Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Transkript

1 Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

2 Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling. Det er en karrusel hvor den store ring med centrum i orego, har en radius på m, og en omløbstid på sekunder. De små ringe er vognene og ligger med centrum på den store cirkelperiferi. De har hver en radius på 1m og en omløbstid på 1,5 sekunder. Jeg har punktet A der ligger yderst til højre på på den højre vogn. Altså i punktet (,0. Jeg har så fået til opgave at opstille en vektorfunktion hvis banekurve beskriver den bane punktet A følger når karrusellen er i gang i positiv omløbsretning. Positiv omløbsretning må være den retning man bruger i enhedscirklen når man snakker om sinus. Da sin(0 = 0 og sin(0,5π = 1 og sin(π = 0 kan jeg se at det er imod urets retning.

3 Opgaven For at finde udtrykket kigger jeg først på tegningen. Jeg kan se at der på tegningen er vektorfunktioner. 1 for hver cirkel (de 4 små cirkler er den samme cirkel gentagne gange. Jeg skal følge punktet A der ligger yderst til højre på den lille højre cirkel. Som man kan se på fig. 1 ligger de små cirklers centrum på den store cirkels cirkelperiferi. Som man også kan se, så ligger punktet A på det punkt sumvektoren peger på. Derfor må vektorfunktionen nødvendigvis være en sumvektor af de vektorfunktioner der beskriver de cirkler. Jeg skal derfor finde funktioner der beskriver de cirkler, og derefter summere dem. Vektorfunktionen for en cirkel har noget med sinus og cosinus at gøre. Faktisk er parameterfremstillingen for en cirkel: c(t = ( cos(t sin(t Dette vil lave en cirkel med radius = 1 (fig.. Først finder jeg den store cirkel. I karrusellen har den store cirkel en radius på. For at få det, ganger jeg blot x(t og y(t med, da det vil gøre cirklen dobbelt så stor. Det næste der skal kontrolleres er farten på karrusellen. Da cos(0 = cos(π ved jeg, at når t rammer værdien π har cirklen været en hel omgang rundt. Men da en omgang skal ske når t er = stiller jeg følgende ligning op: π = x t Når t er skal værdien inde i paranteserne for cosinus være lig π, da cirklen dermed vil blive sluttet. π = x x = π Dermed får jeg min nye vektorfunktion for den store cirkel. c 1 (t =(cos( π t sin( π Fig. Fig. 1 Fig. Som man kan se på fig. har den en radius på (den skær de akser ved og det er værd at bemærke, at til t =, er ringen tilbage til udgangspunktet.

4 For at finde den lille ring tager jeg samme udgangspunkt som i ovenstående. Den vigtigste ændring der er her, er farten. Farten er jo som beskrevet bestemt af det led der står inde under parenteserne på cosinus og sinus. Derfor bruger jeg samme udtryk som før, men her skal t blot være 1,5 da den lille cirkel er dobbelt så hurtig. π = x 1,5 x = π 1,5 = c (t =(cos( t sin ( t Som man igen kan se på fig. 4, så er punktet tilbage ved udgangspunktet når t er 1,5. Som et sidste step, summere jeg de vektorfunktioner ved at lægge de x funktioner sammen, og de y funktioner sammen. c(t =(cos( π t +cos( t sin ( π t,t [0 ;] t +sin( Jeg sætter definitionsmængden til [0;] da det er en enkelt omgang, og det er så meget sinus og cosinus er periodisk med i mit udtryk. Dvs. at hvis man fortsætter med at sætte t- værdier ind, der ligger uden for definitionsmængden vil man blot gentage bevægelsen. På fig. 5 ser man banekurven for punktet A. Jeg har indtegnet 4 punkter jeg kender med sikkerhed, nemlig når punktet er nået ¼, ½, ¾ gange rundt. Der ved jeg at punktet er nået halvejs og helt rundt på den lille cirkel, og at den lille cirkels centrum ligger på akserne. De 4 punkter er: (, 0, ( -1,, ( -1, 0, ( -1, - Fig. 4 Fig. 5

