Matema10k. Matematik for gymnasiet. Bind 3 A-niveau. af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

Transkript

1

2

3 Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 3 A-niveau af Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

4 4 Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen Matema10k Matematik for stx. Bind 3. A-niveau. Frydenlund og forfatterne, ISBN: Redaktion: Flemming B. Olsen Grafisk tilrettelæggelse: Jimmy N. Staal og Claus Nielsen Matematiske illustrationer: Jimmy N. Staal, Sofie Leweson og Flemming Mørk Grafisk produktion: Pozkal, Polen Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Undervisningsministeriet og Copy-Dan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser. Frydenlund Hyskenstræde 10 DK-1207 København K Tlf Fax post@frydenlund.dk

5 5 Indhold Del 1. Vektorer og analytisk geometri Del 1. Vektorer og analytisk geometri Vektorer i 2D Vektoreri2D Vektorer...13 Vektorer Regningmed vektorer...19 Regning med vektorer Midtpunkt af linjestykke og medianernes Midtpunkt skæringspunkt af linjestykke og i en medianernes trekant...22 skæringspunkt i en Polære koordinater...26 trekant Skalarproduktet Polærekoordinater Øvelser. Skalarproduktet Projektion Projektion af vektor af vektor på vektor på vektor Tværvektor Tværvektor og determinant og determinant Øvelser. Løsning...41 af to ligninger med to ubekendte Løsning Analytisk af to geometri ligninger i 2D med.. to. ubekendte Øvelser. Parameterfremstilling...45 og ligning for den rette linje. 48 Afstand fra punkt til linje Analytisk Skæring geometri mellemi 2D to linjer Parameterfremstilling Cirklens ligning og og parameterfremstilling ligning for den rette linje Øvelser. Parabler Vektoreri3D Afstand fra punkt... til linje Skæring Vektorer... mellem linjer Øvelser. Regning...60 med vektorer Cirklens ligning og parameterfremstilling...62 Skalarproduktet Øvelser Krydsproduktet mellem to vektorer Parabler Analytisk geometri i 3D Øvelser Linjens parameterfremstilling Planensligning Vektorer i 3D...72 Vektorer Afstandfrapunkttilplan Øvelser. Planens...75 parameterfremstilling Regning Kuglensligning med vektorer Øvelser. Skæring...78 og vinkler mellem Skalarproduktet forskellige...79 figurer Øvelser Projektion af vektor på vektor i 3D Øvelser Krydsproduktet mellem to vektorer...86 Øvelser....89

6 6 4. Analytisk geometri i 3D...91 Linjens parameterfremstilling...91 Øvelser Planens ligning...94 Øvelser Afstand fra punkt til plan...97 Planens parameterfremstilling...99 Øvelser Kuglens ligning Øvelser Skæring og vinkler mellem forskellige figurer Øvelser Oversigt over indholdet i del 1: Vektorer og analytisk geometri Del 2. Taltegn og talbegreber En historisk rejse Indledning Forhistorie Tidlige talsymboler Pythagoræerne: Alt er tal Inkommensurable størrelser Diskrete tal og kontinuerte geometriske størrelser Græske og romerske taltegn Det hindu-arabiske talsystem Abacus, hindu-arabiske tal og regnemaskiner Generalisering af talbegrebet Umulige opgaver og udvidelser af talbegrebet Ligningsløsning Algebraens fundamentalsætning Den geometriske fortolkning af komplekse tal Kvaternioner Konstruktionen af de reelle tal Aksiomatisering Mængdelæren Konsistensspørgsmålet Konklusion Øvelser

