Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Transkript

1 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække pocet fa Hvis ma vil lægge 5% til 600, så ka det gøes ved at udege, hvo meget 5% af 600 e lig med og lægge det til det opidelige beløb: 5 00 ( ) = ,5 = ,5 = 600,5 = 690 Vi sige, at 600 e blevet femskevet med,5, og,5 beteges femskivigsfaktoe. Hvis ma vil tække 5% fa 600, så ka det ske ved at udege, hvo meget 5% af 600 e lig med og tække det fa det opidelige beløb: 5 00 ( ) = ,5 = 600 0,5 = 600 0,85 = 50 I dette tilfælde e femskivigsfaktoe lig med 0,85. Oveståede eksemple atyde, at vi ka agive e geeel fomel fo tilfældee, hvo ma ete lægge e pocet til et tal elle tække e pocet fa et tal: Sætig Hvis de lægges e ete til e begydelsesvædi B, så fås slutvædie S ved: () S = ( + ) B Rete e det kommatal, som svae til de give pocet. Fomle dække også ove tilfældet, hvo ma tække e pocet fa et tal, idet ma da bae ege egativ! Faktoe + kaldes femskivigsfaktoe og beteges også udetide med bogstavet F. 8BEksempel 2 Befolkigstallet i e by e vokset fa 345 til 420. Hvo mage pocet e befolkigstallet vokset med? Løsig: Vi idse, at 345 svae til begydelsesvædie, mes 420 svae til slutvædie og at e ubekedt. Defo isolees i fomle (): S S S = ( + ) B B = + B =

2 Idsættes tallee fås, at befolkigstallet e vokset med 2,7%: S 420 = = =, 27 = 0, 27 = 2, 7% B 345 9BEksempel 3 E fakke e edsat med 30% og koste u 626,50 k. Hvo meget kostede fakke fø de blev sat på udsalg? Løsig: Det e oplagt, at det e begydelsespise, som e ubekedt. Defo isolee vi B i fomle (): S S = ( + ) B = B + Da de tækkes 30% fa, e = 30% = 0,30 fås følgede: B S 626,50 626,50 = = = = + + ( 0,30) 0, så føpise va altså 895 k. 4B2. Retefomle Det smate ved at gage med e femskivigsfakto, å ma øske at lægge e pocet til elle tække e pocet fa e, at hvis ma skal gøe det getage gage, så opå ma e gaske væsetlig bespaelse i fohold til de gamle skolemetode, hvo ma både skal gage og lægge til. På figue edefo ha vi e situatio, hvo vi skal lægge etee,, og til é efte é Vi se, at slutesultatet S 4 staks ka udeges ved at gage med poduktet af femskivigsfaktoee: S4 = (+ ) ( + 2) ( + 3) ( + 4) B. Hvis vi specielt ha, at de lægges de samme ete til et statbeløb på K 0 i alt gage, så få vi umiddelbat de såkaldte etefomel, som give et udtyk fo slutbeløbet K efte de etetilskivige: styk K = ( + ) ( + ) ( + ) K K = K ( + ) 0 0 2

3 Sætig 4 (Retefomle) Hvis et statbeløb K 0 tilskives ete efte hve temi, fås følgede udtyk fo slutbeløbet K efte i alt temie: (2) K = K0 + ( ) 0BEksempel 5 Kut idsætte 400 k. på e bakbog til 5% i ålig ete. Hvo meget e beløbet vokset til efte 2 å? Løsig: Vi beytte etefomle: K = K ( + ) = 400 ( + 0,05) = 400,05 = 78,34 Så beløbet e vokset til 78, 34 k. BEksempel 6 Omsætige i e viksomhed e på 5 å vokset fa 67 mill. k. til 2 mill k. a) Hvo mage pocet e idtjeige vokset med i hele peiode? b) Hvo meget e de geemsitlige ålige pocetvise vækst i omsætige? Løsig: a) He skal vi beytte fomel (). Sammelig med eksempel 2. S 2 mill. = = =,806 = 0,806 = 80, 6% B 67 mill. så svaet e, at omsætige e steget med 80,6% i hele peiode. b) Dee opgave ka løses ved bug af etefomle, idet ma ka opfatte det som om at statbeløbet på de 67 mill. k. stå til e fast ete i 5 å, og det blive til 2 mill. k. De søgte geemsitlige ete e da etop. Vi omskive etefomle: K K K K = K0( + ) = ( + ) = + = K0 K0 K0 og idsætte vædiee: 2 mill. = K = = = = K 67 mill. 0 5,25 0,25 2,5% så i geemsit e omsætige vokset med 2,5% p. å i de omtalte peiode! 2BBemækig 7 I opgave 6 obsevee ma, at ma ikke få de geemsitlige ålige pocetvise vækst ved at dividee de pocetvise vækst ove alle fem å med 5. Det skyldes, at ma i så fald ikke ville tage højde fo etes ete! 3

