TEORETISK OPGAVE 3. Hvorfor er stjerner så store?

Transkript

1 TEORETISK OPGAVE 3 Hvofo e stjene så stoe? En stjene e en kuglefomet samling vam gas De fleste stjene skinne pga fusion af hydogen til helium i dees entale omåde I denne opgave skal vi anvende klassisk mekanik, kvantemekanik, elektostatik og temodynamik fo at fostå, hvofo stjene nødvendigvis må have en vis støelse fo at kunne state fusionspoessen og desuden beegne masse og adius af den mindste stjene, som kan fusionee hydogen Figu 1 Som de fleste ande stjene skinne voes sol pga temonuklea fusion i dens inde RELEVANTE KONSTANTER 11 Gavitatiokonstanten = G 6,7 m 3 kg -1 s 3 Boltzmann konstanten = k 1,4 J K -1 Plank konstanten = Potonens masse = 34 h 6,6 m kg s mp Elektonens masse = Elementaladningen = 1,7 me 7 9,1 q 1,6 kg Vakuum pemittiviteten = 0 8,9 C N -1 m - 8 Solens adius = 7,0 m Solens masse = RS M S,0 30 kg kg C

2 1 En klassisk vudeing af tempeatuen i entum af en stjene Antag, at en stjene bestå af en, ioniseet hydogengas (samme antal potone og elektone), som adlyde idealgasloven Set med den klassiske fysiks øjne skal to 15 potone binges så tæt som 10 m fo at tiltækningen pga kenekæftene blive domineende Fo at komme så tæt skal de imidletid ovevinde Coulomb fastødningen Antag, at to potone begge bevæge sig entalt mod hinanden med samme fat v ms, hvilket e gennemsnitsfaten (oot mean squae) Potonene antages punktfomige 1a Hvilken tempeatu skal gassen have, fo at potone med den gennemsnitlige kinetiske enegi kan opnå, at den mindste afstand blive 15 d = 10 m? Anvend ovealt betydende ife 15 Den klassiske vudeing af tempeatuen e foket: Fo at undesøge om den foegående vudeing af tempeatuen e imelig, kan man sammenligne den med en altenativ, uafhængig vudeing af tempeatuen i entum af en stjene Stuktuen af stjene e meget komplieet, men vi kan opnå betydningsfuld indsigt ved bug af visse antagelse: Stjene e i ligevægt, dvs at de hveken udvide sig elle skumpe, fodi den indadettede gavitationskaft e lige så sto som den samlede, udadettede kaft fa tykket (se figu ) Fo et tyndt lag af gassen i afstand fa enteet gælde ligningen P G M, hvo P e tykket af gassen, G gavitationskonstanten, M massen af den del af stjenen, som e inden fo afstanden, og densiteten af gassen i det pågældende tynde lag Figu Stjene e i hydostatisk ligevægt mellem tykfoskellen og tyngdekaften

3 En vudeing af støelsesodenen af entaltempeatuen i en stjene kan opnås med vædiene af nogle paamete i entum og ved ovefladen, idet vi foetage følgende tilnæmelse: P P o P, hvo P og P o e tykket henholdsvis i entum og ved stjenens oveflade Da kan vi antage P P Tilsvaende tilnæme vi R, hvo R e hele stjenens adius Endelig sættes M M M, R hvo M e stjenens samlede masse Stjenens densitet antages ovealt at have samme vædi som i entum, Du kan antage, at tykket følge idealgasloven a Find en fomel fo stjenens entaltempeatu T udtykt udelukkende ved stjenens adius og masse samt fysiske konstante P P, o Vi kan nu anvende følgende foudsigelse fa denne model som kiteium fo modellen gyldighed b Anvend ligningen fundet i (a) til finde foholdet M / R fo en stjene udelukkende udtykt ved fysiske konstante og T Anvend vædien af T udledt i afsnit 1(a), og find en talvædi fo foholdet M / R fo en stjene d Beegn fo solen foholdet M ( Sol)/ R( Sol), og vis, at denne vædi e langt minde end den i (a) fundne vædi

