Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Cirkelbevægelsen og klotoiden

Transkript

1 Cirkelbeægelen og klotoiden ide Intitut for Matematik, DTU: Gymnaieopgae Cirkelbeægelen og klotoiden Teori: Erik Øhlenchlæger, Fyik for Diplomingeniører, Gyldendal 996, ide -4. Indledning Figur. Kørel i ejing. Når i kører i bil og ejen pludelig drejer f.ek. til entre, e fig., il man ofte ære tilbøjelig til at kære inget af ed at begynde at dreje, allerede før man kommer ind i inget. Singet blier hermed mindre karpt og kørlen føle behageligere. Hi man kører på et lige ejtykke og møder et ejing, der er udformet om en cirkelbue og amtidig prøer at holde bilen fart kontant, il man pludelig mærke en tærgående kraft eller et ryk, idet man kører ind i ejinget. Åragen til dette ryk er, at man for at følge bilen cirkelbane må ære påirket af en paende centripetalkraft. Jo karpere ejinget er, eller jo højere farten er, deto tørre blier kraften eller rykket. For at forøge køreikkerheden og kørekomforten, udforme ejene kurer derfor ikke om cirkelbuer, men om klotoider. e figur. Klotoiden er en kure, hi krumning forøge gradit. Hered undgår føreren af bilen det bratte ryk, når bilen kører ind i ejinget. Vi kal enere e nærmere på klotoiden udformning, men ført il i underøge cirkelbeægelen lidt nøjere. Figur. Motorejudfletning ed lbertlund.

2 Cirkelbeægelen og klotoiden ide Cirkelbeægelen Figur. Krumningcirklen En ilkårlig banekure kan i en omegn af et punkt P altid tilnærme med en cirkel, e figur. Cirklen kalde for banekuren krumningcirkel i P, og radiu ρ ( rho) kalde for banekuren krumningradiu i P. Jo tærkere ejen drejer eller krummer, de mindre er krumningradiu. Vi indfører et mål for ejen krumning κ ( kappa) om den reciprokke ærdi af krumningradiu el κ /ρ, krumningen Figur 4. Cirkelbeægelen Lad o betragte en partikel P, der beæger ig på en cirkel med radiu ρ, e figur 4. Vinkeldrejningen imellem x-aken og tedektoren OP kalde θ(t). Sammenhængen imellem inkeldrejningen og den tilbagelagte ejtrækning eller buelængde (t) er giet ed (t) ρ θ(t), buelængden

3 Cirkelbeægelen og klotoiden ide Vinkelhatigheden ω og inkelaccelerationen α er defineret ed ω θ(t) &, inkelhatighed α ω(t) & θ(t) &, inkelacceleration I det ite xy-koordinatytem kan tedektoren OP r r(t) r (t) krie [ x(t), y(t) ] [ ρ co θ(t), ρ in θ(t) ], tedektoren, hor x(t) ρ coθ (t) og y(t) ρ inθ(t) er koordinatfunktionerne. Hatigheden r (t) defineret r (t) [ x(t) &, y(t) & ] [ - in θ(t), co θ(t)] ρ θ & (t), hatigheden. Indfører i enhedtangentektoren e r t til cirklen e r t [ - in θ(t), co θ(t) ], kan r (t) krie r (t) ρ θ & (t) e r ρ ω e r. ccelerationen a r (t) er defineret t t r a (t) ( && x(t), & y(t) ) [- in θ(t), co θ(t)] ρ θ & (t) - [ co θ(t), in θ(t) ] ρ θ& (t). Indfører i enhednormalektoren r e ê n t om tærektoren til e r t kan a r (t) e r n - [ in θ(t), co θ(t)] krie a r (t) ρ θ & (t) e r + ρ t θ& (t) e r n ρ ω & e r t + ρω e r n, accelerationen ccelerationen i cirkelbeægelen a n og a t efter normalen og tangenten kan da krie an ρ ω, normalaccelerationen ρ at & ρ ω & ρ α, tangentialaccelerationen

4 Cirkelbeægelen og klotoiden ide 4 Figur 5. Normal- og tangentialaccelerationen. I figur 5 er it retningen af normal- og tangentialaccelerationen i en cirkelbeægele. Ekempel. Fig. 6. Bilkørel i ejing. Vi betragter en bil, der kører på en noet ejtrækning BC, e figur 6. I punktet er krumningradiu ρ 400 m, i punktet B er krumningradiu uendelig og krumningen κ 0, og i punktet C er krumningradiu igen ρ 400 m ( Vejtrækningen BC er udformet om en klotoide, hor krumning κ / ρ afhænger lineært af den kørte ejtrækning, e nærmere herom enere). I figur 6 er it krumningcirklerne i, B og C, hor krumningcirklen i B udarter til en ret linie. De to ejtrækninger B og BC er lige tore, og der gælder B BC 900 m.

