Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Transkript

1 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi idleder dog med at se ærmere på takegagskompetece, der i praksis viser sig vaskelig at afgræse, me som det følgede afsit ka bidrage til at tydeliggøre. I KOMrapporte defieres takegagskompetece som: Dee kompetece består for det første i at være klar over, hvilke spørgsmål som er karakteristiske for matematik, i selv at stille sådae spørgsmål og i at have blik for, hvilke typer af svar som ka forvetes (KOM-rapporte 2002, s. 47). Det uddybes bl.a. ved at kue udvide et begreb ved abstraktio af egeskaber i begrebet, [og] i at forstå, hvad der ligger i geeraliserig af matematiske resultater. Vi har således ovefor abstraheret de cetrale egeskaber ved vores kedte tal til e mere abstrakt struktur, legemet. Dee proces ka således betragtes som udtryk for et væsetligt elemet i takegagskompetece. Og de resultater, vi ovefor og herefter fider for et legeme, vil selvfølgelig både gælde for de reelle tal og for de ratioale tal. Når vi i ω-boge kommer ærmere id på de komplekse tal, vil det hurtigt afsløres, at disse tal også udgør et legeme, hvorefter vi vil referere tilbage til ærværede kapitel og straks overtage alle de her udviklede begreber og resultater. Dee måde at tæke på er karakteristisk for matematik og cetral i takegagskompetece i matematik på de videregåede uddaelser, heruder også læreruddaelse. Det hører også med til takegagskompetece at kue skele mellem forskellige slags matematiske udsag og påstade, heruder betigede udsag, defiitioer, sætiger, fæomeologiske påstade om ekelttilfælde og formodiger baseret på ituitio eller erfariger med specialtilfælde (Kom-rapporte, s. 47) I starte af brøkkapitlet iddrog vi fæomeologiske påstade omkrig praktiske deligssituatioer med pizzaer og bordopstillig i restaurater. Det gav ogle idsigter og formodiger, som vi argumeterer for i kapitlet Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 353

2 om É faglig vej geem brøkregig. Her løftede vi os over de praktiske fæomeer til ogle mere geerelle defiitioer og sætiger, der kue udledes af dem. Nu ka vi gå et tri videre. Med kostaterige af, at de ratioale tal er et legeme, ka vi emlig opbygge de videregåede regeregler meget præcist og logisk ud fra betigelsere for et legeme. Det vil vi seere omtale som e aksiomatisk-deduktiv fremstillig, e form der allerede for mere ed år side opstod ide for geometrie, me først for alvor er slået igeem ide for e ikke-geometrisk algebra ide for de seeste århudreder. I lærebøgeres færdige fremstillig af matematisk takegag skjules ofte det meget karakteristiske, at ma i praksis ædrer på sie defiitioer, hvis ma har problemer med at bevise ogle af de sætiger, som ma ad erfariges vej har lært at tro på. Måske er det edda rimeligt at hævde, at defiitioere kommer til sidst, år ma har fået det matematiske på plads, og det væsetlige har udkrystalliseret sig, jf. defiitioe af et legeme. Det er e defiitio, der klart er udspruget af, at ma har set tilstrækkeligt mage strukturer med fælles egeskaber til, at ma til sidst har udkrystalliseret e esses. Dette mod og dee eve til at sætte spørgsmål ved defiitioer er e vigtig del af videskabsmades takegagskompetece. Me at det er videskabsmades forhidrer ikke, at ma gaske lagsomt iddrager det i skoles matematikudervisig. Hvis ma ikke gør det, syder ma elevere for e væsetlig del af matematisk virksomhed og bidrager til at uderstøtte et autoritetstro sy på matematik, der hæver matematikke over ehver diskussio. Derfor vil vi tage fat på at diskutere defiitioer i et særligt afsit Drilske spørgsmål i potesregig. Vil ma læse e rigtig god fremstillig af det gesidige forhold mellem defiitioer og sætiger, så abefales det lille værk Proofs ad refutatios (Lakatos 1976). Potesregereglere i et legeme I et legeme L ka vi defiere poteser og derefter bevise reglere for regig med poteser. 354 del iv Algebra

