Matematik C Noter For S15B. Af Cristina Sissee Jensen

Transkript

1 Matematik C Noter For S15B Af Cristina Sissee Jensen

2 Indholds fortegnelse Statistik s.4-6 o Forklaring på ikke og grupperede statistik s.4 o Ikke grupperede s.4 o Grupperede s.6 Tal- og bogstavregning s.8-11 o Tal s.8 o Regnearterne s.8 o Parenteser s.8 o Brøker s.8 o Potenser s.10 o Rødder s.11 Ligninger og formler s o Ligninger s.12 o Ligninger med brøker s.12 o Ligninger med potenser og rødder s.13 o Formler s.13 o Uligheder s.14 Procent- og rentesregning s o Procent s.16 o Procentdel af et tal s.16 o Et tal som en procentdel af et andet tal s.16 o At lægge procentdel til s.16 o At trække procentdel fra s.16 o F-faktoren s.17 o Anvendelse af F-faktoren i procentregning s.17 o Renteformlen s.17 o Procentvise stigning i forskellige tidsrum s.19 o Gennemsnitlig procent s.20 o Indekstal s.21 o Annuitetsopsparing s.22 o Annuitetslån s.23 Geometri s o Trekanter s.24 o Forstørrelsesfaktor s.25 o Retvinklet trekanter s.26 Pythagoras sætning s.26 Sinus, cosinus og tangens relationerne s.26 o Vilkårlige trekanter s.27 Cosinusrelationerne s.27 Sinusrelationerne s.30 o Ligebenet trekanter s.33 2

3 Variabelsammenhænge s o Regneforskrifter og støttepunkter s.35 o Koordinatsystem s.35 o Mere om funktionsbegrebet s.37 Lineære funktioner s o Lineær funktioner s.39 o Betydning af a og b s.39 o Lineære væksttype s.40 o Beregning af a og b s.41 o Grafisk og algebraisk løsning af lineære funktioner s.41 o Lineære modeller s.42 o Lineære regression s.43 Eksponentielle funktioner s o Eksponentielle funktioner s.44 o Grafen s.45 o Eksponentielle ligninger s.45 o Betydning af a og b s.46 o Den eksponentielle væksttype s.46 o Beregning af a og b s.47 o Fordoblingskonstant og halveringskonstant s.47 o Eksponentielle modeller s.48 o Eksponentiel regression s.49 Potensfunktioner s o Potensfunktioner s.50 o Grafen s.50 o Potensligninger s.50 o Potensvækst s.51 o Beregning af a og b s.52 o Potensmodeller s.52 o Potensregression s.53 Ligefrem og omvendt proportionalitet s.54 o Ligefrem og omvendt proportionalitet s.54 o Omvendt proportionalitet s.54 Magic papers s.55 o Potens og rentesregning s.55 o Retvinklet trekanter s.57 o Vilkårlige trekanter s.58 o Funktioner s.59 o Funktions ligninger s. 60 3

4 Statistik Når man snakker om statistik er der altid snak om nogle observationer som kan være grupperede og ikke grupperede. Man kan kende grupperede på at der er intervaller som ser sådan her ud [30;40[og man kan kende ikke grupperede på at der bare er nogle observationer som sådan her 7. Man taler også om hyppighed, frekvens, kumuleret frekvens, middeltal/gennemsnit, median, øvre kvartil, nedre kvartil mindste værdi og største værdi men ved grupperede er der også interval midtpunkt Ikke grupperede: Til ikke grupperede skal man bruge et pindediagram, et trappediagram og et blokspot Obs. observationer Hyp. hyppighed Frek. frekvens Kum. Frek. kumuleret frekvens Sum i alt Obs. Hyp. Frek. Kum. frek ,08 0, ,12 0,08 + 0,12 0, ,16 0,2 + 0,16 0, ,32 0,36 + 0,32 0, ,24 0,68 + 0,24 0, ,08 0,92 + 0,08 1 Sum Hyppighed er hvor mage der er af hver af dem. Frekvens er når man tager hyppigheden og dividere med summen af hyppigheden. Den kumuleret frekvens er når man tager og ligger alle frekvenserne sammen Til pindediagrammet bruger man frekvensen til at finde højden på pindende På y-aksen er det frekvensen der står fra 0 til 1 På x-aksen er der hvor observationerne står 4

5 Til trappediagrammet bruger man den kumuleret frekvens På y-aksen er det frekvensen der står fra 0 til 1 På x-aksen er der hvor observationerne står Når man skal lave trappen skal man lave to punkter ude fra hinanden så mellem 00 og 02 skal man tegne en streg ved 0,08 og igen ved 02 og 4 tegner men en streg ved 0,20 og sådan forsætter man Til blokspottet skal man kende mindste værdien, største værdien, nedre kvartil, median og øvre kvartil Mindste værdien 00 Nedre kvartil 4 Median 7 Øvre kvartil 10 Største værdien 12 Så blokspottet vil se sådan her ud Man finder dem på trappediagrammet ved at tegne nedre kvartil som er ved 0,25 som er 25%, median ved 0,50 som er 50% og øvre kvartil ved 0,75 som er 75% og stregerne skal tegnes fra y- aksen og ud til trappen og derefter ned på x-aksen. Men hvis man ikke har et trappe diagram vil man kunne finde det på denne her måde: Median vil man kunne finde midt punktet som i eksemplet her hvor der er et ulige antal observationer: 02, 4, 7, 10, 12 Men hvis man så har et lige tal observationer vil man skulle gøre som i eksemplet her: 00, 02, 4, 7, 10, 12 Man tager de to midterste observationer og plusser dem med hinanden derefter tager man det resultat og dividerer med to ,5 Nedre og øvre kvartil vil man skulle finde ved at bruge mere eller mindre samme princip som ved median bortset fra at man vil skulle finde nedre kvartil blandt de grønne observationer og man vil skulle finde øvre kvartil blandt de gule observationer. Ved disse beregninger skal man huske at forholde sig til om der er et lige eller ulige antal observationer. Middeltallet finder man ved at ligge alle obs. Sammen antal gange de forekommer og dividere med antallet (00 4) + (02 6) + (4 8) + (7 16) + (10 12) + (12 4) ,48 5

6 Grupperede: Interval obs. interval observationer Hyp. hyppighed Frek. frekvens Kum. Frek. kumuleret frekvens Sum i alt Interval midt. interval midtpunkt Interval obs. Hyp. Frek. Kum. Frek. Interval midt. [30; 40[ 6 6 0,12 0,12 (30+40) [40; 50[ ,30 0,2 + 0,30 0,42 (40+50) [50; 60[ ,34 0,42 + 0,34 0,76 (50+60) [60; 70[ 5 5 0,10 0,76 + 0,10 0,86 (60+70) [70; 80[ 3 3 0,06 0,86 + 0,06 0,92 (70+80) [80; 90[ 3 3 0,06 0,92 + 0,06 0,98 (80+90) [90; 100[ 1 1 0,02 0,98 + 0,02 1 (90+100) Sum Hyppighed og frekvens og kumuleret frekvens er det samme som før men interval midtpunkt er at man plusser de to interval observationer og divider det tal med 2 Til histogrammet bruger man frekvensen til at finde højderne på søjlerne y-aksen er frekvensen fra 0 til 1 x-aksen er intervallerne fra 30 til 100 6

