = f ( x) dx opfylder, at F ( 1) = 1. a) Bestem en forskrift for F (x). Opgave 3 I trekant ABC kendes følgende størrelser: a = 5 b = 10 sin( C) = 0, C a = 5 B b = 10 A a) Bestem arealet af trekant ABC. Opgave 4 Aldersfordelingen for kunderne i en legetøjskæde er vist i sumkurven til højre. a) Bestem kvartilsættet, og forklar hvad værdien af disse tal fortæller om kundernes alder. Opgave 5 En pris-afsætningsfunktion er givet ved p ( x) = x summeret frekvens alder hvor p (x) er prisen pr. stk. i kr. ved en afsætning på x stk. 1 1 a) Gør rede for, at p x) = x + 5 og forklar betydningen af p 1 (6). (

4 Undervisningsministeriet Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

5 Matematik A Højere handelseksamen. Delprøve hhx111-mat/a Mandag den 3. maj 011 kl

6

7 Matematik A Prøven med hjælpemidler Prøvens varighed er 5 timer. Dette opgavesæt består af 8 opgaver, hvor hvert delspørgsmål indgår i bedømmelsen af den samlede opgavebesvarelse med lige stor vægtning. Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A. I prøvens første time må hjælpemidler, bortset fra skrive- og tegneredskaber, ikke benyttes. I prøvens sidste 4 timer er alle hjælpemidler tilladt. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet med tydelig skrift. I bedømmelsen lægges der vægt på, at eksaminandens tankegang klart fremgår. Besvarelsen skal dokumenteres ved hjælp af beregninger, uddybende tekst samt brug af figurer og grafer med en tydelig sammenhæng mellem tekst og illustration. Hvor hjælpemidler, herunder ITværktøjer, er benyttet, skal mellemregninger erstattes af forklarende tekst.

8 Side 1 af 8 sider Side 1 af 8 sider Opgave 1 Tabellen herunder viser fordelingen af 100 iværksætteres bruttoløn (i 1000 kr.) før start af egen virksomhed. Bruttoløn (i 1000 kr.) ] 0;100] ] 100; 00] ] 00;300] ] 300; 400] ] 400;500] Antal iværksættere Kilde: a) Tegn et diagram, der beskriver fordelingen. Fordelingen kan beskrives ved forskellige statistiske deskriptorer, som f.eks. typeinterval median kvartilsæt gennemsnit varians standardafvigelse b) Beskriv fordelingen ved hjælp af statistiske deskriptorer. Opgave Vektorerne a og b er givet ved 1 a 3 = og b = 1 t a) Bestem vinklen mellem vektorerne a og b for t = 1. b) Bestem de to værdier af t, hvor vektorerne a og b er parallelle.

9 Side af 8 sider Side af 8 sider Opgave 3 Graferne for udbuddet og efterspørgslen for en bestemt vare er vist på figuren nedenfor. pris 150 d( x) = 0,5x 16x s( x) = x P 50 mængde Q Udbuddet kan beskrives ved funktionen s ( x) = x + 15, 0 < x < 16 hvor s (x) angiver prisen pr. stk. ved en udbudt mængde på x stk. Efterspørgslen kan beskrives ved funktionen d ( x) = 0,5x 16x + 175, 0 < x < 16 hvor d (x) angiver prisen pr. stk. ved en efterspurgt mængde på x stk. Ligevægtsmængden Q og ligevægtsprisen P er bestemt ved, at udbud og efterspørgsel er lige store. Ligevægtsmængden for den bestemte vare er Q = 8 stk. a) Bestem ligevægtsprisen P. Den samlede betalingsvillighed for den bestemte vare kan bestemmes som arealet af området under grafen for efterspørgslen i intervallet fra 0 til Q (det skraverede område). b) Bestem den samlede betalingsvillighed. Den samlede velfærdseffekt for den bestemte vare kan bestemmes som arealet af området mellem graferne for udbuddet og efterspørgslen i intervallet fra 0 til Q. c) Bestem den samlede velfærdseffekt.

10 Side 3 af 8 sider Opgave 4 Side 3 af 8 sider Differentialkvotienten for en funktion f er givet ved f '( x) = ( x 5) x x > For at bestemme monotoniforholdene for f bestemmes eventuelle nulpunkter for f ' ved at løse ligningen ( x 5) x = 0 x > a) Ligningen er løst nedenfor, og forklaringer til nedenstående løsning skal gives. Benyt bilag 1. ( 5 ) x = 0 x > x f '( x) sættes lig med 0 og ligningen løses for x > x 5 = 0 x = 0 x 5 = 0 x = 0 x = 5 x = L = {5} b) Bestem monotoniforholdene for funktionen f. y 5 f x

11 Side 4 af 8 sider Side 4 af 8 sider Opgave 5 Grafen for en funktion f er vist i koordinatsystemet nedenfor. y f x Arealet af det skraverede område er 68. Det oplyses endvidere at f ( x) dx = 5. a) Bestem integralet 8 f ( x) dx b) Bestem tallet k, så ( f ( x) + k) dx = 11.

