Simpel rente, sammensat rente, opsparing, afbetaling, løn og skat

Transkript

1 Analyse af kapitalformlen Vi kigger nu på kapitalformlen igen: Kapitalformel: K n = K * (1+x) n K n = Sluttal (slutkapital) K = Starttal (startkapital) x = Vækstprocent (rentesats) n = Antal vækstperioder Vi har allerede prøvet at finde slutkapitalen. Det kaldes at føre en kapital frem og gøres på nedenstående måde: Find Kn: Føre en kapital frem Lommeregner: K n = K*(1+x)^n = Computer: K n = K*(1+x)^n = [husk at x er vækstprocenten i decimaltal] Find K: Føre en kapital tilbage Lommeregner: K = K n / (1+x)^n = Hvorfor? K n = K * (1+x) n K n / (1+x) n = K K = K n /(1+x) n (gange bliver til dividere) (bytte rundt) Find x: Find vækstprocenten (rodligning) Lommeregner: x = (n 2end ^(Kn/K)-1) * 100 = x% Eller x = ((Kn/K)^(1/n)-1) * 100 = x% se * Hvorfor? K n = K * (1+x) n Kn / K = (1+x) n n (K n /K) = n (1+x) n n (K n /K) = 1+x n (K n /K) - 1 = x (gange bliver til division) (tager den n`rod på begge sider) (roden ophæver potensen) (plus bliver til minus) x% = ( n (K n /K) 1) *100% - 1 -

2 Bemærk: * a n = a* a*. a (n gange) a 0 = 1 a -n = 1/ a n n a = a (1/n) Find n: Find antal vækstperioder (expotentiel ligning) Lommeregner: Hvorfor? n = log(kn/k)/log(1+x) K n = K * (1+x) n K n /K = (1+x) n Log(K n /K) = Log(1+x) n (gange bliver til division) (logaritmen tages på begge sider) Log(K n /K) = n* Log(1+x) (logaritmeregel Log a n = n*loga) Log(K n /K) / Log(1+x) = n (gange bliver til division Vi anvender her logaritmer som blackbox D.v.s. et redskab vi ikke forstår til bunds Lidt oplysninger: log 0,001 log log 0,01 log log 0,1 log log 1 log log 10 log log 100 log Man kan bruge logaritmen til at fjerne n fra eksponenten idet, log(a n ) = n*loga - 2 -

3 Opgave 7 Udfyld nedenstående skema: K K n x n % % ,50% ,50% ,50% ,3150% % % 2 Opgave 8 Løs nedenstående rodligninger: a. x 2 = 100 b. x 4 = 625 c. x 5 = 243 d. x 1 = 10 Opgave 9 Find vækstprocenten x i følgende tilfælde K K n n x (%) , , , , , , , ,3-3 -

4 Opgave 10 Løs følgende expotentialligninger Logaritmeformlen: log(a n ) = n log (a) skal bruges a. 2 n = 4 b. 10 n = 1000 c. 2 n = 64 d. 3 n = 27 e. 4 n = 64 f. 6 n = 216 g. 1,04 n = 2,000 h. 1,08 n = 6,075 i. 2,08 n = 5,9879 j. 1,085 n = 1,0987 Opgave 11 Find n i følgende tilfælde Opgave 12 K K n x (%) n ,0 9, ,0 2, ,5 15, ,0 33, ,0 35, ,4 50, ,0 4, ,0 3,45 Niels Peter laver en opsparing, der løber over 20 år. Han indsætter kr på en konto, der giver 8% p.a. i rente a. Hvor meget står der på kontoen efter 20 år? b. Hvor mange renter er der tilskrevet? - 4 -