7 Til sumkurven bruger man den kumuleret frekvens y-aksen er frekvensen fra 0 til 1 x-aksen er intervallerne fra 30 til 100 Til blokspottet skal man igen kende mindste værdien, største værdien, nedre kvartil, median og øvre kvartil Mindste værdien 30 Nedre kvartil 44 Median 52 Øvre kvartil 59 Man finder dem på sumkurv t ved at tegne nedre kvartil som er ved 0,25 som er 25%, median ved 0,50 som er 50% og øvre kvartil ved 0,75 som er 75% og stregerne skal tegnes til de rammer grafen og så lig ned Største værdien 100 Så blokspottet vil se sådan her ud Middeltallet finder men ved at tage intervalmidtpunktet og ganger med hyppigheden og så plusser man alle tallene sammen og til sidst dividere man det med summen af hyppigheden (35 6) + (45 15) + (55 17) + (65 5) + (75 3) + (85 3) + (95 1) ,4 7

8 Tal: Tal- og bogstavregning Der er de naturlige tal N(1,2,3,4,5...), de hele tal Z(...-3,-2,-1,0,1,2,3...), de rationale tal Q( 1 2, 1 3, 2 3, 1 4 ) og de irrationale tal som er et tal som ikke kan skrives som en brøk med et helt tal i tæller og nævner Ex. 1 Z, 0 Z, 5 6 Q, 2 irr, π irr, 2 3 Q, 4 Q, 100 Z 9 Regnearter: regne hierarkiet (rækkefølgen de skal regnes / fjernes ) 1. regn ( ) 2. fjern x 2 eller x 3. regn eller 4. regn + eller når man ganger eller dividere med posetive og negative tal Parenteser: Regneregler når der er parenteser med i et regnestykke 1. Man ganger et tal med en parentes ved at man ganger tallet ind i parentesen a (b + c) (a b) + (a c) 2. Man ganger to parenteser med hinanden ved at man ganger hvert led i den første parentes med hvert led i den anden parentes (a + b) (c + d) (a c) + (a d) + (b c) + (b d) 3. Man hæver en plus parentes uden at ændre fortegnene i parentesen a + (b + c d) a + b + c d 4. Man hæver en minus parentes ved at ændre fortegnene på leddene i parentesen a (b + c d) a b c + d Brøker: Når man plusser, ganger, minusser, divider, forlænger, forkorter brøker med hinanden og ganger eller divider brøker med et helt tal 1. Når man forkorter en brøk skal man finde et tal der går op i både tæller og nævner og så divider man med tallet i både tæller og nævner a a: c b b: c Ex. 40: 4 28: Når man forlænger en brøk skal man finde et tal der går op i både tæller og nævner og så ganger men med det tal i både tæller og nævner a a c b b c Ex. 8

9 Når man skal skaffe en fælles nævner for to brøker a og c kan man ved at forlænge a ved at gange med b d b d i både tæller og nævner og for at forlænge c ved at gange med b i både tæller og nævner for så har d man en fælles nævner da man ganger b og d med hinanden og det vil give det sammen resultat begge gange a b og c a d c b og d b d d b ad cb og bd db Ex. 1 3 og og og Når man ligger to brøker sammen skal de to brøker have sammen nævner og så ligger man dem bare de to tæller sammen a c + b a + b c c Ex Når man trækker to brøker fra hinanden skal de to brøker have samme nævnere og derefter trækker man bare de to tæller fra hinanden a c b a b c c Ex Man ganger to brøker med hinanden ved at man ganger tæller med tæller og nævner med nævner a b c a c d b d Ex når man dividere to brøker med hinanden ved at man ganger den første brøk med den anden brøk som bare er omvendt og det vil sige at dens tæller og nævner skifter plads a b c d a b d a d c b c Ex Man ganger en brøk med et helt tal ved at man ganger tallet med tallet i tælleren og beholder den samme nævner a c a c b b Ex Når man divider en brøk med et tal ganger man det tal i nævneren og beholder tælleren 9

10 a b : c a b c Ex. 1 4 : Når man divider et tal med en brøk ganger man tallet med den omvendte brøk c: a b c b c b a a Ex. 5: Potenser: En potens er et tal på formen a n hvor a er et positivt tal og kaldes grundtallet og n kaldes eksponenten og defineres sådan her n posetivt a n a a a a ex n negativt a n 1 ex a a a a Desuden definere man at a 0 1 Potensregneregler: A og b er positive tal og m og n er reelle tal gælder disse regler 1. a m a n a m+n ex a m 2. a n am n ex a n b n (a b) n ex (3 2) a n 4. b n (a b )n ex (3 2 )2 1, (a m ) n a m n ex. (2 3 ) For et positivt tal x er logx bestemt ved 10 logx xex. log fordi log 10 1 fordi log 1 0 fordi log 0,1 1 fordi ,1 Logx er altså det tal som 10 skal opløftes med for at give x Logaritmeregneregler: For positive tal a og b samt reelle tal x gælder 1. log(a b) log a + log b ex. log 2 + log 10 log(2 10) 2. log(a: b) log a log b ex. log 10 log 2 log(10: 2) 3. log(a x ) x log a ex. log(5 x ) x log 5 10

11 Rødder: Lad n være et tal der er forskelligt fra 0 ved den n'te rod af det positive tal a forstås som et positivt tal x n som er opløftet i n'te potens giver a den n'te rod af a betegnes a Ex. Så for positive tal x og y Ex. n hvis x a n hvis x så er x n a så er så er y så er x y n 3 x 7 x 7 3 x 343 der gælder altså Ex. hvis x n n y så er x y x 2 11 x 11 x 3,31 11

12 Ligninger og formler Omformningsregler for ligninger: 1. man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet 2. man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet 3. man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet (dog ikke 0) 4. man må divider med det samme tal på begge sider af lighedstegnet (dog ikke 0) Eksempler: 3 : 4 4x x x 8 4x x 2 HUSK Det modsatte af er + er x 2 er x og omvendt Ligninger med brøker: Når der så er en brøker i en ligning skal man finde et man ganger med tælleren så det kan gå op med nævneren og blive et helt tal og hvis der er flere brøker i en ligning skal tallet gå op i alle de brøker der er i ligningen 4 6x : 3 3x + 4 6x 11 3x x x 6x 15 3x 6x 6x 15 6x 3x 15 3x x 5 Man ganger med 6 da både 3 og 2 går op i 6 og man laver derfor en parentes op det oprindelige og ganger 6 ind i parentesen for at ophæve den og derefter skrive den ren over to trin Og derefter regner man det bare som alle andre ligninger 6 2x x x 1 6 ( 1 2 x + 3) 6 (1 x 1) x x 6 3x x 6 3x x 2x 6 2x x x x 24 12

13 Ligninger med potenser og rødder: Når man snakker om ligninger med potenser og rødder snakker man om at x n n y så er x y y er positive tal Eksempel: og at x og Man gør det modsatte af opløftet som er at tage kvadratroden af det der er på den anden side af lighedstegnet for at finde x x x ± 144 x ±12 7 x 1,5 x 1,5 7 x 17,08 Man gør det modsatte af kvadratroden som er at tage og opløfte det der er på den anden side af lighedstegnet for at finde x Men hvis der er en uvelkommen gæst skal man fjerne den før man modregner kvadratroden eller opløftet Eksempel: Den uvelkommen gæst her er 2 så derfor divider man med 2 for at fjerne 2 Man gør det modsatte som man gjorde i de andre eksempler : (1 + x) (1 + x) (1 + x) x x x x 1 Formler: For et kvadrat y x A x y O (2 x) + (2 y) eller x + y + x + y For en cirkel d r radius d diameter r A π r 2 O 2 π r eller π d så ud fra det kan man se at hvis man mangler et tal så kan man finde de manglende tal ved hjælp af en ligning der er flere eksempler på næste side Eksempel på at finde radius når arealet er 55 : π 17,51 A π r 2 55 π r 2 55 π π r2 π 17,51 r 2 17,51 r r 4,18 13