12 Side 5 af 8 sider Side 5 af 8 sider Opgave 6 En virksomhed producerer og afsætter bl.a. varerne A og B. Prisen p (x) pr. stk. A kan bestemmes ved p ( x) = 0,1x + 4, 0 x 35 hvor x angiver afsætningen i stk. pr. uge af vare A. Prisen q (y) pr. stk. B er bestemt ved q ( y) = 0,1 y + 8, 0 y 50 hvor y angiver afsætningen i stk. pr. uge af vare B. Omsætningen for en vare er bestemt ved omsætning = afsætning pris pr. stk. a) Gør rede for, at den samlede ugentlige omsætning R for vare A og vare B er bestemt ved R( x, y) = 0,1x + 4x 0,1 y + 8y Niveaukurven N(t) er givet ved R ( x, y) = t. b) Gør rede for, at niveaukurven N (110) er en cirkel. Ud over begrænsningerne på x og y, er produktionen begrænset af, at virksomheden maksimalt kan producere 70 stk. pr. uge, hvilket betyder at x + y 70. c) Bestem det antal stk. A og det antal stk. B, der skal produceres og afsættes pr. uge for at få den størst mulige samlede ugentlige omsætning og bestem denne omsætning.

13 Side 6 af 8 sider Side 6 af 8 sider Opgave 7 Omkostningerne C (x) og omsætningen R (x) ved en afsætning på x stk. af en vare er bestemt ved funktionerne C( x) = 0,04x 3 4,8x + 9x , 0 x 100 R( x) = 4x + 400x, 0 x 100 Grænseomkostningerne GROMK og grænseomsætningen GROMS defineres som GROMK ( x) = C '( x) og GROMS ( x) = R '( x) a) Bestem forskrifterne for GROMK (x) og GROMS (x). Det største overskud opnås ved den afsætning, hvor GROMK er lig med GROMS. b) Bestem den afsætning, der giver det største overskud. 500 y overskud GROMS GROMK x

14 Side 7 af 8 sider Side 7 af 8 sider Af opgaverne 8A og 8B må kun den ene afleveres til bedømmelse. Hvis begge opgaver afleveres, bedømmes kun besvarelsen af opgave 8A. Opgave 8A En iværksætter ønsker at låne kr. Banken tilbyder et annuitetslån, der skal betales tilbage over 7 år med en fast årlig ydelse. Renten er 6% p.a. a) Bestem den årlige ydelse for lånetilbuddet. Iværksætteren vælger i stedet at betale en ydelse på 0000 kr. om året. Renten er 6% p.a. og lånet betales tilbage over 7 år. Den sidste ydelse er mindre end de 6 første ydelser. Tabellen nedenfor viser de seks første terminer i en amortisationsplan for dette lån. Termin Primo restgæld Ydelse Rente Afdrag Ultimo restgæld , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00 35, , , , , , ,16 345,54 7 b) Bestem størrelsen af den sidste ydelse.

15 Side 8 af 8 sider Side 8 af 8 sider Opgave 8B En virksomhed ønsker at anskaffe et antal nye printere. Virksomheden skal vælge mellem type A, som både kan printe og kopiere samt type B, som kun kan printe. Lad x angive antal printere af type A og lad y angive antal printere af type B. Virksomheden har besluttet maksimalt at anvende kr. til anskaffelse af printere. Type A koster kr. pr. stk. og type B koster kr. pr. stk. Virksomheden har besluttet højst at anskaffe 8 nye printere, hvoraf mindst skal være af type A. Begrænsningerne definerer følgende polygonområde, der også er gengivet i bilag. 6 y 5 4 y = x x = y = x +14 x Kapaciteten for type A er opgivet til 1500 print eller kopier i timen og for printer type B til 1000 print i timen. Den samlede kapacitet er givet ved funktionen f ( x, y) = 1500x y. a) Bestem det antal printere af type A og det antal printere af type B, der giver virksomheden den størst mulige samlede kapacitet i timen. b) Gør rede for, at kapaciteten for type A kan variere i intervallet [ 1000; 000], hvis f stadig skal antage sin største værdi i punktet bestemt i spørgsmål a).

16 Undervisningsministeriet Opgaven er produceret med anvendelse af kvalitetsstyringssystemet ISO 9001 og miljøledelsessystemet ISO 14001

17 Bilag 1 til opgave 4 (med hjælpemidler). Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: ( 5 ) x = 0 x > x f '( x) sættes lig med 0 og ligningen løses for x > x 5 = 0 x = 0 x 5 = 0 x = 0 x = 5 x = L = {5}

18

19 Bilag til opgave 8B (med hjælpemidler). Skole: Eksamensnr. Hold: Navn: y y = x x = y = x +14 x