Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab)

Transkript

1 Noter til LinAlgNat på KU (Lineær Algebra i Naturvidenskab) Nikolai Plambech Nielsen, LPK331 Version 10 2 februar 2016 Indhold 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 3 11 Talrum (R & C) 3 12 Afbildninger 3 13 Vektorer Regneregler Krydsprodukt 4 14 Matricer 5 15 Lineære afbildninger 6 2 Matrixalgebra og lineære ligningssystemer 8 21 Regneregler 9 22 Invers, transponeret og adjungeret matrix Række- og søjleoperationer Operationsmatricer Trappematricer Regulære matricer og matrixinversion Lineære ligningssystemer Opskrift på løsning af lineære ligningssystemer Løsning med determinanter (Cramers formler) 16 3 Determinanter Determinanter for 2x2 og 3x3 matricer Determinant af vilkårlig matrix Række/søjle-operationer Udvikling af determinant Opskrift på beregning determinant Egenskaber ved determinanter Invers matrix og determinant Determinant af en endomorfi 19 4 Vektorrum Definition Lineære afbildninger og isomorfi Endeligdimensionalitet, basis, underrum, span, kerne Lineær (u)afhængighed Udtyndings-/udvidelsesalgoritmen Rang og dimensionssætningen 23 5 Koordinattransformationer Lineære afbildninger og matricer den generelle søjleregel Opskrift for at finde koordinattransformationsmatricer: Opskrift på at finde B [f] A for f : F n F m : 24 1

2 6 Diagonalisering af matricer Diagonaliserbare matricer, egenværdier/vektorer Opskrift på at finde egenvektorer og egenværdier Opskrift på diagonalisering af en kvadratisk matrix Potensopløftning af matricer Diagonalisering af reelle symmetriske matricer 27 7 Skalarprodukt og ortonomalbaser Gram-Schmidt ortogonalisering Ortogonale matricer Ortogonalkomplement og ortogonalprojektion Kvadratiske former 29 2

3 1 Introduktion, lineære afbildninger og matricer 11 Talrum (R & C) Disse noter omhandler lineær algebra, og derfor også n-dimensionale rum Mængden R er de reelle tal, mens C er de komplekse tal I denne bog, og dermed også disse noter, defineres mængden F til enten at være de komplekse tal C eller R Mængden F bruges da i definitioner og sætninger, for at specificere, at det er lige meget, hvilket af de to rum, man arbejder med 12 Afbildninger Ved en afbildning af en mængde X, ind i en mængde Y (eller en funktion fra X til Y ) forstås en forskrift, hvorved der til hvert element x X knyttes et element y Y X og Y kan altså være enhver mængde, eksempelvis kendes funktioner af én variabel, hvor X = Y = R, hvis funktionen er ubegrænset og defineret i hele R Mængden X kaldes for definitionsmængden, mens Y kaldes for dispositionsmængden Normalt betegnes en afbildning (som en funktion) ved ét bogstav Notationen er: f : X Y Elementet tilsvarende x kaldes f(x) og kaldes billedet af x ved f eller den tilhørende funktionsværdi At f(x) svarer til x skrives som x f(x) Der kan også tages et billede af en hel delmængde af X Eksempelvis udgør billederne for alle x A X en delmængde af Y, der kaldes billedet af A ved f, og betegnes f(a) Dette skrives: f(a) = {f(x) x A} Billedet af hele mængden X (kaldet f(x)) kaldes for billedmængden eller værdimængden for f Dette kendes også fra funktioner for én variabel, hvor værdimængden er mængden af alle y-værdier, mens dispositionsmængden (som ikke altid er den samme), for det meste er hele R Altså gælder: f(x) Y En afbildning f : X Y kaldes surjektiv eller en afbildning af X på Y, hvis f(x) = Y, altså at værdimængden er lig hele dispositionsmængden Afbildningen kaldes injektiv, hvis der for vilkårlige valg af x-værdier er forskellige funktionsværdier, altså at f(x 1 ) = f(x 2 ) kun hvis x 1 = x 2 Til sidst kaldes en afbildning bijektiv, hvis denne både er surjektiv og injektiv, og hvis der altså til ethvert billed y Y findes ét og kun ét x X Disse egenskaber kan også beskrives, hvis der for en afbildning f : X Y er givet et x X og y Y, og lignignen f(x) = y betragtes Da gælder det: 1 Ligningen har mindst en løsning for hvert y, hvis f er surjektiv 2 Ligningen har højst en løsning for hvert y, hvis f er injektiv 3 Ligningen har kun en løsning for hvert y, hvis f er bijektiv Til bijektive afbildninger f : X Y hører den omvendte eller inverse afbildning f 1 : Y X Denne afbildning er også bijektiv, og der hører et x X til ethvert billed af y Y : f 1 (y) = x Yderligere gælder (f 1 ) 1 = f Sammensatte afbildninger er som følger: lad X, Y, Z være mængder og lad f : X Y og g : Y Z være afbildninger Deres sammensatte afbildning g f : X Z knytter et element g(f(x)) Z til hvert element x X For sammensatte afbildninger gælder den associative regel: Lad X, Y, Z, W være mængder, og lad f : X Y, g : Y Z, h: Z W Da gælder: h (g f) = (h g) f = h g f Yderligere gælder det, at hvis både f og g er enten surjektive, injektive eller bijektive, så er den sammensatte afbildning g f også henholdsvis surjektiv, injektiv eller bijektiv Og for bijektive, sammensatte afbildninger gælder at (g f) 1 = g 1 f 1 3

4 Identiske afbildninger er afbildninger id X : X X af en mængde X ind i sig selv, hvor billedet af x X er lig x X Altså id X (x) = x For enhver bijektiv afbildning f : X Y gælder at f 1 f = id X og f f 1 = id Y Hvis f : X Y og g : Y X er afbildninger så g f = id X og f g = id Y, da er begge afbildninger bijektive, og f 1 = g, g 1 = f 13 Vektorer Vektorer er en konstruktion i F n, der har en størrelse og retning i n dimensioner Eksempelvis kendes vektorer i planen som R 2 Disse skrives som ( ( ) x x1 a = = a = x = y) x 2 Hvor den sidste notation bruges i denne bog Her noteres en vektor altså med en enkelt understregning, mens de enkelte værdier x 1 og x 2 viser hvilken dimension/række de tilhører Dette muliggører nem udvidelse til mere end 3 dimensioner Generelt er vektorformen for en vektor x i F n x = De mest almindelige operationer er skalering af vektorer, eller multiplicering med en skalar, og addition/subraktion Skalering er at gange en vektor x i F n med en skalar (et tal i F) Negative vektorer defineres som en vektor ganget med -1: a x = ax 1 ax n Addition og subtraktion defineres som: x 1 + y 1 x + y = x n + y n x 1 x n, x = ( 1)x =, x y = x + ( y) = x 1 x n x 1 y 1 x n y n Et udtryk på formen ax + by kaldes en linearkombination af x og y Til sidst, inden regnereglerne for vektorer opskrives, defineres nulvektoren o i F n som: 0 o = 0 (altså med bogstavet o ) 131 Regneregler Regnereglerne for vektorer er således: V1 (x + y) + z = x + (y + z) V5 a(x + y) = ax + ay V2 x + o = x V6 (a + b)x = ax + bx V3 x + ( x) = o V7 (ab)x = a(bx) V4 x + y = y + x V8 1x = x 132 Krydsprodukt Krydsproduktet af to vektorer i R 3 er givet ved: ˆx ŷ ẑ a b = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 4