14 finde svingningstiden når pendulets længde er 5 meter T svingningstiden i sekunder L pendulets længde i meter Finder pendulets længde når svingnings tiden er på 25 sek : 2 : π 3,97 2 9,81 T 2 π L 9, π L 9,81 L 25 2 π 2 9, ,5 π L 9,81 12,5 π L π 9,81 π 3,97 L 9,81 3,97 2 L 9,81 15,82 L 9,81 15,82 9,81 L 9,81 9,81 L 155,3m T 2 π L 9,81 T 2 π 5 9,81 T 4,48 sek Finde vægten når man ved at højden er 1,8 og BMI'en er 23 3,24 BMI vægten (højden) 2 23 vægten 1,8^2 23 vægten 3, ,24 vægten 3,24 3,24 vægten 74,52kg Uligheder: Når man snakker omkring uligheder så snakker man faktisk mere eller mindre om ligninger da de samme regler gælder her den eneste forskel der er at når man dividere eller ganger med et negativt tal så vender ulighedstegnet sig. 14

15 < mindre end > større end mindre en eller ligmed større end eller ligmed Løsningsmængde til tallinje og intervalform: HUSK: Hvis man ganger eller divider med et negativt tal vender ulighedstegnet sig mindre end: større end: L ] ; 3[ L ]3; [ mindre end eller ligmed: større end eller ligmed: L ] ; 3] L [3; [ Når man regner en ulighed skal man huske at skrive løsningsmængden i både en tallinje og intervalform for selve opgave er ikke helt færdig før det er gjort Eksempler: 6 :3 3x x x 12 3x x L ] ; 4] x 2 : 4 3x + 2 < x + 4 3x + 2 x < x + 4 x 4x + 2 < 4 4x < 4 2 4x < 2 4x 4 > 2 4 x > 0,5 1,5 1 0,5 0 0,5 L ] 0,5; [ 15

16 Procent- og rentesregning Procent: Når man skal lave decimalt tal om til procenttal og omvendt. For at få decimaltal skam man divider med 100 og for at få procenttal skal man gange med 100% Fra decimaltal til procent 0, % 23,4% 1,47 100% 147% 1066,2 100% % 0, % 0,79% Fra procent til decimaltal 50% 100 0,50 25% 100 0,25 100% ,096% 100 0,1096 Procent af et tal: Når man skal finde en procentdel af et tal skal man tage procenten og divider med 100 så man får procenten i decimaltal, det tal tager man så og ganger med det tal man skal finde en procentdel af Eksempel: 12% af % af , , Et tal som er en procentdel af et andet tal: Den procentdel som et af tallene udgør af et andet tal, finder man ved, at man tager det første tal og divider med det andet tal. Det resultat ganger man med 100% for, at finde den procentdel det ene tal udgøre af det andet tal At lægge en procentdel til: ,25 100% 25% 0,34 100% 34% Når man skal lægge en procentdel til et tal, skal man tage procenten og divider med 100. Det tal det giver skal man gange med det tal man undersøger, og til sidst plusser man det tal man undersøger med det tal man fandt ved at bearbejde procenten 17% af 200 ( 17 ) Eller ved hjælp af F- faktoren som er forklaret under emnet F-faktoren 17% af ( ) 1,17 1, At trække en procentdel fra: Når man skal trække en procentdel fra et tal skal man tage procenten og divider med 100. Resultatet af beregningen skal man gange med det tal man undersøger og til sidst minusser man det tal man undersøger, noget af med det tal man fandt ved at bearbejde procenten 17% fra 200 ( 17 ) Eller ved hjælp af F- faktoren som er forklaret under emnet F-faktoren 17% fra ( ) 0,83 0,

17 F-faktoren: Man finder F-faktoren ved hjælp af denne formel F 1 + r hvor r procenten 100 Så hvis man skal lægge et tal til en procentdel skal man tage F-faktoren og ganger med det tal man undersøger. Hvis man skal trække en procentdel fra skal man også tage F-faktoren og gange med det tal man undersøger men det der er forskellen er at r er negativ Anvendelse af F-faktoren i procentregning: Når man lægger procenter til eller trækker procenter fra en begyndelsesværdi (B), bruger man denne her formel Men hvis man ikke kender F-faktoren og man kender slutværdien og begyndelsesværdien kan man bruge denne formel S B F Ex. S 300 1, S slutværdi F F faktoren B begyndelsesværdi F S B Ex. F ,07 Men hvis det så er begyndelsesværdien man skal finde og man kender slutværdien og F-faktoren skal man bruge denne formel Renteformlen: Når man snakker om renteformler er det vigtigt at vide at K 0 begyndelsesværdi K n slutværdi n antal perioder (månder, år, terminer) r renten i decimaltal Hvis man skal finde K n skal man bruge formlen K n K 0 (1 + r) n som er grundformlen for alle renteformler og det er den formel man skal bruge til at bevise de andre formler for K 0, r og n Eksempel. K kr K n? r 0,03 n 4 år B S F Ex. B 321 1, Eksempel K n K 0 (1 + r) n K n 2000 (1 + 0,03) 4 K n 2251,02kr 17

18 Hvis man skal finde K 0 skal man bruge formlen K 0 K n (1 +r)n og den bevises med formlen K n K 0 (1 + r) n K 0? K n 20000kr r 0,029 n 5 år Eksempel K 0 K 0 K n (1 + r) n (1 + 0,029) 5 K ,17kr Bevis : (1 + 0,029) 5 K n K 0 (1 + r) n K 0 (1 + 0,029) (1 + 0,029) 5 K 0 (1 + 0,029) 5 (1 + 0,029) (1 + 0,029) 5 K 0 K ,17kr n Hvis man skal finde r skal man bruge formlen r K n 1og den bevises med formlen K K n K 0 (1 + r) n 0 K kr K n 3000kr r? n 6år Eksempel n r K n 1 K 0 6 r r 0, % r% 3,09% Bevis : K n K 0 (1 + r) n (1 + r) (1 + r) r r % 0, % r r% 3,09% 18

19 Hvis man skal finde n skal man bruge formlen n log(k n K 0 ) log(1+r) og den bevises med formlen K n K 0 (1 + r) n K kr K n 1500kr r 0,03 n? Eksempel log ( K n) K n 0 log(1 + r) log (1500 n 1200 ) log(1 + 0,03) n 7,55 så i løbet af otte år Bevis : 1200 log : log(1 + 0,03) K n K 0 (1 + r) n (1 + 0,03) n (1 + 0,03) n (1 + 0,03) n 1200 log ( 1500 ) log(1 + 0,03) n 1200 log ( 1500 ) n log(1 + 0,03) 1200 log ( ) n log(1 + 0,03) log(1 + 0,03) (1 + 0,03) log ( ) log(1 + 0,03) n n 7,55 så i løbet af otte år Procentvis stigning i forskellige tidsrum: Så kan man snakke om renten pr. år i decimaltal som betegnes r 1år og F-faktoren som betegnes F n år fordi n kan variere, da det kommer an på hvor mange og på hvad opgaven spørg efter Så hvis man har en årlig rente på 4% Så for 1 år r 1 år ,04 F 1 år 1 + 0,04 1,04 Så for 2 år F 2 år 1,04 1,04 eller 1,04 2 Så for 3 år F 3 år 1,04 1,04 1,04 eller 1,04 3 Så en grundformel for F n år er F n år (1 + r 1 år ) n Så hvis man siger at man kender r 1 år men hvis man gerne vil finde r n år kan man bruge formlen r n år (1 + r 1 år ) n 1 så hvis renten er 4% og vi finde den procentvise stigning over 7 år r 7 år (1 + 0,04) 7 1 r 7 år 0, % r 7 år 31,59% Kan også skrives r 1 år 0,04 F 1 år 1 + 0,04 1,04 F 7 år 1,04 7 r 7 år (1,04 7 1) 100% 31,59% 19

