GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
|
|
- Lasse Justesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen. Vis at hvis γ (t) og γ (t) lineært afhængige, så er κ(t) = 0. Bevis. Fra [P] Proposition får vi, at κ = γ γ γ 3 = 0 Her kunne man potentielt bekymre sig over, at kurven i propositionen er en kurve i rummet, mens vores givne ligger i planen, men en hvilken som helst kurve i planen kan betragtes som en kurve i rummet: Hvis γ(t) = (x(t), y(t)), betragter vi blot kurven (x(t), y(t), 0). De to kurver vil da have samme krumning. Opvarmningsopgave 2. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i rummet med ikkeforsvindende krumning. Vis at hvis γ (t), γ (t) og γ (t) er lineært afhængige, så er torsionen τ(t) = 0. Bevis. Fra forrige opgave kan vi konkludere, at γ (t) og γ (t) ikke er lineært afhængige, så γ (t) γ (t) er en ikke-nul vektor vinkelret på begge. Da γ (t) tilhører span(γ (t), γ (t)), er (γ (t) γ (t)) γ (t) = 0, og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at τ(t) = (γ (t) γ (t)) γ (t) γ γ 2. Opvarmningsopgave 3. Lad γ : (0, 10π) R 2 være den plane kurve (cos(2t), sin(2t)). Vis at γ er periodisk med periode π. Beregn den totale krumning med fortegn af γ. Bevis. Den del af opgaven, der omhandler periode, er en smule mærkelig, da begrebet periodisk som udgangspunkt kun er defineret for kurver, der er defineret på hele R. Man kan dog forsøge at redde definitionen ved at kalde en kurve γ : (α, β) R n T -periodisk, hvis γ(t) = γ(t + T ) for alle t så t, t+t (α, β), og vi kan definere perioden til at være det mindste T > 0, der opfylder den ligning. I så fald er det klart, at T = π virker til formålet ved os, og det følger fra opgaven om injektiviteten af parametriseringen af ellipsen fra uge 1, at intet mindre T kan virke. Husk at krumningen med fortegn af en kurve parametriseret ved buelængde er funktionen κ s, der opfylder γ = κ s n s, så vi får brug for at udregne størrelserne i denne ligning; for en generel kurve parametriseres den først ved buelængde. Bemærk først, at vores kurve γ ikke er parametriseret ved buelængde, men at buelængden den reparametriserede kurve γ(s) = γ( 1 2s) = (cos(s), sin(s)) er det. Lad os derfor prøve at finde krumningen med fortegn for γ. Vi skal blot udregne γ og n s. Først og fremmest finder vi, at t(s) = γ (s) = ( sin(s), cos(s)), 1
2 2 GEOMETRI-TØ, UGE 3 så og n s (s) = γ (s) = ( cos(s), sin(s)), ( ) 0 1 t(s) = ( cos(s), sin(s)), 1 0 så vi kan aflæse, at κ s er den konstante funktion κ s (s) = 1. Nu kunne man så med rette spørge sig selv, hvad der var sket, hvis vi havde valgt en anden reparametrisering. F.eks. er kurven ˆγ(s) = γ( 1 2s) et andet fint valg af reparametrisering, men for denne er κ s (s) = 1, som man kan se ved direkte udregning som ovenfor; κ s har altså skiftet fortegn. Husk nu, at [P] Korollar fortæller os alle mulige reparametriseringer, og man kan hurtigt konkludere, at dette er så galt som det kan gå: Ved at vælge en reparametrisering hvis tangent peger i samme retning som den oprindelige kurve (det vil sige γ i vores tilfælde), kan man veldefinere κ s. Opvarmningsopgave 4. Lad γ : (α, β) R 3 være givet ved γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t)). Lad γ(t) = (γ 1 (t), γ 2 (t), γ 3 (t)). Antag at γ er regulær med ikkeforsvindende krumning. Vis at det samme gælder γ, og at torsionerne for de to kurver er relaterede ved τ(t) = τ(t). Bevis. Lad os for overskuelighedens skyld antage, at γ er parametriseret ved buelængde (hvis det ikke er tilfældet, vælger man blot en reparametrisering, der er), så vi kan bruge [P] Definition direkte. Ved at differentiere kurverne finder vi, at 1 = γ (t) = γ (t) og 0 γ (t) = γ (t) for alle t. Her står, at γ er regulær, parametriseret ved buelængde, og har krumning forskellig fra 0. Vi kunne nu appellere til [P] Proposition igen, men lad os, for at prøve noget andet, bare