Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
|
|
- Alfred Jessen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning og et mini-projekt i grupper af 6 personer. Klasselokalerne er til rådighed på Store Dage fra kl til 17.00, og derudover på Lille Dage fra kl til (for skemaerne A og B) og fra kl til (for skema C). Databaren er reserveret som sædvanligt. Vi regner med en arbejdsbelastning på 16 timer per uge. En del hjemmearbejde er derfor påkrævet. Husk at medbringe lærebogen og opgavebogen i Matematisk Analyse 1, se kursusinformationsskrivelsen. Klasselærerne er til rådighed som konsulenter i fællestimerne og I er velkomne til at benytte de sædvanlige konsulenttjenester på alle Store Dage, altså både mandage, tirsdage og onsdage, kl til 16:30. Alle 15 opgaver løses (opgavenumre som 401, 402, etc. refererer til opgavebogen i Matematisk Analyse 1), og hver gruppe kan aflevere en samling af renskrevne løsninger ved starten af Store Dags fællestime i semesteruge 6 til klasselæreren og få den rettet. Umiddelbart efter denne aflevering vælger hver gruppe én af de 6 anførte mindre projekt-opgaver; og der afleveres én besvarelse per gruppe ved fællestimens start på Lille Dag i semesteruge 6. Efterfølgende præsenterer hver gruppe deres projekt-opgave i løbet af 10 minutter. Grupperne vil modtage en vejledende bedømmelse for den mundtlige fremlæggelse. Til begge de skriftlige eksaminer i kurset stilles mindst een opgave, som omhandler komplekse tal. Hjemmeopgaverne på s. 8 afleveres på Lille Dag i semesteruge 7. Øvelsesopgaver Opgave 1 (NB: Brug højst 20 minutter til denne opgave.) 1. Læs de 3 første sider i Matematisk Analyse 1, kapitel Giv en kort fremstilling (10 linier) af de problemer, som førte til indføring af de komplekse tal. Opgave 2 1. Læs afsnit Betragt transformationsreglerne mellem et punkt A s retvinklede koordinater (a 1,a 2 ) og dets polære koordinater r v. Antag, at (a 1,a 2 ) = ( 1, 1). En studerende beregner da Hvori består den studerendes fejl? r = 2 og tan(v) = 1 = 1, dvs. v = π/ Angiv flere procedurer, således at fejlen ovenfor ikke kan opstå, og således at der altid fås korrekte resultater ved omregning fra retvinklede til polære koordinater.
2 side 2 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) Matematik 1 Opgave 3 1. Læs side 4.7 og undersøg, om produktets definition i (4.10) stemmer overens med to vektorers skalarprodukt (prikprodukt) eller med vektorproduktet (krydsprodukt). 2. Eftervis, at de to definitioner (4.9) og (4.10) er ækvivalente, dvs. de udtrykker det samme. Opgave 4 1. Læs siderne Hvad betyder det geometrisk, at et komplekst tal a bliver multipliceret med i? Hvad betyder multiplikation med i? 3. Hvad er (i) 2, (i) 3, (i) 4, (i) 5, ( i) 2, ( i) 3, ( i) 4, ( i) 5? 4. Hvad er realdelen og imaginærdelen af 5 i7? 5. Hvad er imaginærdelen af 5 7i? 6. Hvad er realdelen og imaginærdelen af i7 5? 7. Læs siderne 4.13 og Hvilke procedurer kan man benytte (udover Maple) til at omskrive a + ib c + id Opgave 5 til x + iy? 1. Læs side 4.15 inklusive eksempel Regn ved hjælp af Maple opgaverne 401, 403, 406, 407, 410, Lav bagefter en håndberegning af 401(b), 403(b), 406(a), 407(a), 410 og skitsér resultaterne for disse opgaver. Opgave 6 Løs opgaverne 414, 418, 422 (a), (b). Opgave 7 1. Læs siderne Hvor mange reelle rødder har et komplekst polynomium af grad n? 3. Hvor mange reelle rødder har et reelt polynomium af grad n? 4. Hvor mange reelle og komplekse rødder tilsammen har et reelt polynomium af grad n? 5. Hvad er meningen med en rods multiplicitet? Opgave 8 1. Læs sætning 4.4 med bevis. 2. Løs z 2 = 4, z 2 = i og z 2 = 1 i. 3. Skitsér løsningerne i den komplekse talplan. Opgave 9 1. Læs resten af side 4.19 samt Løs a) z 2 + 2z + 5 = 0 og b) z 2 2z + 17 = 0. Bemærk: Der er kun reelle koefficienter i disse polynomier.