3 Defiitio 4 For et hvert tal a i L og ethvert aturligt tal defieres a a a a... a, altså lig med i alt faktorer a, hvis produkt så udgør a. De klassiske betegelser for dee situatio er, at a kaldes e potes, a kaldes rode og kaldes ekspoete. I yere sprog ka forekomme, at også kaldes for potese og a kaldes grudtallet. Ud fra defiitio 4 og det faktum, at vi befider os i et legeme, ka vi u bevise e række sætiger om potesopløftig. Da vi idtil u ku har to dokumeterede eksempler på legemer, emlig ( Q,+, ) og ( R,+, ), er det altså i første omgag disse legemer, vi vil tæke på. Imidlertid vil vi i bevisere udelukkede beytte de grudlæggede egeskaber for legemer for at skærpe opmærksomhede på, at det etop er disse, der er grudlaget for bevisere. Ved ku at bygge på de grudlæggede egeskaber opår vi, at alle de følgede sætiger også vil gælde for de komplekse tal, som vi skal beskæftige os med i ω-boge. Sætig 9 For alle aturlige tal og m og alle tal a i L gælder + m ( m) a a a. Bevis Vi beytter blot defiitio 4 på lov for regigsarte gage : m a a ( a a a... a) ( a a a... a) faktorer m faktorer a ogle gage samt de associative (da paretesere ka hæves pga. de associative lov) + m ( a a a... a) a. + m faktorer Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 355

4 Eksempel 2 Eksempler fra heholdsvis ( Q,+, ) og ( R,+, ) , , π π π 10, Sætig 10 For alle aturlige tal og alle tal a, b i legemet L gælder ( a b) a b. Bevis Ige beyttes defiitio 4 på potesopløftig og de associative lov for gage. Desude avedes de kommutative lov ogle gage: ( a b) ( a b) ( a b)... ( a b) a b a b... a b faktorer faktorer a og faktorer b ( a a... a) ( b b... b) a b. faktorer a og faktorer b Eksempel ( 2 3) 2 3, der i øvrigt er lig med Sætig 11 m m a a. For alle aturlige tal og m og alle tal a i L gælder: ( ) 356 del iv Algebra

5 Bevis Ige behøver vi blot at avede defiitio 4 og de associative lov: m ( a ) a a... a ( a a... a) ( a a... a)... ( a a... a) m faktorer m faktorer faktorer faktorer faktorer m a a... a a. m faktorer Eksempel , ( ) ( ) ( ), ( ) 3 3. Drilske spørgsmål i potesregig Vi skifter u fremstilligsform fra de strigete deduktive form med defiitio, sætig og bevis til e mere diskuterede. For etop på området med potesregeregler drejer de didaktiske problemer, ma som lærer løber id i, sig ofte om, hvorfor defiitioere er, som de er. Når ma således diskuterer regeregler omkrig poteser med lærerstuderede er de oftest forekommede spørgsmål: Hvorfor er a 0 1? og Hvorfor er det u lige, at 4 16? 2 1 I det følgede besvares disse og adre drilske spørgsmål, idet vi samtidig kommer id på, hvorda ma i matematikke tilstræber at fastholde pæe og simple sætiger samt selvfølgelig at udgå modstrid. Lad os imidlertid straks slå fast, at matematikke er e meeskelig kostruktio, og at der derfor på forhåd ikke er oget, der forhidrer matematikere i at defiere eller eller edda Det vil blot have ogle ubehagelige kosekveser. Mest markat ville det gå ud over de måske mest brugte regeregel for poteser, emlig sætig 9 ovefor: + a a m a ( m). Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 357