7 7 Del 3.Mere om Trigonometriske funktioner Harmoniske svingninger Differentiation af sinusfunktionen Øvelser Mere om regneregler for differentiable funktioner Bevis for produktreglen (regneregel 4) Redegørelse for differentiation af sammensat funktion (regneregel 6) Øvelser Mere om integralregning Areal af område begrænset af to grafer Integration ved substitution Integralet som grænseværdi for summer Rumfang af omdrejningslegemer Øvelser Oversigt over indholdet i del Trigonometriske funktioner Regneregler for differentiable funktioner Integralregning Del 4. Differentialligninger Opstilling af differentialligninger Væksthastighed og differentialligninger Tangenter og differentialligninger af 1. orden Løsning af differentialligninger ved hjælp af CASværktøj Øvelser Differentialligningsmodeller SD-diagrammer Eksempler på differentialligningsmodeller Øvelser Eksakt løsning af differentialligninger Eksakt løsning af lineære differentialligninger af første orden Logistisk vækst Øvelser Oversigt over indhold i del

8 8 Del 5.Modeller i anvendelse Modeller i biologi Introduktion Vægtforhold mellem kerne og strå Forurening af en sø Øvelser Modeller i økonomi F som funktion udelukkende af K F som funktion af K og L F som funktion af K og L og med antagelse omhomogenitet Tilpasning mod ligevægt Fleksibilitet af vækstmodellen Modeller i fysik om klassisk mekanik Parameterkurver Hastighedsvektor og tangent til parameterkurver Acceleration og Newtons anden lov Jævn bevægelse og jævnt voksende bevægelse Det skrå kast Jævn cirkelbevægelse og andre parameterkurver Arbejde og energi Systemer med flere legemer Opgaver med resultater Opgaver til del Resultater til opgaver del Opgaver til del Resultater til opgaver del Opgaver til del Resultater til opgaver del Indeks

9 9 Forord Matema10k for A-niveau bygger oven på Matema10k for B-niveau både for stx og hf. Bogen indeholder kernestoffet på A-niveau og meget supplerende stof. Det supplerende stof uddyber og perspektiverer kernestoffet. A-bogen vil kunne anvendes som del af et stx A-forløb i matematik, som bog til frit valgt stx A-niveau og som bog til gymnasial supplering i matematik A. Matema10k for A-niveau har et bredt indhold, og den indeholder masser af fagligt stof. Stoffet giver udfordringer til både den gode og den mindre gode elev. Som i bøgerne for C- og B-niveau er bogen skrevet ud fra et princip om at fremlægge stoffet lagvis, dvs. at indgangen til stoffet er så alle elever kan forstå det, og at der derefter er flere typer af forklaringer på forskellige niveauer. Men bogen indeholder også mere krævende stof som vil inspirere og udfordre selv de bedste elever. På denne måde lægger bogen op til differentieret undervisning hvor alle elevtyper kan tilgodeses. Bogen indeholder foruden kernestoffet følgende større perspektiverende afsnit: Tallenes historie skrevet af professor Jesper Lützen, Københavns Universitet Modeller i biologi skrevet af lektor Thomas Vils Pedersen, Københavns Universitet Modeller i økonomi skrevet af docent Lars Lund, Handelshøjskolen i København Modeller i fysik der lægger op til et tæt samarbejde mellem matematik og fysik om klassisk mekanik.

10 10 Disse afsnit danner solidt grundlag for studieretnings- eller AT-forløb i samarbejde med biologi, samfundsfag og fysik. I bogen er øvelser til stoffet i umiddelbar forlængelse af kapitlerne og der er facit til øvelserne på bogens hjemmeside. Desuden findes opgaver bag i bogen til al bogens stof også med facit. Til bogen hører den meget omfattende og gratis hjemmeside Hjemmesiden er sponsoreret af it-virksomheden Casio. Hjemmesiden indeholder dynamiske appletter til at illustrere forskellige dele af stoffet, yderligere supplerende matematisk stof samt opgaver til A-niveau. Bogens hjemmeside er en uhørt omfattende hjemmeside vi opfordrer dig til at anvende den. Vi vil gerne varmt takke Jesper Lützen, Thomas Vils Pedersen og Lars Lund for deres bidrag til bogen. Vi ønsker dig god fornøjelse med bogen. Hvis du har kommentarer eller gode råd til bogen, er du velkommen til at sende en mail på matema10k@frydenlund.dk. Thomas Jensen, Claus Jessen og Morten Overgård Nielsen

11 11 Del 1 Vektorer og analytisk geometri