2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "2 Separation af de variable. 4 Eksistens- og entydighed af løsninger. 5 Ligevægt og stabilitet. 6 En model for forrentning af kapital med udtræk"

Kristian Torp
7 år siden
Visninger:

1 Oversig Mes repeiion med fokus på de sværese emner Modul 3: Differenialligninger af. orden Maemaik og modeller 29 Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø 3 simple yper differenialligninger Eksponeniel væks med konsanled Logisisk væks med variaioner 2 Separaion af de variable 3 Lineære. ordens differenialligninger Panserformlen Nålesiksmeoden 4 Eksisens- og enydighed af løsninger 5 Ligevæg og sabilie 6 En model for forrenning af kapial med udræk 8. maj 29 Dias /26 Dias 2/26 Eksponeniel væks med konsanled Sæning Eksponeniel væks Differenialligningen for eksponeniel væks = ry, hvor r er en konsan, har den fuldsændige løsning y = yx = ce rx c R Sæning Eksponeniel væks med konsanled Differenialligningen for eksponeniel væks med konsanled Eksponeniel væks med konsanled forsa Bemærkning = ry + q kan omskrives il = ry y og omvend Sæning Eksponeniel væks med konsanled alernaiv Differenialligningen for eksponeniel væks med konsanled = ry y, hvor r og y er konsaner, har den fuldsændige løsning y = yx = y + ce rx c R Bemærkning Når r <, vil yx y når x y er en ligevæg = ry + q, hvor r og q er konsaner, har den fuldsændige løsning y = yx = q r + cerx c R Grafer for y = y + ce rx når r < y>y* y y* y<y* Dias 3/26 x Dias 4/26

2 .8.6 y Logisisk væks Sæning Logisisk væks Den logisiske differenialligning = ry y, hvor r og er konsaner, har den fuldsændige løsning y = yx = onsanen kaldes bærekapacieen. + ce rx c R Logisisk væks forsa Omskrivning af den logisiske løsningsfunkion yx = Hvis c > så er c = e rx med x = ln c r. Dermed er Bemærkning yx = + e rx x + ce rx : Vi har yx = 2 så halvdelen af bærekapacieen er nåe, når x = x. Derfor kaldes x nogle gange for halvmæningskonsanen r=3 r=2 r= r=.5 x Grafer for y = yx når =, y =. og forskellige værdier af r Man kan vise, a y x har maksimum i x = x, dvs. x er de idspunk, hvor væksen er sørs. Denne sørse væksrae er y x = ryx yx = r = r Dias 5/26 Dias 6/26 Model for sygdomsepidemi : Befolkningens sørrelse N = N: Anal smiede il iden Anagelser om smieraen dn d : dn d er proporional med N analle af smiede [Sygdommen breder sig langsom, så længe der kun er få smiede] dn d er proporional med N analle af ikke-smiede [Sygdommen breder sig langsom, når der kun er få ilbage, som ikke er smiede] Model for sygdomsepidemi aleksempel Influenzaepidemi i en befolkning på 2 med r =.5, dvs. dn d =.5 N N 2 Fuldsændig løsning N = 2 + ce.5 c R Til iden = er der o smiede, dvs. N = 2. Dee giver c = 999 og dermed N = e Fører il med r = a dn d = an N = an N = rn N dvs. en logisisk differenialligning med bærekapacie. 2 N Vi har = ln c ln 999 r = og N = r 4 = = 75 Dias 7/26 Dias 8/26