5 Cirkelbeægelen og klotoiden ide 5 Vi il nu e på tilfælde. I. tilfælde antager i, at bilen kører med kontant fart på hele trækningen BC. I. tilfælde antager i at bilen bremer på trækningen BC med en kontant kraft, ålede farten aftager jænt. Den tidafledede & af farten er da en kontant.. tilfælde: Farten er kontant på trækningen BC. Vi antager, at farten er 0 m/ 7 km/h og er kontant på hele ejtrækningen BC. Vi ønker at beregne accelerationerne a, a B og a C af bilen i her punkterne, B og C. Ført er i på punktet. Bilen banekure er med tilnærmele cirkelformet med en radiu på ρ 400 m. Da farten er kontant, il bilen kun hae en normalacceleration a,n, altå a 0 a,n m/ m/. ρ 400 På grund af ymmetrien må accelerationen i C ogå ære a a m/. I punkt B er normalaccelerationen a B,n 0, da ρ. Tangentialaccelerationen i B a B,t er ligelede nul, da farten er kontant. Det betyder, at a B B 0 m/.. tilfælde: Farten aftager jænt. Vi antager, at farten i er 5 m/ 90 km/h men aftager på hele ejtrækningen BC, idet der gælder, at den tidafledede af farten & - /8 m/ er en kontant. Da farten aftager jænt på trækningen BC, kan i benytte formlen fra beægelen i tyngdefeltet til beregning af farten om funktion af ejtrækningen, idet i blot kal ertatte tyngdeaccelerationen g med & - /8 m/. Vi har da for farten () i et ilkårligt punkt af banen C () + & 5 8 m/. Indætter i B 900 m og C 800 m i oentående formel, får i V B 0 m/ 7,0 km/h og V C, m/ 47,6 km/h. Normalalacceleration a,n og a,t tangentialaccelerationen i er da 5 a, n m/,56 m/, ρ 400 a,t & - /8 m/ - 0,5 m/, horefter den reulterende acceleration blier a,56 + 0,5 m/, 57 m/. Ligeom i det. tilfælde er normalaccelerationen i punktet B, a B,n 0, da ρ. Tangentialaccelerationen, a B,t i B er den amme om i, nemlig a B,t & - /8 m/ - 0,5 m/.

6 Cirkelbeægelen og klotoiden ide 6 Horefter den reulterende acceleration B blier a B 0 + 0,5 m/ 0.5 m/. Normalalacceleration a C,n og tangentialaccelerationen a C,t i C er C, ac, n m/ 0,48 m/, ρ 400 a C,t & - /8 m/ - 0,5 m/, horefter den reulterende acceleration C blier a C 0, ,5 m/ 0,455 m/. Ekempel. Fig. 7. Bilkørel i entreing. Vi betragter en ejtrækningen BC, e figur 7. På trækningen B er ejen lige. I B begynder ejen at inge til entre. Vi antager, at en bil kommer kørende på ejtrækningen B med kontant fart og fortætter ind i ejinget, amtidig med at den holder farten kontant. Lad betegne ejtrækningen eller buelængden regnet ud fra B, e figur 7. Vi il igen e på bilen acceleration under kørlen. På den lige ejtrækning B er accelerationen a 0, trækning B, lige ejtrækning da farten er kontant. Hi hele ejtrækningen BC ar udformet om en cirkelbue med kontant radiu ρ, il accelerationen a på tykket BC ære a. trækning BC, kontant cirkelradiu ρ. ρ Under denne forudætning il føreren af bilen pludelig blie påirket af en tærkraft F m a, når bilen kører ind på ejtykket BC, hor m er maen af føreren. Den pludelige

7 Cirkelbeægelen og klotoiden ide 7 tærkraft føle om et ryk og gør kørlen ubehagelig. Har føreren en mae på m 80 kg og er f.ek. ρ 400 m og bilen fart 5 m/ 90 km/h, blier tærkraften F 5 N,5 kp! For at undgå dette ryk ed oergang fra kørel på en lige ejtrækning til kørel på en cirkelbue, indkyder man i ejinget før cirkelbuen en oergangkure på en ådan måde, at tærkraften F forøge proportionalt med den kørte ejtrækning. For denne oergangkure har i da, at F k eller ma k, hor k er en kontant. Heraf er i, at m ρ k. For ejen krumning κ / ρ må der derfor gælde k κ kontant, ρ m det il ige, at krumningen i oergangkuren kal ære proportional med den kørte ejtrækning. En kure, der har den egenkab kalde for en klotoide. Vejtrækningen BC, der er it i figur 7, er netop udformet om en klotoide. Vi kal e nærmere på klotoiden i næte afnit. Klotoiden Fig. 8. Klotoiden. En klotoide er, om i tidligere har et, defineret om en kure, hor krumningen κ / ρ er proportional med buelængden, altå κ k, klotoiden,