20 Dette fænomen kaldes rentes rente fordi den også beregner de stigninger der er undervejs i forløbet, så hvis man skal finde renten pr. år når man kender r n år og derfor skal man bruge formlen r 1 år n (1 + r n år ) 1 når procenten for 8 år er 24% hvad er den så for et år 8 r 1 år (1 + 0,24) 1 r 1 år 0, % r 1 år 2,73% Kan også skrives r 8 år 0,24 F 8 år 1 + 0,24 1,24 8 F 7 år 1,24 r 7 år (1,0273 1) 100% 2,73% man kan i nogle tilfælde stå i et dilemma hvis man for af hvide at noget vokser med 37% på 6 år men man skal finde renten 3 år og 5 år når man står i sådanne situationer skal man starte med at finde rente for et år og derefter for 3 år og til sidst finder man så renten for 5 år For 1 år n r 1 år (1 + r n år ) 1 6 r 1 år (1 + 0,37) 1 r 1 år 0, % 5,38% For 3 år r n år (1 + r 1 år ) n 1 r 3 år (1 + 0,0538) 3 1 r 3 år 0, % 17,02% For 5 år r n år (1 + r 1 år ) n 1 r 5 år (1 + 0,0538) 5 1 r 5 år 0, % 29,95% Gennemsnitlige procent: Hvis man så ser på en situation hvor man har 1000kr, det første hvor renten 1%, 2% det næste år og det tredje år er renten så på 9% Det der står oven over er det samme som K (1 + r) 3 og det er så derfor formlen vil være sådan: n r (1 + r 1 ) (1 + r 2 ) (1 + r 3 ) (1 + r n ) sådan her. : 1000 Efter 1 år: S ,01 Efter 2 år: S ,01 1,02 Efter 3 år: S ,01 1,02 1,09 3 1,01 1,02 1,09 100% 1000 (1 + r) ,01 1,02 1, (1 + r) ,01 1,02 1, (1 + r) 3 1,01 1,02 1, r 1,01 1,02 1, r 1 1,01 1,02 1, r 1,01 1,02 1,09 1 r 0, % r% 3,94% 1 bevises ved at sætte K 3 op i mod S 3 i en ligning 20

21 Indekstal: Hvis man vil finde indekstal som for eksempel hvis man har et økoareal som det er man skal finde et indekstal af. Men i nogle tilfælde kender man ingen af indekstallene men i de tilfælde må man selv vælge et tal og sætte ind som for eksempel 100 som man kan tage udgangspunkt i og man skal bruge denne formel areal i et år indekstallet i året Eksempel areal i et andet året indekstallet i året Årstal Økoareal (hektar) Indekstal X X 100 X Her kender man ikke indekstallet så derfor er der blevet sat 100 ind i år 200 Så hvis man skal finde indekstallet for år 1999 tager man og sætter det op imod år 2000 : x x x 64,4 x x Så hvis man skal finde indekstallet for år 1998 tager man og sætter det op imod år 1999 : x ,4 64, x , , x Så hvis man skal finde indekstallet for år 2001 tager man og sætter det op imod år 2000 : x 47,17 x x x x x x 139,93 21

22 så vil skemaet se sådan her ud Årstal Økoareal (hektar) Indekstal 47,17 64, ,93 Men hvis man så i et tilfælde mangler tal fra økoareal som bliver brugt som eksempel her. Så kan man prøver at finde økoarealet for år 2000, tager man og sætter det op mod enten år 1999 eller år 2001 men her bliver den sat op mod år 1999 : 64, ,4 x ,4 x , ,4 64,4 x 64, , x 93527,95 Annuitetsopsparing: Annuitetsopsparing kan forklares med det her skema Dato Indbetaling 2/ / / / Værdi d.2/ *1, *1, *1, A n slut beløb efter antal år b beløb man insætter hver termin r renten i decimaltal n antal terminer Men til at regn det bruger man formlen A n b (1+r) n 1 r Så når renten er på 2% og beløbet man indsætter hver termin er på 4000kr og det forsætter de næste 4 år A n 4000 (1+0,02)4 1 0,02 A n 16486,43kr For at finde b bruger man denne formel b A n b 16486,43 b 4000kr 0,02 (1+0,02)4 1 r (1+r)n 1 For at finde n bruger man denne formel n log(a n r b +1) n log(16486,43 0, ) log(1+4000) n 4 år log(1+r) 22

23 Annuitetslån: For at finde ud af hvor meget men kan låne bruger man formlen G y 1 (1 +r) n y ydelse pr. termin (2500kr) G optagelse af lån (187724kr) r renten i decimaltal(0,0053) n antal terminer (96) 1 (1+0,0053) 96 G ,0053 G kr For at finde y bruger man formlen y G y y , (1+0,0053) 96 r 1 (1+r) n r For at finde n bruger man formlen n log(1 G r y ) n log( , ) log(1+0,0053) n 96 log(1+r) 23

24 Geometri Trekanter: Omkring trekanter snakker man om spidsvinklet, stumpvinklet og retvinklet trekanter. En spidsvinklet trekant er en trekant hvor alle vinkler er mellem 0 og 90 spids spidsvinklet En stumpvinklet trekant er en trekant hvor der bare er en af vinklerne der er mellem 90 og 180 men man skal huske og være opmærksom på at nogen gange rat man regner det kommer det til at give en vinkel på under 90 men for så at finde den rigtige vinkel skal man bare sige 180 minus den grad man fandt først og så vil man have den vinkel grad den rigtigt skal have stump En retvinklet trekant er en trekant hvor en af vinklerne er 90 stumpvinklet ret retvinklet I alle trekanter er vinkel summen på 180 og kan bevises ved formlen (n 2) 180 hvor n er antallet af sider så for eksempel med en firkant (4 2) Hvis man i en trekant kender to af vinklerne vil man kunne finde den tredje vinkel ved at tage 180 med de grader man kender B A C vinkel c vinkel c 80 Man kan finde arealet af en trekant med formlen A 1 2 h g h g 24

25 Forstørrelsesfaktor: Man kan finde forstørrelsesfaktoren ved at man bruger formlen K S og den kan bruges når det er der er B tale om to ens vinklede trekanter men med forskellige størrelser. Man viser de er ens ved at sætte to streger ved vinkel A, to streger ved vinkel B og tre streger ved vinkel C. Når man skal finde K skal man bruge den samme side til at gange eller divider med som der også er vist på tegningen. Man skal huske at den mindste trekant ikke behøver og være begyndelses trekanten B 1 K c B B a c 1 S a 1 vinkel A vinkel A 1 vinkel B vinkel B 1 vinkel C vinkel C 1 A b C A 1 b 1 C 1 s. 3 : K K S B K a 1 b 1 c 1 a b c B c 12 a B K S 1 B B K 6 18 c 1 S a 1 6 K 1 3 A b C A 1 b 1 C 1 c c :

