Projekt 0.5 Euklids algoritme og primiske tal
|
|
- Christine Randi Jessen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Pojekt 0.5 Euklids algoitme og pimiske tal BETEGNELSER. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige hele tal, abî, kan vi dividee a op i b ved den metode, vi læte i folkeskolen. Resultatet skives således: b= q a+, hvo qî Z, og 0 < a (*) Vi vil altid skive esultatet således, at esten ligge i dette inteval. Denne est kaldes den pincipale est. Opskivningen af (*) kaldes divisionsligningen. Hvis a gå op i b, dvs hvis esten e 0, sige vi at a e diviso i b, og vi skive: a b. Hvis a ikke gå op i b skive vi det af og til således: ał b, men det e ikke en del af det fælles intenationale matematiske spog. Eksempel a = 5, b = 32: 32= a = 3, b = 6: 6= 5 3+ a = 3, b = -6: - 6= Bemæk at kavet om 0 < a give en lidt anden divisionsligning fo negative tal. Eksempel ł Sætning Fo vilkålige tal abî e, divisionsligningen éntydig. Bevis. Antag at vi ha to opskivninge af divisionsligningen: b= q a+ = 2 + 2, og lad os sige 2 b q a Tæk fa og få: q - q a= - ( ) 2 2 Da 0 < a og 0 2 < a vil 0 2- < a Defo må de gælde: q- q2 = 0, dvs q = q2. Indsæt nu dette i de to føste ligninge: b= q a+ = + 2, hvoaf vi let se at også 2 b q a =. Konklusion: De to opskivninge af divisionsligningen va i vikeligheden ens. Definition. Givet to tal abî., Det støste tal blandt alle de fælles divisoe i a og b kaldes den støste fælles diviso i a og b og betegnes med ( ab, ). 202 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-48 København K Tlf: info@lu.dk
2 Bemækning. Man møde ofte betegnelsen SFD ( ab, ), men vi nøjes med (, ) Bemækning 2. Undesøg hvilken notation dit væktøjspogam anvende. Eksempel 3 (0,25) = 5 (42,4) = 4 (56,5) = ab. Øvelse a) Hvilken stategi vil du anvende til at bestemme følgende, uden bug af dit væktøjspogam: ) (34,665) 2) (3026,489) b) Løs som kontol opgavene med bug af dit væktøjspogam Nå vi ha to ikke alt fo stoe tal, som i øvelsen ovenfo, e det en ovekommelig opgave at finde den støste fælles diviso uden bug af væktøjspogamme, selvom det godt kan tage lidt tid. Specielt hvis man usystematisk gætte løs. Den hutigste metode, nå vi ha med oveskuelige tal at gøe, e at finde de to tals fælles pimfaktoe. Og vi kan jo nøjes med at finde det ene tals pimfaktoe, og se hvilke de gå op i det andet. Støste fælles diviso e så poduktet af disse pimfaktoe. Men hvad gø vi, hvis opgaven e at finde støste fælles diviso mellem tallene: og ? De findes en metode til at egne sig fem til ( ab, ) fo vilkålige tal a og b. En egnemetode kaldes også en algoitme. Vi kende en hel del algoitme: I folkeskolen læte vi fx multiplikations- og divisionsalgoitme, så vi kan gange og dividee vilkålige tal med hinanden. Måske ha du i gymnasiet læt algoitmen til at udføe polynomies division, elle en algoitme til bestemmelse af nulpunkte, i tilfælde, hvo vi ikke ha en fomel. Euklids algoitme Metoden til at finde støste fælles diviso ha væet kendt siden oldtiden og kaldes Euklids algoitme. Den vike på følgende måde ovefo tallene a og b, hvo vi antage at a e støe end b : Føst opskives divisionsligningen fo a divideet med b: a= q b+ 0 0 Denæst dividees esten 0 op i b: b= q + 0 Således fotsættes. Næste tin e at dividee op i 0 : 0 = q2 + 2 osv så vi få følgende system af ligninge: a= q b+ 0 0 b= q = q = q +... n- n+ n n+ 3 = q + = q n n+ 2 n+ (**) 202 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-48 København K Tlf: info@lu.dk
3 På et tidspunkt vil divisionen gå op og esten blive 0, fodi alle este e ³ 0 og: 0 > > 2 >... > n + (Ovevej selv hvofo dette e tilfældet). Sætning 2 Det tal vi finde ved Euklids algoitme e den støste fælles diviso: ( a, b) = n + Fø vi agumentee fo denne påstand se vi på hvodan Euklids algoitme vike i paksis. Eksempel 4 Vi ønske at finde den støste fælles diviso af to stoe tal, som fx og Vi opskive tin fo tin divisionsligningene efte systemet i (**): = = = = = = = = = 9 8 Altså e de to stoe tals støste fælles diviso ifølge Euklids algoitme lug med 8. Et lille teknisk åd: Ved de enkelte divisione fås decimaltal fx: : = 30, De fleste