4 3BEksempel 8 Befolkigstallet i e ameikask by e de sidste te å vokset med 3,5% p. å og e u oppe på Hvo mage å vil det tage fø befolkigstallet å , hvis udviklige fotsætte? Løsig: Det e oplagt, at vi ka beytte etefomle, da det e de samme pocet, som tilskives flee å efte hiade. De ubekedte e he atallet af å,. Fo at løse dette poblem, må vi ty til logaitme: K = K0 ( + ) = ( + 0, 035), 25 =, log(, 25) log (,25) = log(,035 ) = 6,49 = log(, 035) Efte 7 å vil millioe altså væe passeet, hvis udviklige fotsætte! 5B3. Femskivigsfaktoe i foskellige peiode Nå ma ha at gøe med ete ove foskellige peiode, ka vi også tale om femskivigsfaktoe fo foskellige peiode. På edeståede figu tilskives ete p. temi. Rete ove temie beteges med. Det give følgede sammehæg mellem og : + = (+ ), så vi ha: Sætig 9 Sammehæge mellem femskivigsfaktoe F = + fo é temi og de tilhøede femskivigsfakto F = + fo temie e følgede: (3) F = F + = (+ ) 4BEksempel 0 Betia købe et TV på afbetalig. Det oplyses, at de måedlige ete e 2,4%. Hvad svae det til i ålig ete? 4

5 2 2 Løsig: Ifølge bemækig 6 ha vi + = (+ ) , hvomed = ( + ) = ( + 0,024) =,024 = 0,329 = 32,9% så det svae altså til e ålig ete på 32,9%. 6B4. Geemsitlig ete Det sidste vi skal se på i dee omgag e geemsitlig ete. Hvis etee i hve temi ha væet heholdsvis, 2,,, hvad ha de geemsitlige ete p. temi da væet? Fo at løse dette poblem skal vi ige tæke i femskivigsfaktoe: Poduktet af de femskivigsfaktoe høede til de geemsitlige ete på skal væe lig med poduktet af femskivigsfaktoee høede til de foskellige ete: styk ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) ( + ) + = ( + ) ( + ) ( + ) Sætig Hvis ete i føste temi e, i æste temi e 2,..., i te temi e, så e de geemsitlige ete p. temi givet ved fomle (4) + = ( + ) ( + 2) (+ ) 5BEksempel 2 Stee eje ogle aktie. Hvet å i peiode fa 200 til 2006 e dees vædi vokset med heholdsvis 8%, 8%, 38%, 2% og 4%. Bestem hvo meget aktiee e vokset med i geemsit p. å. Løsig: Vi beytte fomle i (4): + = ( + ) ( + ) ( + ) ( ( 0,8)) ( 0, 08) ( 0,38) ( ( 0, 02)) ( 0,4) 2 = = 5 0,82,08,38 0,98,4 =,064 Altså e de geemsitlige ålige væditilvækst lig med =,064 = 0,064 = 6,4%. 5