8 Cirkelbeægelen og klotoiden ide 8 og hor k er en gien kontant. Vi kal nu udlede en parameterfremtilling for klotoiden. Vi måler tangenten inkeldrejning θ() med x-aken for, e figur 8, om funktion af. Krumningen κ() definere matematik om tangenten inkeldrejningen per buelængdeenhed eller dθ() κ( ), krumningen. ρ() d For klotoiden har i pecielt, at κ k. Hermed finder i for inkeldrejningen θ om funktion af θ() k, klotoiden. Er farten (t) kan hatigheden i et punkt på kuren krie r (t) (t) [ co θ(), in θ() ]. Sætter i farten (t), blier buelængden t, horefter hatigheden r (t) r () udtrykke kan r () [ co θ(), in θ() ]. Opfatter i x() og y() om funktioner af buelængden, er tangentektoren for klotoiden giet ed r () [x (), y () ] [ co θ(), in θ() ]. Heraf kan i finde udtryk for x() og y() x() y() co( k ' ) d' parameterfremtilling 0 in( k ' ) d' for en klotoide. 0 Oentående integraler kan kun udregne numerik ed brug af f.ek. MPLE. ccelerationen når farten er a r dθ() () [x (), y () ] [ -in θ(), co θ() ] k [ -in θ(), co θ() ], d og tørrelen a() af accelerationen blier derfor a() k. Er farten i banekuren imidlertid (t) kan normalaccelerationen a n udtrykke a n ρ κ k. Vi kal i næte afnit e horlede man benytter klotoiden til dimenionering af oergangkurer ejing.

9 Cirkelbeægelen og klotoiden ide 9 Dimenionering af oergangkurer Kører i med en kontant fart i et ejing, der er udformet om en klotoide, il normalaccelerationen, om i å i forrige afnit, ære a n k, hor ρ() k. ccelerationen og dermed den kraft, om føreren af bilen mærker, oker altå proportionalt med tiden. For at ikre kørekomforten og køreikkerheden har man edtaget at ændringen af accelerationen pr. tidenhed makimalt må ære 0,45 m/, eller dt da n k 0,45 m/, og dermed formlen ρ() 0,45m/ k, hor i har indført klotoide parameteren, der har enheden meter, ed 0,45m/ k, klotoide parameteren. Klotoiden benytte tidligere omtalt om en oergangkure imellem to ejtrækninger med forkellige krumningradier og. Den amlede længde L af klotoiden kan derfor udtrykke L e, Hor i har indført tørrelen den effektie radiu e ed e. For ændringen Θ i tangentretningen ( d... ændringen i kørelretningen) på trækningen L har i Θ ( ) k.

10 Cirkelbeægelen og klotoiden 0 ide I figur 9 er it klotoide længden L om funktion af den effektie radiu e for forkellige ærdier af hatigheden. Fig. 9. Klotoide længden om funktion af den effektie radiu. Ved må krumningradier i ejing blier oerigtforholdene dårlige og de tærkræfter føreren af bilen udætte for tore. Der er derfor græner for hor må krumningradier, man il tolerere af henyn til køreikkerheden. Hi i forlanger at den makimale kraft er 00 N, om en peron på 75 kg må udætte for i et ejing, hor bilen fart er, blier den mindte krumningradiu min og den tørte buelængde L max for klotoiden betemt ed min 75 kg 00 N, min Lmax 0,45m/ eller L,4 m. max min Denne ammenhæng imellem L max og min, der gier en middel god køreikkerhed, er it i fig. 9, om den tiplede kure middel. Ligger krumningradierne inden for den tiplede kure god, kan man helt undgå at benytte klotoider om oergangkurer i ejinget. t man gør det alligeel kylde alene ætetike grunde. Vi kal nu e på et ekempel på beregning udformningen af et ejing.

11 Cirkelbeægelen og klotoiden ide Ekempel. 0. Klotoide forbindee mellem motoreje, der kryder hinanden Vi ønker at udforme en forbindele fra en øt-et gående motorej til nord-yd gående motorej, e figur 0. Den anbefalede hatighed på forbindelen er at til 00 km/h. fkørlen tænke opbygget af to klotoide buer, horaf den ene har og en drejninginkel Θ på 45, meden den anden er pejlendt, e figur 0. Klotoide parameteren er 00 m / 8, m. 0,45m/,6 0,45m/ For Θ hae Θ π/4, hilket gier 8, 74, m Θ π L e 8, m 7,5 m 74, Den amlede forbindelelængde imellem motorejene blier 547 m. Den tørte centripetalacceleration ed en fart på 00 km/h 7,8 m/ er a n 7,8 m/ 4,44 m/. 74, Den tørte tærkraft en fører på 80 kg mærker i inget er derfor F 80 4,44 N 55 N 6 kp. Konkluion: Dette er elfølgelig helt uanarligt.

12 Cirkelbeægelen og klotoiden ide Opgae Beregn en -formet forbindele imellem motoreje til en anbefalet fart på 90 km/h. Motorejene ligger parallelforkudt i forhold til hinanden med en indbyrde aftand på km. Litteratur Det enke Vägerket har et afnit om oergangangkurer i afnit 6 om linieføring Ved dette link kan du blandt andet finde et klotoide beregningprogram, om du kan downloade