5 Hastighedsvektorer og accelerationsvektorer For at få et bedre overblik hvordan punktet A bevæger sig langs kurven tegner jeg et antal hastigheds- og accelerationsvektorer ind på banekurven. Hastigheds- og accelerationsvektorene bliver fundet ved at differentiere vektorfunktionen. Hastighedsvektoren er den første afledte og accelerationsvektoren er den anden afledte. c(t =(cos( π t +cos( t sin ( π t +sin( Først kigger jeg på om funktionen er differentiabel. For at kunne differentiere en vektorfunktion skal hver af koordinatfunktionerne være differentiable. x(t har led. Det ene led er et produkt hvor cosinus er det ene led. Inde i cosinus er der en lineær funktion. Det andet led er cosinus med en indre funktion der er lineær. Alle disse led er alle sammen differentiable i definitionsmængden. Det samme er tilfældet med y(t. Her er det blot sinus i stedet for cosinus. De forskellige regneregler der skal bruges er: ( f +g' = f ' (x+g ' (x Da der er en sum. (k f ' = k f ' ( x Da der er et produkt, men det ene led er en konstant. ( f o g' = f ' (g (x g' ( x Da der er sammensatte funktioner. Derudover kender jeg differentialkvotienten til nogle af leddene: (cos(x' = sin( x (sin( x' = cos(x (ax' = a c' (t =( ( sin( π t π +( sin ( t differentiere =( igen. π ( sin ( c' (t t+( sin ( 4 π t cos( π t+cos( 4 π t c' ' (t =( ( π cos( π t π +cos( Nu er det blot at bruge disse regneregler på udtrykket for A's banekurve. Jeg reducerer udtrykket før jeg Det var hastighedsvektoren. Accelerationsvektoren finder jeg ved differentiere igen. π ( cos( c' ' (t =( t π + ( cos( t 4 π π ( sin ( t π + ( sin ( t ( cos( π ( t+ ( cos( 4 π t ( π ( sin( π t+ ( t t ( sin( 4 π

6 x'(t = y'(t = Fig. 6 Her har jeg tegnet banekurven for den første afledte funktion. Den røde streg er den funktion jeg fandt frem til, og den grønne er den jeg fandt frem til ved hjælp af Microsoft Mathematics. Man kan se på kurven at farten på karrusellen på et tidspunkt er 0. Det kan man se fordi kurven går igennem orego. Når den gør det, er det fordi vektorfunktionen på et tidspunkt er lig nulvektoren.

7 x''(t = y''(t = Fig. 7 Her fandt jeg selv frem til den røde, mens den grønne er den jeg fandt frem til ved hjælp af Microsoft Mathematics. I modsætning til hastigheden, så bliver accelerationen aldrig 0. Grunden til at hastigheden gør det, er fordi når accelerationsvektoren peger i modsat retning af hastighedsvektoren, så er accelerationen negativ. Altså aftager farten. I det punkt hvor retningen vender og hastigheden altså er nul, der er der stadig en acceleration, da accelerationen fortæller om hvad farten er efter et tidsrum.

8 De første hastigheds- og accelerationsvektorer jeg vil finde, er der hvor banekurven for punktet A skærer x-aksen. For at kunne finde vektorene i de punkter skal jeg finde ud af hvilken værdi t har i de punkter. Jeg ved at 0 er en af værdierne, da punktet A starter i (, 0 til tiden 0. Derudover ved jeg at funktionen er periodisk med, da det er omgangstiden. Derfor er hastigheds- og accelerationsvektorene identiske uanset om tiden er 0,, 6.. Z*. Til sidst ved jeg at det også må være i punktet ( 1, 5, da den store karrusel er nået præcist en halv omgang, og den lille karrusel er nået præcist 1 omgang. For at finde hastighedsvektorene sætter jeg derfor først 0 ind i forskriften. c' (0 =( π ( sin( cos( π 0+cos( 0 0+( sin( 0 Så sætter jeg 1,5 ind for at vise at det giver nulvektoren. ( c' (1,5 = ( sin ( π cos( π = ( 0 8π 1,5+( sin( 1,5 1,5+cos( 1,5 = ( 0 0 Nu finder jeg så accelerationsvektorene i de punkter ved at sætte de samme værdier. Den eneste forskel er, at nu sætter jeg dem ind i forskriften for accelerationsvektoren. ( c' ' (0 = ( π ( π c' ' (0 = ( 8 π ( cos( π 0+ ( 4 π 0 Så sætter jeg 1,5 ind. c' ' (1,5 =( ( π ( π ( sin( π 0+ ( 4 π c' ' (1,5 = ( ( cos( π 1,5+ ( 4 π ( cos( 0 ( sin( ( sin( π 1,5+ ( 4 π ( cos( 1,5 ( sin (

9 Accelerationsvektorens y-koordinat til t = 1,5 er 0, da π 1,5 = π og 1,5 = π Derudover ved jeg at sin( π = 0 og ifølge nulreglen, så vil et produkt give nul hvis et af leddene giver nul. Fig. 8 Her er de af de 4 vektorer jeg fandt tegnet ind. Nulvektoren har jeg tegnet ind som punktet C. Den røde vektor er hastighedsvektoren, og den blå og den grønne er begge accelerationsvektorer. Hvis man kigger på den blå og den røde kan man se at de er ortogonale. Det kan man også se deres koordinater, hvor x- og y-koordinatet er byttet om. Det betyder, at i det punk vil A hverken accelerere eller decelerere.