5 Opgave 13 Patrick får 3500 kr til sin konfirmation. Dem sætter han i Skovlunde Sparekasse. Efter 10 år er pengene vokset til 7897 kr. a. Hvilken pro anno rente har Patrick fået? Opgave 14. Caroline vinder kr i tips. Hun sætter 30% af pengene i Skovlunde Sparekasse til 6% p.a. kvartårlig tilskrivning. Resten af pengene graver hun ned i jorden på et hemmeligt sted, som kun Caroline kender. a. Hvor mange år går der før Caroline har flere penge i banken end end i jorden? Opgave 15. Alexandra synes, at det er fjollet at Caroline graver pengene ned. Hun sniger sig hen på det hemmelige sted, graver pengene op og sætter dem i kapitalistbanken. Den giver 2% i rente pr. kvartal. Efter 7 år hæver Alexandra alle pengene. Hun tager selv renterne og graver resten ned til Benjamin a. Hvor meget tager Alexandra? b. Er det ulovligt? Opgave 16. Katrine har 90 edderkopper som kæledyr. De formerer sig med 12% om måneden. a. Hvor mange edderkopper har hun efter et år? Efter et år er hun træt af edderkopper fordi de ikke forstår hende. Hun sprøjter derfor insektgift ud over dem. Alle hendes edderkopper begynder at dø. Bestanden aftager med 6% i timen. b. Hvor mange timer går der inden Katrines edderkopper er døde? Opgave 17. Mia vil gerne lave en opsparing, så hun har kr. Hun sætter et beløb i banken til 1% pr. måned og lader dem stå et år. a. Hvor stort et beløb skal hun sætte ind? b. Hvor stort et beløb udgør renterne? - 5 -

6 sluttallet Simpel rente, sammensat rente, opsparing, afbetaling, løn og skat Opgave18. Emil G sætter kr i banken. Efter 6 år står der kr. på kontoen. Renten er blevet tilskrevet hver måned. a. Hvor mange procent er der tilskrevet hver måned? b. Hvor mange % p.a. svarer det til Negativ vækst Man kan operere med begrebet negativ vækst. Så kommer formlen bare til at hedde: K n = K * (1- x) n Nedenstående er to vækstkurver for henholdsvis 15% positiv vækst og 15 % negativ vækst. Kn = K(1+0,15) n og Kn = K(1-0,15) n N k n = 1000*1,15^n k n = 1000 * 0,85 ^n kn = 1000*1,15^n kn = 1000 * 0,85 ^n antal vækstperioder Opgave 19. På 10 år er bestanden af sorte spættestorke faldet fra 6070 til Hvor mange procent er det årlige fald i gennemsnit - 6 -

7 Opgave 20 På 20 timer faldt bakterietallet fra til 560. Hvor mange % faldt det i gennemsnit? Beregning af vækstprocenter ud fra tabeller Tit ses der forskellige udviklinger: Befolkningstal, arbejdsløse, kaniner, bakterier, renter: Når der skal regnes procenter ud bruges to formler: Stigning/fald = (b-a)/a*100% eller (a-b)/a*100% Denne formel skal bruges hvisstigningen eller faldet beregnes over hele perioden! x% = ( n (K n /K) 1) *100% Denne formel bruges hvis der er spurgt efter den gennemsnitlige stigning. Opgave 21 Nedenstående viser befolkningen i Mexico City: År befolkning (mio) 9,1 9,4 9,8 10,4 10,9 11,7 12,9 13,9 15,7 a. Hvad er den procentuelle stigning fra 1990 til 2000? b. Hvad er den procentuelle stigning fra 1990 til 2006? c. Hvad er den gennemsnitlige procentuelle stigning fra 1990 til 2006? d. Undersøg på internettet om tallene fra denne opgave har rod i virkeligheden. Opgave 22 Nedenstående viser arbejdsløsheden i København: År Arbejdsløs a. Hvad er den procentuelle stigning fra 1990 til 2000? b. Hvad er den procentuelle stigning fra 1990 til 2006? c. Hvad er den gennemsnitlige procentuelle stigning fra 1990 til 2006? d. Undersøg på internettet om tallene fra denne opgave har rod i virkeligheden - 7 -