6 2BOpgave 6BOpgave I det følgede skal du a) Lægge 3% til 430 k. b) Tække 56% fa 200 k. c) Lægge 7% til 4300 k. d) Tække 0,9% fa 33,457 kg 7BOpgave 2 Løs edeståede opgave. a) Momse e i dag 25%. Pise fo e takto ikl. moms e k. Hvad va pise ude moms? b) E befolkig e på otte å steget med 3% og e blevet til pesoe. Hvo mage va de fo otte å side? c) I e adioaktiv kilde e stålige aftaget med 87% og aktivitete e u Bq. Hvo sto va aktivitete fa state, eget i Bq? 8BOpgave 3 Et Va Gogh malei e på e ække å vokset i vædi fa k. til k. Hvo mage pocet e dets vædi vokset med? 9BOpgave 4 Et TV-pogam havde sidste å et seetal på I å ses pogammet ku af Hvo meget e faldet på i pocet? 20BOpgave 5 Et beløb på 600 k. idsættes på e koto til 8,5% i ålig ete. Hvo meget blive beløbet til på 50 å? 2BOpgave 6 Fo 4 å side idsatte Pe et beløb på 6000 k. og ha hæve u 2377 k. Hvo meget ha de ålige ete væet? 22BOpgave 7 Fem å i tæk e tilskuetallet til e klub i Supelige faldet med 0% p. å, og e u ede på Hvo stot va tilskuetallet fo fem å side? 6

7 23BOpgave 8 E aktie vokse med 2% hvet å i 4 å. Statkuse va 780. Hvad e kuse efte de 4 å? 24BOpgave 9 Et hus i det ide Købehav e på 7 å steget i vædi fa k. til k. Hvo meget e det steget med i pocet p. å? (Atag samme pocet hvet å). 25BOpgave 0 Hvo lag tid skal et beløb på 5000 k. stå på e koto til 4,5% i ålig ete fo at det blive til 000 k.? 26BOpgave Et beløb på 3000 k. blive til 4355 k. på 6 å. Hvad ha de ålige ete væet? 27BOpgave 2 I 999 va de i e lille by i alt 2300 idbyggee. I de æste te å voksede befolkigstallet åligt med 3%. a) Hvo mage idbyggee va de så i å 2002? b) Hvoå vil idbyggetallet å 4000, hvis ma stille de pogose, at idbyggetallet fotsætte med at vokse med 3% p. å? 28BOpgave 3 a) Hvad svae e ålig ete på 30% til i måedlig ete? b) Hvad svae e måedlig ete på 3,8% til i ålig ete? 29BOpgave 4 E bak give de føste te å e ete på 5,50% p. å, de æste 4 å give de e ete på,85% p. å. Hvad ha de geemsitlige ålige ete væet i syvåspeiode? Agiv esultatet med 2 decimale. 30BOpgave 5 Vædie af et sjældet malei vokse på 0 å fa k. til k. a) Hvo mage pocet e maleiets vædi steget på de 0 å? b) Hvad svae det til i geemsitlig ålig pocetvis stigig? 7

8 3BOpgave 6 De føste te å voksede vædie af e aktie med heholdsvis 3%, 23% og 34%. Det æste å faldt akties vædi med 7%. Hvo mage pocet e aktie vokset med i geemsit p. å? 32BOpgave 7 Vædie af e sjælde møt vokse på å med 78%. Hvad e de geemsitlige ålige pocetvise væditilvækst? Hjælp: Bestem føst femskivigsfaktoe fo alle å. Hvad e femskivigsfaktoe svaede til å? 33BOpgave 8 (svæ) Fo te å side udtalte diektøe i et fima, at fimaet som målsætig havde at øge si vædi med i geemsit 0% p. å i e femåig peiode. De føste 3 å ha fimaet ku øget si vædi med 4,5% p. å. Hvo meget skal fimaet i geemsit øge si vædi med de sidste to å, fo at å sit mål? Hjælp: Beyt sætig og opstil e ligig! 34BOpgave 9 E vae på udsalg e edsat med e bestemt pocet. Hvad e mest fodelagtigt fo købee, hvis ha kue bestemme: At momse føst lægges til og abatte deefte tækkes fa elle omvedt? 8

9 7BLøsige Opgave : a) 563 k. b) 88 k. c) 933 k. d) 33,56 kg Opgave 2: a) k. b) pesoe c) Bq Opgave 3: 3,5% Opgave 4: 33,% Opgave 5: k. Opgave 6: 9,5% Opgave 7: tilskuee Opgave 8: kus 227 Opgave 9: 4,6% Opgave 0: 8 å Opgave : 6,4% Opgave 2: a) 253 idbyggee b) i å 208 Opgave 3: a) 2,2% b) 56,4% Opgave 4: 3,40% Opgave 5: a) 50% b) 9,6% Opgave 6:,5% Opgave 7: 5,4% Opgave 8: 8,8% 9