5 14 Matricer En matrix (en matrix, matricen, flere matricer, alle matricerne) er en tabel med talværdier, og har formen: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn Dette er den generelle matrix, hver værdi a ij kaldes en indgang, og ligger i F Hvis F = R kaldes matricen reel, og hvis F = C kaldes matricen kompleks Den i te række henholdsvis j te søjle, i A betegnes A[i, ] henholdsvis A[, j], og er ( ai1 a in ) henholdsvis Hvis disse er en adskilt matrix, kaldes de for henholdsvis en rækkematrix og en søjlematrix Indgangen a ij, som står i den i te række og j te søjle, betegnes da A[i, j] Matricen A har m rækker og n søjler (men ikke nødvendigvis flere søjler end rækker) Matricen består da af m n indgange fra F, og kaldes for en m n-matrix Matricen A kan også opfattes som bestående af n m-dimensionelle vektorer, der skrives: a 1 = a 11 a m1,, a n = Disse vektorer kaldes for matricens søjlevektorer Søjlematricer og vektorer bruges i forskellige sammenhænge, men der er ingen stor forskel på dem, ud over sammenhæng og notation En matrix hvor alle elementer er lig 0 kaldes en nulmatrix og betegnes 0 eller 0 m,n (altså med tallet 0 ) Matricen A kan også opskrives på en kortere måde, end ved en tabel: a 1n a mn a 1j a mj A = (a ij ) 1 i m, 1 j n = (a ij ) m,n, Og disse skrivemåder er altså ækvivalente med opskrivning ved en tabel En n n-matrix, der altså har lige mange rækker og søjler, kaldes en kvadratisk matrix, og alle indgange a ij hvor i = j siges at stå i diagonalen, mens alle andre indgange (hvor i j) siges at stå uden for diagonalen En kvadratisk matrix, hvor alle indgange ude for diagonalen er lig 0, kaldes for en diagonalmatrix En kvadratisk matrix hvor a ij = 0 for alle i og j med i < j kaldes en nedre trekantsmatrix: a a 21 a 22 0 a n1 a n2 a nn Ligeledes kaldes en kvadratisk matrix, hvor alle indgange under diagonalen er lig 0 (a ij = 0 for alle i > j), for en øvre trekantsmatrix: a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn De forskellige indgange med a er kan sagtens være 0 Kravet er kun, at alle indgange over (eller under) diagonalen er lig 0 Fra en m n-matrix A og en m p matrix B kan der dannes en m (n + p)-matrix C ved at opskrive B s søjler efter A s søjler Matricen C kaldes for en blokmatrix og skrives: C = ( A B ) Det samme kan gøres for flere matricer For eksempel kan A dannes ud fra sine søjlematricer: A = ( A 1 A n ) Det samme kan gøres med søjlevektorer 5

6 Enhedsmatricer og elementære matricer En diagonalmatrix hvor alle indgange på diagonalen er lig 1 kaldes for en enhedsmatrix Disse betegnes enten E eller E n,n, hvis antallet af rækker/søjler ønskes specificeret Hvis der ikke specificeres antal rækker/søjler følger enhedsmatricens størrelse af kontekst Enhedsmatricen kan også ses opbygget af standard enhedssøjlematricer-ne eller standard enhedsvektorerne: 1 0 e 1 = E 1 =,, e n = E n = 0 En matrix hvor alle indgange (eller elementer) pånær plads (j, k), der er lig 1, kaldes for en elementærmatrix Denne ser sådan ud: I j,k = hvor 1 altså er i række j og søjle k Elementærmatricens størrelse defineres normalt ikke, andet end med kontekst (hvis der arbejdes med en m n-matrix A, så har dens elementærmatricer også størrelsen m n) En vilkårlig m n-matrix A kan opbygges som en sum af skalerede elementærmatricer: (se regnereglerne for matricer, i afsnittet Matrixalgebra) 1 A = j,k a jk I j,k Og for to elementærmatricer, der kan multipliceres (igen, se regneregler for matricer) gælder følgende: { 1 k = m I j,k I m,n = δ km I j,n, hvor δ km = 0 ellers hvor δ km kaldes Kroneckers delta Eksempelvis multipliceres 5 5 matricen I 2,4 (altså 1 i anden række, fjerde søjle) med sig selv, fås følgende: I 2,4 I 2,4 j = m = 2, k = n = 4 k m δ km = 0 = 0I 2,4 = 0 Men hvis matricerne I 2,4 og I 4,4 multipliceres fås: I 2,4 I 4,4 j = 2, k = m = n = 4 k = m δ km = 1 = 1I 2,4 = I 2,4 Samme resultat kan også opnås ved almindelig matrixmultiplikation 15 Lineære afbildninger Vi lader en m n matrix A, med indgange i F, der har formen a 11 a 21 a 1n a 21 a 22 a 2n A = (1) a m1 a m2 a mn knyttes til en afbildning f : F n F m, ved fastsættelsen af x 1 a 11 x a 1n x n f = x n a m1 x a mn x n (2) En afbildning f : F n F m, der på denne måde har en matrix knyttet til sig, kaldes lineær Hvis F = R kaldes den reelt lineær, og hvis F = C kaldes den komplekts lineær 6

7 Linearitetsbetingelserne Lad f : F n F m være en lineær afbildning Da gælder L1: f(ax) = af(x) for alle x F n, a F L2: f(x + y) = f(x) + f(y) for alle x, y F n Hvis omvendt f : F n F m er en afbildning så L1 og L2 er opfyldt, da er f en lineær afbildning Søjlereglen Den j te søjlevektor i A er lig billedet ved f af den j te standard enhedsvektor Altså at f(e j ) = A j Dette betyder, at hvis man kender resultatet af en afbildning kan man opskrive matricen for denne, som en sum af skalerede vektorer f x 1 = x 1 x n a 11 a 21 a m1 + + x n a 1n a 2n a mn Yderligere gælder der for en lineær afbildning f : F n F m knyttet til matricen A = (a ij ) m,n at Hvis vi definerer X = ( x1 x n a ij = f(e j ) e i, 1 i m, 1 j n (4) ), kan den lineære afbildning udtrykkes ved matrixmultiplikation: a 11 a 1n f(x) = A X = a m1 a mn x 1 x n (3) (5) For sammensatte lineære afbildninger gælder: Hvis f : F p F m og g : F n F p er lineære afbildninger, så er den sammensatte afbildning h = f g : F n F m også lineær Hvis f svarer til m p-matricen A og g svarer til p n-matricen B, da svarer h = f g til m n-matricen C = A B 7