26 Retvinklet trekanter: Man har en retvinklet trekant når der er en 90 vinkel så kan man bruge Pythagoras sætning til at finde en side hvis man mangler en af de sider man mangler Finde c a 2 + b 2 c 2 a 2 + b 2 c c Finde a a 2 + b 2 c 2 a 2 + b 2 b 2 c 2 b 2 a 2 c 2 b 2 a c 2 b 2 a Bogstaverne kan være forskellige men man ved at a modstående katete (mod. ) b hosliggende katete (hos. ) c hypotenusen (hyp. ) a modstående katete B Finde b a 2 + b 2 c 2 a 2 + b 2 a 2 c 2 a 2 b 2 c 2 a 2 b c 2 a 2 b c hypotenusen Man kan finde ud af hvad siderne hedder ud fra vinklerne C B b hosliggende katete A a c Man kan også bruge cosinus, sinus og tangens til at finde sider og vinkler man det kommer an på hvad man ønsker at finde og cosinus og sinus ligger på den retvinklet trekanten. Cosinus, sinus og tangens har formlerne sina cosa tana modstående katete hypotenusen hosligende katete hypotenusen modstående katete hosliggende katete eller sina a c eller cosa b c eller tana a b Hvis man søger vinkel A skal man bruge de her formler og man skal bruge den formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med en ligning C sina B C 1 cosa b A A sin A a c cos A b c tan A a b A sin 1 ( a ) c A sin 1 ( a A cos 1 ( b c ) ) c A cos 1 ( b A tan 1 ( a c ) ) A tan 1 ( a b b ) A A A Hvis man søger vinkel B skal man bruge de her formler og man skal bruge den formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med en ligning 26

27 sin B b c cos A a c tan B b a B sin 1 ( b ) c B sin 1 ( b c ) B cos 1 ( a ) c A cos 1 ( a c ) B tan 1 ( b ) a B B B tan 1 ( b a ) B Hvis man søger side a skal man bruge de her formler og man skal bruge den formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med en ligning Formel: Bevis: a c sina Formel: Bevis: a c cosb Formel: a b tana Bevis: Formel: a b tanb sina a c cosb a c tana a b c c b c sina a c c c cosb a c c b tana a b b c sina a a c cosb a a b tana a a Hvis man søger side b skal man bruge de her formler og man skal bruge den formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med en ligning Formel: Bevis: b c sinb Formel: b c cosa Bevis: Formel: b a tanb Bevis: Formel: b a tana sinb b c cosa b c tanb b a c c b c sinb b c c c cosa b c c a tana b a a c sinb b b c cosa b b a tanb b b Hvis man søger side c skal man bruge de her formler og man skal bruge den formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med en ligning c a sina c b c b c a sinb cosa cosb 27

28 Vilkårlige trekanter: En vilkårlig trekant er en trekant der ikke har en 90 vinkel kan man bruge cosinusrealationerne til at finde vinklerne og siderne man mangler ved hjælp af formlerne. Hvis man skal findelængden på en af siderne skal man kende vinkel der ligger navn til siden plus de to andre sider Formlen for at finde side a c a b 2 + c 2 2 b c cosa A b a 2 b 2 + c 2 2 b c cosa a b 2 + c 2 2 b c cosa a Formlen for at finde side b c b a 2 + c 2 2 a c cosb B a b 2 a 2 + c 2 2 a c cosb b a 2 + c 2 2 a c cosb b Formlen for at finde side c b c a 2 + b 2 2 a b cosc C a c 2 a 2 + b 2 2 a b cosc c a 2 + b 2 2 a b cosc c 28

29 Formlen for at finde vinkel A A c b A cos 1 ( b2 +c 2 a 2 ) 2 b c B a C b 2 c 2 : 2 b c 1 cos 1 a 2 b 2 + c 2 2 b c cosa a 2 b 2 c 2 2 b c cosa a 2 b 2 c 2 2 b c cosa 1 (a 2 b 2 c 2 ) cosa 1 ( 2 b c) a 2 + b 2 + c 2 cosa 2 b c A cos 1 ቆ a2 + b 2 + c 2 ቇ 2 b c A Formlen for at finde vinkel B A c b B cos 1 ( a2 +c 2 b 2 ) 2 a c B a C a 2 c 2 : 2 a c 1 cos 1 b 2 a 2 + c 2 2 a c cosb b 2 a 2 c 2 2 a c cosb b 2 a 2 c 2 cosb 2 a c 1 (b 2 a 2 c 2 ) cosa 1 ( 2 a c) b 2 + a 2 + c 2 cosb 2 a c B cos 1 ቆ b2 + a 2 + c 2 ቇ 2 a c B 29

30 Formlen for at finde vinkel C A c b C cos 1 ( a2 +b 2 c 2 ) 2 a b B a C a 2 b 2 : 2 a b 1 cos 1 c 2 a 2 + b 2 2 a b cosc c 2 a 2 b 2 2 a b cosc c 2 a 2 b 2 2 a b cosc 1 (c 2 a 2 b 2 ) cosc 1 ( 2 a b) c 2 + a 2 + b 2 cosc 2 a b C cos 1 ቆ c2 + a 2 + b 2 ቇ 2 a b C Man kan også bruge sinusrealationerne som har formlen sina a sinb b sinc c hvor man så kun skal bruge to afsnit af formlerne de afsnit man skal bruge kommer an på hvilke tal man har i sin opgave men man skal selvfølelig bruge den formel som det er der finder det man søger men samtidig har tallene til formlen og for at vise det har jeg bestemt at gennem alle regnestykkerne er side a7,21, side b8, side c4,47, vinkel A63,53, vinkel B82,87 og vinkel C33,6 De to mulige formler der er for at finde vinkel A : 8 sin 1 sina a sinb b sina sin (82,87) 7, sina 7,21 sin (82,87) 8 sina 7,21 sin (82,87) 8 8 sina 7,21 sin (82,87) 8 A sin 1 7,21 sin(82,87) ቆ ቇ 8 A 63,41 : 4,47 sin 1 sina a sinc c sina sin (33,6) 7,21 4,47 4,47 sina 7,21 sin (33,6) 4,47 sina 7,21 sin (33,6) 4,47 4,47 sina 7,21 sin (33,6) 4,47 A sin 1 7,21 sin(33,6) ቆ ቇ 4,47 A 63,20 30