bruge definitionerne. Husk at hovednormalvektoren pr. definition er n(s) = 1 κ(s) t (s), så hvis vi sætter n = (n 1, n 2, n 3 ), er ñ = (n 1, n 2, n 3 ). Husk også, at binormalen er b = t n, så skriver vi b = (b 1, b 2, b 3 ), er b = ( b 1, b 2, b 3 ), og specielt er b = ( b 1, b 2, b 3). Pr. definition er torsionen τ givet ved b = τn, og af ovenstående ligninger følger, at b = τñ, så τ = τ. [P], Opgave Vis at hvis κ(t) af en regulær kurve γ er > 0 overalt, så er κ(t) en glat funktion i t. Giv et eksempel der viser, at det kan gå galt, hvis κ(t) = 0 for et t. Bevis. Vi ved fra Proposition 2.1.2, at κ = γ γ γ 3, så spørgmålet er, for hvilke f : (α, β) R n der gælder, at funktionen t f(t) er glat. Da dette blot er en sammensætning af et polynomium med en kvadratrod virker dette, når f er glat og f(t) > 0 for alle t, hvilket i vores opgave er præcis hvad vi har sikret. Et modeksempel er kurven γ(t) = (t, t 3, 0), t R. Denne er regulær, da og har krumning γ (t) = (1, 3t 2, 0) 0 κ(t) = (0, 6t, 0) (1, 3t2, 0) 0, 6t, 0 (1, 3t 2, 0) 3 = (1 + (3t 2 ) 2 ) = 6t 3/2 (1 + 9t 4 ), 3/2 som ikke er glat i t = 0, da 6t ikke er det. Konkret er krumningens afledede ikke kontinuert i t = 0. κ (t) = 324t3 t 6sgn(t) + (1 + 9t 4 ) 5/2 (1 + 9t 4 ) 3/2 [P], Opgave Vis at hvis γ er en plan kurve parametriseret ved buelængde, så er n s = κ s t. Sammenlign med Frenet-Serret-ligningerne
3 GEOMETRI-TØ, UGE 3 3 Bevis. I sådanne opgaver er der altid næsten altid én mulighed: Tag en ligning, der minder om det ønskede og differentier den for at få de relevante størrelser. I vores tilfælde er en mulighed ligningen 0 = n s t. Ved brug af produktreglen får vi så med andre ord er 0 = n s t + n s γ = n s t + n s (κ s n s ), κ s = n s t Ved at differentiere n s n s = 1, får vi at n s er vinkelret på n s og derfor parallel med t. I ortonormalbasen (t, n s ) er altså n s = (n s t)t + (n s n s )n s = (n s t)t = κ s t, som ønsket. Husk at den ene af Frenet-Serret-ligningerne for kurver i rummet er n = κt + τb. For plane kurver forsvinder τ, så ligningen her ligner vores til forveksling. [P], Opgave Vis at krumningen med fortegn af en regulær plan kurve er glat. Bevis. Ved at prikke med n s på begge sider af ligningen γ = κ s n s får vi κ s = γ n s. Her er γ glat, da γ er det, og n s er ligeledes glat, da det er en sammensætning af den glatte funktion t = γ med en lineær afbildning (rotation med π). Endelig er prikproduktet af to glatte afbildninger altid glat. [P], Opgave Lad γ være en regulær plan kurve og λ en konstant. Den parallelle kurve γ λ til γ er defineret til at være γ λ (t) = γ(t) + λn s (t). Vis at hvis λκ s (t) 1 for alle værdier af t, så er γ λ en regulær kurve, og dens krumning med fortegn er κ s / 1 λκ s. ( ) 0 1 Bevis. Lad R = betegne rotationsmatricen n 1 0 s = R(t). Her og i det følgende evalueres alle funktionsudtryk i et punkt t, der udelades for at gøre løsningen lidt mere overskuelig. Lad os finde længden af den afledede af γ λ, altså dsλ dt, hvor sλ betegner buelængden af γ λ. Vi kunne gøre livet en smule lettere for os selv ved at antage, at γ er parametriseret ved buelængde, så t = γ, men da det ikke gør den store forskel, betragter vi bare en generel regulær kurve γ. Under alle omstændigheder har vi, at κ s n s = dt ds, og d dt n s = d dt (R(t)) = R( d dt ds t) = R( dt ds dt ) = R(κ ds s dt n ds s) = κ s dt t, hvor vi til sidst har indsat n s = R(t) igen og brugt at R 2 = Id. Den afledede af γ λ bliver da d dt γλ = γ + λn s = ds dt t λκ ds s dt t. Længden af denne bliver altså ds λ dt = d dt γλ = (1 λκ s ) ds dt t = 1 λκ s ds dt, og denne er forskellig fra nul, hvis og kun hvis λκ s 1, da vi ved, at ds dt 0. Antag nu, at dette er tilfældet og lad os finde krumningen med fortegn. Hertil får vi brug for t λ = dγλ /dt ds λ /dt = (1 λκ s)t = εt, 1 λκ s hvor ε = sgn(1 λκ s ) er konstant. Ligeledes får vi n λ = R(t λ ) = R(εt) = εr(t) = εn.
