x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

Transkript

1 Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen 0 0 x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 for (x, y) (0, 0). 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet (1, 0, 2). 2) Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (1, 0) i retningen (4/5, 3/5). Opgave 3. Betragt matricen A = ) Vis, at 3 er en egenværdi for A. 2) Det oplyses, at også 3 er en egenværdi. Angiv en egentlig egenvektor hørende til denne egenværdi. 3) Angiv endnu en egenværdi for A. Opgave 4. Find grænseværdierne 2x π lim x π/2 7 cos x Opgave 5. Betragt differentialligningen. 2x π og lim x π/4 7 cos x. y + y = cos(e x ). 1) Angiv den fuldstændige løsning. 2) Angiv den løsning y(x), der opfylder y(0) = 0. 1

2 Opgave 6. Betragt det homogene lineære ligningssystem x + 2y + 3z = 0 4x + 5y + 6z = 0. 1) Angiv dets løsningsrum U. 2) Angiv den ortogonale projektion af vektoren v = (7, 9, 1) på U. Opgave 7. Minimer funktionen f(x, y) = x 2 + y 2 under bibetingelsen g(x, y) = 1, hvor g er funktionen givet ved g(x, y) = x 2 + xy + y 2. Det kan frit benyttes, at et sådant minimum eksisterer. 2

3 Naturvidenskabelig Kandidateksamen Januar Matematik Alfa 1 Opgave 1. Betragt 3 3 matricen A = (med 0 er på de ikke udfyldte pladser). 1) Det oplyses, at vektoren (16, 25, 10) er en egenvektor for A. Angiv den tilhørende egenværdi. 2) Angiv de øvrige egenværdier for A. 3) Angiv en invertibel 3 3 matrix B, der diagonaliserer A. (Det er ikke nødvendigt at angive den inverse til B, men argument for at B er invertibel ønskes.) Opgave 2. Betragt det lineære underrum U = span(u 1, u 2 ) R 4, hvor u 1 = (1, 0, 0, 0) u 2 = (0, 1, 1, 1). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (3, 3, 0, 0). Opgave 3. Betragt funktionen f(x, y) = e x y 2. 1) Angiv gradientvektoren f(2, 1). 2) Angiv en ligning for tangentplanen til grafen for f i punktet (2, 1, e 2 ). 3) Angiv størrelsen af den største retningsafledede af f i punktet (2, 1). Opgave 4. Udregn R (x+y) da, hvor R er den del af cirkelskiven x2 +y 2 1, der ligger i første kvadrant. Opgave 5. Det oplyses, at følgende tre grænseværdier eksisterer. dem. 1) lim x 1 x ln x x 2 1, 2) lim x 1 x ln x x 1, 3) lim x 1 x ln x x 2. Angiv 3

4 Opgave 6. Angiv løsningen y(x) (for x > 0) til begyndelsesværdiproblemet y + y x = 1, y(1) = 2. x2 Opgave 7. Angiv en potensrække i x, der fremstiller funktionen x(e x 1). Angiv endvidere en potensrække, der fremstiller en stamfunktion x(e x 1)dx til denne funktion. (For begge rækker er det tilstrækkeligt at angive så mange led i rækken, at mønsteret træder frem - typisk 4 eller 5 led.) 4

5 Naturvidenskabelig Kandidateksamen Matematik Alfa 1. August 2000 Opgave 1. Betragt det inhomogene lineære ligningssystem x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 = 1 x 1 +x 3 +x 5 = 3 x 2 +2x 4 = 0. Angiv den fuldstændige løsning til ligningssystemet. Opgave 2. 1) Angiv en enhedsvektor u, der har samme retning som vektoren (1, 3). 2) Betragt funktionen f(x, y) = ln(1 + x 2 + y), (y > 1). Angiv den retningsafledede D u f(0, 0), hvor u er som i Spørgsmål 1). Opgave 3. Betragt matricen A = ) Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien λ = 1 for A. 2) Angiv samtlige egenværdier for A. Opgave 4. 1) Angiv den fuldstændige løsning y(x) til differentialligningen dy dx + 3y = e 2x. 2) Angiv den partikulære løsning til denne differentialligning, som opfylder begyndelsesbetingelsen y(0) = 0. Opgave 5. Lad D betegne trekanten i xy-planen med hjørner (0, 0), (2, 0), (2, 2). 1) Opstil et itereret integral til beregning af y x 2 y 2 da. 2) Udregn værdien af dette integral. D 5.