8 2 Matrixalgebra og lineære ligningssystemer Regneoperationer Her defineres 3 regneoperationer for matricer: multiplikation med en skalar (skalering), addition af matricer og multiplikation af matricer For matricen a 11 a 1n A = = (a ij ) (6) a m1 a mn defineres multiplikation med en skalar som λa 11 λa 1n λa = = (λa ij ) (7) λa m1 λa mn Altså hvert element skaleres med faktoren λ For to m n matricer A og B defineres addition af matricer: A = A + B = a 11 a 1n, B = b 11 b 1n a m1 a mn b m1 b mn a 11 + b 11 a 1n + b 1n a m1 + b m1 a mn + b mn = (a ij + b ij ) (8) Altså lægges to matricer sammen, ved at lægge deres individuelle indgange sammen parvis Matrixmultiplikation defineres som: For en m p-matrix A og en p n-matrix B, der har formene A = a 11 a 1p a m1 a mp, B = defineres C = A B, der er en m n-matrix på formen for hvilken C = c ij = a i1 b 1j + + a ip b pj = c 11 c 1n c m1 c mn b 11 b 1n, b p1 b pn p a ik b kj, 1 i m, 1 j n (9) k=1 Hvis indgangende i A og B er reelle, så er indgangen c ij = A[i, ] B[, j] Altså skalarproduktet mellem den i te række i A og den j te søjle i B Den første matrix skal altså have lige så mange rækker som den anden matrix har søjler, førend matrixmultiplikation er defineret Det er altså ikke lige meget, hvilket rækkefølge faktorerne står! A B = B A gælder altså almindeligvis ikke! Herunder er en illustration af, hvordan matrixmultiplikation kan visualiseres (taget fra bogen Lineær Algebra, som disse noter er udarbejdet efter) 8

9 Figur 1: Matrixmultiplikation 21 Regneregler For matrixregning gælder følgende regneregler: M1 (A + B) + C = A + (B + C) M7 (λµ)a = λ(µa) M2 A + 0 = A M8 1A = A M3 A + ( A) = 0 M9 λ(a B) = (λa)b = A(λB) M4 A + B = B + A M10 A(B + C) = A B + A C M5 λ(a + B) = λa + λb M11 (A + B)C = A C + B C M6 (λ + µ)a = λa + µa M12 (A B)C = A(B C) For at operationerne i M1-M12 skal være definerede, skal de individuelle matricer have passende størrelse (samme størrelse ved addition, samme antal rækker for den ene, som søjler for den anden) Potenser defineres som følger: A k = A A (k faktorer) A k = (A 1 ) k A 1 = A, A 0 = E A k1 A k2 = A k1+k2 For diagonalmatricer gælder: A = A k = ( λ1 ( λ1 λ n λ n ), B = ( µ1 ) k λ k 1 = λ k n µ n ), A B =, A k = ( λ1µ 1 ( λ1 λ n λ nµ n ) k = ) = B A 1 λ k 1 1 λ k n 9

10 22 Invers, transponeret og adjungeret matrix Invers matrix Definitionen på en regulær, eller invertibel matrix er som følger: En n n-matrix A kaldes regulær eller invertibel, hvis den tilhørende lineære afbildning f : F n F n er bijektiv Da kaldes den til f 1 hørende n n-matrix for den inverse til A, og betegnes A 1 For omvendte eller inverse afbildninger gælder: 1 Hvis f : F n F n er bijektiv og lineær, er f 1 : F n F n også bijektiv og lineær 2 Enhedsmatricen E er regulær og E 1 = E 3 Hvis A er regulær, er A 1 regulær, og (A 1 ) 1 = A 4 Hvis A er regulær, er A 1 A = A A 1 = E 5 Hvis A og B er regulære, da er A B regulær, og (A B) 1 = B 1 A 1 6 Hvis A og B er n n-matricer, så A B = E Da er A og B regulær, og A 1 = B, B 1 = A Transponeret og adjungeret matrix For en m n-matrix A = a 11 a 1n a m1 a mn defineres den transponerede matrix A t, som den n m matrix Hvor A t = a 11 a 1n a m1 a mn = a 11 a m1 a 1n a mn a ij = a ji, 1 i n, 1 j m Den transponerede matrix fås altså ved at skrive den første række i A, som den første søjle i A t, den anden række, som den anden søjle, osv Altså A t [i, j] = A[j, i] Den adjungerede matrix A defineres som den konjugerede, transponerede matrix: A = A t Hvis matricen A er reel, er A = A, og A = A t For vilkårlige m p-matricer A og p n-matricer g gælder det: (A t ) t = A, (A ) = A (A B) t = B t A t, (A B) = B A For regulære matricer er (A t ) 1 = (A 1 ) t, (A ) 1 = (A 1 ) Alle disse matricer er regulære For lineære afbildninger f : F n F m, der har den tilhørende m n-matrix A, defineres den transponerede lineære afbildning f t : F m F n, der har den transponerede matrix A t som tilhørende matrix Den adjungerede lineære afbildning f : F m F n har adjungerede matrix A som tilhørende matrix Om adjungerede lineære afbildninger gælder: f(x) y = x f (y) og hvis f(x) y = x g(y) er g = f 10

11 En matrix A kaldes symmetrisk, hvis A t = A Dette betyder også, at den er n n og at a ij = a ji for alle i i, j n En lineær afbildning f kaldes symetrisk, hvis den tilhørende matrix er symmetrisk Dette betyder at f t = f En matrix A kaldes hermitisk, hvis A = A Dette betyder igen, at det er en n n-matrix Her er dog a ij = a ji for alle 1 i, j n En lineær afbildning f, hvis tilhørende matrix er hermitisk, kaldes selvadjungeret Dette betyder også f = f For en selvadjungeret lineær afbildning f : F n F n gælder det at 23 Række- og søjleoperationer Tre typer af rækkeoperationer f(x) y = x f(y) Type M: Multiplikation af en række med et tal c 0 Type B: Ombytning af to rækker Type S: Addition af et multiplum af en række til en anden række (læg én række, ganget med et tal c, sammen med en anden række) Der er også omvendte rækkeoperationer, der ophæver de føromtalte rækkeoperationer: Den omvendte type M: At gange en række med tallet 1/c Den omvendte type B: Bytte om på to rækker igen Den omvendte type S: læg den samme række fra før, dog ganget med c, til den samme anden række Der findes også disse tilsvarende tre typer (plus deres omvendte) søjleoperationer En søjleoperation kan også udføres ved at transponere matricen, udføre den tilsvarende rækkeoperation, og transponere den resulterende matrice tilbage Med andre ord, svarer en søjleoperation til en transponeret rækkeoperation Dette bliver især tydeligt når der ses på operationsmatricer 24 Operationsmatricer En operationsmatricer er matricen der fås ved at udføre en rækkeoperation på enhedsmatricen Der en operationsmatrix til hver af de tre typer rækkeoperationer: Type M: Matricerne M i (c)(c 0), der forekommer ved at gange den i te række i enhedsmatricen med c Rækkeoperationerne betegnes M i (c) = E + (c 1)I i,i Type B: Matricerne B ij (i j), der fremkommer ved at ombytte den i te og j te række i enhedsmatricen Rækkeoperationerne betegnes B ij = E I i,i I j,j + I i,j + I j,i Type S: Matricerne S ij (c)(i j), der fremkommer ved at gange den j te række med c og dernæst lægge den til den i te række Rækkeoperationerne betegnes S ij (c) = E + ci i,j Disse operationsmatricer bruges ved at multiplicere operationsmatricen P (som er en af typerne M, S eller B) med matricen A Dette udtrykkes også ved følgende sætning: Lad A være en m n-matric Hvis A ved rækkeoperationen P (som er en af de tre førnævnte typer) omdannes til B = P (A), da er B = P A, hvor P er den til P svarende operationsmatrix (som er m m) Ligeledes kan dette gøres flere gange: Lad A være en m n-matrix Hvis A ved successive rækkeoperationer P 1,, P k omdannes til B, da er B = P k P 1 A, hvor P k,, P 1 er de tilsvarende operationsmatricer (alle m m) De omvendte rækkeoperationer fås ved at invertere operationsmatricerne, og er givet ved: M i (c) 1 = M i ( 1 c ) B 1 ij = B ij S ij (c) 1 = S ij ( c) 11