4 3 En kvantemekanisk vudeing af entaltempeatuen i stjene Den stoe afvigelse fundet i (d) antyde, at den klassiske vudeing af T fa (1a) ikke e koekt Løsningen på denne uoveensstemmelse findes ved at medtage kvantemekaniske effekte, som fotælle, at potone opføe sig som bølge, og at en enkelt poton e udtvæet til en støelse, som e de Boglie bølgelængden Det betyde, at hvis den mindste afstand mellem potonene d ha samme støelsesoden som p, kan de to potone ovelappe i kvantemekanisk fostand og fusionee p 3a Idet vi antage, at det e en betingelse, fo at potone med fat v ms kan p fusionee, at d De ønskes en fomel fot 1/ udtykt alene ved fysiske konstante 10 3b Angiv en talvædi fo T fundet i afsnit (3a) 3 Find, ved at anvende fomlen udledt i afsnit (b) og ved at benytte talvædien af T fundet i (3b) til at finde en talvædi fo foholdet M / R fo en stjene Eftevis, at dette fohold e af samme støelsesoden som det obseveede fohold fo solen M ( Sol)/ R( Sol) Stjene, selv af meget foskellige støelse, som høe til den såkaldte hovedseie (dvs at de fusionee hydogen), ha faktisk med god tilnæmelse dette konstante masse/adius-fohold 4 Stjenenes masse/adius-fohold Oveensstemmelsen med obsevatione tyde på, at den kvantemekaniske bestemmelse af tempeatuen i solens kene e koekt 4a Benyt dine tidligee esultate til at vise, at foholdet M / R, fo en stjene med massen M og adius R e ens fo alle stjene, de lave hydogenfusion Opskiv en ligning fo M / R og vis, at M / R kun afhænge af fysiske konstante

5 5 Den mindste stjenes masse og adius Resultatet af opgave (4a) kunne tyde på, at de kan eksistee stjene med en hvilken som helst masse, blot foholdet M / R ha den ovenfo bestemte væd Dette e dog ikke tilfældet Det e kendt, at gassen i en stjene, de lave hydogenfusion, med meget god tilnæmelse opføe sig som en idealgas Dette betyde, at d e, den gennemsnitlige afstand mellem elektonene, i gennemsnit e støe end e, elektonenes de Bogliebølgelængde Hvis elektonene va tættee på hinanden, ville dees kvantetilstande ovelappe, og stjenene ville opføe sig ganske andeledes Læg mæke til, at de e foskel på den måde, hvopå vi behandle elektonene og potonene i stjenens inde: Potonenes de Boglie-bølgelængde skal ovelappe fo at kunne fusionee, og elektonenes de Boglie-bølgelængde må ikke ovelappe (elles e det ikke en idealgas) Selv om en stjenes densitet e støst i entum, e det fotsat en god tilnæmelse i denne model at antage, at dees densitet e konstant, Du skal også benytte, at mp m e 5a Opskiv en ligning fo elektondensiteten n e (antal elektone p volumen) i stjenens inde 5b Opskiv en ligning fo den gennemsnitlige afstand mellem elektonene d e i stjenens inde 5 e Benyt, at d e til at opskive et udtyk fo den mindst mulige adius 1/ af en nomal stjene, de kan lave hydogenfusion Du skal benytte den antagelse, at tempeatuen i hele stjenens inde e den samme som i stjenens entum 15 5d Find en talvædi fo den mindst mulige adius af en nomal stjene, de kan lave hydogenfusion Svaet skal både gives i mete og i antal soladie 5e Find en talvædi fo den mindst mulige masse af en nomal stjene, de kan lave hydogenfusion Svaet skal både gives i kg og i antal solmasse

6 6 Heliumkenefusion i gamle stjene Nå stjene blive gamle, vil det meste af hydogenen (H) i dees inde væe fusioneet til helium (He) Fo at fotsætte med at skinne blive de altså nødt til at fusionee helium til tungee elemente En heliumkene bestå af to potone og to neutone, så den ha den dobbelte ladning og a den fiedobbelte masse af en poton Vi så fø, at hvis p potonene skal fusionee, så skal d 1/ 6a Opstil den tilsvaende betingelse fo heliumfusion og opskiv et udtyk fo v ms (He), oot-mean-sqae-gennemsnitshastigheden af en heliumkene, og T (He), den tempeatu, som e nødvendig fo heliumfusion