væktøjspogamme kan udføe heltals division med est undesøg om dit kan. Hvis ikke, så kan heltalsdelen 30 let aflæses kvotienten. Resten findes lettest ved at gange decimalesten 0, med Det give den søgte est: Bevis fo at Euklids algoitme vike Føst vises, at n + e en diviso i a og b. Se igen på ligningssystemet (**) (og sammenlign evt med taleksemplet). Gennemgå det nedefa og op: Sidste ligning fotælle, at n + gå op i Næstsidste ligning give defo, at n n. + gå op i begge led på høje side, defo også op i venste side, dvs n + gå op i n -. Tedjesidste ligning give defo... Og næstøveste ligning give defo at n+ gå op i begge led på høje side, defo også op i venste side, dvs + gå op i b. n Øveste ligning give defo at n+ gå op i begge led på høje side, defo også op i venste side, dvs n i a. Konklusion: n + e en diviso i a og b. + gå op 202 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-48 København K Tlf: info@lu.dk
4 Denæst vises, at n + e den støste diviso i a og b. Dette gø vi ved at vise, at såfemt et tal t gå op i både a og b, så gå tallet t også op i n +. Men så vil t specielt væe minde end n +. Detil lave vi følgende lille ænding i ligningssystemet (**): a- q b= 0 0 b-q = 0 - q = q3 2 = q = n- n+ n n+ n - qn+ 2 n+ = 0 Læs disse ligninge oppe fa og ned igennem: Føste ligning fotælle, at hvis et tal t e diviso i a og b, gå det op i begge led på venste side, defo også op i høje side, dvs t e diviso i 0. Anden ligning fotælle, at hvis t e diviso i b og i 0, så gå det op i begge led på venste side, defo også op i høje side, dvs t e diviso i. Tedje ligning fotælle... Og næstsidste ligning give endelig, at t gå op i n +. Konklusion: Hvis et tal t e en diviso i a og b e det også en diviso i n +. Denne må defo væe den støste fælles diviso: ( a, b) = n +. (Slut på beviset!) Euklids algoitme e et vigtigt væktøj i modene kyptogafiske systeme som RSA. Den anvendes bl.a. til at konstuee nøglen, de kan låse en smæklås op. Følgende sætning, de e en af hovedsætningene i talteoien, og som vi få ud fa Euklids algoitme, e et af de centale væktøje he: Sætning 3 Den støste fælles diviso d af to tal a og b ( ( a, b) (***) = d)) kan skives på fomen: d= s a+ t b, hvo stî, Vi sige også, at d e skevet som en lineakombination af a og b. (Bemæk, at et af tallene s og t natuligvis vil væe negativt) Bevis. Se på ovenstående udgave (***) af ligningssystemet, hvo alle 'ene e isoleet til høje. n + e den støste fælles diviso, som vi nu kalde d. Stat med den næstnedeste: d= - q, n- n+ n og indsæt hei n fa den tedjenedeste, (de hedde n-2 - qn n- = n ) d = - q n- n+ n n- qn+ ( n-2 qn n-) ( q q ) q = - - = + - n+ n n- n+ n-2 Nu e d skevet som en kombination af n- og n- 2 Indsæt hei n - fa den fjedenedeste, (opskiv selv hvad denne hedde:... = n- ), educe og få d skevet som en kombination af n-2 og n L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-48 København K Tlf: info@lu.dk
5 Vi fotsætte nu med at indsætte ligning efte ligning op gennem ækken. Fo hvet tin skives d som en kombination af 'ene, indtil vi til sidst indsætte og 0. Tilbage på høje side e så 'et elle andet tal' gange a + 'et elle andet tal' gange b: d= s a+ t b, hvo stî, Øvelse 2 8 kan altså skives som en sådan kombination af de to stoe tal fa eksemplet ovenfo. Det kæve lidt egneabejde. Men uden Euklids algoitme ville opgaven nok have viket uovekommelig. a) Undesøg om dit væktøjspogam kan løse opgaven. b) De 4 nedeste divisionsligninge va: = = = = 9 8 og he stå jo, at de4 også gælde at ( ) Bestem ved håndkaft s og t så 8 = s t ,2898 = 8. Øvelse 3 a) Bestem støste fælles diviso af tallene 5375 og 0465, og skiv den støste fælles diviso som en lineakombination af de to tal, som angivet i sætning 3. b) Vis, at støste fælles diviso af tallene 309 og 235 e tallet, og bestem s og t så = s t 235 Pimiske tal Øvelse 4. Fo ethvet pa af tal s og t vil s a+ t b væe et helt tal. d= ( ab, ) e et af disse tal ifølge sætning 3. De gælde ydeligee, at det e lige pæcis det mindste positive tal, de kan skives således. Vis dette. (Hint: De må findes et mindste positivt tal e, på fomen: s a+ t b. Vis at e = d) Definition. Hvis den støste fælles diviso fo a og b e, kaldes a og b fo indbydes pimiske. Bemækning. Nå ( ab, ) = findes ifølge sætning 3 tal s og t, så s a+ t b= Dette kan vi nu udnytte til at vise en vigtige sætning i talteoien: 202 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-48 København K Tlf: info@lu.dk