12 Operationsmatricerne for søjleoperationer er de transponerede operationsmatricer for rækkeoperationerne (ligesom sidste kapitel) Hvis M i (c) s betegner søjleoperationen af type M, og M i (c) s betegner den tilhørende matrix (og ligeledes for de to andre typer), da er operationsmatricerne lig: Type M: M i (c) s = M i (c) t = M i (c) Type B: B s ij = Bt ij = B ij Type S: S ij (c) s = S ij (c) t = S ji (c) For søjleoperationer gælder det samme som ved rækkeoperationer: Lad A være en m n-matrix Hvis A ved successive søjleoperationer Q 1,, Q k omdannes til B, da er B = Q k Q 1 A, hvor Q k,, Q 1 er de tilsvarende operationsmatricer (alle n n) 25 Trappematricer Lad A = (a ij ) m,n være en m n-matrix Matricen A kaldes en trin-1 matrix, hvis den har formen: A = ( 0 0 a hvor a 0 og betyder, at disse indgange kan have vilkårlige værdier Tallet a kaldes matricens første trin Positionen (i, j) for de første trin i en trin-1 matrix er (1, j 1 ) for 1 j 1 n Matricen A 1, kaldet restmatricen for trin-1 matricen A, fremkommer ved at slette den første række af A Hvis restmatricen A 1 også er en trin-1 matrix, kaldes A for en trin-2 matrix I givet fald kaldes første trin i A 1 for andet trin i A Positionen af andet trin i en trin-2 matrix er (2, j 2 ), j 1 < j 2 n Restmatricen A 2 for trin-1 matricen A 1 kaldes også restmatricen for trin-2 matricen A Ligeledes defineres trin-3, trin-4 og så videre Matricen A kaldes en trappematrix, hvis den er en trin-d matrix for et d = 1, 2, 3,, og hvis dens restmatrix enten er tom eller en nulmatrix Hvis A er en trappematrix kaldes tallene j 1 < < j d for trinpositionerne for A Nulmatricen 0 defineres til at være en trappematrix En reduceret trappematrix er en trappematrix hvor alle trinnene har værdien 1, og hvor der både er 0 over og under trinnet (til forskel fra almindelige, hvor der kun er 0 under trinnet) Antallet af trin d i en m n-trappematrix er altid mindre end, eller lig antallet af søjler og rækker I tilfældet hvor m = d er den sidste række ikke en nulrække I tilfældet d = n er j 1 = 1, j 2 = 2,, j d = n = d Enhver m n-matrix kan ved hjælp af rækkeoperationer omdannes til en trappematrix, og videre til en reduceret trappematrix 26 Regulære matricer og matrixinversion Definitionen på en regulær n n-matrix A er at ligningen A X = Y har netop én løsning X for hvert valg af Y Dette er ækvivalent med at den tilhørende lineære afbildning f : F n F n er bijektiv (eller injektiv/surjektiv, da disse er ækvivalente) For regulære n n-matricer gælder også følgende: Hvis der foretages en rækkeoperation på en regulær matrix A, er den nye matrix A også regulær En n n-trappematrix er regulær hvis den har n trin En matrix er regulær, hvis den kan overføres i enhedsmatricen ved rækkeoperationer Hvis A og B er n n-matricer, og A B er regulær, da er både A og B regulære hvis A B = E da er både A og B regulære og A 1 = B samt B 1 = A Og der er følgende opskrift på matrixinversion af en n n-matrix A 1 Opskriv totalmatricen (A E) ) (10) 12

13 2 Omskriv til en reduceret trappeform (A B ) ved rækkeoperationer 3 Hvis A = E er A regulær og B = A 1 4 Hvis A E er A ikke regulær 13

14 27 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem med m ligninger og n ubekendte er en række linjer givet på formen: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Et sådan ligningssystem kan også beskrives ved matricer, hvor matricen A kaldes for koefficientmatricen, og søjlematricen B kaldes for konstantsøjlen: Blokmatricen C = ( A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, B = a 11 a 12 a mn b 1 b m, B ) kaldes for ligningssystemets totalmatrix, og har formen: C = a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a 11 a 12 a mn b m der er en m (n + 1)-matrix, og hvor den lodrette linje er tilføjet for overskuelighed Sættes X = kan ligningssystemet skrives som Løsning af lineære ligningssystemer, ( x1 x n A X = B (11) For at løse et lineært ligningssystem på matrixform, bruges Gauss-eliminiation, der består i at bruge rækkeoperationer for at omdanne totalmatricen til en trappematrix Matrix til trappematrix (Gauss-elimination) For at omdanne en matrix til en trappematrix findes den første søjle, der ikke er en nulsøjle Denne omdannes ved rækkeoperationer til at have nuller i denne søjle, ud over første position Herved er en trin-1 matrix opnået Restmatricen behandles nu på samme måde, så en trin-2 matrix opnås Dette gentages for en trin-3 matrix og så videre, indtil der nås en trappematrix Nogle gange bruges Gauss-Jordan elimination, hvor trappematricen omdannes til en reduceret trappematrix: Trappematrix til reduceret trappematrix (Gauss-Jordan elimination) For at gå fra en trappematrix til en reduceret trappematrix arbejdes der nedefra og op: Det sidste trin multipliceres med 1/a, så værdien af trinnet bliver 1 Herefter trækkes denne række fra de øvre rækker, så den sidste søjle bliver til en enhedssøjlematrix (altså at der er 0 over og under trinnet) Herefter gøres det samme for andet trin og den tilhørende søjle, og så fremdeles Selve løsningsmetoden kan opsummeres i følgende opskrift 271 Opskrift på løsning af lineære ligningssystemer 1 Opskriv blokmatricen C = ( A B ) 2 Omdan ved hjælp af rækkeoperationer C til en trappematrix C = ( A B ) ) 14