3 Modificere logisisk model Anager a væksen afager med iden f.eks. dn d = rn N T T er e sluidspunk bemærk a N T = an f.eks. benyes il a beskrive sygdomsvæks på en plane, der med iden bliver mere modsandsgig over for sygdommen. Fuldsændig løsning: N = + c exp r c R 2 2T Løsningskurver = og T = : En anden slags modificere logisisk differenialligning Indgår i miniprojeke y α d = ry hvor r,, α er posiive paramere. Den normale logisiske differenialligning svarer il α =.8.6 y Bemærk a N ikke har id il a nå æ på bærekapacieen Dias 9/26 Dias /26 Separaion af de variable Sæning Separaion af de variable En differenialligning af formen løses ved a bruge følgende fire rin: Separér de variable: gy = f xgy = f x 2 Sæ inegralegn på ligningen: gy = f x 3 Find samfunkioner på begge sider af ligningen husk in.konsan 4 Løs ligningen: find y udryk ved x Bemærkning Separaion af de variable er en meode: For en konkre differenialligning går man igennem de fire rin nævn i sæningen Man sæer ikke ind i formlerne i sæningen Dias /26 Lineær. ordens differenialligning Definiion Lineær. ordens differenialligning En lineær. ordens differenialligning er en differenialligning af formen + f xy = gx hvor f x og gx er givne funkioner Differenialligningen kaldes homogen når g = ; ellers inhomogen Bemærkning Differenialligninger på formen skal førs omskrives il = hxy + gx hxy = gx før de følgende resulaer kan benyes. Dias 2/26

4 Panserformlen Homogen lineær. ordens differenialligning Sæning Homogen lineær. ordens differenialligning Den homogene lineære. ordens differenialligning har den fuldsændige løsning hvor F x = f x. + f xy = y = yx = ce Fx c R Sæning Panserformlen Den inhomogene lineære. ordens differenialligning har den fuldsændige løsning hvor F x = f x + f xy = gx y = yx = e Fx e Fx gx Hvor er konsanen c i den fuldsændige løsning? yx = e Fx e Fx gx = e Fx e Fx gx + c = e Fx u x + c = y x + ce Fx Dias 3/26 Dias 4/26 Forolkning af ligningen FIL = fuldsændig inhomogen løsning yx FHL = fuldsændig homogen løsning ce Fx Så er FIL = y x + FHL yx = y x + ce Fx hvor y x er en parikulær løsning il den inhomogene ligning I ord Fuldsændig inhomogen løsning = parikulær løsning [y x] + fuldsændig homogen løsning Udbes i nålesiksmeoden gæemeoden Gælder også for sysemer af lineære differensligninger Mo. og 2 og sysemer af lineære differenialligninger Modul 4 Dias 5/26 Nålesiksmeoden gæemeoden Sæning Nålesiksmeoden Differenialligningen NB: f x = a er konsan har den fuldsændige løsning + ay = gx y = yx = y x + ce ax c R dvs. FIL = y x + FHL hvor man som y x gæer på en funkion af samme slags som gx: gx y x polynomium pol. af samme grad βe αx α a Ae αx β e ax Axe ax β cosαx + β 2 sinαx Acos αx + B sinαx I skemae er α, β osv. givne konsaner, mens A, B osv. er konsaner, der skal besemmes således a y x er løsning Dias 6/26