6 Vi har allerede bevist, at dee regeregel må gælde for vilkårlige reelle tal a og vilkårlige aturlige tal m og. Og hvis vi u gere vil have dee ekle regeregel til også at gælde, år og m er midre ed eller lig med 0, så bliver vi simpelthe tvuget til at defiere a 0 1 og Det vil vi vise i det følgede, bl.a. ud fra de ovefor give defiitio 4 på a for lig et aturligt tal. 2 1 Sætig 12 (alme udgave) For alle hele tal og m og alle tal a i R, + a a m a ( m). ( a 0) gælder Sætig 12 skal i første omgag betragtes som et øske, vi opstiller, og u vil vi drage kosekvesere af dette øske. Vi ka kalde dee proces for e aalyse, idet vi atager, at sætige er sad, og ser, hvor det fører os he. Vi aalyserer os frem til, hvorda vi bedst ka defiere størrelser som 0 2 a og 4. Sætig 13 Af sætig 12 følger, at der ødvedigvis gælder: a og a a. Bevis Sætig 12, som vi skal bygge på, siger, at der for alle fra 0 forskellige + reelle tal a og for alle hele tal og m gælder, at a a m a ( m). Så lad a være et vilkårligt fra 0 forskelligt reelt tal, og lad m være et 0 + aturligt tal. Så gælder ifølge sætig 12, at m (0 m) a a a, altså at 0 m m a a a, idet (0 + m) m. 358 del iv Algebra

7 m Nu ved vi, at a er forskellig fra 0, så vi ka dividere med det på hver m 0 m m 0 a side af a a a, hvilket giver a 1. Vi har således bevist m a første del af sætig 13. For at bevise ade del af sætige lader vi ige a være et vilkårligt fra 0 forskelligt reelt tal og lader være et aturligt tal. Ifølge sætig 12 (alme udgave) er: 0 1 ( + ( )) a a a a, hvor det adet lighedsteg gælder, fordi + ( ) 0, og det tredje gælder ifølge det, vi etop har vist. Vi dividerer på hver side af a a 1 med a og får a 1 a, hvilket er påstade i ade del af sætig 13. Efter at have bevist sætig 13 har vi selvfølgelig stadig frihed til at defiere 0 a og a som vi vil, me sætig 13 fortæller os, at det både for matematik som videskab og for de bør, der skal lære faget i skole, ville være hesigtsmæssigt at vælge de defiitio, der foreslås i sætig 13. Det vælger vi derfor i dee bog. Defiitio 5 For alle aturlige tal og for alle fra 0 forskellige reelle tal a defierer vi: a og a a. Ud fra dee defiitio ka ma så til gegæld bevise, at sætig 12 gælder i si almee form. Beviset overlades til læsere. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 359

8 Øvelse 6 Prøv selv at gå geem argumetet bag sætig 13 ige og påvis helt kokret, at de eeste foruftige betydig af er 1, og tilsvarede bør 4 være det samme som. 16 Øvelse 7 Sætig 13 udsiger, at vi ikke ka få sætig 12 til at gælde geerelt, med midre vi accepterer defiitio 5. Hvis vi u accepterer defiitio 5, så ka vi faktisk bevise sætig 12 i si almee form. Dette hedder at dae e sytese (opbygig) efter de etop geemførte aalyse ( 2) Prøv at bevise sætig 12 i følgede kokrete tilfælde: Vis det ved at tage udgagspukt i defiitio 5. Et meget specielt resterede problem De oveståede aalyse giver ikke oget svar på, hvad vi med fordel ka forstå ved 0 a og a, år a er lig med 0. 1) Hvis vi repeterer første del af beviset for sætig 13, ser vi, at det bliver 0 m svært at kokludere oget ud fra m 0, idet der blot står 0 0 0, hvilket er sadt uaset, hvilke værdi vi tillægger 0 0. Så vi må kokludere, at vi er frit stillet i defiitioe af 0 0. Det er klart, at det ikke vil skabe større problemer i et almideligt hverdagsliv, hvis vi defierer , fordi det er meget svært at fide situatioer fra hverdage, hvor e beregig af 0 0 har oge betydig. Iteratioalt er ma imidlertid blevet eige om følgede foruftige argumet: Da a 0 1 for a 0, betyder det, at fuktioe f ( x) x 0 er kostat lig med 1 for x 0. Hvis vi u sætter x 0 1, så bliver fuktioe f ( x) x 0 kostat og altså kotiuert (ude pludselige sprig) for alle reelle tal x. Hvis vi sætter f (0) 0 0 lig med oget som helst adet ed 1, bliver fuktioe diskotiuert de vil være kostat, me pludselig 360 del iv Algebra