15 3 Hvis der er trin i sidste søjle af C er der ingen løsning 4 Hvis der ikke er trin i sidste søjle, og antallet af trin i C er lig antallet af søjler i A, er der en entydig løsning, som findes ved substitution (hvis ikke der er foretaget Gauss-Jordan elimination) 5 Hvis der ikke er trin i sidste søjle, og antallet af trin i C er mindre en antallet af søjler i A er der uendeligt mange løsninger Disse findes ved at sætte de frie variable (de variable der ikke er i en trinposition) lig parametrene t 1,, t n d, hvor d er antallet af trin Dernæst udtrykkes variablene x j1,, x jd svarende til trinpositioner (kaldet ledende variable), ved parametrene t 1,, t n d Sammenhængen mellem antallet af trin d i en m n-koefficienttrappematrix A og antallet af søjler/rækker i samme er som følger: 1 hvis m > d findes der en søjle B, så ligningssystemet A X = B ingen løsning har 2 hvis n > d har ligningen A X = 0 en løsningsmængde givet ved en parameterfremstilling med n d parametre, og ligningen har altså uendeligt mange løsninger 3 hvis m = n = d har ligningssystemet A X = B netop én løsning for hvert valg af B Og omvendt: 1 Hvis ligningssystemet A X = B har mindst én løsning for hvert valg af B, da er d = m (f er surjektiv) 2 Hvis ligningssystemet A X = 0 kun har én løsning (nemlig 0), da er d = n (f er injektiv) 3 Hvis ligningssystemet A X = B har netop én løsning for hvert valg af B, da er d = m = n (f er bijektiv) For at bestemme in-/sur-/bijektivitet kan matricen omdannes til en trappematrix med d trin Der er følgende sammenhæng mellem antal trin, rækker og søjler: 1 Hvis d = n (#trin = #søjler), så er f injektiv 2 Hvis d = m (#trin = #rækker), så er f surjektiv 3 Hvis d = m = n (#trin = #rækker = #søjler), så er f bijektiv Lineære ligningssystemer og lineære afbildninger Et ligningssystem af typen A X = B kan også beskrives ved lineære afbildninger Hvis vi lader f : F n F m være den lineære afbildning, der hører til A, sætter x = X, b = B, så bliver ligningssystemet For lineære afbildninger gælder følgende om injektivitet: f(x) = b (12) En lineær afbildning f er injektiv når ligningen f(x) = o kun har løsningen x = o Og følgende gælder om dimensionerne for en lineær afbildning f : F n F m : 1 Hvis f er surjektiv er m n 2 Hvis f er injektiv er m n 3 Hvis f er bijektiv er m = n Og hvis m = n gælder følgende: for en lineær afbildning f : F n F n er surjektiv, injektiv og bijektiv ækvivalente, og hvis en afbildning dermed er det ene, så er den også de andre 15

16 272 Løsning med determinanter (Cramers formler) For et regulært/bijektivt ligningssystem med n ligninger og n ubekendte fås følgende udtryk for de ubekendte, kaldet Cramers formler j a 11 b 1 a 1n x j = a n1 b n a nn det(a), j = 1,, n (13) Hvor den øverste determinant er matricen A, hvor den j te søjle er udskiftet med konstantsøjlen b Eksempelvis er x 3 til n = 3: a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 x 3 = a 11 a 12 a 31 (14) a 21 a 22 a 32 a 31 a 32 a 33 16

17 3 Determinanter En determinant er et tal, der knyttes til enhver kvadratisk matrix Notationen er som følger For en n n-matrix A er determinanten det(a) skrevet som: Determinanten for en n n-matrix har n! led, hver med n faktorer 31 Determinanter for 2x2 og 3x3 matricer For en 2 2-matrix A er determinanten A = ( ) a11 a 12, det(a) = a 21 a 22 det(a) = A (15) a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Og for 3 3-matricen A er determinanten a b c a b c A = d e f, det(a) = A = d e f g g i g g i A = aei + bfg + cdh gec hfa idb Denne kan også findes ved hjælp af pilereglen, hvor værdierne skrives op, og de to første søjler skrives igen, denne gang efter den sidste søjle De tre første pile lægges til, og de tre sidste pile trækkes da fra 32 Determinant af vilkårlig matrix Definitionen på en determinant for en n n matrix A er det A = σ S n sign(σ)a 1σ(1) a 2σ(2) a nσ(n) (16) Denne bruges i praksis ikke, da den bruger permutationer, som ikke er en del af pensum 321 Række/søjle-operationer For en n n-matrix A, hvor matricen B fremkommer ved en række- eller søjleoperation på A gælder følgende: Type M (multiplikation med skalar c): det B = c det A Type B (ombytning af to rækker/søjler): det B = det A Type S (addering af række/søjle, multipliceret med skalar c, til en anden række/søjle): det B = det A 17

18 322 Udvikling af determinant Udviklingen af en determinant for matricen A er givet ved det A = a i1 A i1 + + a in A in = ( 1) i+1 a i1 det A i1 + + ( 1) i+n a in det A in = a 1i A 1i + + a ni A ni = ( 1) 1+i a 1i det A 1i + + ( 1) n+i a ni det A ni Hvor 1 i n og hvor A ij er den n 1 n 1-matrix der fremkommer ved at slette den i-te række og den j-te søjle A ij kaldes for komplementet til a ij og er givet ved A ij = ( 1) i+j det A ij Denne metode kaldes for udviklingen af den i-te række (første linje) eller i-te søjle (anden linje) 323 Opskrift på beregning determinant For at udregne determinanten det A bruger man i praksis følgende opskrift 1 Lav række/søjleoperationer på det A, så der kommer flere 0 er i en række eller søjle (og hold øje med, om determinantens værdi ændres, hvis der for eksempel bruges operationer af typen M eller B) 2 Uregn den nye determinant ved brug af udvikling af determinanten efter en række eller søjle, der har mange 0 er Man kan godt komme ud for at skulle bruge denne opskrift flere gange, før den endelige værdi er fundet 33 Egenskaber ved determinanter Determinanter har følgende egenskaber det(a) = det(a t ) For en trekantsmatrix (øvre, såvel som nedre, og diagonalmatricer) er det(a) lig produktet af diagonalelementerne for to n n-matricer A og B gælder: det(a B) = det A det B En n n matrix er regulær, hvis det A 0 For en regulær matrix gælder: det(a 1 ) = 1 det A 34 Invers matrix og determinant For en n n-matrix A forstås komplementet til indgangen a ij som a 11 0 a 1n A ij = i a n1 0 a nn j (17) Denne kan også udregnes ved A ij = A ij = ( 1) i+j det A ij (18) hvor A ij er den n 1 n 1-matrix, der fremkommer ved at slette den i-te række og den j-te søjle i A Komplementmatricen K(A) er A 11 A 1n K(A) = (19) A n1 A nn 18

19 Og for denne gælder For en regulær matrix A gælder AK(A) t = (det A)E (20) A 1 [i, j] = A ji det A = ( 1)i+j det A ji det A (21) Den inverse matrix er altså givet på formen: 35 Determinant af en endomorfi A 1 = 1 det A K(A)t (22) En endomorfi er en afbildning f : V V på sig selv Denne er da givet ved en kvadratisk matrix (n n, hvis dim V = n) Hvis A = (a 1,, a n ) er en basis for V er determinanten det f af endomorfien f : V V defineret som det A [f] A Denne afhænger da ikke af basen, og hvis A er en ny basis i V, er det A [f] A = det A [f] A Determinanten af en matrix er altså ens, lige meget hvilken basis denne er repræsenteret i 19

