lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= n i=1 i=1

Transkript

1 Linær regression lineær regression er en metode man bruger for at finde den mindste afstand mellem bestemte punkter ved at bruge denne formel: a= (Xi Yi) n * Xi 2 n * x 2 x * y Figur 1. Nu vil vi løse vores ligning: a = x1y1+x2y2+x3y3 3 xy x1^2 + x2^2 + 3 x^2 Vi har 3 punkter og dvs. 3 x og y værdier. vi sætter værdierne i formlen Når der står i formlen skal man ikke lade sig snyde af at det kun er den første af formlen så det kommer til at se sådan her ud når vi har 3 punkter: (Xi+Yi) = x1*y1 + x2*y2 + x3*y3 Man bruger den samme metode uanset hvor mange punkter man har. i = antallet af par. i går fra 1, 2 og 3 indtil der ikke er flere par. x bruges til at beregne gennemsnittet af alle x punkterne og det samme når der står y. n = antal punkter Nu hvor vi har gennemgået alle punkter kan vi finde a. 1

2 a = x1*y1 + x2*y2 + x3*y3 * x1 2 + x x3 x 3 2 x * y Dermed er konstanterne a og b bestemt i ligningen for den bedst mulige rette linie y = b + a(x x ) y = a + (x 3) b = y = 4, a = x1*y1 + x2*y2 + x3*y3 * x * y x1 2 + x x3 x 3 2 Hermed har vi fundet ligningen til at få vores lineær regressionslinje(se figur 1. side 1) Programmet til beregning af lineær regression går gennem et par trin for at udregne den nærmeste linje ved hjælp af mindste kvadraters metode. Overordnet ser programmet sådan ud: Gem x,y input som to dimensional liste. Udregn summen af x og y parne. Udregn gennemsnittet af x og y værdierne. Udregn summen af alle x og y værdier. Udregn alle x værdier i anden potens. Beregn hældningen. Beregn skæringspunktet med y aksen. Print formlen. 2

3 Numerisk differentiation Numerisk differentiation bliver brugt til at finde circa hældningen af en given funktion punkt P 0 som også er givet, med x koordinaten x 0. Altså f (x 0). Dette er en differentiable i x 0 som indeholder punkterne ( x0 h, f(x 0 h)) og ( x 0 + h, f(x 0 + h)). Og kan illustrates så ledes. f(x) i et Nu skal vi så prøve at finde en hældning som ligger så tæt på sekantens hældning som overhovedet muligt. Det er dog hældningen der tilnærmer sig sekantens hældningen mest. Dette sker eftersom at hældningskoefficienten kan beregnes således: y2 y1 a = x2 x1 hvilket vis sige at s(sekanten) og f(x 0+h) f(s 0 5) f (x 0 ) (x +h) (x h) 0 0 f(x 0+h) f(s 0 5) f (x 0 ) 2h f(x 0) havde en hælden på cirka: Udregningen af numerisk differentiation er relativt simpel, som beskrevet overfor kræves der tre ting for at lave en numerisk differentiation: En funktion at differentiere, x værdien til det punkt vi vil udregne, og h værdien som afgører hvor bred en sekant man bruger. Når programmet har gemt alle tre variabler bruges functions (f(x + h) f(x h)) / (2 * h) til at beregne hældningen i punktet x, ved hjælp af en sekant ved bredden h. Derefter printes resultatet. 3

4 Numerisk integration I denne numeriske metode er idé en bag at dele intervallet hvori areal skal beregnes [a;b] op i n små delintervaller med størrelsen h, herefter ligger arealerne af disse firkantede delarealer sammen. h er så: h = b a n Delarealerne kan dog beregnes på flere forskellige måder, som højresum, venstresum, trapezsum eller som midtsum. Da midtsummen er den sum der de fleste gange giver det tætteste resultat. Vil vi forklare om det først. Når vi regner midtsummen ud bruger vi delintervallets midtpunkt m s funktionsværdi som højde i den firkant vi beregner arealet af. Dette illustrates således: Tilfældigt billede fundet fra google. Webside er nede men billede kunne findes ved at søge Numerisk integration Ved denne illustration bliver den samlede midsum M n : M n = f(m 0 ) * h + f(m 1 ) * h + + f(m n 1 ) * h Dette viser at jo større n er, og dermed jo mindre h er, desto mere præcis bliver det tilnærmede resultat. Alt i alt så tager vi firkanten og tager midtpunktet af toppen af firkanten, tegner en streg up til kurven og tager der hvor stregen og kurven mødes som det rigtige. Højre og ventresum er meget det samme, med i stedet tager ventersum udgangspunkt fra det mest venstre hjørne som rører kurven og tager udregningen derfra. Højresum tager udgangspunkt i det højeste højre punkt (Vis firkantens højre punkt ikke når kurven tegner man en ekstra firkant ovenden på den exiterene firkant) som rører kurven og der bliver lavet udregninger derfra. Så ventresum giver under det som der er det tætteste rigtige tal. 4

5 Trapezsum er det anden tætteste du kan komme på at finde mid punktet og det gøres ved at tage ventresum starts punkt og lave en linje hen til højresum start punkt og lave en linje mellem disse to punkter og tage der hvor linje rammer som midpunktet. Program Alt koden kan findes på GitHub, den er uploaded her: Numerisk Analyse, med kommentare og ændrings historie. Lavet af Suayb, Philip og Michel fra Klasse 3.4 5