4 4 GEOMETRI-TØ, UGE 3 Alt i alt får vi og her står altså, at κ λ s n λ s = dtλ /dt ds λ /dt = = ε 1 λκ s κ sn s = ε dt/dt 1 λκ s ds/dt = ε κ s 1 λκ s nλ s, κ s dt 1 λκ s ds κ λ s = 1 λκ s. [P], Opgave Lad γ være en plan kurve parametriseret ved buelængden. Vis at centrum ε δs (s 0 ) af cirklen gennem γ(s 0 ) og γ(s 0 ± δs) går mod ε(s 0 ) = γ(s 0 ) + 1 κ s (s 0 ) n s(s 0 ). Vis at radius af cirklen gennem γ(s 0 ) med centrum ε(s 0 ) er 1/ κ(s 0 ) = 1/κ(s 0 ). Bevis. Punktet ε(s 0 ) opfylder (tegning) (ε δs (s 0 ) 1 2 (γ(s 0) + γ(s 0 + δs))) (γ(s 0 + δs) γ(s 0 )) = 0. Den centrale idé i resten af beviset er at udnytte Taylors formel, der siger at γ(s 0 + δs) = γ(s 0 ) + γ (s 0 )(δs) + γ (s 0 ) (δs) 2 + h(δs)(δs) 2, 2 hvor h(δs) 0, når δs 0. Indsættes dette i ligningen ovenfor, får vi til anden orden (dvs. hvis vi ignorerer alle led, der involverer h), idet alle evalueringer er i punktet s 0, at Ligeledes har vi, at 0 = (ε δs 1 2 (γ + γ + γ δs + γ 2 (δs)2 )) ( γ + γ + γ δs + γ 2 (δs)2 ) og Taylors formel giver her, at = (ε δs γ 1 2 γ δs γ 4 (δs)2 )(γ δs + γ 2 (δs)2 ) = (ε δs γ) γ δs + ( 1 2 εδs γ 1 2 γ γ 1 2 γ γ )(δs) 2 + = (ε δs γ) γ δs (εδs γ γ γ 1)(δs) = (ε δs (s 0 ) 1 2 (γ(s 0) + γ(s 0 δ))) (γ(s 0 δs) γ(s 0 )) γ(s 0 δs) = γ(s 0 ) γ (s 0 )δs + γ (s 0 ) (δs) Samme udregning som ovenfor viser da, at 0 = (ε δs γ) γ δs (εδs γ γ γ 1)(δs) 2 Ved at tage disse ligninger og henholdsvis lægge dem sammen og trække dem fra hinanden får vi efter division med δs og i grænsen δs 0, at ε = lim δs 0 ε δs findes, og at (ε γ) γ = 0, (ε γ) γ = 1. Første ligning giver, at ε γ = k n s for en konstant s, så ε = γ +k n s. Ved at bruge, at γ = κ s n s giver anden ligning, at så k = 1/κ s som ønsket. 1 = (ε γ) γ = (kn s ) κ s n s = kκ s,
5 GEOMETRI-TØ, UGE 3 5 [P], Opgave En regulær kurve γ i R 3 med positiv krumning kaldes en generaliseret helix, hvis dens tangentvektor danner en fast vinkel θ med en fastholdt enhedsvektor a. Vis at torsionen τ og krumningen κ af γ er relateret ved τ = ±κ cot θ. Vis omvendt at, hvis torsionen og krumningen er relateret ved τ = λκ for en konstant λ, så er kurven en generaliseret helix. Vis direkte, at dette gælder helixen fra eksempel Bevis. Antag at γ er parametriseret ved buelængde, så t = γ. Vi ved så, at t = κn. Derudover ved vi fra antagelsen, at t a = cos(θ). Idéen er igen nu den simple, at vi differentierer hver gang, vi ikke har andre oplagte muligheder. Ved at differentiere den sidste ligning, får vi 0 = t a = κn a. Husk at {t, n, b} udgør en ortonormalbasis, så her står, at a tilhører {t, b}-planen, og dermed at a = cos(θ)t ± sin(θ)b. Ved at differentiere denne ligning og bruge Frenet-Serret-ligningerne (mere præcist definitionen (2.13) på