20 4 Vektorrum 41 Definition Et vektorrum er en mængde V, hvori der er givet to operationer: addition af to elementer og multiplikation med en skalar For x, y V og λ F gælder Ud fra disse fås (som ved regneregler for vektorer og matricer): λx V, x + y V (23) V1 (x + y) + z = x + (y + z) V5 a(x + y) = ax + ay V2 x + o = x V6 (a + b)x = ax + bx V3 x + ( x) = o V7 (ab)x = a(bx) V4 x + y = y + x V8 1x = x Vi definerer F 0 = {0}, altså at denne mængde kun indeholder nul-vektoren Vi siger også at V er defineret over talrummet F Talrummene F n, n N 0 er vektorrum over F Hvis F = R kaldes vektorrummet reelt, og hvis F = C kaldes vektorrummet komplekst M m,n (F) er mængden af m n-matricer med indgange i F, og er ligeledes et vektorrum Pol(F) er mængden af polynomier med én variabel og koefficienter i F Altså polynomier på formen 42 Lineære afbildninger og isomorfi p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n, x F (24) Vi kalder f en lineær afbildning fra U til V, hvis linearitetsbetingelserne er opfyldt: L1: f(λx) = λf(x) for alle x U, λ F L2: f(x + y) = f(x) + f(y) for alle x, y U En lineær afbildning kaldes også for en homomorfi, og der gælder, at hvis f : W V og g : U W er lineære afbildninger, da er f g : U V også lineær For en afbildning f : F n V givet ved f x 1 v n = x 1 a x n a n (25) hvor a 1,, a n er vektorer i V, er denne lineær, og alle lineære afbildninger f : F n V har denne form Yderligere gælder at a j = f(e j ) En bijektiv, lineær afbildning f : U V kaldes for en isomorfi fra U til V, og de to vektorrum U og V kaldes isomorfe, hvis der finde blot én isomorfi fra U til V For isomorfier gælder: Den identiske afbildning id U : U U er en isomorfi Hvis f : U V er en isomorfi gælder at f 1 : V U er en isomorfi Hvis f : W V og g : U W er isomorfier, da er f g : U V en isomorfi 43 Endeligdimensionalitet, basis, underrum, span, kerne Endeligdimensionalitet Et vektorrum kaldes endeligdimensionalt, hvis det er isomorft med et talrum F n, n N 0 Dimensionen dim V defineres da til at være n Og hvis F m er isomorft med F n, da er m = n 20

21 Basis En basis for et vektorrum V er et ordnet sæt vektorer, a 1,, a n, hvor hver vektor a i V kan skrives som en linearkombination af basisvektorerne: a = x 1 a x n a n (26) Basen betegnes A = (a 1,, a n ) og koordinaterne x 1,, x n for vektoren a med hensyn til A, betegnes A [a] = (x 1,, x n ) Bemærk, at den j te basisvektors (a j ) koordinater i basen A er den j te standardenhedsvektor, altså A [a j ] = e j Den lineære afbildning f : F n V givet ved f a 1,, a n er en basis ( x1 x n ) = x 1 a x n a n er en isomorf, hvis Et vektorrum V {o} har en basis, netop hvis det er endeligdimensionalt I så fald indeholder enhver basis for V netop dim V elementer et sæt a 1,, a n af n vektorer i F n er en basis hvis n n-matricen A = (a 1 a n ) er regulær For en lineær afbildning f : U V hvor dim U = dim V er følgende tre udsagn ækvivalente: f er surjektiv, injektiv og bijektiv Underrum En ikke-tom delmængde U V kaldes for et underrum, hvis følgende to betingelser er opfyldt: U1: Hvis x U, λ F gælder λx U U2: Hvis x, y U gælder x + y U Nulvektoren o er da altid i et underrum, og et underrum kaldes stabilt ved vektoroperationerne, hvis U1 og U2 er opfyldt V1-V8 gælder da også for underrum, da disse i sig selv er vektorrum Ligeledes kan der bestemmes dimension og baser af U V og {o} kaldes for trivielle underrum af V Span For en ikke-tom delmængde M af V forstås span som mængden af alle linearkombinationer af vektorer i M Dette betegnes span M Hvis span M = M er M et underrum Kerne og billede For en lineær afbildning f : U V forstås kernen ker f som mængden ker f = {x U f(x) = o} Og ved billedet f(u) for f forstås mængden f(u) = {y V y = f(x) for et x U} Kernen ker f for den lineære afbildning f : U V er et underrum i U Billedet f(u) af U ved f er et underrum i V Den lineære afbildning f er injektiv når ker f = o Hvis den lineære afbildning er givet ved matricen A, er billedet f(u) = span{a 1,, a n } 21

22 44 Lineær (u)afhængighed Et sæt vektorer a 1,, a n i V kaldes lineært uafhængige, hvis ligningen x 1 a x n a n = o kun har løsningen (x 1,, x n ) = (0,, 0) Ellers kaldes sættet lineært afhængigt En basis for V, eller et underrum heraf, består af lineært uafhængige vektorer Et sæt af vektorer a 1,, a n i V er lineært afhængige, hvis blot én vektor kan skrives som en linearkombination af de andre {a 1 } er lineært uafhængig, hvis a 1 o {a 1, a 2 } er lineært uafhængie hvis a 1 λa 2 Et sæt af vektorer a 1,, a n i V er lineært uafhængige, hvis den lineære afbildning f : F n V, givet ved linearkombinationen af a 1,, a n, er injektiv Et sæt af vektorer a 1,, a n i V er lineært uafhængige, hvis de udgør en basis for span{a 1,, a n } for et endeligdimensionalt vektorrum V, med et sæt lineært uafhængige vektorer a 1,, a n Da er n dim V, og n = dim V når a 1,, a n er en basis for V For et endeligdimensionalt vektorrum V, med et sæt vektorer a 1,, a n, der frembringer V ; er n dim V og hvis n = dim V er a 1,, a n en basis for V Et sæt lineært uafhængige vektorer a 1,, a n i V og en yderligere vektor a n+1 er lineært afhængige, hvis a n+1 span{a 1,, a n } Ved et maksimalt lineært uafhængige sæt vektorer forstås et sæt lineært uafhængige vektorer a 1,, a n M V, der ikke kan udvides til et større lineært uafhængigt sæt a 1,, a n, a n+1 M Ethvert lineært uafhængigt sæt vektorer i M (der er en delmængde af det endeligdimensionale vektorrum V ) kan udvides til et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra M Ethvert maksimalt lineært uafhængigt sæt vektorer fra M (delmængde af edim rum V ) udgør en basis for span M Et underrum U af et endeligdimensionalt vektorrum V er endeligdimensionalt, og dim U dim V Et lineært uafhængigt sæt vektorer i det edim rum V kan udvides til en basis for V 45 Udtyndings-/udvidelsesalgoritmen Udtyndingsalgoritmen er en måde at reducere et sæt lineært afhængige vektorer til et sæt lineært uafhængige vektorer, mens udvidelsesalgoritmen er en metode til at udvide et sæt lineært uafhængige vektorer til et sæt maksimalt lineært uafhængige vektorer, og dermed en basis for et vektorrum Givet et sæt vektorer a 1,, a n F m, der enten er lineært uafhængige (udvidelsesalgoritmen) eller lineært afhængige (udtyndningsalgoritmen) er algoritmerne som følger: Udtyndingsalgoritmen 1 Lav matricen A = (a 1 a n ), der altså har de givne vektorer som søjler 2 Rækkereducer A til en trappematrix B 3 Vælg de søjler i A, hvor der er trinpositioner i B (eksempelvis: trin i B, i søjle 1, 2 og 4 a 1, a 2, a 4 er lineært uafhængige, og udgør en basis for span{a 1, a 2, a 4 }) 22