9 hoppe ved x 0. Derfor sætter vi x 0 1 efter dee bladig af æstetiske og praktiske overvejelser. Det sikrer, at alle de elemetære fuktioer i matematik (dem ma arbejder med på B-iveau i gymasiale uddaelser, og som vi skal se på i æste kapitel), bliver kotiuerte og dermed lettere at rege med i de videregåede matematik, både itert og i avedelsere. 2) Hvad agår a 1, så bliver de rigtig grim, hvis a sættes lig med a 1 1 0, idet der vil stå 0. Da det almideligvis er forbudt at dividere med 0, syes det ikke muligt på dee måde at tillægge 0 oge 0 0 meig. Nu skal ma ige huske på, at matematik er e meeskelig kostruktio, og at der derfor ikke er oget, der på forhåd er forbudt i matematik. Det er som i livet i øvrigt et spørgsmål om, hvorvidt ma vil bære kosekvesere af det, ma gør. Vi så ovefor, at vi havde lov at defiere 0 a og a, som vi ville, me hvis ikke vi gjorde som i defiitio 5, kue vi ikke redde sætig 12. Så, da matematik er meeskeværk, ka det da godt være, at vi kue klare problemet med Matematikere har allerede opfudet symbolet for 0 uedelig. Der kue være e vis foruft i at defiere 1 0 behøver blot at se på udviklige: som. Ma x 1 ½ 1/10 1/100 1/ / /x Altså, jo midre x bliver, desto større bliver 1. Dette kue godt friste til x at sige, at år x bliver uedelig lille, så skal 1 x være uedelig stor. Eller kort sagt: år x bliver 0, så bliver 1 x til. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skole 361

10 Imidlertid løber vi id i problemer, hvis vi faktisk vil påstå, at er et tal på lige fod med de adre reelle tal. For hvis det er tilfældet, må ma rege med det på sædvalig vis og får så følgede mærkelige udregig: , hvor vi efter forkortig med 0 på vestre side får: Da det er e almidelig regeregel, at a 0 0, så bliver kosekvese, at 1 0, hvilket vil medføre, at alle tal er lig med 0. Det er e al for stor pris at betale for at få lov til at give meig til et så specielt udtryk som 1 0. Vi vælger derfor også at opgive at tillægge det edu mere geerelle udtryk 0 oge meig. Opgave 8 Ma kue prøve at redde situatioe ved at hævde, at 0 ikke slår ed i e multiplikatio, me at de er jævbyrdige på e måde, så 0 1. Me det ka heller ikke lade sig gøre ude at skabe talmæssige katastrofer. Prøv fx at udrege hver side af 2 (0 ) (2 0) eller oget ligede, og se om du har lyst til at bære kosekvesere af de seeste atagelse. Digt e dialog: Lærere: Og x opløftet til ulte sætter vi lig med 1. Mads: Jo, me 4 i ade var 16, fordi vi skulle gage 4 med sig selv to gage. Hvis vi skal gage fire med sig selv ul gage, så giver det jo slet ige tig, og det er vel det samme som ul. Altså Lærere: digt videre Rødder i et legeme som de reelle tal Geerelt ka ma ikke uddrage kvadratrødder i et legeme. Specielt er der få kvadratrødder ide for det ratioale tallegeme, idet sadsylighede for, at et ratioalt tal har e ratioal kvadratrod, er meget lille, ja ærmest 0. Det 362 del iv Algebra