τ) får vi 0 = cos(θ)t ± sin(θ)b = cos(θ)κn sin(θ)τn, og da n 0, står her, at 0 = cos(θ)κ ± sin(θ)τ, så τ = ± cos(θ) sin(θ) κ = ± cot(θ)κ. Antag så, at τ = λκ og vælg θ så cot(θ) = λ. Da er τ = cos(θ) sin(θ) κ, og ved at arbejde os tilbage med samme logik som ovenfor, får vi, at og vektoren 0 = cos(θ)t + sin(θ)b, a = cos(θ)t + sin(θ)b virker til formålet: Den er konstant og a t = cos(θ) er konstant. For den specifikke kurve γ(θ) = (a cos θ, a sin θ, bθ) virker vektoren a = (0, 0, 1), da γ (0, 0, 1) = b er konstant. [P], Opgave Lad γ være parametriseret ved buelængde, have positiv krumning og torsion forskellig fra 0 overalt. Vis at hvis γ ligger på overfladen af en sfære, da er τ κ = d ( ) κ ds τκ 2. Vis omvendt at hvis ligningen er opfyldt, da er ρ 2 + (ρ σ) 2 = r 2 for en positiv kosntant r med ρ = 1/κ og σ = 1/τ, og udled at γ ligger på en sfære med radius r. (Sidste del af opgaven er udeladt) Bevis. Vi ved fra antagelsen, at der eksisterer a, så r 2 = γ a 2 = (γ a) (γ a) er konstant. Som i de foregående opgaver er strategien at differentiere denne ligning, indtil vi er færdige. Ved differentiation fås 0 = 2t (γ a) eller 0 = t (γ a). Ved at differentiere igen og indsætte Frenet-Serret-ligningerne, får vi eller, idet t t = 1, 0 = κn (γ a) + t t, 1 = n (γ a). κ
6 6 GEOMETRI-TØ, UGE 3 Ved at differentiere denne får vi 1 κ 2 κ = n (γ a) + n t = ( κt + τb) (γ a). Ovenfor så vi, at t (γ a) = 0, så ligningen bliver til b (γ a) = κ τκ 2. Differentierer vi denne, får vi ( ) d κ ds τκ 2 = b (γ a) + b t = τn (γ a) = τ κ, hvor vi ved sidste lighed har indsat n (γ a) = 1/κ, som vi fandt ovenfor. Antag nu, at ligningen er opfyldt, og lad os vise at ρ 2 + (ρ σ) 2 er en konstant r 2. Vi skal med andre ord vise, at dens afledede er 0, altså at (1) For at vise dette, er det nok at vise, at (2) for da bliver ligning (1) blot 0 = 2ρρ + 2(ρ σ)(ρ σ). ρ = σ(ρ σ), 2σ(ρ σ) ρ + 2(ρ σ)(ρ σ ) = 0. I termer af κ og τ er (2) imidlertid blot vores antagelse. For at se, at kurven lever på en kugle, sættes Da følger af Pythagoras, at a = γ + ρn + ρ σb. γ a 2 = ρn + ρ σb 2 = ρ 2 + (ρ σ) 2 = r 2, så vi er færdige, hvis vi kan vise, at a er konstant. Differentiation og brug af Frenet-Serret giver a = t + ρ n + ρ( κt + τb) + (ρ σ) b + ρ σ( τn) = t κ κ 2 n t τ κ b + τ κ + τ κ τκ 2 n. At tjekke det for kurven γ(t) = (cos 2 (t) 1 2, cos(t) sin(t), sin(t)) er mere end almindeligt vanskeligt, da kurven ikke er parametriseret ved buelængde. For at udregne κ og τ kan man bruge Proposition og 2.3.1, og spørger man Mathematica, får man, at τ(t) cos(t)(3 + cos(2t))3/2 = 6, κ(t) ( cos(2t)) 3/2 som funktion af t og ikke buelængdeparameteren s, som højresiden i differentialligningen differentieres med hensyn til.
GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereIdenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereObligatorisk Projekt MM512 Kurver og Flader 4. kvartal 2007
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Indhold Obligatorisk Projekt MM512 Kurver og Flader 4. kvartal 2007 1 Vejledning 1 2 Indledning 2 3 Plankurver og deres evolut 2 4 Gaußforskydningen
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereDanske besvarelser af udvalgte opgaver.
IMFUFA, INM Carsten Lunde Petersen Danske besvarelser af udvalgte opgaver. Introduction Forslag til besvarelse af udvalgte opgaver. Opgave 7.9: Vis, at en ikke plan glat kurve α : I R 3 i rummet forløber
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMASO Uge 7. Differentiable funktioner. Jesper Michael Møller. Uge 7. Formålet med MASO. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 7 Differentiable funktioner Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 7 Formålet med MASO Oversigt Differentiable funktioner R n R m Differentiable funktioner
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN
GAUSS-BONNET HANS PLESNER JAKOBSEN.. Indledning. En af de mest fundamentale sætninger i geometri er Thales Sætning, der siger, at vinkelsummen i en trekant er lig med π. Generalisationen af denne sætning
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Nasser. april 11 c 8-11. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereKortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.
Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth
Læs mereVektoranalyse INDLEDNING. Indhold. 1 Integraltricks. Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008
Vektoranalyse Jens Kusk Block Jacobsen 21. januar 2008 INLENING ette er en opsamling af ting, jeg synes er gode at have ifbm vektoranalyse som præsenteret i kurset VEKANAE07 ved IMF på AU. Noten er dels
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereKurver i planen og rummet
Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader
GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereIndhold. Litteratur 11
Indhold Forord ii 00-sættet 1 Opgave 1....................................... 1 Spørgsmål (a).................................. 1 Spørgsmål (b).................................. 1 Spørgsmål (c)..................................
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2017 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereDelmængder af Rummet
Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereEksamen i Mat F, april 2006
Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016
STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................
Læs mereLineære systemer med hukommelse.
Lineær Response Teori. I responseteorien interesserer man sig for, hvad der kan siges generelt om sammenhængen mellem input φ(t) og output γ(t) for et system. Valg af variable. Det betragtede systems forskellige
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs mere13 Markovprocesser med transitionssemigruppe
13 Markovprocesser med transitionssemigruppe I nærværende kapitel vil vi antage at tilstandsrummet er polsk, hvilket sikrer, at der findes regulære betingede fordelinger. Vi skal se på eksistensen af Markovprocesser.
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereKræfter og Arbejde. Frank Nasser. 21. april 2011
Kræfter og Arbejde Frank Nasser 21. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereGrafisk bestemmelse - fortsat Støttepunkter. Grafisk bestemmelse y. giver grafen. Niveaukurver og retning u = ( 1
Oversigt [S]. Nøgleord og begreber Retningsafledt Gradientvektor Gradient i flere variable Fortolkning af gradientvektoren Agst, opgave 5 Delvis afledt [S]. Directional derivatives and te... Definition
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereBesvarelser til Calculus Reeksamen August 2017
Besvarelser til Calculus Reeksamen -. August 7 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende til opgave
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereMATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale
STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereHeisenbergs usikkerhedsrelationer. Abstrakt. Hvorfor? Funktionsrum. Nils Byrial Andersen Institut for Matematik. Matematiklærerdag 2013
Heisenbergs usikkerhedsrelationer Nils Byrial Andersen Institut for Matematik Matematiklærerdag 013 1 / 17 Abstrakt Heisenbergs usikkerhedsrelationer udtrykker at man ikke på samme tid både kan bestemme
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereKurve- og plan-integraler
enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mere