8 Prognoser udfra tabeller Nogle gange kan statistiske data danne grundlag for en prognose: 1. Først udregnes vækstprocenten 2. Derefter fremskrives med en bestemt procentsats 3. Nu kan den ekspotentielle ligning bruges til at finde, hvornår et bestemt tal nås. Opgave 23 Nedenstående viser befolkningsudviklingen i det afrikanske land Zambia År antal mio 17,9 20,3 22,1 25,5 27,6 32,7 a. Hvad er den årlige vækstprocent fra ? b. Hvis væksten fortsætter med samme procent. Hvor mange indbyggere er der så i 2020? c. Hvis væksten fortsætter. Hvornår vil befolkningstallet overstige 35 mio. d. Find virkelige tal på nettet og undersøg begreberne: Befolkningstilvækst og befolkningssammensætning i Zambia. Pro anno termins og reel rente (nominiel rente) Vi har tre rentebegreber: 1. Pro anno rente (p) [pro anno renten er renten år uden at der er taget hensyn til antal rente tilskrivninger 2. Terminsrenten (t) [terminsrenten er renten ved den enkelte rentetilskrivning] 3. Reelle eller nominielle rente ( r ) [det er den rigtige rente, hvor der tages hensyn til antal rentetilskrivninger] Nedenstående formler viser, hvordan de tre begreber hænger sammen. n er antal årlige rentetilskrivninger. p = n * t < = > t = p/n r = ((1+t)^n)-1)* 100% Nedenstående tabel anskueliggør det. Normalt arbejder vi med helårlig, halvårlig, kvartårlig og månedlig rentetilskrivning

9 Tilskrivninger Pro anno rente Terminsrente Reel rente N p (p.a) t r Helårlig 1 12 % p.a. 12% 12,00 Halvårlig 2 12 % p.a. 6% 12,36 Kvartårlig 4 12 % p.a. 3% 12,55 Månedlig % p.a. 1% 12,68 Opgave 24 Philip sætter kr ind på en bankbog til sin konfirmation. Philip er på det tidspunkt 14 år. Da han vælger en juniorkonto kan han få 6% i rente. a. Hvor mange penge står på Philips konto, når han er 30 år. 1. Ved helårlig rentetilskrivning? 2. Ved halvårlig rentetilskrivning? 3. Ved kvartårlig rentetilskrivning? 4. Ved månedlig rentetilskrivning? Man kan også tale om det samlede rentebeløb R = K n K og det samlede rentebeløb i %. Udfyld nedenstående skema for ovenstående tilfælde. Antal år Antal tilskriv. Pro anno rente Helårlig 16 6% p.a Halvårlig 16 6% p.a Kvartårlig 16 6% p.a Månedlig 16 6% p.a Terminsrente Reel rente Slutkapital Samlet rente N p (p.a) t r Kn R Funktioner Ovenstående problematikker er indeholdt i begrebet vækstfunktioner Man kan tale om en konstant absolut tilvækst (Lineær funktion) og en konstant relativ tilvækst (ekspotentialfunktion) - 9 -

10 Opgave 25 Tegn følgende funktioner f ( n ) = 50 n g ( n ) = -50n h ( n ) = 500 * 1,1 n i (n) = 500 * 0,9 n Brug nedenstående sildeben og tegn i samme koordinatsystem. N f(n) 503,3 g(n) 492,3 h(n) 885,8 i(n) 405 Opgave 26 Tegn det grafiske billede af funktionen: f(n) = 1000 * (1+0,15) n, n Є No Tegn det grafiske billede af funktionen: g(n) = 1000, n Є No Tegn det grafiske billede af funktionen: h(n) = 1000 * (1+0,15) n , n Є No Giv en fortolkning af funktionerne forklar hvad de eventuelt kunne være en model for

11 værdi Simpel rente, sammensat rente, opsparing, afbetaling, løn og skat Opsparing og afbetaling (annuiteter) Det er ikke altid man sætter et beløb ind og lader det vokse et antal terminer (vækstperioder). Nogle gange vælger man at sætte et beløb ind på en række på hinanden følgende terminsdage. Nedenstående illustrerer problematikken. Vækst Her sættes et beløb i banken og der vokser hver termin med samme procentsats: Grafisk ser det således ud: Kn =K + R antal terminer K Kn R