31 De to mulige formler der er for at finde side a : sin (82,87) sina a sinb b sin (63,53) sin (82,87) a 8 8 sin(63,53) a sin(82,87) 8 sin (63,53) a sin (82,87) sin (82,87) sin (82,87) a 8 sin (63,53) sin (82,87) a 7,21 De to mulige formler der er for at finde vinkel B : sin (33,6) sina a sinc c sin (63,53) sin (33,6) a 4,47 4,47 sin(63,53) a sin(33,6) 4,47 sin (63,53) a sin (33,6) sin (33,6) sin (33,6) a 4,47 sin (63,53) sin (33,6) a 7,23 : 7,21 sin 1 sina a sinb b sin (63,53) sinb 7, sin (63,53) 7,21 sinb 8 sin (63,53) 7,21 sinb 7,21 7,21 8 sin (63,53) 7,21 sinb B sin 1 ቆ 8 sin(63,53) ቇ 7,21 : 4,47 sin 1 sinb b sinb 8 sinc c sin (33,6) 4,47 4,47 sinb 8 sin (33,6) 4,47 sinb 4,47 sinb 8 sin (33,6) 4,47 8 sin (33,6) 4,47 B sin 1 ቆ 8 sin(33,6) ቇ 4,47 B 83,33 B 82,05 De to mulige formler der er for at finde side b : sin (63,53) sina a sinb b sin (63,53) sin (82,87) 7,21 b b sin(63,53) 7,21 sin(82,87) b sin (63,53) 7,21 sin (82,87) sin (63,53) sin (63,53) b 7,21 sin (63,53) sin (63,53) b 7,99 : sin (33,6) sinb b sinc c sin (82,87) sin (33,6) b 4,47 4,47 sin(82,87) b sin(33,6) 4,47 sin (82,87) b sin (33,6) sin (33,6) sin (33,6) b 4,47 sin (82,87) sin (33,6) b 8,01 31

32 De to mulige formler der er for at finde vinkel C : 7,21 sin 1 sina a sinc c sin (63,53) sinc 7,21 4,47 4,47 sin(63,53) 7,21 sinc 4,47 sin (63,53) 7,21 sinc 7,21 7,21 4,47 sin (63,53) 7,21 sinc C sin 1 4,47 sin(63,53) ቆ ቇ 7,21 C 33,70 : 8 sin 1 sinb b sinc c sin (82,87) sinc 8 4,47 4,47 sin(82,87) 8 sinc 4,47 sin (82,87) 8 sinc 8 8 4,47 sin (82,87) 8 sinc C sin 1 4,47 sin(82,87) ቆ ቇ 8 C 33,67 De to mulige formler der er for at finde side c : sin (63,53) sina a sinc c sin (63,53) sin (33,6) 7,21 c c sin(63,53) 7,21 sin(33,6) c sin (63,53) 7,21 sin (33,6) sin (63,53) sin (63,53) 7,21 sin (33,6) c sin (63,53) c 4,45 c 4,46 Resultaterne er ikke helt præcis men det er fordi det bliver regnet med koma tal men tallene ligger meget tæt på det tal det skal være Man kan også bruge sinusrealationerne til at finde arealet af en vilkårligtrekant men man skal stadig huske man skal bruge den formel man har flest tal til at kunne ud regne : sin (82,87) sinb b sinc c sin (82,87) sin (33,6) 8 c c sin(82,87) 8 sin(33,6) c sin (82,87) 8 sin (33,6) sin (82,87) sin (82,87) 8 sin (33,6) c sin (82,87) T 1 a b sinc 2 T 1 b c sina 2 T 1 a c sinb 2 A b c C a B 32

33 Ligebenet trekanter Man ved det er en ligebenet trekant når trekanten opflyder alle de fire kriterier der er for at det kan være en ligebenet trekant Det første kriterie er at [AB] og [AC] er lige store A h ȁabȁ ȁacȁ B C Det andet kriterie er at vinkel B og C er ens da en ligebenet trekant også kan skilles ad så det er to retvinklet trekanter sinb h ȁabȁ A 1 A 2 sinc h ȁac ȁ vinkel B vinkel C B sin 1 H sinb sinc B C C Det tredje kriterie er at vinkel A 1 og A 2 er ens A A 1 + B + H 180 A 1 A 2 A 2 + C + H 180 h H B og C A 1 + B + H A 2 + C + H A 1 + B A 2 + C B C A 1 A 2 Det fjerde kriterie er at [BH] og [HC]er ens og kan bevises på to forskellige måder 33

34 cosb ȁbhȁ ȁabȁ A 1 A 2 cosc ȁhcȁ ȁacȁ B H C 1. metode 2. metode cosb ȁbhȁ ȁabȁ cosc ȁhcȁ ȁacȁ ȁacȁ 2 ȁhcȁ 2 + h 2 ȁabȁ 2 ȁhbȁ 2 + h 2 ȁacȁog ȁabȁ ȁbhȁ ȁabȁ ȁhcȁ ȁacȁ ȁbhȁ ȁhcȁ h 2 ȁbhȁ 2 + h 2 ȁhcȁ 2 + h 2 ȁbhȁ 2 ȁhcȁ 2 ȁbhȁ ȁhcȁ 34

35 Variabelsammenhænge Regneforskrifter og støttepunkter: Hvis man har en funktion som y f(x) så ville f(x) være regneforskriften for eksempel y 2x + 1 så ville 2x + 1 være regneforskriften. Hvis man ikke kender regneforskriften men kender x som er uafhængig (man kan selv vælge dem og y som er afhængig (den er bestemt) kan man finde regneforskriften sådan her Forskellen mellem de her to bestemmer hvad man skal minus eller plusser med x x y Så ville regneforskriften i det her tilfælde se sådan her ud y x + 2 Men hvis det nu er y man ikke kender men man kender x og regneforskriften kan man ved hjælp af et hjælpe skema finde y sådan her x der vælger man selv hvilke tal der skal stå Forskellen mellem hvert tal i y rækken og det er forskellen der bestemmer hvad man skal gange med x x y x + 2 y 3 y ( 3) y ( 2) y ( 1) y y y y Man finder y ved at sætte de tal man har valgt ind på x's plads en efter en og så har man y Når man så kender både x og y kan man finde nogle støttepunkter som er betegnet (x; y) så på baggrund af hjælpeskemaet fra før vil man kunne tegne nogle støtte punkter ( 3; 1), ( 2; 0), ( 1; 1), (0; 2), (1; 3), (2; 4) og (3; 5) støttepunkterne kan bruges til at tegne punkter ind i et koordinatsystem som kan blive til en graf Koordinatsystem: Et koordinatsystem bruges til at man kan tegne en graf som man kan tegne ud fra de fra for eksempel de støttepunkter fra før. I et hvert koordinatsystem er delt op i fire dele som skrives med romer tallene fra 1 til 4 sådan her 35

36 y-aksen ( x; y) (x; y) II ( 2; 2) (2; 2) I x-aksen x viser hvor meget man skal gå hen af x-aksen og y viser hvor meget man skal gå op ad y-aksen ( 2; 2) III ( x; y) (2; 2) IV (x; y) Så hvis man prøvede og tegne de støttepunkter man har fra før ind i koordinatsystemet og hvis man så tager og tegner en streg gennem alle de punkter man har tegnet ind så vil man have tegnet en graf og den vi så se sådan her ud Når man har en graf kan der være tale om tre forskellige slags grafer som er voksende, aftagende og konstante som vil se sådan her ud Aftagende (a er et negativt tal) Voksende (a er et positivt tal) Konstant (a er lig med 0) 36