23 Udvidelsesalgoritmen 1 Lav matricen A = (a 1 a n E), der har sættet af lineært uafhængige vektorer som de første n søjler, og m m-enhedsmatricen E som de næste søjler 2 Reducer A til trappematricen B 3 Vælg de søjler i A, hvor der er trinpositioner i B De valgte søjlevektorer (a 1,, a n, samt et sæt af standardenhedsvektorerne) udgør da en basis for F m 46 Rang og dimensionssætningen For to endeligdimensionale vektorrum U og V forstås rangen rg f af en lineær afbildning f : U V som dimensionen af billedrummet f(u): rg f = dim f(u) (27) Og ved rangen rg A af en m n-matrix A forstås rangen af den til A hørende afbildning f : F m F n Dimensionssætningen For en lineær afbildning f : U V gælder Egenskaber for rang rg A = dim(span{a 1,, a n }) (28) rg f + dim(ker f) = dim U (29) Rangen af m n-matricen A = (a 1 a n ) er lig antallet af vektorer i et maksimalt lineært uafhængigt sæt af vektorer fra {a 1,, a n } Rangen af en trappematrix A er lig antallet af trin i denne Rangen af en matrix ændres ikke ved udførelse af række-/søjle-operationer Rangen af en matrix er den samme som rangen af dens transponerede matrix: rg A = rg A t 23

24 5 Koordinattransformationer Givet to baser A = (a 1,, a n ) (den gamle) og B = (b 1,, b n ) (den nye) i V kan en koordinattransformationsmatrix opstilles, der omdanner en vektor v fra én base til en anden: B[v] = B T A A [v] (30) Transformationen skal læses bagfra - der omdannes fra A til B Yderligere gør denne notation, at to ens baser altid står ved siden af hinanden Så hvis to forskellige baser står ved siden af hinanden, så er der gjort noget galt For denne matrix gælder: B T 1 A = A T B og derfor: A [v] = B T 1 A B[v] = A T BB [v] A T A = A [id U ] A 51 Lineære afbildninger og matricer For U og V, der er endeligdimensionale vektorrum, hvor A = (a 1,, a n ) er en basis i U, B = (b 1,, b m ) er en basis i V, og med en given lineær afbildning f : U V, definerer vi afbildningen α: F n F m, hvor følgende m n-matrix er tilknyttet: B[f] A = ( B[f(a 1 )] B[f(a n )] ) Denne afbildning har inputs i A og output i B, og hvis A [x] betegner x i basen A, og B [y] = B [f(x)] betegner y = f(x) i basen B, giver dette anledning til den generelle søjleregel: 511 den generelle søjleregel hvis A [x] og B [y] = B [f(x)] er koordinatsøjlerne for henholdsvis x og y = f(x) i deres respektive baser, er B[f(x)] = B [f] A A [x] (31) Hvor m n-matricen B [f] A er givet ved B[f] A = ( B[f(a 1 )] B[f(a n )] ) (32) For sammensatte afbildninger gælder: for f : W V og g : U W, med baserne A i U, B i V og C i W, hvor f repræsenteres af B [f] C og g repræsenteres af C [g] A, er den sammensatte afbildning f g : U V givet ved B [f g] A = B [f] C C [g] A 512 Opskrift for at finde koordinattransformationsmatricer: Lad A = (a 1,, a n ) være den gamle basis og B = (b 1,, b n ) være den nye 1 Dan n 2n-blokmatricen (B A) = (b 1 b n a 1 a n ), der har de ordnede basiselementer for B og A som søjler 2 Omdan denne blokmatrix til en reduceret trappematrix af formen (E C) Da er C = B T A 513 Opskrift på at finde B [f] A for f : F n F m : Antag at A = (a 1,, a n ) er en basis for F n og B = (b 1,, b m ) er en basis for F m 1 Dan m (n + m) blokmatricen ( b 1,, b m f(a 1 ),, f(a n ) ) 2 Omdan denne til en reduceret trappematrix på formen (E B) Da er B = B [f] A matrixrepræsentationen af f med hensyn til baserne A og B 24

25 Koordinattransformationer for lineære afbildninger Lad U og V være endeligdimensionale vektorrum Lad A og B være de gamle baser for henholdsvis U og V, og lad A og B være de nye baser for henholdsvis U og V A T A og B T B betegner koordianttransformationsmatricerne for de respektive vektorrum og baser Hvis den lineære afbildning f : U V er repræsenteret ved matricen B [f] A og B [f] A i henholdsvis de gamle og nye baser, da er B [f] A = B T BB[f] A A T A, (33) hvor A T A gælder = A T 1 A Specielt for en afbildning f : V V, hvor A og A er den gamle og nye base, A [f] A = A T A A [f] A A T 1 A (34) 6 Diagonalisering af matricer 61 Diagonaliserbare matricer, egenværdier/vektorer For et endeligdimensionelt vektorrum defineres diagonaliserbare matricer som: Diagonaliserbare matricer En lineær afbildning f : V V kaldes diagonaliserbar, hvis der findes en basis (a 1,, a n ) således at f i denne basis repræsenteres som en diagonalmatrix Hvis dette gælder, så er f(a 1 ) = λ 1 a 1,, f(a n ) = λ n a n, hvor λ 1,, λ n er elementerne i diagonalmatricen f(a j ) er altså proportional med a j, med porportionalitetsfaktoren λ j Egenvektorer og -værdier En egenvektor er en vektor, der er forskellig fra 0, og proportionel med dens funktionsværdi: f(x) = λx Proportionalitetsfaktoren λ kaldes for den til egenvektoren x hørende egenværdi Dette giver anledning til følgende sætning: Sætning 613 Den lineære afbildning f : V V er diagonaliserbar, netop hvis der findes en basis for V bestående af egenvektorer for f Egenrum Et egenrum V λ hørende til λ F defineres som underrummet V λ = {x f(x) = λx} = {X F n (A λe)x = 0} (35) Og egenværdimultipliciteten eller den geometriske multiplicitet defineres som em λ = dim V λ Vi lader e: V V betegne den identiske afbildning e: x x Vi definerer da afbildningen f λe: V V som (f λe)(x) = f(x) λe(x) = f(x) λx (36) Da gælder, per sætning V λ = ker(f λe) 2 em λ + rg(f λe) = dim V = em λ + rg(a λe) = n Og følgende er ækvivalente (sætning 616) 1 λ er egenværdi for f 2 V λ {o} 3 em λ > 0 4 f λe er ikke bijektiv 5 det(f λe) = 0 25

