Skråplan. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen. 8. januar Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 50-51

Transkript

1 Skråplan Dan Elkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachi Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge januar 2008

2 Figurer Sider ialt: 5 Indhold 1 Forål 3 2 Teori 3 3 Fregangsåde 4 4 Resultatbehandling 4 5 Analyse og vurdering af ulige fejlkilder 4 6 Konklusion 5 Figurer 1 Kugle og sliske set i tværsnit Skråplan *2

3 2 Teori Sider ialt: 5 1 Forål Forålet ed denne øvelse er at have bestet størrelsen af tyngdeaccelerationen i øvelseskælderen ved at at åle dens påvirkning af farten af et legee, der befinder sig på et jævnt skråplan. Desuden skal resultatet saenlignes ed en accepteret værdi af accelerationen, og derfor koer en vurdering af usikkerheden på de indgående ålte størrelser også ed, da vi ønsker at påvise, hvilke størrelser, der har størst betydning for usikkerheden på den fundne tyngdeacceleration. 2 Teori Funktionssaenhængene er for et frit fald: v = at (1) s = 1 2 at2 (2) Ved eliination af t i de to ligninger kan vi se at den effektive acceleration a afhænger af tiden v og s således: a = v2 (3) 2s Denne størrelse kan beregnes ved anvendelse af energibevarelse for bevægelsen. Den salede kinetiske energi T for den rullende kugle er: T = T t + T r (4) Her er den translationsenergien T t = 1 2 v2 og rotationsenergien T r = 1 2 Iω2. Den assive kugle ed radius R har inertioentet I = 2 5 R2 og translationshastigheden v, so hænger saen ed vinkelhastigheden i kuglens rulning, så ω = v r, hvor r < R er den effektive rulleradius (se figur 1) for kuglen. Dette giver tilsaen følgende ligning for kuglens kinetiske energi: T = 1 2 ( + I/r2 )v 2 (5) Antager vi, at systeet er isoleret, gælder der, at forøgelsen af den kinetiske energi T er lig den potentielle energi U = gh i tyngdefeltet, so kuglen har istet ved at bevæge sig den lodrette højde h. Vi kender den skrå vejlængde s og sliskens hældning θ i forhold til vandret, så h er: Heraf får vi: h = s sin θ (6) 1 2 ( + I/r2 )v 2 = gs sin θ (7) Og accelerationen a fås ved oskrivning af (7) og indsættelse af (3): a = g sin θ ( + I/r 2 ) (8) Skråplan *3

4 5 Analyse og vurdering af ulige fejlkilder Sider ialt: 5 3 Fregangsåde Vi valgte at benytte to kugler, ed stort set ens radius, en forskellige asser (den ene af plastic, den anden af stål). Derefter ålte vi hældningen på slisken og afstanden fra toppen til det sted hvor fotodioden var sat fast. Vi fandt hældningen på slisken og genneførte derefter forsøget ved at slippe kuglen fra toppen af og åle hastigheden vha. fotodioden. Derefter blev forsøget gentaget ed enten en anden kugle eller en anden afstand fra toppen til fotodioden. 4 Resultatbehandling Målte størrelser Kugle asse ± kg Vinkel θ 7 ± 1 Kugle radius R ± 0.05 Sliskebredden x 2.98 ± 0.05 Rulleradius r 9.54 ± 0.05 Figur 1: Kugle og sliske set i tværsnit. Forsøg v/s 1 s/ t/s a/s 2 g/s ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± Analyse og vurdering af ulige fejlkilder Generelt er vi godt tilfredse ed vores forsøgsresultater. De ligger rieligt tæt på (og på begge sider af) den ålte værdi af g i øvelseskælderen på g = 9.817s 2. Men vil stadig gerne kigge på hvilke ålinger der betyder est for den endelige usikkerhed. Vi ønsker at diskutere hvad præcisionen af ålingerne betyder for den endelige usikkerhed på vores resultat. Vi undersøger følgende størrelser: Massen Strækningen s Hastigheden v Kugleradius R Rulleradius r Af teorien for beregningen af saensatte usikkerheder[1, s. 60] har vi følgende forel: ( ) q 2 ( ) q 2 δq = x δx + + z δz (9) Skråplan *4

5 Litteratur Sider ialt: 5 Her kan vi se at det er uligt at bestee hvilken usikkerhed der betyder est for den saensætte usikkerhed. Dette er uligt alene ved at kigge på den forel vi arbejder ed for at bestee den størrelser vi nu ønsker at finde, i vores tilfælde tyngdeaccelerationen g. g = sinθ a (+I/r 2 ) v 2 /2s = sinθ (1+2R 2 /5r 2 ) = v2 (1 + 2R 2 /5r 2 ) 2s sin θ Ifølge den første forel for den salede usikkerhed, kan vi se, at vi skal differentiere den ovenstående forel. Deraf kan vi se, at de størrelser, der er opløftet i anden potens, vil have større betydning, end de størrelser, der ikke står i anden. Til at begynde ed kan vi i teorien allerede afskrive betydningen af assen, da den går ud, så snart vi indsætter udtrykket for inertioentet. Massen kan dog have betydning alligevel, fordi den gnidning, der skal til for at starte rulningen, er ere effektiv ed en tung kugle i forhold til en let. Dét og så kuglens ateriale. Metal od etal giver en større gnidnigsodstand end plastic od etal. En etal-kugle ed tilpas vægt er derfor at foretrække. O dette så i praksis har nogen betydning i forhold til de to væsentligste faktorer i usikkerhedsberegningen for g (og a) kan vi ikke sige ud fra dette eksperient. Til at afgøre dette skulle vi have flere forskellige etal- og plastic-kugler, so vi udførte eksperientet ed tilpas ange gange til at vi kunne bestee betydningen af aterialet og vægten. De to væsentligste faktorer er ud fra usikkerhedsberegningerne ved hjælp af (9) usikkerheden på henholdsvis R og v, ens strækningen, rulleradius og vinklen på slisken bliver uden væsentlig betydning i denen saenhæng. Vinklen har selvfølgelig en betydning for resultatet, hvis den er for stor, da kuglen (etal såvel so plastic) ved en al for stejl vinkel risikerer at glide snarere end rulle ned ad slisken. Sidst å forholdet elle sliskebredden og kuglens størrelse (radius R) være tilpas i den forstand, at kuglen ikke bliver for stor til at den kan blive idt på slisken under hele bevægelsen. 6 Konklusion Usikkerheder af væsentlig betydning er ved den generelle forel for usikkerhedsberegning hastigheden v og kugleradius R, ens usikkerheder, tilsvarende, af indre betydning er givet ved rulleradius r, strækningen s. Massen er i teorien udelukket fra beregninger af usikkerheden for g, en den har uligvis en betydning for den effektive gnidningsodstand, der får kuglen til at rulle. Litteratur [1] John Robert Taylor. An introduction to Error Analysis. University Science Books, (10) Skråplan *5