6 Sætning 4 p a b Hvis ½ ( ) og p e pimisk med a (dvs ( ) ap, = Bevis Nå p e pimisk med a, findes hele tal s og t, så: s a+ t p= Gange ligningen igennem med b: s a b+ t p b= b p gå op i tallene på venste side af lighedstegnet. Defo gå p også op i høje side: pb ½. ), så gælde: pb ½ Øvelse 5 Anvend sætning 4 til at bevise aitmetikkens fundamentalsætning, de sige, at ethvet helt tal kan skives på en og kun en måde som et podukt af pimtal, dvs pimtalsfaktoiseingen af et helt tal e entydig. (Hint: Føste del, nemlig at de findes en pimtalsfaktoiseing af ethvet helt tal, e simpelt: Enten e det selv et pimtal, elle det e et sammensat tal, dvs det kan skives som et podukt. Hve af disse tal e enten pimtal elle sammensatte tal osv, indtil vi nå fem til, at alle faktoe e pimtal. Fo entydigheden: Antal at de to pimtalsfaktoiseinge af et tal: p p p... p = q q q... q, 2 3 n 2 3 m hvo alle faktoe e pimtal. Anvend nu sætning 4 til at vise, at p må væe lig med et af q ene. Fokot væk og tag fat på det næste p osv.) 202 L&R Uddannelse A/S Vognmagegade DK-48 København K Tlf: info@lu.dk
Projekt 0.5 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Pojekt 0.5 Euklids algoitme, pimtal og pimiske tal Betegnelse. Mængden af hele tal (positive, negative og nul) betegnes. At et tal a e et helt tal angives med: aî, de læses a tilhøe. Nå vi ha to vilkålige
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs merePrivatøkonomi og kvotientrækker KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Pivatøkonomi og kvotientække KLADDE Thomas Heide-Jøgensen, Rosbog Gymnasium & HF, 2017 Indhold 1 Endelige kvotientække 3 1.1 Hvad e en ække?............................ 3 1.2 Kvotientække..............................
Læs mereAnnuiteter og indekstal
Annuitete og indekstal 1 Opspaing og lån Mike Auebach Odense 2010 Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen. På
Læs mereSHOR S ALGORITME FOR KVANTE FAKTORISERING
SHOR S LGORITME FOR KVTE FKTORISERIG IELS YGRD Det e velkendt at mens det e meget nemt at få en compute til at gange to tal sammen e det meget svæee at gå den anden vej, at få en compute til at faktoisee
Læs mereIntroduktion I dette forløb vil vi dels få et redskab til at sammenligne, hvor hurtigt givne funktioner vokser (eller aftager), og dels
Hvd e mtemtik? 2 Pojekte: Kpitel 5. Pojekt 5.18 Støelsesoden fo funktione Pojekt 5.18 Støelsesoden fo funktionene, og ln( ) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt
Læs mereProjekt 1.8 Design en optimal flaske
ISBN 978-87-7066-9- Pojekte: Kapitel Vaiabelsammenænge. Pojekt.8 Design en optimal flaske Pojekt.8 Design en optimal flaske Fimaet PatyKids ønske at elancee dees enegidik Enegize. Den skal ave et nyt navn
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom
Læs mereEkstra ugeopgaver UO 1. MAT 2AL 24. april 2006
UO 1 Eksta ugeopgave 1. [GRP2: 16 *Lad k k(σ) væe tallet defineet i GRP(2.18.1), altså som summen k (p 1)m p (σ ) n m(σ ). Som nævnt kan σ skives som podukt af k tanspositione. Vis, at σ ikke kan skives
Læs mereAnnuiteter og indekstal
Annuitete og indekstal Mike Auebach Odense, 2010 1 OPSPARING OG LÅN Hvis man betale til en opspaingskonto i en bank, kan man ikke buge entefomlen til at beegne, hvo mange penge, de vil stå på kontoen.
Læs mereElementær Matematik. Lineære funktioner og Andengradspolynomiet
Elementæ Mtemtik Lineæe funktione og Andengdspolynomiet Ole Witt-Hnsen Indhold. Den lineæe funktion.... Stykkevis lineæe funktione.... Andengdspolynomiet.... Pllelfoskydning f koodintsystemet.... Pllelfoskydning
Læs mereTrigonometri. teori mundtlig fremlæggelse C 2. C v. B v. A v
Tigonometi teoi mundtlig femlæggelse 2 v v B v B Indhold 1. Sætning om ensvinklede teknte og målestoksfohold (uden bevis)... 2 2. Vinkelsummen i en teknt... 2 3. Pythgos sætning om ETVINKLEDE TEKNTE...
