Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Transkript

1 Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04

2 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test Forlarg på Pearsos formel....4

3 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og χ Begrebet χ,ch--ade eller Ch-square. er e del af teore for e stoasts varabel, der er ormalfordelt. E varabel med de teoretse mddelværd μ og spredg σ er ormalfordelt, hvs sadsylghedstæthede er gvet ved: P ( x ( x e Sadsylghede for at ma får et resultat (et udfald, som er mdre ed x, er gvet ved fordelgsfutoe F(x. F( x e x ( t dt Har ma ormalfordelte målger x, x, x 3, x, hvor mddelværdere µ, µ, µ 3, µ og spredge σ, σ, σ 3, σ er edte er sadsylghede for at få et resultat tervallet dx dxdx3... dx lg med produtet af de eelte sadsylgheder. x, x, x,..., x dx dx dx... dx 3 3 e ( x dx I mage tlfælde er mddelværd og spredg de samme for alle målgere. Hvs mddelværde er uedt eller afhæger af e parameter α, a ma bestemme de mest sadsylge værd af α, ved at bestemme maxmum for futoe ovefor, som futo af α. Dette aldes prcple of maxmum lelhood. I prass tager ma logartme tl begge sder og dropper ostatere, samt totallet ævere espoete. Herved fremommer det veledte udtry for χ. ( x ( x ( x ( x... Dee formel daer grudlaget for hypotesetest, futos fts tl måledata og leær regresso. er udledt artle: Det teoretse fudamet for Ch- Udtryet for sadsylghedstæthede for χ -ade sadsylgheder. Det er: P ( 0 0 F( d Hvs ma sal vurdere e sadsylghed f.es. χ > χ 0, så gøres det ved hjælp af fordelgsfutoe:

4 Pearsos formel for χ test P ( 0 0 F( d Som altså agver sadsylghede for at χ overstger de observerede værd χ 0. Hvs χ 0 er lg med ul, ford alle observatoer er lg med mddelværde, så er P =, og jo større P er, jo større er sadsylghede for at måleværdere repræseterer teore. Hvs P er stor, f.es. 0,95, så er sadsylghede altså u 0,05 for at ma ret statsts ue have fået e større værd. Accepterer ma e hypotese eller verfato af et observatossæt på dette grudlag, så taler ma om hypotesetest med sgfasveau 0,95. Ma foraster hvs de observerede værd af χ e befder sg et det område, hvor 95% af observatoere befder sg. Ma a vælge sgfasveau, 0,90, 0.95, 0,99 afhægg af omstædghedere. 0 P ( er e tabuleret futo, som også a aflæses på de fleste matemat-computere.. Pearsos formel for χ test I lærebøgere matemat for gymaset, og gvetvs bøger fra samfudsfag og bolog, fdes der, mdlertd e formel, som beteges som χ test, og hyppgt avedes, me som fats e lger de udtry for χ, som udledt ud fra ormalfordelge. De aldes for Pearsos formel. Hvs v lader O betege de observerede værder, og E de forvetede værder (expectato value, så deferede Karl Pearso e test value, som f de samme betegelse χ. ( O E E Ser ma på χ, som det er deferet ud fra ormalfordelge, så er det e helt lgetl heller e for matematlærere - at geemsue, hvorledes de to udtry, står for de samme statstse desrptor. Forlarge er heller e trvel. Bemær sær, at modsætg tl de tradtoelle χ test, så a formle avedes, selv om ma u har e observato! Formle har mage avedelser, me avedes ofte tl at afgøre om to størrelser er afhægge eller uafhægge. Hvs to størrelser er statsts uafhægge, a ma som beedt fde sadsylghede for, at de dtræffer samtdg som produtet af de to sadsylgheder. Hvs e, sal ma avede de betgede sadsylgheder. Se f.es. Ole Wtt-Hase Sadsylghedsregg, hvor betget sadsylghed er ret dgåede besrevet. Boge fdes på hjemmesde. H beteger som sædvalg sadsylghede for at hædelse H dtræffer. I et edelgt sadsylghedsfelt beteger eller (U atallet af elemeter udfaldsrummet U. (H beteger atallet af elemeter hædelse H.