5 Eksisens og enydighed af løsninger I eksemplerne indil nu har vi se følgende: I den fuldsændige løsning indgår en konsan c, som besemmes ud fra en begyndelsesbeingelse ϕx = y Gælder de alid, a der er neop én løsning ϕx med ϕx = y? Sæning Eksisens og enydighed Gennem e give punk x, y går neop én løsning il diff.ligningen = Φx, y e udryk i x og y hvis funkionen Φx, y er ilsrækkelig pæn dvs. der findes neop én funkion y = ϕx således, a a ϕ x = Φ x, ϕx b ϕx = y Ligevæg og sabilie Definiion Auonom differenialligning En. ordens differenialligning af formen d = f x e udryk i x kaldes auonom fordi ikke indgår på højresiden. Definiion Ligevæg En værdi x kaldes en ligevæg for den auonome differenialligning d = f x hvis f x = Når x er en ligevæg, så vil den konsane funkion x = x være en løsning il differenialligningen. Dias 7/26 Dias 8/26 Ligevæg og sabilie forsa Definiion Sabil ligevæg En ligevæg x kaldes sabil, hvis der gælder x x for for alle løsninger x = x, der ikke sarer for lang fra x Model for forrenning af kapial med udræk Til idspunke mål i år er kapialens sørrelse x oninuerlig forrenning med en variabel sas r oninuerlige udræk af variabel sørrelse u Dee fører il differenialligningen x = rx u Fremgangsmåde med givne funkioner r og u som i a, b og c nedenfor sam i miniprojeke Sæning Sabil ligevæg En ligevæg x for differenialligningen d sabil hvis f x < usabil hvis f x > Ingen generel konklusion hvis f x = = f x er Dias 9/26 i Opsil differenialligningen og besem den fuldsændige løsning ii Udryk konsanen c ved sarkapialen x og indsæ dee i løsningen iii Besem den mindse værdi kalde x min af x for hvilken kapialen ikke opbruges med iden iv Indsæ alværdier for paramerene i løsningen og egn grafer for forskellige værdier af x Dias 2/26

6 a onsan forrenning og konsan udræk r = r og u = u for alle a onsan forrenning og konsan udræk forsa iv Med r =.8 dvs. 8 pc. p.a. og u = 8 fås i Differenialligning: Fuldsændig løsning: x = r x u x = + x e.8 2E6 ii Parikulær løsning: iii onklusion: x = u r + ce r c R x = u r + x u r e r x vokser hvis x > u r = x min x er konsan hvis x = u r x afager hvis x < u r Dias 2/26.5E6 E6 5E5 E Løsningskurver med x = 9, hhv. Dias 22/26 b Lineær voksende forrenning og konsan udræk i Differenialligning: r = r + δ og u = u x = r + δx u Fuldsændig løsning vha. panserformlen : x = e r+ 2 δ2 u e rs+ 2 δs2 ds + c c R b Lineær voksende forrenning og konsan udræk forsa iv Med r =.8, δ =. og u = 8 fås og x = e x 8 e.8 s+.5 s2 ds.2e6 x min = 8 e.8 s+.5 s2 ds E5 8.8E5 an ikke reduceres! Men kan udregnes numerisk for konkree alværdier ii x = e r+ 2 δ2 x u e rs+ 2 δs2 ds iii x min = u e rs+ 2 δs2 ds Dias 23/26 8E5 4E5 E x = 84, 87, 9 hhv E5 8.4E5 8.2E Forsørrelse med x = Dias 24/26

7 c onsan forrenning og periodisk udræk r = r og u = u + γ sin2π c onsan forrenning og periodisk udræk forsa iv Med r =.8, u = 8 og γ = 4 fås x cos2π+8 sin2π+x 6 365e.8 i Differenialligning: x = r x u + γ sin2π og x min Fuldsændig løsning vha. nålesiksmeoden : x = u + 2πγ r r 2 + cos2π+ γr 4π2 r 2 + 4π2 sin2π+cer c R ii x = u r + 2πγ cos2π+ γr r 2 sin2π+ x u +4π2 r 2 +4π2 r 2πγ e r r 2+4π2 iii Hvis γ ikke er for sor gælder x min = u r + 2πγ r 2 + 4π Løsningskurver med x = 4, 6 hhv. 8 3 Dias 25/26 Dias 26/26

Relaterede dokumenter

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst

1 Stofskifte og kropsvægt hos pattedyr. 2 Vægtforhold mellem kerne og strå. 3 Priselasticitet. 4 Nedbrydning af organisk materiale. 5 Populationsvækst Oversig Eksempler på hvordan maemaik indgår i undervisningen på LIFE Gymnasielærerdag Thomas Vils Pedersen Insiu for Grundvidenskab og Miljø vils@life.ku.dk Sofskife og kropsvæg hos paedyr Vægforhold mellem