Læs mere( ) ( ) ( ) Størrelsesorden for funktionerne a x, x a og ln(x) (opgaveforløb v/ Bjørn Grøn og John Schächter) > ( )
Støelsesoden fo funktionene, og ln() Side f 5 Støelsesoden fo funktionene, og ln() (opgvefoløb v/ Bjøn Gøn og John Schächte) Intoduktion I dette foløb vil vi dels få et edskb til t smmenligne, hvo hutigt
Læs mereProcent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler
Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee
Læs mereHvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:
0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække
Læs mereProjekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages
Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.
Læs mereProjekt 5.2. Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger
Hvad e matematik? B, i-bog Pojekte: Kapitel 5. Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Pojekt 5.. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende
Læs mereGravitationsfeltet. r i
Gavitationsfeltet Den stoe bitiske fysike Isaac Newton opdagede i 600-tallet massetiltækningsloven, som sige, at to masse m og i den indbydes afstand påvike hinanden med en kaft af følgende støelse, hvo
Læs mereAlt hvad du nogensinde har ønsket at vide om... Del 2. Frank Nasser 2006-2007
Alt hvad du nogensinde ha ønsket at vide om... VEKTORER Del 2 Fank Nasse 2006-2007 - 1 - Indledning Vi skal i denne lille note gennemgå det basale teoi om vektoe i planen og i ummet. Stoffet e pæcis det
Læs mereIndhold (med link til dokumentet her) Introduktion til låntyper. Begreber. Thomas Jensen og Morten Overgård Nielsen
Thomas Jensen og Moten Ovegåd Nielsen Annuitetslån I bogens del 2 kan du læse om Pocent og ente (s. 41-66). Vi vil i mateialet he gå lidt videe til mee kompliceede entebeegninge i fobindelse med annuitetslån.
Læs mereMatematik på Åbent VUC
Matematik på Åent VUC Lektion 8 Geometi Indoldsfotegnelse Indoldsfotegnelse... Længdemål og omegning mellem længdemål... Omkeds og aeal af ektangle og kvadate... Omkeds og aeal af ande figue... Omegning
Læs mereTDC A/S Nørregade 21 0900 København C. Afgørelse om fastsættelse af WACC i forbindelse med omkostningsdokumentation af priserne i TDC s standardtilbud
TC A/S Nøegade 21 0900 København C Afgøelse om fastsættelse af WACC i fobindelse med omkostningsdokumentation af pisene i TC s standadtilbud Sagsfemstilling en 29. juni 2006 modtog TC s notat om den beegningsmæssige
Læs mereRentesregning: Lektion A1. Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og Betalingsrækker. Overordnede spørgsmål i Rentesregning. Peter Ove Christensen
Rentesegning: Lektion A1 Foentningsfakto, Diskonteingsfakto, og Pete Ove Chistensen Foå 2012 1 / 49 Oveodnede spøgsmål i Rentesegning Hvoledes kan betalinge sammenlignes, nå betalingene e tidsmæssigt adskilte?
Læs mereKort om. Potenssammenhænge. 2011 Karsten Juul
Kot om Potenssmmenhænge 011 Ksten Juul Dette hæfte indeholde pensum i potenssmmenhænge, heunde popotionle og omvendt popotionle vible, fo gymnsiet og hf. Indhold 1. Ligning og gf fo potenssmmenhænge...
Læs mereHTX Holstebro Jacob Østergaard 20. oktober 2008 3. A Fysik A Accelererede Roterende Legemer 19:03:00
1 Fomål 1. At bestemme acceleationen fo et legeme med et kendt inetimoment, nå det ulle ned ad et skåplan - i teoi og paksis.. I teoi og paksis at bestemme acceleationen fo et legeme med kendt inetimoment,
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereTEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?
TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk
Læs mereForløb om annuitetslån
Matema10k C-niveau, Fdenlund Side 1 af 7 Foløb om annuitetslån Dette mateiale fokusee på den tpe lån de betegnes annuitetslån. Emnet kan buges som en del af det suppleende stof, og mateialet kan anvendes
Læs mereFremstilling af F1 hybrider i raps ved brug af cytoplasmatiskgenetisk
Femstilling af F1 hybide i aps ved bug af tiskgenetisk hansteilitet, samt faveudspaltning i F2 efte kydsning af hvidblomstet linje med gulblomstet linje. På side 2-3 vises esultatet af en kydsning med
Læs mereProjekt 2.3 Anvendelse af Cavalieris princip i areal- og rumfangsberegninger
Pojekt. Anvendelse af Cavalieis pincip i aeal- og umfangsbeegninge Den gundlæggende metode til beegning af aeale af figue, de e bestemt af kumme kuve, a siden oldtiden væe at tilnæme disse med polygone.
Læs mereKap. 1: Logaritme-, eksponential- og potensfunktioner. Grundlæggende egenskaber.
- 4 - Kap. : Logaitme-, eksponential- og potensfunktione. Gundlæggende egenskabe... Logaitmefunktione. Definition... Ved en logaitmefunktion fostå vi en funktion f, som opfylde følgende te kav: ) Dm(f)
Læs mereDe dynamiske stjerner
De dynamiske stjene Suppleende note Kuglesymmetiske gasmasse Figu 1 Betelgeuse (Alfa Oionis) e en ød kæmpestjene i stjenebilledet Oion. Den e så sto, at den anbagt i voes solsystem ville nå næsten ud til
Læs mereJanuar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.
Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001
Læs mereErhvervs- og Selskabsstyrelsen
Ehvevs- og Selskabsstyelsen Måling af viksomhedenes administative byde ved afegning af moms, enegiafgifte og udvalgte miljøafgifte Novembe 2004 Rambøll Management Nøegade 7A DK-1165 København K Danmak
Læs mereOpsparing og afvikling af gæld
Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK fa C- til A- niveau. udgave FORORD Denne bog e beegnet fo studeende, som ha behov fo at epetee elle opgadee dees matematiske viden fa C elle B- niveau til A-niveau Bogen
Læs mereDen stigende popularitet af de afdragsfrie lån har ad flere omgange fået skylden for de kraftigt stigende boligpriser de senere år.
16. septembe 8 Afdagsfie lån og pisstigninge på boligmakedet Den stigende populaitet af de afdagsfie lån ha ad flee omgange fået skylden fo de kaftigt stigende boligpise de senee å. Set ove en længee peiode
Læs mereImpulsbevarelse ved stød
Iulsbevaelse ved stød Iulsbevaelse ved stød Indhold Iulsbevaelse ved stød.... Centalt stød.... Elastisk stød... 3. Uelastisk stød... 4. Iulsbevaelse ved stød...3 5. Centalt elastisk stød...4 6. Centalt
Læs mereVORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde "Falunparken" LOKALPLAN NR. B-25.2. 20 kr. FALUNVEJ PRINS JØRGENS ALLÈ KØBENHAVNSVEJ
VORDINGBORG KOMMUNE N PRINS JØRGENS ALLÈ FALUNVEJ KØBENHAVNSVEJ LOKALPLAN NR. B-25.2 Boligomåde "Falunpaken" Vodingbog mats 2005 20 k. Rettelsesblad til Lokalplan B-25.2 Lokalplan C.17.24.01 Vaehus ved
Læs mereMed disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:
Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som
Læs mererekommandation overspændingsafledere til højspændingsnet. Member of DEHN group Udarbejdet af: Ernst Boye Nielsen & Peter Mathiasen,
ekommandation ovespændingsafledee til højspændingsnet Udabejdet af: Enst Boye Nielsen & Pete Mathiasen, DESITEK A/S Denne publikation e en ekommandation fo valg af ovespændingsafledee til højspændingsnet
Læs mereVORDINGBORG KOMMUNE. Butiksområde ved Bryggervangen LOKALPLAN NR. C-15.2. 20 kr. BØDKERVÆNGET BRYGGERVANGEN VÆVERGANGEN VALDEMARSGADE
VORDINGBORG KOMMUNE N BØDKERVÆNGET VÆVERGANGEN BRYGGERVANGEN VALDEMARSGADE LOKALPLAN NR. C-15.2 Butiksomåde ved Byggevangen Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om
Læs merep o drama vesterdal idræt musik kunst design
musik dama kunst design filmedie idæt pojektpocespobieenpos itpoblempovokationpodu kt p on to p ot estpobablypogessivpodu ktionpovinspomotionp otesepologpoevefipofil Vestedal Efteskole // Gl. Assensvej
Læs mereDimittendundersøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009
Dimittendundesøgelse 2008-2009 Afspændingspædagoguddannelsen Dimittendundesøgelse, 2009 Dato: 3. juni 2009 Opsummeing af undesøgelse foetaget blandt dimittende fa Afspændingspædagoguddannelsen Datagundlag
Læs mereVORDINGBORG KOMMUNE. Boligområde ved Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2. 20 kr. Færgegårdsvej Bogøvej. Kalvøvej
VORDINGBORG KOMMUNE N Fægegådsvej Bogøvej Kalvøvej LOKALPLAN NR. B-24.2 Boligomåde ved Kalvøvej Vodingbog apil 2005 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt til at
Læs mereg-påvirkning i rutsjebane
g-påvikning i utsjebane I denne note skal vi indføe begebet g-påvikning fo en peson, som sidde i en vogn, de bevæge sig undt i en utsjebane i et lodet plan. Dette skal vi gøe via begebet elativ bevægelse.
Læs mereTilfredshedsmåling SKP 2015 AARHUS TECH. 1. Har du været i praktik i en virksomhed i løbet af den seneste praktikperiode? 2. Køn. 3.