10 De næste vektorer jeg vil finde, er der hvor bevægelsesretningen er parallel med x-aksen. Dvs. at jeg skal finde de hastighedsvektorer hvor y-koordinatet er nul. Jeg skal først finde tiden t, hvor bevægelsesretningen er parallel med x-aksen. Det gør jeg ved at løse ligningen y' (t = 0 0 = cos( π t+cos( t Jeg starter med at fjerne konstantleddene ved at dividere med dem. Det skal jeg gøre i hvert led i ligningen. 0 = cos( π t cos( 4 π + t 0 = cos( π 4 π t +cos( t Herefter kan jeg tage invers cosinus, fordi hvis man tager cosinus af et tal, får man et nyt tal. Hvis man tager invers cosinus på det tal, kommer man tilbage igen. cos 1 (0 = π t+ π t = 4 π t Da der er af de samme led kan jeg sætte dem sammen ved at gange det ene med og fjerne det andet. Til sidst deler jeg leddene på begge sider af lighedstegnet, med konstantleddet der står på højre side. cos 1 (0 4 π = t 4 π π 6 π = t t = π π t = 1 Som man kan se på fig. 9, så passer det meget godt med at vi har en vandret tangent når t = 0.5, men det ser ud som der er steder der er en vandret tangent. Her ved vi at en halv omgang sker på 1,5 sek. Da kurven er symmetrisk om x-aksen, så må det andet punkt være når der er gået sek 0,5 sek. Altså ved,5 sek. Dette tilfælde ses på fig. 10. Fig. 9

11 For så at finde de 4 vektorer, hastighedsvektorer og accelerationsvektorer, sætter jeg blot de værdier ind ligesom i forrige opgave. =( c' (0,5 0 =( c' (,5 0 =( 4 π c' ' (0,5 9 4 π ( c' ' (,5 = 9 4 π Fig. 10 Fig. 11 De røde er hastigheden og de blå er accelerationen.

12 Til sidst finder jeg der hvor accelerationen er højest, og der hvor den er lavest. For at vide hvor stor accelerationen er, så er man nødt til at kigge på længden af vektoren. Den korteste vektor er også den laveste acceleration og den længste er den største. For at finde længden, bruger jeg formlen for længden af en linje. a = x + y Da de koordinater i vektorfunktionen repræsenterer hver sit koordinat, kan jeg blot sætte x''(t og y''(t ind. a = x' ' (t + y' ' (t Dette give mig så længden af accelerationsvektoren som en funktion af t. Det giver mig en graf jeg kan tegne, og finde ekstremumspunkter på. Fig. 1 Der er ikke plads på papiret til at skrive hele formlen op. For så at finde ekstremumspunkterne, finder jeg der hvor tangenten i punktet har hældningskoefficienten 0. Da den afledte funktion angiver hældningen på tangenten i et punkt, er jeg derfor først nødt til at differentiere funktionen.

13 Funktionen består yderst af en kvadratrod. Det er samtidig en sammensat funktion. Derfor differentiere jeg den yderste først, og lader den inderste stå. ( x' ' (t + y' ' (t ' = 1 x ' ' (t + y' ' (t (x ' ' (t + y ' ' (t ' Det næste der skal differentieres er de andengradsled. De er en sum, derfor skal de differentieres hver for sig. Hver af dem er også sammensatte funktioner, hvor den yderste er et polynomium. Derfor differentiere jeg dem på samme måde som forrige. (x ' ' (t + y ' ' (t ' = x' ' (t (x ' ' (t'+ y ' ' (t ( y' ' (t' Til sidst er der hver af a koordinaterne der skal differentieres. De består af en konstant gange en sammensat funktion plus en sammensat funktion. Den yderste af de sammensatte er en trigonometrisk, og den inderste er en lineær funktion. Derfor skal den differentieres på samme måde jeg gjorde længere oppe. x ' ' ' (t = ( π y' ' ' (t = ( π sin( π t+ ( 4 π ( cos( π t+ ( sin ( 4 π t ( cos( t Fig. 1 Den røde er den jeg selv fandt. Den grønne er den jeg fandt med Microsoft Mathematics.

14 På grafen kan jeg se at den længste vektor ligger meget tæt på 0, eller. og den korteste ligger ca. i midten. Ved så at løse l ' (t=0 finder jeg der hvor hældningen er 0. Det er også der hvor der er ekstremumspunkter. Fig. 14 Fig. 15 På figur 14 og 15 ser man ekstremumspunkterne. Man ser også at de er lige ud for hvor den afledte funktion skærer x-aksen. Da den er længst nå x er så må den også være det når x er 0, da min funktion jo er periodisk med.

15 Konklusion Jeg synes at opgaven var meget lang, og jeg har da heller ikke tegnet nogen ekstra vektorer ind, selvom der stod det i opgaven, da jeg syntes det var for meget med at rode med lommeregneren og GeoGebra, end det at bruge sit hoved på at lave matematik. Der var lidt for meget robot-opgaver over det, da jeg synes man gjorde det samme igen og igen. Jeg fik dog fundet længste og korteste accelerationsvektorer. Der tror jeg godt at jeg kunne have løst ligningen selv, men da den var for lang til at være på papiret nøjedes jeg med at bruge lommeregneren.