12 værdi Simpel rente, sammensat rente, opsparing, afbetaling, løn og skat Opsparing/ annuitet Hvis der i stedet indsættes det samme beløb a på n følgende terminsdage ser det således ud: Grafisk ser det således ud A = n*a + R n*a A A-n*r = R antal terminer ) a: Er den enkelte indbetalings størrelse Denne indbetaling skal falde på rentetilskrivningsdagen A: De samlede indbetalingers værdi efter n indbetalinger. Den sidste indbetaling tilskrives der ikke rente af. x: Terminsrenten n: Antal indbetalinger (antal rentetilskrivninger) Værdien A kan udregnes v.h.a. opsparingsformlen eller annuitetsformel 1. n ( 1 x) 1 A a x

13 Opgave 27 Beregn A når x = 8%, a = 4000 og n = 10 Beregn A når x = 5%, a = 6000 og n = 27 Opgave 28 Nu i klæder vi ovenstående tekst. Jespers forældre lavede en børneopsparing den dag Jesper blev født. Han blev tilfældigvis født på en terminsdag. Jespers forældre sætter nu 1000 kr ind på bankbogen 4 gange om året på terminsdagene. Der tilskrives hver gang 1,5% i rente. a. Hvor meget er børneopsparingen vokset til på Jespers 18 års fødselsdag? b. Hvor meget er der i alt indbetalt? c. Hvor meget udgør renterne? d. Hvad er den nominielle rente? Opgave 29 Peter ryger 20 cigaretter om dagen. 20 cecil koster 30 kr. Lars stopper med at ryge og vælger at sætte pengene i en bank der giver 0,5 % i rente hver måned. Han stopper på sin 18 års fødselsdag og vælger at hæve pengene på sin 60 års fødselsdag. a. Hvor mange kr. sætter han i banke hver måned? b. Hvor mange gange sætter han penge i banken? c. Hvor stort et beløb er pengene vokset til? d. Hvor stort et beløb har han i alt sat i banken? e. Vor stort et beløb udgør renterne? f. Hvad er den nominielle rente?

14 Opgave 30 Opbyg et computerprogram der kan vise opsparingens størrelse, indbetalingernes størrelse, antal indbetalinger, samlede indbetalinger og den samlede rente, når der indtastes: terminsrenten x, antal år og cigaretforbrug pr. dag. Der forudsættes månedlige indbetalinger og at en måned indeholder 30 dage, samt at 1 cigaret koster 1 kr. Brug nedenstående model: Terminsrente Cigaretter pr. dag 1 kr/stk Cigaretter pr. mrd = a Antal år Antal indbetalinger Opsparings værdi Samlet indbetaling Samlet rente X antal antal*30 antal år*12 A n*a R =A-na Analyse af opsparingsformlen Det kan selvfølgelig også lade sig gøre at finde a og n, anderledes forholder det sig med x. Neden for er formlerne vist: Find a A A x a n n ( 1 x) 1 (1 x) 1 x Find n Ax a log n log 1 Opgave 31 1 x Bevis ovenstående to formler udfra opsparingsformlen

15 Bevis for opsparingsannuitetsfornlen For at bevise opsparingsformlen må man først bevise en kvotientrække: Følgende skal bevises: S n = a*q 0 + a*q 1 + a*q 2 + a*q a*q n-1 = q n q 1 1 Metode: Vi ganger S n med q: S n * q = q(a*q 0 + a*q 1 + a*q 2 + a*q a*q n-1 ) S n * q = (a*q 1 + a*q 2 + a*q 3 + a*q a*q n ) Nu trækkes S n fra S n *q S n *q - S n = (a*q 1 + a*q 2 + a*q a*q n ) (a*q 0 + a*q 1 + a*q 2 + a*q a*q n-1 ) S n *q - S n = a*q 1 + a*q 2 + a*q a*q n a*q 0 - a*q 1 - a*q 2 - a*q a*q n-1 S n *q - S n = a*q n a*q 0 S n ( q 1) = a (q n 1) Nu fås: S n = = q n 1 (#) q 1 Dette resultat bruges nu til at bevise annuitetsformlen A n = a*(1+x) 0 +a(1+x) 1 + a(1+x) 2 + a(1+x) a(1+x) n-1 A n = a*[(1+x) 0 + (1+x) 1 + (1+x) 2 + (1+x) (1+x) n-1] A n = a*((1+x) n 1) /((1+x)-1) A n = a*((1+x) n 1) /(1+x-1) A n = a*((1+x) n 1) /x Hermed er opsparingsannuitetsformlen bevist