Tilfedshedsmåling SKP 2015 AARHUS TECH 1. Ha du væet i paktik i en viksomhed i løbet af den seneste paktikpeiode? 2. Køn 3. Alde 4. Hvo langt e du i uddannelsen? 5. Hvo meget ha du sammenlagt væet i paktik
Læs mereHverdagsliv før og nu. fortalt gennem Børnenes Arbejdermuseum. Arbejdsbog
Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Abejdsbog Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Bønenes Abejdemuseum Denne bog tilhøe Navn: Klasse: 1 Hvedagsliv fø og nu fotalt gennem Abejdemuseets
Læs mereMatematik. Mål Aktiviteter Øvelser/Evaluering. Tal Eleven kan anvende reelle tal Eleven har viden om irrationale tal
Tema: Tal og egning; egning med tal Uge 33-36 Mål Aktivitete Øvelse/Evalueing Poblembehandling Eleven kan planlægge og gennemføe poblemløsningspocesse Eleven ha viden om elemente i poblemløsningspocesse
Læs mereOm Gear fra Technoingranaggi Riduttori Tilføjelser til TR s katalogmateriale
...when motos must be contolled Om Gea fa Technoinganaggi Riduttoi Tilføjelse til TR s katalogmateiale ISO 9 cetificeing: Technoinganaggi Riduttoi følge ISO 9 pincippene i dees kvalitetsstying. Alle dele
Læs mereArealet af en sfærisk trekant m.m.
ealet af en sfæisk tekant m.m. Tillæg til side 103 104 i Matematik højniveau 1 fa TRI, af Eik Vestegaad. Sfæisk tokant Givet en kugle. En plan, de passee igennem kuglens centum, skæe kuglen i en såkaldt
Læs mere, idet der jo af ovenstående udregninger (hvor vi har regnet ensbetydende, dvs vi kan slutte begge veje) følger at > K.
Hvd e mtemtik? A ISBN 978-87-766-497-4 Pojekte: Kpitel 2. Pojekt 2.4 Støelsesoden fo funktione Pojekt 2.4. Støelsesoden fo funktionene Intoduktion, og ln( ) I dette foløb vil vi dels få et edskb til t
Læs mereVI SEJREDE! Vi kom, vi så,
Vi kom, vi så, VI SEJREDE! Pojekt JCI Julehjælp Svendbog Hjælp os med at hjælpe ande 2011 afsluttede indsamlingen til tængte bønefamilie i Svendbog med sto succes! Søndag d. 18. dec. va sidste indsamlingsdag
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereEtiske dilemmaer i fysioterapeutisk praksis
side 06 fysioteapeuten n. 06 apil 2008 AF: FYSIOTERAPEUT, PH.D.-STUDERENDE JEANETTE PRÆSTEGAARD j.paestegaad@oncable.dk Foto: GITTE SKOV fafo.fysio.dk Etiske dilemmae i fysioteapeutisk paksis Hvis vi ikke
Læs merePension og Tilbagetrækning - Ikke-parametrisk Estimation af Heterogenitet
Pension og Tilbagetækning - Ikke-paametisk Estimation af Heteogenitet Søen Anbeg De Økonomiske Råds Sekataiat, DØRS Pete Stephensen Danish Rational Economic Agents Model, DREAM DREAM Abedspapi 23:2 foeløbig
Læs mereØnskekøbing Kommune - netværksanalyse i den administrative organisation
Ønskekøbing Kommune - netvæksanalyse i den administative oganisation Hvodan vike det i paksis? Elektonisk spøgeskemaundesøgelse Svaene fa undesøgelsen kombinees med alleede eksisteende stamdata i minde
Læs mereLokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.
VORDINGBORG KOMMUNE NÆSTVEDVEJ N ALGADE MARIENBERGVEJ LOKALPLAN NR. C-2.2 Banegådsomådet, Vodingbog By Vodingbog august 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets et og pligt
Læs mereKomplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
Læs mereTo legeme problemet og Keplers love
To legeme oblemet og Keles love 0/8 To legeme oblemet og Keles love Indhold. To legeme oblemet. Reduktion til centalbevægelse.... Løsning af diffeentialligningene fo en centalbevægelse.... Lagange fomalismen...3
Læs merePsykisk arbejdsmiljø (kort) udarbejdet af NFA (AMI)
Psykisk abejdsmiljø (kot) udabejdet af NFA (AMI) Navn, dato, å Hvilken afdeling abejde du i? Afdelingens navn De følgende spøgsmål handle om dit psykiske abejdsmiljø. Sæt et kyds ud fo hvet spøgsmål ved
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs meret a l e n t c a m p d k Talteori Anne Ryelund Anders Friis 16. juli 2014 Slide 1/36
Slide 1/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36 sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36 1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36 sfaktorisering 1) Hvad er
Læs mereKvantemekanik 10 Side 1 af 9 Brintatomet I. Sfærisk harmoniske ( ) ( ) ( ) ( )
Kvantemekanik 0 Side af 9 Bintatomet I Sfæisk hamoniske Ifølge udtyk (9.7) e Lˆ Lˆ og de eksistee således et fuldstændigt sæt af = 0 samtidige egenfunktione fo ˆL og L ˆ de som antydet i udtyk (9.8) kan
Læs mereJulestjerner af karton Design Beregning Konstruktion