5 Pearsos formel for χ test 3 Sadsylghede H svarer statste tl frevese af e observato: f(h = (H/ Hædelsere A og B er uafhægge, hvs A B A B Sadsylghede for at A dtræffer, gvet B srves: P ( A B Hvs hædelsere A og B er e uafhægge er A B A B A B A B B. B V vl u gve et teorets (dvs. ude at ddrage tal esempel på, hvorda ma udersøge om to observatoer er uafhægge af hade. V vl uder søge hypotese: Er e stemme på Socaldemoratet (S, uafhæggt af om ma er ufaglært (U eller ej. Atallet af stemmeberettgede beteges. Atallet der stemmer på S beteges: (S, og atallet, der e stemmer på S beteges (S og såda fremdeles. ( U S er atallet af ufaglærte, der e stemmer på S. V har derfor 4 mulgheder. ( U S, ( U S, ( U S, ( U S. Dsse 4 mulgheder er mdlertd e uafhægge, det der gælder de to relatoer ( U S + ( U S = (U og ( U S + ( U S = (S For så vel for S, som for U har v - frhedsgrader, som er (-(- = frhedsgrad. Vores hypotese var, at år ma stemmer S, så er det uafhæggt af, om ma er ufaglært eller ej. V atager altså at: U S U S. V srver deræst Pearsos formel op, som har 4 led. ( ( U S ( U ( S ( U ( S ( ( U S ( U ( S ( U ( S ( ( U S ( U ( S ( U ( S ( ( U S ( U ( S ( U ( S Hvs ma dsætter vrelge tal, f.es. fra sdste foletgsvalg, vl v få e værd for χ. Hvs v får e værd på 3,84, så er sadsylghede for at få e større værd e de beregede omrg Værde lgger altså et 95% acceptterval.

6 Pearsos formel for χ test 4 Hypotese a accepteres, me hvs v f.es. får e værd på 0 χ, er sadsylghede for at få e større værd 0,0057. Dee værd er så llle, at det er så usadsylgt at det udeluede a syldes statstse tlfældgheder, at v vl foraste hypotese. Med vrelge tal vl teste sadsylgvs være edu mere sgfat dette ostruerede tlfælde. 3. Forlarg på Pearsos formel. Formålet er u at gve e begrudelse for, at Pearsos formel godt a opfattes so e χ - test. Persos test, tager mdlertd e udgagsput ormalfordelge, me bomalfordelge. For e stoasts varabel X, hvor sadsylghede for at de dtræffer er p, dvs. X = p, så er de bomalfordelt, hvs sadsylghede for at hædelse dtræffer etop q gage forsøg er gvet ved. q q x q p ( p q mddelværde µ = p og spredge p( p V opsrver u Pearsos formel ( O E E Om to stoastse varabel X og X, som v atager, er bomalfordelte, er X og X e uafhægge, det de udeluer hade og tlsamme er hele udfaldsrummet, er atallet af frhedsgrader er - =. Hvs forsøget getages gage og X dtræffer q gage, så dtræffer X -q gage. Edvdere er Ifølge Pearsos formel E(X = p ( X p( p og E ( X ( p og ( X ( p p ( X p p (( X ( p ( p V øjes med at se på ét af leddee, dropper des, og som v uderaster e ræe omsrvger: ( X p (( X ( p ( X p ( p X = p ( p p ( p ( p( X p p( p X p( p =

7 Pearsos formel for χ test 5 ( X p p( p ( X = Det sdste udtry er etop udtryet for det led som dgår Hvlet vser, at Pearsos test fats er e χ test. ( x, Ma a dvede, at χ refererer tl ormalfordelge, mes Pearsos test tager udgagsput bomalfordelge, me ma a vse, (det er lagtfra smpelt, at bomalfordelge ærmer sg asymptots tl ormalfordelge, år går mod uedelg, samtdg med at p holdes ostat. Det følger heraf, at ma a avede Persos formel som e χ test med é frhedsgrad. Ole Wtt-Hase