16 Opgave 32 Lars sætter 500kr. i banken hvert kvartal i 8 år på en række følgende terminsdage. Hvor mange kr. står der på kontoen efter 20 år, når renten er 6% p.a.og tilskrives hvert kvartal? Opgave 33 Peter sætter 600kr. i banken hver måned. Renten tilskrives hver måned og er 6% p.a. Efter et stykke tid står der over kr på kontoen. Hvor mange år er der gået? Opgave 34 Søren sætter 10000kr. i banken til 8 p.a. kvartårlig tilskrivning på en konto. På en anden konto sætter Søren 500kr. ind hvert kvartal. På denne konto er der også 8% p.a. kvartårlig tilskrivning. Hvor stor er forskellen på opsparingerne a. Efter 3 år? b. Efter 5 år? c. Efter 20,5 år? d. Hvor når er opsparingerne lige store? Gæld (Annuitet) På samme måde som man kan opspare. Kan man afbetale. Her lånes et beløb G(gæld). Dette beløb afbetales med en række lige store afdrag a på en række terminsdage. Terminsrenten kaldes x og antal afdrag kaldes n. Disse fire begreber hænger sammen i afbetalingsformlen eller afbetalingsannuiteten. 1 (1 x) G a x n Opgave 35 Et beløb afdrages i 5 år med 1000 kr om måneden til 9% p.a Hvad er startgælden? Hvad er de samlede renter? Er der tale om almindeligt banklån/prioritetslån eller kontokort? Opgave 36 Et beløb afdrages i 10 år med 1000 kr om måneden til 24% p.a Hvad er startgælden? Hvad er de samlede renter? Er der tale om almindeligt banklån/prioritetslån eller kontokort?

17 Opgave 37 Et beløb afdrages i 8 år med 2000 kr om måneden til 18% p.a Hvad er startgælden? Hvad er de samlede renter? Er der tale om almindeligt banklån/prioritetslån eller kontokort? Opgave 38 Et beløb afdrages i 10 år med 5000 kr om måneden til 6% p.a Hvad er startgælden? Hvad er de samlede renter? Er der tale om almindeligt banklån/prioritetslån eller kontokort? I ovenstående tilfælde falder rente og afdragstermin sammen. Find a G a 1 (1 x) x n G x 1 (1 x) n Find n n a log a Gx log1 x Opgave 39 Bevis ovenstående to formler udfra afbetalingsformlen formlen Opgave 40 Lars vælger at sætte 500kr. i banken på 30 på hinanden følgende terminsdage. Renten er 1% pr. termin. Søren vælger at optage et lån og afbetale det på 30 på hinanden følgende terminsdage. Renten er 3% pr. termin og ydelsen er 500kr. a) Hvor stor er Lars opsparing efter 30 terminer? b) Hvor stor er Sørens startgæld? c) Hvor mange renter får Lars i alt? d) Hvor mange renter betaler Søren i alt? e) Hvor mange kr. er der i forskel på Lars og Sørens renter?

18 Opgave 41 Peter vil låne penge til en bil. Bilen koster kr. og han kan betale 20% i udbetaling. Renten er på 0,5% pr. måned. Pengene lånes over år. a) Hvor mange penge skal han låne? b) Hvor mange afdrag skal han betale? c) Hvad er hans månedlige afdrag? d) Hvad er hans månedlige ydelse? e) Hvor meget skal han i alt betale i renter? Bilen taber 2% i værdi om måneden. f) Hvad er bilen værd efter 3 år? (lav et program) g) Lav et program der udregner restgælden? h) Hvad er forskel på restgæld og værdi efter 3 år? (lav et program) i) Hvornår er restgæld og værdi lige store?