6 Opgave 6. Lad f(x) betegne funktionen f(x) = e x2. Angiv potensrækker, der fremstiller funktionerne 1) f(x), 2) f (x), og 3) f (x). (Det er tilstrækkeligt at angive de første led af potensrækkerne, op til led af grad 6.) Opgave 7. Minimer funktionen f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen 2x + y + z = 1. (Det kan frit benyttes at et sådant minimum eksisterer.) 6

7 Naturvidenskabelig Kandidateksamen Matematik Alfa 1. Januar 2001 Opgave 1. Bestem grænseværdierne for følgende størrelser, når x 0: 1) x ; 2) sin x cos x 1 x ; 3) x sin(x 10 ). x 11 Opgave 2. Betragt den lineære afbildning f : R 3 R 2, der er givet ved matricen [ ] ) Angiv nulrummet N f for f. 2) Det oplyses, at vektoren (1, 1, 1) er en løsning til ligningssystemet Angiv den fuldstændige løsning til dette lig- (bevis herfor kræves ikke). ningssystem. 5x + 2y + 3z = 10 10x + 6y + 7z = 23 Opgave 3. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 5x 4 y = 10x 4. Angiv endvidere den løsning y(x), der opfylder begyndelsesbetingelsen y(0) = 2. Opgave 4. Betragt funktionen f(x, y) = y ln(xy). 1) Angiv gradientvektoren f(x, y) i et vilkårligt punkt (x, y) af funktionens definitionsområde. 2) Angiv f(1, 2). 3) Angiv den retningsafledede D u f(1, 2) af f i punktet (1, 2) i retning givet ved vektoren u = (1/ 5, 2/ 5). Opgave 5. Lad D betegne det plane område afgrænset af x-aksen, linien y = x og cirklen x 2 + y 2 = 2 (Tegn!) Udregn integralet D (1 + x) da. Opgave 6. Betragt matricen A givet ved A =

8 Det oplyses at λ = 6 er en egenværdi for A. 1) Angiv det tilhørende egenrum E 6. 2) Gør rede for, at λ = 0 også er en egenværdi for A. Opgave 7. 1) Angiv en potensrække n=0 c n x n, der fremstiller funktionen x3 i en omegn af x = 0. Det er nok at angive så mange led, at mønsteret træder frem. 2) Hvad er det rimeligste skøn over talværdien af a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) (I spørgsmål 2) er det nok at angive svaret - argument ønskes ikke). 8

9 Naturvidenskabelig Kandidateksamen Januar Matematik Alfa 1 Opgave 1. Betragt matricen A givet ved A = ) Det oplyses, at vektorerne (1, 0, 2) og (2, 1, 1) er egenvektorer for A. Angiv de tilhørende egenværdier. 2) Angiv en invertibel matrix B, og en diagonalmatrix Λ, så at B 1 A B = Λ. (Det er ikke nødvendigt at angive den inverse B 1, men et argument for at B er invertibel ønskes.) Opgave 2. Det oplyses at funktionen. f(x, y) = xy x 2 y 2 2x 2y har netop ét kritisk punkt. 1) Angiv dette kritiske punkt. 2) Bestem om det kritiske punkt er et lokalt minimum, et lokalt maximum eller et saddelpunkt. Opgave 3. Lad D betegne området i første kvadrant af xy-planen begrænset af y-aksen, den vandrette linie y = 1 og kurven med ligning y = x (eller x = y 2 ). Beregn dobbeltintegralet Opgave 4. Udregn grænseværdien D e (y3) da. ln(1 + x) x lim x 0 cos(x) 1. Opgave 5. 1) Angiv en potensrække i x, der for alle x 0 fremstiller funktionen 1 e x. x 2) Angiv en talrække med sum e x x dx. 9

10 For begge rækkers vedkommende er det nok at angive så mange led (typisk tre eller fire led), så at mønsteret træder frem. Opgave 6. Angiv den løsning y(x) til differentialligningen (for x > 0), der opfylder y(π/2) = 1. dy dx + y x = sin x x Opgave 7. Lad u og v betegne vektorerne i R 4 givet ved u = ( 3, 1, 1, 3) v = (1, 1, 1, 1). Lad U R 4 betegne det lineære underrum span(u, v). Bestem den vektor i U, der har kortest afstand til vektoren w givet ved w = (2, 1, 4, 7). 10

11 Naturvidenskabelig Kandidateksamen Matematik Alfa 1. August 2002 Opgave 1. Lad R betegne kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. (Tegn.) Udregn R x2 y da. Opgave 2. Det oplyses, at matricen A givet ved A = har egenværdier λ 1 = 1 og λ 2 = 2, og at der ikke er andre egenværdier. 1. Angiv samtlige egenvektorer hørende til egenværdien Angiv en invertibel matrix B og en diagonalmatrix Λ så at B 1 A B = Λ. (Det er ikke nødvendigt at angive B 1, men der ønskes et argument for at B er invertibel.) Opgave 3. Betragt funktionen f(x, y) givet ved f(x, y) = x + y + 1 xy for x > 0, y > 0. Det oplyses, at funktionen har netop ét kritisk punkt i sit definitionsområde. 1. Angiv dette kritiske punkt. 2. Undersøg om det er et lokalt minimum, maximum, eller saddelpunkt. Opgave 4. Angiv en potensrække i x, der for x 0 fremstiller funktionen Angiv også grænseværdien f(x) = cos(x2 ) 1 x 4. lim f(x). x 0 Opgave 5. Betragt funktionen f(x, y) = y 2 + ln(x 3 + y + 1). 1. Angiv gradientvektoren f(0, 2). 2. Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (0, 2) i retning givet ved enhedsvektoren (3/5, 4/5). 11

