Differentialligninger nogle beviser og modeller

Transkript

1 Diffrntialligningr nogl visr og modllr Vi skal i dtt lill tillæg giv lgant visr for d fuldstændig løsningr til følgnd tpr af diffrntialligningr: = k, = a og = ( a ). Sætning (Eksponntil vækst) Givt n diffrntialligning på formn = k, hvor k r n konstant. Dn fuldstændig løsning til diffrntialligningn kan skrivs på formn: ( ) k f x = c x hvor c r n aritrær (vilkårlig) konstant. Bvis: Vi vil først vis, at n funktion på formn ( ) k f x = c x virklig r n løsning til diffrntialligningn. Dt gørs vd simpl indsættls. Før vi kan gør dt, får vi rug for at udrgn diffrntialkvotintn af funktionn f. = f ( x) = c = c = c k () ( ) ( ) k x k x k x hvor vi i trdj lighdstgn har udnttt rgln om, at når man diffrntirr n konstant gang n funktion, så kan konstantn sætts udnfor. I fjrd lighdstgn r rgln om diffrntiation af n sammnsat funktion udnttt. Dn indr funktion r i dn forindls lig md k x. Vi kan nu indsætt udtrkkn for = f ( x) og = f ( x) i hvr sid af diffrntialligningn = k : (2) Vnstrsidn: Højrsidn: = c k k = k c k x k x Vi sr tdligt, at vnstrsidn og højrsidn r ns, så ( ) k f x = c x r virklig n løsning til diffrntialligningn. Vi manglr at vis, at all løsningr r på dnn form for n llr andn konstant c. Så antag at f r n løsning til diffrntialligningn. Hrftr fortagr vi t smart trick vd at indfør n hjælpfunktion h vd følgnd: (3) h( x) f ( x) k = x Lad os prøv at diffrntir funktionn. Hrtil rugs produktrgln for diffrntiation: (4) ( f x ) h ( x) = ( ) = f ( x) + f ( x) ( ) = f ( x) + f ( x) ( k) = k f ( x) f ( x) k = I 4. lighdstgn har vi udnttt, at funktionn f tilfrdsstillr diffrntialligningn, dvs. at f ( x) = k f ( x). Diffrntialkvotintn af hjælpfunktionn r altså i all x-værdir!

2 2 Erik Vstrgaard Dr r kun én funktion som ovralt har diffrntialkvotintn, og dt r dn konstant funktion. Lad os kald konstantn c. Drmd har vi: (5) h ( x ) c f ( x k x ) c f ( x ) ( ) k x c f x c = = = = Drmd r dt ønskd vist. Sætning 2 (Forskudt ksponntil vækst) Givt n diffrntialligning på formn = a, hvor a og r konstantr. Dn fuldstændig løsning til diffrntialligningn kan skrivs på formn: f ( x) a c a = + x hvor c r n aritrær (vilkårlig) konstant. Bvis: Vi vil fortag nogl fiks omskrivningr af diffrntialligningn, så vi kan gør rug af dt rsultat, som vi allrd har vist i sætning. (6) = = = a a (7) a = a + a hvor vi i (6) har udnttt n rgnrgl for diffrntiation, samt at man får, når man diffrntirr n konstant, hr a. I (7) gangr vi lot ind i parnts. (6) og (7) givr: (8) = a = a a a Højrsidn i (8) udtrkkr, at z= a tilfrdsstillr n diffrntialligning af formn i sætning, nmlig: z=a z. Sidstnævnt har ifølg sætning dn fuldstændig løsning z c a = x, hvor c r n aritrær konstant. Hvis vi sættr ind hvad z r, får vi: a x (9) a = c = + c a Hvorvd dt ønskd r vist. a x I dn følgnd sætning skal vi tragt dn såkaldt logistisk diffrntialligning, som r på formn = ( a ). For ovnfor at vis sætning 2 omskrv vi prolmt, så vi kunn gør rug af sætning. På analog måd vil vi for at vis sætning 3 på næst sid omskriv dn logistisk diffrntialligning til n, som r af formn fra sætning 2.