37 Mere om funktionsbegrebet: Man ved det er en graf hvis der er man tegner en parallel linje med y og så må den linje kun skære den linje man undersøger en gang og så ved man det er en graf og hvis den linje man undersøger sære linjen to gange så vil det være en kurve som for eksempel graf kurv kurv graf kurv Med nogle grafer kan man finde detinitionsmængden (Dm(f)), værdimængden(vm(f)), maksimum og minimum. På det her skema kan man se hvordan man finder de forskellige ting 5 Maks. 5 Dm(f) [ 7; 5] Vm (f) [ 3; 5] Vm(f) Man kan finde ud af om kantparentesen skal være lukket([x;x]), åben(]x;x[) eller halvåben(]x;x] eller[x;x[)ud fra om prikkerne er fyldte eller ikke fyldte [ 7; 5] (lukket) -3-3 Min. ] 7; 5[ (åben) ] 7; 5] (halvåben) -7 Dm(f) 5 [ 7; 5[ (halvåben) Man kan også bevise en ligning ved en algebraisk og en grafisk metode den algebraiske er bare løser en ligning sådan her 1 : 2 2x x x 6 2x x 3 Den grafiske metode er at man tager sin ligning og deler den op i to ved lighedstegnet. Sådan her 2x + 1 og 7 de to dele sætter man så ind i hvert sit hjælpeskema (H-skema) og får lavet nogle støttepunkter som man kan sætte ind i et koordinatsystem sådan her 37

38 x y 2x + 1 y støttepunkter x y 7 y støttepunkter 3 y ( 3; 5) kkkkkkkkkkkkk 3 y 7 7 ( 3; 7) 2 y ( 2; 3) 2 y 7 7 ( 2; 7) 1 y ( 1; 1) 1 y 7 7 ( 1; 7) 0 y (0; 1) 0 y 7 7 (0; 7) 1 y (1; 4) 1 y 7 7 (1; 7) 2 y (2; 5) 2 y 7 7 (2; 7) 3 y (3; 7) 3 y 7 7 (3; 7) Da den algebraiske metode giver at x 3 når man så har sat de to grafer ind i et koordinatsystem vil de skære hinanden i punktet (3; 7) og derfor er resultaterne ens da de to grafer skære hinanden i 3 på x-aksen og den algebraiske gav at x 3 og det viser de to tal er ens 38

39 Lineære funktioner Lineære funktioner: En lineære funktion er hvis man har en regneforskrift af formen y ax + b hvor y er afhængig og x er uafhængig mens både a og b er konstanter. Man kan udregne værdierne x og y ved hjælp af et hjælpeskema (H-skema). Man kan for eksempel bruge et eksempel med et mobil abonnement til 50 kr. om måneden og 1,3 kr. i minuttet og regneforskriften for en lineære funktion vi være y 1,3x + 50 x y 1,3x + 50 y 0 y 1, y 1, y 1, y 1, y 1, y 1, y 1, Når man har lavet et hjælpeskema(h-skema) kan man finde y-tilvækst og x-tilvækst som beskriver det spring der er mellem hvert led i hjælpeskemaet (H-skema) man kan også forstå y-tilvækst og x-tilvækst som y og x da det er en (delta) som er sat ind i stedet og betegnelsen for tilvækst. Man skal forstå y- tilvækst som y y 2 y 1 og x-tilvækst som x x 2 x 1 x x 50 x 50 x 50 x 50 x 50 x y 1,3x + 50 y 0 y 1, y 1, y 1, y 1, y 1, y 1, y 1, y y 65 y 65 y 65 y 65 y 65 Så her vil x 1 0 og x 2 50 mens y 1 50 og y og det er de tal det er man har sat ind i formlen man bruger for at finde y og x Betydningen af a og b: Man finder betydningen af b ved at tage og bruge et hjælpeskema (H-skema) hvor man sætter 0 ind på x's plads i regneforskriften y ax + b som sådan her x y a x + b y 0 y a 0 + b 0 + b b b Hvis man laver samme udregning som der er i hjælpe-skemaet vil y give b og hvis man så følger regneforskriften for lineære funktioner vil man finde ud af at grafen skære (0; b) som betyder at hvis man tager og tegner en graf vil den skære y-aksen i b så det vil sige b er der hvor grafen skære y-aksen 39

40 Man finder betydningen af a ved at man tager og bruge et hjælpeskema (H-skema) hvor man vil tage og bruge betegnelsen x 0 da x kan være et tilfældigt tal +1 x y ax + b y x 0 y ax 0 + b ax 0 + b x y a(x 0 + 1) + b ax 0 + a + b ax 0 + b + a ax 0 + b + a Hjælpeskemaet beviser at når x stiger med 1 så vil y stige med a det vil sige hvis man går en vandret til højre på x-aksen så ville man skulle gå a lodret op eller ned til man rammer grafen som vil sige at a er hældnings tallet eller stignings tallet. +a Aftagende (a er et negativt tal) Voksende (a er et positivt tal) Konstant (a er lig med 0) Hvis a er positiv skal man bevæge sig lodret op til man ramme grafen Hvis a er negativ skal man bevæge sig lodret ned til man ramme grafen Hvis a er 0 så ville man hverken skulle bevæge sig lodret op eller ned da det bare vil give en helt vandret linje Lineære væksttype: Ved en lineære funktion y ax + b er der givet en sammenhæng mellem x og y ved en formel y a x man kalder formlen for en tilvækstformel fordi når x vokser med x så ville y få en tilvækst på a x som vil sige at y-tilvæksten er stignings tallet gange med x-tilvæksten + x x y ax + b y x 0 y ax 0 + b ax 0 + b x y a(x 0 + 1) + b ax 0 + a + b ax 0 + b + a ax 0 + b + a +a x man kan se i hjælpeskemaet at ændringerne i y-værdierne er a x da a er en konstant vil x-tilvækst give en bestem y-tilvækst uanset valget af tallet x for lineære funktioner være at stignings tallet som er a som bestemmer om funktionen er voksende, aftagende og konstant Hvis a er større end 0 så ville funktionen være voksende Hvis a er mindre end 0 så ville funktionen være aftagende Hvis a er lig med 0 så ville funktionen være konstant 40

41 Beregning af a og b: Hvis man har støttepunkterne (x 1 ; y 1 ) og (x 2 ; y 2 ) til den lineære funktion vil man kunne beregne a og b ved hjælp af formlerne a y x y 2 y 1 x 2 x 1 og b y 1 ax 1 eller y 2 ax 2 y a x y 1 ax 1 + b : x y a x x x y x a a y(y 2 y 1 ) x(x 2 x 1 ) ax 1 y 1 ax 1 ax 1 + b ax 1 b y 1 ax 1 Ex. : 50 Eller a y x a a 1,3 65 a a a a 1,3 1,3 0 Eller b y 1 ax 1 b 50 1,3 0 b ,3 0 + b 50 1,3 0 1,3 0 + b 1,3 0 b 50 1,3 0 b 50 Grafisk og algebraiske løsning af lineære funktioner: Hvis man skal løse den på den grafiskmetode og algebraiskmetode kan man som et eksempel tage to mobil selskaber som der er brugt som eksempel her i denne sammenhæng men man kan bruge mange forskellige eksempler TDC: Abonnement på 50 kr. pr. måned og 1,2 kr. pr. minut man taler. Hvis man så skal lave en graf ud af det vil man bruge formlen y ax + b som man ville sætte tallene ind i så på a's plads vil man sætte de 1,2 ind og på b's plads vil man sætte de 50 ind og så vil man have formlen til at tegne en graf som her ville være y 1,2x + 50 Telenor: Abonnement på 100 kr. pr. måned og 0,8 kr. pr. minut man taler. Hvis man så skal lave en graf ud af det vil man bruge formlen y ax + b som man ville sætte tallene ind i så på a's plads vil man sætte de 0,8 ind og på b's plads vil man sætte de 100 ind og så vil man have formlen til at tegne en graf som her ville være y 0,8x Den algebraiskmetode er at man tager og sætter de to formler op i mod hinanden og løser dem ligesom en ligning 41