26 Karakteristiske polynomium Det karakteristiske polynomium P f hørende til f : V V defineres som P f (λ) = det(f λe) = P A (λ) = det(a λe) (37) Sætning 618 sætning 616) Hvor egenværdierne for f er F-rødderne i det karakteristiske polynomium (følger af Rodmultipliciteter Ved rodmultipliciteter (eller algebraisk multiplicitet forstås tallet k, hvor polynomiet er deleligt med (x x 0 ) k men ikke (x x 0 ) k+1 Altså hvor mange gange et tal er en rod (dobbelt-rod, trippel-rod osv) Rodmultipliciteterne for hver rod x 0 betegnes rm x 0 = k Sætning 622 Lad f : V V være en lineær afbildning og V være et edim vektorrum For hvert tal λ 0 F gælder at em λ 0 rm λ 0 Sætning 623 Hvis summen af rodmultipliciteterne af F-rødderne i P f for f er (skarpt) mindre end dim V, altså hvis der findes en egenværdi λ 0 med em λ 0 < rm λ 0, da er f ikke diagonaliserbar Sætning 631 Hvis summen af rodmultipliciteterne for F-rødderne i P f for f er n = dim V, og der gælder em λ 0 = rm λ 0 for alle egenværdier λ 0, da er f diagonaliserbar En diagonaliserende basis fås i så fald, ved at vælge en basis for hvert af egenrummene og sammenstille disse baser Sætning 633 Hvis P f for f har n = dim V forskellige F-rødder λ 1,, λ n, da er f diagonaliserbar En diagonaliserende basis (a 1,, a n ) fås i dette tilfælde ved, for hver rod λ i, at vælge en egenvektor a i med egenværdien λ i Bemærk at f godt kan være diagonaliserbar, selvom der ikke er n rødder (per sætning 631) Sætning 633 siger blot, at hvis der er n rødder, så er f med sikkerhed diagonaliserbar 62 Opskrift på at finde egenvektorer og egenværdier 1 Beregn det karakteristiske polynomium P A (λ) = det(a λe) 2 Find F-rødderne til P A (λ) Dette er egenværdierne 3 For hver egenværdi λ 0 find den fuldstændige løsning til ligningssystemet (A λ 0 E)x = o De fundne løsninger (fraregnet o-løsningen) er præcist egenvektorerne hørende til egenværdien λ 0 63 Opskrift på diagonalisering af en kvadratisk matrix 1 Bestem det karakteristiske polynomium P A (λ) = det(a λe), og find dets rødder (egenværdier), samt de tilhørende rodmultipliciteter 2 Bestem baser for hvert egenrum V λ0 (egenvektorer) samt de tilhørende egenværdimultipliciteter (= antal basiselementer i basen) 3 Matricen er diagonaliserbar hvis og kun hvis rm λ 0 = em λ 0 for ALLE λ 0 I så tilfælde kan vi sætte S 1 til at være den matrix der fremkommer ved at lade basiselementerne fra punkt 2 være søjler (altså en blokmatrix af basiselementer for egenrummene) Der gælder så at S er koordinattransformationen B T E fra basis E til B, hvor B er basen bestående af egenvektorerne Ydermere gælder at SAS 1 (38) er diagonal 26

27 Punkt 1 og 2 i denne opskrift er egentlig også punkterne i forrige opskrift 62 Opskrift 63 leder efter kompleks diagonalisering Hvis man kun er interesseret i reel diagonalisering af en reel matrix kan man stoppe efter punkt 1, hvis en af rødderne er ikke-reel Man kan også stoppe under punkt 2, hvis rm λ 0 em λ 0, for bare ét λ 0 Da er matricen slet ikke diagonaliserbar Med fordel kan følgende skema opsættes for diagonalisering af matricer: Egenværdi Rodmult Egenværdimult Basis Hvor der så indsættes en ekstra række for hver egenværdi 64 Potensopløftning af matricer Hvis A er diagonaliserbar, og D = SAS 1 er en diagonalmatrix, så gælder der at Hvor det kan udnyttes, at D k er nem at udregne (se afsnit 21) 65 Diagonalisering af reelle symmetriske matricer D k = SA k S 1 (39) A k = S 1 D k S (40) En reel symmetrisk matrix (hvor A = A t, og den altså er n n), i et Euklidisk (reelt, indre-produkt rum) vektorrum, er reelt diagonaliserbar Følgende gælder for reelle symmetriske matricer og afbildninger En lineær afbildning f : V V kaldes symmetrisk, hvis f(x) y = x f(y), for alle x, y V, og denne repræsenteres, i en ortonormalbasis, af en symmetrisk matrix Hvis x og y er egenvektorer til den samme symmetriske lineære afbildning, hørende til forskellige egenværdier, er x og y ortogonale Det karakteristiske polynomium for en symmetrisk matrix har (mindst) én reel rod En reel symmetrisk n n matrix er reelt diagonaliserbar, og der findes en ortogonal, reel n n-matrix S, så D = SAS 1 er en diagonalmatrix Ligeledes: hvis A er diagonaliserbar mht en reel, ortogonal matrix S, så er A symmetrisk 7 Skalarprodukt og ortonomalbaser Skalarprodukt er en måde at knytte et tal til hvert par vektorer i et vektorrum V For to vektorer x, y V skrives skalarproduktet x y Regneregler for skalarprodukt i V over F er som følger: S1: (x + y) z = x z + y z S2: (λx) y = λ(x y) S3: x y = y x S4: x x 0 S5: x x = 0 x = o Et vektorrum der er udstyret med skalarprodukt kaldes for et indre produkt rum, og hvis F = R kaldes det for et euklidisk rum Hvis to vektorer x, y har koordinaterne (x 1,, x n ) og (y 1,, y n ) i en ortonormalbasis (specielt i F n kaldes dette for sædvanligt skalarprodukt), regnes skalarproduktet ved x y = n x i y i (41) i=1 27

28 Længden af vektor og normering Længden af en vektor x er x = x x Der gælder λx = λ x, hvor λ = λλ Hvis x = 1 kaldes vektoren for en enhedsvektor En vektor y = 1 x er en enhedsvektor, fremstillet ved normering af x Normering er at dividere en vektor med sin længde For R n er x y = cos(θ) x y Eller, cos til vinklen mellem to vektorer er cos θ = Cauchy-Schwarz s ulighed: x y x y Trekantsuligheden: x + y x + y Ortogonal-/ortonormalsæt og skalarprodukter To vektorer siges at være ortogonale, hvis x y = 0 Dettes skrives også som x y x y x y Et sæt vektorer a 1,, a n i V kaldes for et ortogonalsæt, hvis hver vektor er forskellig fra nulvektoren og deres indbyrdes skalarprodukter alle er lig 0 Altså a i o, 1 i n og a 1 a j 0, for 1 i, j n Et ortogonalsæt, hvor a i = 1, 1 i n kaldes for et ortonormalsæt Et ortogonalsæt (og ortonormalsæt) er altid lineært uafhængigt En basis A = (a 1,, a n ) kaldes en ortonormalbasis, hvis sættet a 1,, a n er et ortonormalsæt og altså a i a i = 1, a i a j = 0, i j Ethvert endeligdimensionalt indre produkt vektorrum V har en ortonormalbasis (sætning 7110) Koordinaterne for en vektor x i denne base er givet ved Egenskaber ved ortogonalsæt (a 1,, a n ): A[x] = For a span{a 1,, a n } gælder: a = n i=1 for b V sættes a n+1 = b ( n i=1 ) b a i a i a i a i x a 1 x a n a a i a i a i a i (42) Hvis er a n+1 o, er sættet a 1,, a n, b lineært uafhængigt, og a n+1 er ortogonalt på a 1,, a n er span{a 1,, a n, b} = span{a 1,, a n, a n+1 } 71 Gram-Schmidt ortogonalisering Egenskaberne for ortogonalsæt giver anledning til følgende opskrift på, hvordan man danner en ortonormal basis for et underrum U Opskrift: Lad sættet a 1,, a n i V være lineært uafhængige, og lad U = span{a 1,, a n } 1 Lad b 1 = a 1 2 for k = 2,, n lad b k = a k ( k 1 i=1 a k b i b i b i b i da er (b 1, b n ) en basis for U bestående af ortogonale vektorer ) (43) 3 for i = 1,, n lad b i = bi b i Da er (b 1,, b n) en ortonormalbasis for U Udtrykket a k+1 b i b i b i ændres ikke, hvis b k erstattes af cb k, c 0 Det kan derfor være bekvemt at gøre dette for et passende c (eksempelvis for at eliminere brøker) 28