3 Erik Vstrgaard 3 Sætning 3 (Logistisk vækst) Givt n diffrntialligning på formn = ( a ), hvor a og r konstantr. Dn fuldstændig løsning til diffrntialligningn r følgnd: hvor c r n aritrær (vilkårlig) konstant. a f ( x) = og f ( x) = c + x Bvis: For dt først sr man hurtigt vd indsættls på højr og vnstr sid i diffrntialligningn, at funktionn f ( x ) = r n løsning. I vors søgn ftr andr løsningr vil vi i dt følgnd antag, at f ( x) for all x. Undr dn antagls kunn vi find på at diffrntir f ( x ) llr, som vi vil skriv kort. Vi mærkr, at vi har at gør md n sammnsat funktion, og skal drfor anvnd rgln for diffrntiation af n sammnsat funktion. Indn vi diffrntirr, omskrivr vi lig til. Vi får: () ( ) 2 2 = = = = 2 Bmærk at ftr dt andt lighdstgn svarr til dn indr funktion diffrntirt! Vi rgnr vidr på højrsidn i (), idt vi i først lighdstgn i () udnttr udtrkkt for diffrntialligningn: () ( a ) a ( a ) = = = 2 2 a a = = = a Til sammn givr () og (): (2) = a Sætts z= sr vi, at vi har at gør md diffrntialligningn z= a z, som r af tpn handlt i sætning 2. Hr r rolln af a og lot omttt. Vi konkludrr, at dn fuldstændig løsning z r på formn g( x) a c = + x for n aritrær konstant c. Mn vi skal jo tilag til n løsning til diffrntialligningn (2). Vi har altså: f ( x) (3) f ( x) a = + c x a a a x a x c ( a + c ) a c = = = + + hvor vi i 2. lighdstgn ndrst forlængr røkn md a. Hvis vi kaldr c= a c kan vi s, at vi har vist dt ønskd. x

4 4 Erik Vstrgaard Bmærkning 4 Strngt tagt har vi ikk undrsøgt for løsningr, som mått vær for nogl x-værdir og forskllig fra nul for andr x-værdir. I torin for ikk-linær. ordns diffrntialligningr, som dn logistisk diffrntialligning hørr ind undr, kan man imidlrtid vis, at dr undr viss forudsætningr "lokalt st" ksistrr n løsningskurv ignnm thvrt punkt i plann, samt at dnn løsning r ntdig. Da vi allrd har dn løsning, som r idntisk på hl x-aksn, kan dr altså ikk vær flr løsningskurvr, som rammr x-aksn på grund af ntdighdn. Nævnt sætning r alt for svær til at liv gnnmgåt i gmnasit. Modllr Ikk ovrrasknd r d ovnnævnt tr modllr intrssant fordi d rpræsntrr gnrll gnskar, som kan gnfinds i mang praktisk situationr. Diffrntialligningrn udtrkkr nogt om øjlikshastighdn til thvrt tidspunkt. I d flst anvndlsr r dn ukndt tidn t frmfor x. Eksmpl Diffrntialligningn = k kan fortolks som at øjlikshastighdn til thvrt tidspunkt t r proportional md størrlsn af. Dnn modl kommr i sin idéll form til anvndls i vækstn af n population. Dt r naturligt at antag, at hastighdn, hvormd for ksmpl n aktrikultur voksr, r proportional md populationns størrls slv. Hvis dr r dolt så mang aktrir, så får d også dolt så mang "ørn" lidt løst sagt. Vi nttr også tgnlsn konstant rlativ vækst frmfor konstant asolut vækst, hvor udviklingn vill hav vært linær. Ifølg sætning r n konstant rlativ vækst dt samm som n ksponntil vækst. Lad os s på t ksmpl. Antag at antallt af aktrir n( t ) til tidn t (nhd: timr) adldr diffrntialligningn n ( t) =,3 n( t). Dt oplss, at dr fra gndlsn r 5 aktrir. a) Bstm t udtrk for antallt af aktrir til tidspunktt t. ) Bstm dn øjlikshastighd, hvormd populationn ændrr sig, til tidspunktt 3 timr. c) Md hvor stor hastighd ændrr populationn sig til dt tidpunkt, hvor dr r 2 aktrir? Løsning: a) Ifølg sætning r løsningn til diffrntialligningn n ( t) =,3 n( t) på formn,3 t n( t) = c, hvor c r n aritrær konstant. Vi nttr gndlsstinglsn til at fastlægg dn aritrær konstant c:

5 Erik Vstrgaard 5 (4) Altså r,3 n() = 5 c = 5 c= 5,3 t n( t) = 5 t udtrk for populationns størrls til tidn t. ) Øjlikshastighdn, hvormd populationn voksr, fås vd at diffrntir:,3 t,3 t,3 t n '( t) = 5 = 5,3 = 5 (5) ( ) Til tidspunktt 3 timr fås: (6),3 3 n'(3) = 5 = 3689,4 Til tidspunktt t= 3 timr r øjlikshastighdn, hvormd populationn voksr, altså lig md 3689 aktrir pr. tim. Bmærk at dt ikk tdr, at dr ftr n tim r 3689 aktrir flr, for øjhastighdn ændrr sig hl tidn! c) Man kunn hr naturligvis vælg først at stmm dt tidspunkt, hvor populationn r opp på 2 aktrir vd at løs ligningn n( t ) = 2 og drftr sætt løsningn for t ind i udtrkkt for hastighdn (5). Dr r imidlrtid n mgt nmmr måd at gør dt på, nmlig vd at rug vor diffrntialligning dirkt! (7) n=,3 n =,3 2 = 6 idt vi af pædagogisk årsagr hr har undrtrkt dn varial t. Vi konkludrr, at når populationn r nåt op på 2 aktrir, så r øjlikshastighdn, hvormd aktrirn formrr sig, lig md 6 aktrir/tim. Eksmpl 2 Et godt ksmpl på anvndls af diffrntialligningn for dn forskudt ksponntill vækst fra sætning 2 r vd afkøling af kaff. Ifølg Nwtons afkølingslov vil tmpraturn T ( t ) af kaffn i n kop til tidn t adld følgnd diffrntialligning: dt (8) = k ( T Tomg ) dt

6 6 Erik Vstrgaard hvor k r n konstant og T omg r omgivlsrns tmpratur. Diffrntialligningn udtrkkr, at hastighdn, hvormd kaffns tmprat ændrr sig, r proportional md forsklln i tmpratur mllm kaffn og omgivlsrn. Dtt ldr umiddlart mgt fornuftigt, idt man må forvnt, at tmpraturn aftagr hurtigr, når kaffns tmpratur r mgt ovr omgivlsrns tmpratur frmfor når kaffns tmpratur r tæt på omgivlsrns tmpratur. Vd at gang ind i parntsn i (8) sr man, at dr virklig r tal om n diffrntialligning af tpn = a. Hr svarr til k Tomg og a til k og naturligvis til T. Dtaljrn givs ikk hr, da d r ld i n projktopgav. Sætning 2 givr md ovrsættlsrn følgnd fuldstændig løsning til (8): (9) T ( t) = c k t + Tomg For at stmm dn aritrær konstant indsætts gndlsstinglsn, at kaffns tmpratur til tidspunktt t= r T. Dt ovrlads ign til læsrn at vis, at dt givr c= T Tomg. Når dnn værdi for c indsætts i (9 fås dt ndlig udtrk for løsningn til diffrntialligningn md gndlsstinglsr: (2) T ( t) ( T T ) k = t + T omg Konstantn k afhængr landt andt af hvor godt koppn r isolrt. Lad os tgn grafn for løsningn i tilfældt, hvor kaffns starttmpratur r T = 85 C, hvor omgivlsrns tmpratur r T = 2 C og k =,38 min. T ( C) omg omg t (min) Som vntt sr vi, at kaffns tmpratur aftagr mst i gndlsn, mns dn stadig r mgt varm. Når tidn går mod undlig vil kaffns tmpratur nærm sig asmptotisk til omgivlsrns tmpratur. Dt r markrt md n vandrt stiplt linj ud for 2 C. Matmatisk sigr vi: T ( t) 2 for t. og = 2 sigs at vær vandrt asmptot. I Mapl kan grænsværdin stmms md kommandon lim, hvis forskriftn for funktionn i forvjn r dfinrt:

7 Erik Vstrgaard 7 Eksmpl 3 Vi har tidligr gnnmført t matmatikprojkt i diffrntialrgning, hvor opgav 35 handld om n logistisk vækst. I indldningn til opgavn lv dt omtalt, at dn angivn forml for dn logistisk vækst stammr fra diffrntialligningn: (2) n ( t) = k n( t) ( G n( t)) Baggrundn for dnn r, at man har forsøgt at fortag nogl korrktionr i forhold til dn ksponntill modl i ksmpl. Populationn kan jo ikk liv vd md at voks i dt undlig. Oft vil omgivlsrn, fx aralt, llr fødn sætt n øvr græns for, hvor stor populationn kan liv. Dn logistisk modl tagr hnsn til dtt forhold. Dn ggr på at hastighdn, hvormd populationn voksr, ikk lot r proportional md populationns gn størrls, mn også r proportional md, hvor mgn rådrum, dr stadig r for vækst. Hr gørs n antagls om, at populationns græns r n llr andn værdi G. Dt omtalt "rådrum" r lddt G n( t), som kan tolks som dt antal individr, dr drligr r plads llr rådrum til i dn aktull situation. For at inds, at dn logistisk diffrntialligning (2) r af samm form som diffrntialligningn i sætning 3, har vi rug for at omskriv (2) n smul, så dn kommr på formn = ( a ). Vi gangr konstantn k ind i parntsn i (2), mns vi ladr n( t ) forliv udnfor parntsn: (22) n ( t) = k n( t) ( G n( t)) = n( t) ( k G k n( t) ) Sammnlignr vi md = ( a ) svarr altså til k G og a svarr til k. Ifølg vors løsningsforml for = ( a ) i sætning 3, får vi dn fuldstændig løsning: (23) n( t) a ( k G) k G = = = + c + c + c t k G t k G t Lad os sig, at dr sætts fisk af n stmt art ud i n stor sø. Antag at populationns udvikling adldr dn logisk diffrntialligning (2) md k =,3 dag 5 og md G= 32. a) Bstm t udtrk for antallt af fisk som funktion af tidn t i dag. ) Til hvilkt tidspunkt voksr populationn af d pågældnd fisk kraftigst? c) Bstm dn øvr græns for fisk i søn.

8 8 Erik Vstrgaard Løsning: a) Vi indsættr først værdirn for paramtrn k og G og udnttr drftr gndlsstinglsn til at stmm dn aritrær konstant c n() = c 3 + c = + c = = (24),46 idt k G=,46. Indsætts værdin for c i (23), fås (25) n 32 ( t ) =, t som r dt ønskd udtrk for populationns størrls som funktion af tidn. ) Hr r dt hastighdn n ( t), som skal maksimrs, ikk n( t ). Opgavn kan klars vd at sætt f ( t) = n ( t) og fortag n funktionsundrsøgls af f. Dtaljrn ovrlads til læsrn. Dt r klart, at funktionn i dt ønskd punkt opfldr f ( t) =, dvs. n ( t) =. Man sigr, at funktionn n( t ) har n vndtangnt i dt søgt punkt! Svart i opgavn r t= 82,548 dag.,46 t c) Hr ladr vi tidn gå mod undlig. Da for t, vil nævnrn i røkn i (25) nærm sig til, hvorfor hl røkn vil nærm sig til 32: n( t) = 32 for t = = (26),46 t Dn øvr græns af fiskstandn r altså 32, hvilkt vi gntligt godt vidst i forvjn, da dt var ggt ind i modlln. Lad os til slut tgn grafn for populationns størrls som funktion af tidn Antal fisk i søn t (dag) Grafn har n vandrt asmptot i = 32, som afspjlr påstandn om at populationns størrls nærmr sig til 32, når tidn nærmr sig til undlig. Endvidr r punktt, hvor dn størst hastighd antags, indtgnt, forudn tangntn til grafn i punktt. Når populationn nærmr sig til dns græns på 32 individr, så vil lddt G n( T ) i diffrntialligningn liv lill. Dt forklarr, hvorfor hastighdn kan mindsks.

9 Erik Vstrgaard 9 Bmærkning (Om modllr) Dt skal sigs, at løsningrn til ovnstånd logistisk diffrntialligning naturligvis forudsættr, at populationn virklig adldr dn logistisk ligning. Dt kan man langt fra gå ud fra i virklighdn, og ovnstånd ksmpl 3 r da også konstrurt. I modllr søgr man at tag n rækk forhold i tragtning, mn dt r umuligt at tag højd for all forhold. Kunstn vd at modllr r ntop at tag højd for all d væsntligst forhold, mn stadig hold antallt af paramtr llr varial nd på t accptalt nivau, så man kan rgn md dt, slv på n computr Billdr: Sid 4: istock.com/jzprklauzn, Sid 6: istock.com/ats. Rstn gn fotos og figurr.