Julestjene af katon Julestjene af katon Design Beegning Konstuktion Et vilkåligt antal takke En vilkålig afstand fa entum ud til spidsene En vilkålig afstand fa entum ud til toppunktene i "indakkene" En
Læs mereMuligHeden. www.ikast-brande.dk September 2015. Robuste idéer
www.ikast-bande.dk Septembe 2015 Robuste idée Fitid, oplevelse og en håndsækning til kultuen En en mandeguppe ha sat sig på opgaven som scenemeste og lysfolk i Bakkehuset Skulle Ikasts kultuhus, Bakkehuset,
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mere1. Indledning... 1 2. Lineær iteration... 2
Hvad e matematik? B, i og ISBN 978 87 766 494 3 Pojekte: Kapitel Pojekt.3 Lieæe Iteatiospocesse Idhold 1. Idledig... 1 2. Lieæ iteatio... 2 2.1 Lieæ vækst... 2 2.2 Ekspoetiel vækst... 2 2.3 Foskudt ekspoetiel
Læs mereHelikopterprojekt Vejprospektering mellem Sisimiut og Sønderstrømfjord
Helikoptepojekt Vejpospekteing mellem Sisimiut og Søndestømfjod 7.-. august 006 Hold Emil Stüup-Toft, s060480 Vivi Pedesen, s06048 János Hethey, s03793 Moten Bille Adeldam, s00334 Rettelsesblad til tykt
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereIndholdsfortegnelse. Matematik A. Projekt 6 - Centralperspektiv. Stine Andersen og Morten Kristensen
HTX Næstved Matematik A 8 2 Indholdsfotegnelse Indholdsfotegnelse... 2 Indledning... 3 Poblemstilling... 4 Teoi... 5 Vektoe i planet... 5 Vektobestemmelse... 5 Vinkel mellem to vektoe... 6 Vektokoodinate...
Læs mereCisgene bygplanter. planteforskning.dk Bioteknologi
plantefoskning.dk Cisgene bygplante Nyttige egenskabe kan tilføes til femtidens afgøde ved hjælp af genetisk modifikation uden indsættelse af atsfemmede gene. Den nye stategi anvendes bl.a. til udvikling
Læs mereLokalplanlægning. Lokalplanen er bindende for den enkelte grundejer, men handler kun om fremtidige forhold og giver ikke grundejerne handlepligt.
VORDINGBORG KOMMUNE N VOLDGADE ALGADE BAISSTRÆDE LOKALPLAN NR. C-16.1 Centeomåde mellem Algade og Voldgade, Vodingbog Vodingbog juni 2006 20 k. Lokalplanlægning Planloven indeholde bestemmelse om Byådets
Læs mereKvantepartikel i centralpotential
Kvantemekanik 11 Side 1 af 7 Bintatomet II Kvantepatike i centapotentia Det kan vises at bevægesesmængdemomentets støese dets pojektion på en akse samt enegien af en kvantepatike i et centapotentia e samtidigt
Læs mereMATEMATIK på Søværnets officerskole
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATEMATIK på Søvænets officeskole (opeativ linie). udgave 9 FORORD Bogen gennemgå det pensum, som e beskevet i fagplanen af 9. Det e en foudsætning, at de studeende ha et solidt
Læs mereTrivselsundersøgelse 2010
Tivselsundesøgelse, byggeteknike, kot-og landmålingseknike, psteknolog og bygni (Intenatal) Pinsesse Chalottes Gade 8 København N T: Indhold Indledning... Metode... Tivselsanalyse fo bygni... Styke og
Læs mereMagnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 8 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π og
Læs mereTALTEORI x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
TALTEORI x-lassene Gammel Helleup Gymnasium Mats 09 ; Michael Szymansi ; mz@ghg. Inholsfotegnelse FORORD... 3 INDLEDNING... 3 Kapitel : DIVISION (hele tal)... 4 Kapitel : RESTKLASSER (hele tal)... 7 Kapitel
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereSTATISTIKNOTER Simple multinomialfordelingsmodeller
STATISTIKNOTER Simple multinomialfodelingsmodelle Jøgen Lasen IMFUFA Roskilde Univesitetscente Febua 1999 IMFUFA, Roskilde Univesitetscente, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jøgen Lasen: STATISTIKNOTER:
Læs mereSabatiers princip (elevvejledning)
Sabaties pincip (elevvejledning) Væ på toppen af vulkanen Sammenligning af katalysatoe Fomål I skal måle hvo godt foskellige stoffe vike som katalysato fo udvikling af oxygen fa hydogenpeoxid. I skal sammenligne
Læs mereStå op fo Odense. Vis, at vi er mange, der arbejder for det samme
Odense Vis, at vi e mange, de abejde fo det samme Inspiation til at spede budskabet om Beskæftigelsesalliancens indsatse på sociale medie. En alliance bestående af odenseanske viksomhede, uddannelsesinstitutione,
Læs mereObligatorisk erhvervspraktik i 8. klasse
Obligatoisk ehvevspaktik i 8. klasse Fomål: Fo eleve i 8. klasse kan det væe vanskeligt at have klae foestillinge om abejdslivet og de pesonlige og uddannelsesmæssige kompetence, som abejdsmakedet eftespøge.