42 50 0,8x : 0,4 1,2x ,8x ,2x ,8x ,2x 0,8x ,2x 0,8x ,8x 0,4x 50 0,4x 0,4 50 0,4 x 125 Den grafiskmetode er at man tager og laver et hjælpeskema (H-skema) på hver af de to grafer sådan her x y 1,2x + 50 y støttepunkter x y 0,8x y støttepunkter 100 y 1, (100; 170) 100 y 0, (100; 180) 105 y 1, (105; 176) 105 y 0, (105; 184) 110 y 1, (110; 182) 110 y 0, (110; 188) 115 y 1, (115; 188) 115 y 0, (115; 192) 120 y 1, (120; 194) 120 y 0, (120; 196) 125 y 1, (125; 200) 125 y 0, (125; 200) 130 y 1, (130; 206) 130 y 0, (130; 204) Når man så har lavet de to hjælpeskemaer (H-skema) ind i et koordinatsystem hvor man så går hen og finder det punkt hvor de to grafer skære hinanden Hvis man så finder punkt x altså det antal man går hen af x-aksen til at finde skæringspunktet og hvis det tal er det samme tal som man fandt via den algebraiskmetode så har man gjort det hele rigtigt Lineære modeller: Hvis man i nogle tilfælde er ude for at ikke alle punkterne ligger på en ret linje hvis man plottede dem ind i et koordinatsystem som her i denne tabel for en persons højde. Alder i år Højde i cm Man vil der for skulle finde den bedste rette linje man kan og det kan man gøre ved at plotte alle de tal fra tabellen ind i geogebra og derefter få geogebra til at finde den bedst mulige rette linje(sæt punkterne ind 42

43 kopier alle punkterne tryk på værktøj 4 vælg værktøjet bedste rette linje aflæs den lineære funktion) Så her siger geogebra at funktionen er y 6,56x + 71,55 x y Man kan også selv finde regneforskriften for funktionen ved at bruge formlerne for at finde a og b som er gennemgået under underemnet beregning af a og b a y 2 y 1 x 2 x 1 a a 6,5 b y 1 ax 1 b 98 6,5 4 b 72 Når man så selv har regnet a og b som man kan sætte ind i formlen for lineære funktioner så her vil funktionen være y 6,5x + 72 hvis man så sammenlignede den med den geogebra fandt ville man kunne se de er mere eller mindre ens Lineære regression: Når man nu har lavet sådan en graf hvor det er punkterne ikke ligger på en lige linje vil man skulle regne den som i geogebra men også via wordmat da wordmat kommer med en forklaringsgrad som er den der fortæller os hvor god den ret linje der er blevet lavet er så det vil sige jo tættere på 1 forklaringsgraden er jo bedre er den rette linje Man finder forklaringsgraden via wordmat (tryk på ikonet wordmat vælg knappen regression tryk på indsæt tabel skriv tallene man undersøger ind i tabellen kopiere tabellen tryk på regression vælg lineære) Lineær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R 2 0, y 6,559524x + 71,54762 Her kan man så se at regneforskriften næsten er den samme som de andre vi fandt og her kan man se at forklaringsgraden er på 0,99 som vil sige den passer meget god i forhold til virkeligheden 43

44 Eksponentielle funktioner Eksponentielle funktioner: En eksponentiel funktion er hvis man har en regneforskrift af formen y b a x hvor y er afhængig og x er uafhængig mens både a er fremskrivningsfaktoren (F-faktoren) og b er begyndelsesværdien men de er også begge to positive konstanter. Man kan udregne værdierne x og y ved hjælp af et hjælpeskema (H-skema). Man kan for eksempel bruge et eksempel hvor man siger at a er 1,3 og b er 2 x y 2 1,3 x y 3 y 2 1,3 3 0,91 2 y 2 1,3 2 1,18 1 y 2 1,3 1 1,54 0 y 2 1, y 2 1,3 1 2,6 2 y 2 1,3 2 3,38 3 y 2 1,3 3 4,39 Når man har lavet et hjælpeskema(h-skema) kan man finde den x-tilvækst og den relative y-tilvækst som beskriver det spring der er mellem hvert led i hjælpeskemaet (H-skema) man kan også forstå x-tilvækst som x og den relative y-tilvækst som r y da det er. Man skal forstå den relative y-tilvækst som r y (a x 1) 100% og x-tilvækst som x x 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x y 2 1,3 x y 3 y 2 1,3 3 0,91 2 y 2 1,3 2 1,18 1 y 2 1,3 1 1,54 0 y 2 1, y 2 1,3 1 2,6 2 y 2 1,3 2 3,38 3 y 2 1,3 3 4,39 r y (1,3 1 1) 100% 30% r y 30% r y 30% r y 30% r y 30% r y 30% Så her vil x 1 2 og x 2 3 mens a 1,3 og x 1 og det er de tal det er man har sat ind i formlen man bruger for at finde r y og x 44

45 Grafen: Når man snakker om eksponentielle funktioner så er det vigtigt at vide at hvis a er et tal der er større end 1 så er funktionen voksende hvis a er et tal mellem 0 og 1 så er funktionen aftagende hvis a er lig med 1 så er funktionen konstant lig med b Aftagende (a er mellem 0 og 1) Voksende (a er større 1) Konstant (a er lig med 1) Eksponentielle ligninger: Ved eksponentielle funktioner skal man vide at y er en afhængig vaiable, x er en uafhængig vaiable, b er start beløb og a er fremskrivningsfaktoren (f-faktoren) så derfor kan man ved hjælp af en ligning finde x som det er man ikke kender : 2 log : log 1, ,3 x ,3x 2 2,5 1,3 x log 2,5 log 1,3 x log 2,5 x log 1,3 log 2,5 x log 1,3 log 1,3 log 1,3 log 2,5 log 1,3 x 3,49 x x 3,49 45

46 Betydning af a og b: Man finder betydningen af b ved at tage og bruge et hjælpeskema (H-skema) hvor man sætter 0 ind på x's plads i regneforskriften y b a x som sådan her x y b a x y 0 y b a 0 b 1 b b Hvis man laver samme udregning som der er i hjælpe-skemaet vil y give b og hvis man så følger regneforskriften for lineære funktioner vil man finde ud af at grafen skære (0; b) som betyder at hvis man tager og tegner en graf vil den skære y-aksen i b så det vil sige b er der hvor grafen skære y-aksen Man finder betydningen af a ved at man tager og bruge et hjælpeskema (H-skema) hvor man vil tage og bruge betegnelsen x 0 da x kan være et tilfældigt tal +1 x y b a x y x 0 y b a x 0 b a x 0 x y b a x 0 +1 b (a x 0 a 1 ) b (a x 0 a) b a x 0 a b a x 0 a Hjælpeskemaet beviser at når x stiger med 1 så vil y ganges med a eftersom y ændres fra b a x 0 til b a x 0 a a Den eksponentielle væksttype: Ved en eksponentielle funktion y b a x gælder der at når x vokser med x så ganges y med a x så derfor får y en relativ tilvækst på (a x 1) 100% så en bestemt absolut x-tilvækst svarer altså til en bestemt relativ y-tilvækst + x x y b a x y x 0 y b a x 0 b a x x y b a x 0 +1 b a x 0 a x b a x 0 a x a x man kan se i hjælpeskemaet at ændringerne i y-værdierne er a x+1 til a x 0 a x 46