12 Opgave 6. Betragt det lineære underrum U R 4, der er udspændt af vektorerne u 1 = (1, 1, 1, 1) og u 2 = (0, 1, 1, 0). Angiv den vektor u i U, der har kortest afstand til vektoren v = (1, 2, 3, 4). Opgave 7. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y = xe 2x + 3. Angiv endvidere den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 2. 12

13 Naturvidenskabelig Kandidateksamen Matematik Alfa 1, Januar 2003 Opgave 1. Betragt funktionen f(x, y) = 1 + y x + y for x > 0, y > 0. 1) Angiv f (5, 2). 2) Angiv f(5, 2). 3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede D u f(5, 2) er x 0. Opgave 2. Betragt matricen A = ) Det oplyses, at vektoren ( 1, 1, 1) er en egenvektor for A. Angiv den tilhørende egenværdi. 2) Angiv endnu en egenvektor til dennne egenværdi; der ønskes en egenvektor, som ikke er af form t ( 1, 1, 1). Opgave 3. Lad T betegne trekanten i xy-planen med hjørner (0, 0), (0, 1), (2, 1) (tegn!). 1) Opskriv to itererede integraler til udregning af et dobbeltintegral af form f(x, y) da. 2) Udregn dobbeltintegralet T T x sin(y 3 ) da. Opgave 4. Betragt følgende vektorer i R 4, u 1 = (1, 0, 0, 0) u 2 = (0, 1, 1, 0) u 3 = (0, 1, 1, 1) Det oplyses at disse vektorer er indbyrdes ortogonale. Lad U betegne det lineære underrum af R 4, som er udspændt af u 1, u 2 og u 3. Lad v betegne vektoren v = (0, 1, 0, 5). 13.

14 1) Angiv projektionen (= den ortogonale projektion) proj U (v) af v ind på U. 2) Angiv afstanden fra v til U. Opgave 5. Angiv den fuldstændige løsning y(x) til differentialligningen (for x > 0) y + y x = 2x 1. Angiv endvidere den løsning, der opfylder betingelsen y(2) = 5. Opgave 6. 1) Angiv en potensrækkefremstilling for x sin x. 2) Angiv grænseværdien x sin x lim x 0 x 3 cos x. Opgave 7. Minimer x 2 + xy + y 2 under bibetingelsen x 2 + y 2 = 18. Det kan frit benyttes at et sådant minimum eksisterer. 14

15 Naturvidenskabelig Kandidateksamen - Matematik Alfa 1, August 2003 Opgave 1. Betragt funktionen f(x, y, z) = ln(1 + x 2 + y 2 z 2 ). 1) Angiv gradientvektoren f(1, 1, 1). 2) Angiv den retningsafledede af f i punktet P = (1, 1, 1) i retningen givet ved enhedsvektoren ( 1 3, 2 3, 2 3 ). Opgave 2. Udregn dobbeltintegralet D (x 2 + y 2 ) 3 2 da, hvor D er kvartcirkelskiven x 2 + y 2 4, x 0, y 0. Opgave 3. Betragt det homogene lineære ligningssystem x +2y +3z = 0 3x +2y +z = 0 2x +2y +2z = 0 1) Angiv løsningsmængden til dette ligningssystem. 2) Gør rede for, at ligningssystemet ikke har nogen løsning. x +2y +3z = 1 3x +2y +z = 3 2x +2y +2z = 4 Opgave 4. Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y 3y = e 2x. For den partikulære løsning y(x), der opfylder y(0) = 5, skal man endvidere angive y (0). 15

16 Opgave 5. Betragt funktionen f(x, y) = sin x sin y. De oplyses, at (0, 0) er et kritisk punkt for f. 1) Undersøg om det er et lokalt maximum, lokalt minimum, eller et saddelpunkt. 2) Angiv endnu et kritisk punkt for f. Opgave 6. Betragt matricen Det oplyses, at λ = 4 er en egenværdi. 1) Angiv det tilhørende egenrum. 2) Angiv endnu en egenværdi. Opgave 7. 1) Angiv en potensrække i x, der for 0 < x < 1 fremstiller funktionen f(x) = x arctan(x). x 3 (Det er nok at angive så mange led at mønsteret træder frem.) 2) Lad f være som i spørgsmål 1). Angiv grænseværdien lim x 0+ f(x).. 16