Læs mereOvergangsbetingelser for D- og E-felt
lektomgnetisme 5 Side f 9 lektosttisk enegi Ovegngsetingse fo D- og -ft I det flg. undesøges, hvd de ske med D- og -ftvektoene ved ovegngen mlem to diektik: D-ft: Den Gussiske flde S e en cylinde med lille
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMatematisk formelsamling til A-niveau - i forsøget med netadgang til skriftlig eksamen 1
Mtemtisk fomelsmling til A-niveu - i fosøget med netdgng til skiftlig eksmen Food Mtemtisk fomelsmling til A-niveu e udejdet fo t give et smlet ovelik ove de fomle og det symolspog, de knytte sig til kenestoffet
Læs mereWear&Care Brugervejledning. A change for the better
A change fo the bette Intoduktion Wea&Cae e en smat løsning, de give mulighed fo at følge fugtniveauet i bleen, så den kan skiftes efte behov. Infomationen gå fa en sende på bleen til modtageens smatphone
Læs mereKapitel 7. Hvad er matematik? 1 ISBN Øvelse Øvelse a = 3 0, = 8 2,6 3 = 25 3, , =
ISBN 978877066879 Kaitel 7 Øvelse 71 1 3 4 ( x + 6) ( x 4) (y + 3 z) (y 3 z) (m + 10) Øvelse 74 a 3 5 = 4,6 49 7 = 7,0 3 0,1875 16 = 8,6 3 = 5 3,57148 7 = 10 0, 76930 13 = Stregerne over tallene efter
Læs mereVektorer i planen. Fem opgavesæt. for gymnasiets standardforsøg i matematik. 2004 Karsten Juul
Vektoe i planen Fem opgavesæt fo gymnasiets standadfosøg i matematik 004 Kasten Juul Vektoe i planen Opgavesæt n 1 af 5 Dette opgavesæt deje sig om det gundlæggende om vektoe VP 1 I et koodinatsystem i
Læs mereMagnetisk dipolmoment
Kvantemekanik 9 Side 1 af 9 Magnetisk dipolmoment Klassisk Ifølge EM udtyk (8.16) e det magnetiske dipolmoment af en ladning q i en cikulæ bane med adius givet ved μ = IA (9.1) v q > 0 μ L hvo A = π I
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)
Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder
Læs mereNYHED! BESKYTTELSE. Tyvek classic xpert ENESTÅENDE TYPE-5/6 FRA TYVEK CLASSIC TIL... NYTÆNKNING I HVER ENKELT DETALJE
Ny unik teknologi ENESTÅENDE TYPE-5/6 BESKYTTELSE Patentanmeldt FRA TYVEK CLASSIC TIL... Tyvek classic xpet Flee åties ekspetise inden fo dette fagomåde ha gjot Tyvek Classic til et foegangseksempel på
Læs mereVURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE
Modul 0: Speciale 0. semeste, cand.oecon Aalbog Univesitet Afleveet d. 30. maj 202 VURDERING AF LØSNINGSFORSLAG I FORBINDELSE MED DEN EUROPÆISKE STATSGÆLDSKRISE Vejlede: Finn Olesen Skevet af Henik Hanghøj
Læs mereCO 2. -regnskab For virksomheden Jammerbugt Kommune
-egnskab Fo viksomheden Jammebugt Kommune Fosidebilledet vise Ryå, de gå ove sine bedde -egnskab fo Jammebugt Kommune Jammebugt Kommune indgik d. 9. oktobe 2009 en klimakommuneaftale med Danmaks Natufedningsfoening.
Læs mereRegional Udvikling, Miljø og Råstoffer. Jordforurening - Offentlig høring Forslag til nye forureningsundersøgelser og oprensninger 2016
Regional Udvikling, Miljø og Råstoffe Jodfouening - Offentlig høing Foslag til nye foueningsundesøgelse og opensninge 2016 Decembe 2015 Food En jodfouening kan skade voes fælles gundvand, voes sundhed
Læs mereFysik A og Astronomi. Keplers love. Skrevet af Jacob Larsen 3.år HTX Slagelse Udgivet i samarbejde med Martin Gyde Poulsen 3.
Keples lve Skeve af Jacb Lasen.å HTX Slagelse Udgive i samabejde med Main Gyde Pulsen.å HTX Slagelse 1 De Lve På baggund af den danske asnm Tych Bahes bsevaine. De va isæ paallaksemålinge af Mas placeing
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mere3.0 Rørberegninger. VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallationer Varme Fordelingssystem 3.0 Rørberegning. 3.1 Rørberegningers forudsætninger
VIDENSYSTEM.dk Bygningsinstallatione Vae Fodelingssyste 3.0 Røbeegning 3.0 Røbeegninge 3.1 Røbeegningens foudsætninge 3. Tyktabsbeegning geneelt 3.3 Paktiske hjælpeidle 3.4 Beegningspincip fo tostengsanlæg
Læs mereEn forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.
1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,
Læs mere