3 Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 3 Opgave Læs siderne inklusive eksempel Find og bevis formlen for løsningen til ligningen z 3 = a for ethvert givet komplekst tal a. 3. Løs opgave 430. Skitsér løsningerne. 4. Løs opgave 431. Skitsér løsningerne. Opgave Læs sætning 4.7 og beviset. Kontroller, om sætningens udsagn passer med løsningen af opgave Lad a = a 1 + ia 2 være et komplekst tal. Vis, at (z a)(z a) er et reelt andengrads polynomium. Hvordan hænger røddernes sum og produkt sammen med polynomiets koefficienter? 3. Givet et polynomium P(z) med reelle koefficienter af grad n = 6. Kan P(z) have nøjagtig 3 reelle rødder, som alle har multiplicitet 1? Begrund svaret. 4. Opgave 432, skitsér. Opgave Læs afsnit 4.4 om e z. 2. Lær formlen (4.33) udenad! 3. Vis, at definitionen af e z, z = x + iy, opfylder følgende regneregler: (a) e z = e x, hvis y = 0. (b) e z 1e z 2 = e z 1+z 2. (c) d dy (ea+iy ) = ie a+iy og d 2 dy 2 (ea+iy ) = (e a+iy ), hvor a og y er reelle tal. (d) Eftervis differentiationerne i (c) med Maple. 4. Benyt Eulers formler (4.40) og (4.41) til at eftervise den velkendte formel cos 2 y + sin 2 y = 1. Opgave Opgave Find desuden en Maple-kommando, som løser opgaven. Opgave 14 Opgave 437 (a), (b). Opgave 15 Opgave 448 (a).
4 side 4 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) Matematik 1 Mini-projektopgaver Projekt-opgave 1: Kompleks beskrivelse af kurver og områder i planen Mange kurver og områder i planen kan karakteriseres komplekst. Find kurvens eller områdets art og skitsér hvert af tilfældene med Maple. 1. M 1 = { z C z 1 = 3 } ; 2. M 2 = { z C z 1 = z + i } ; 3. M 3 = { z C z i < 2 } ; 4. M 4 = { z C Im(z) = 2Re(z) 1 } ; 5. M 5 = { z C 1 < z 2 } ; 6. M 6 = { z C z 3 < 2 z (3 + i) < 1 } ; 7. M 7 = { z C Re(z 2 ) = 0 } ; 8. M 8 = { z C arg(z z0 ) = θ, z 0 C, z 0, θ faste } 9. M 9 = { z C z z a = c, a R +, c R + {0}, a,c faste tal } ; Vis dernæst følgende: (a) For c = 0 er M 9 et punkt; (b) For c = 1 fremstiller M 9 en ret linie; (c) For c R + \ {1} fremstiller M 9 en cirkel. Projekt-opgave 2: Balancerede kræfter i planen Lad der for tre faste komplekse tal z 1,z 2 og z 3 gælde: z 1 + z 2 + z 3 = 0 og z 1 = z 2 = z 3 = Vis, at z 1, z 2 og z 3 danner en ligesidet trekant i den komplekse plan. 2. Oversæt resultatet til et udsagn om tre kræfter, som påvirker en partikel. 3. Gælder der noget tilsvarende for fire faste komplekse tal med 4. Illustrér såvel 1. som 3. med Maple. z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 0 og z i = 1,i = 1,...,4? Projekt-opgave 3: Bevis Napoleons sætning Til en helt vilkårlig trekant T (altså ikke bare en retvinklet eller ligebenet eller ligesidet trekant) forestiller vi os, at der ud fra T på hver af T s sider oprettes den ligesidede trekant, som har den pågældende side som grundlinie, se skitse. Nu betragtes midtpunkterne af de tre ligesidede trekanter. Napoleons sætning siger da, at disse tre midtpunkter er hjørner i en ligesidet trekant. Opgaven består i at finde ud af hvordan en ligesidet trekants midtpunkt er defineret, at bevise Napoleons sætning, og i at benytte Maple til geometrisk at eftervise, at Napoleons sætning ser rigtig ud; Benyt for eksempel animation til at illustrere sætningen for forskellige trekanter T. Fås samme konklusion hvis de ligesidede trekanter tegnes ind mod T i stedet for ud fra T?
5 Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 5 Projekt-opgave 4: Geometrisk løsning af den lineære ligning az = b og af den binome (ikkelineære) ligning z 2 = a Lad a, b C, a 0, og antag a = a 1 + ia 2, b = b 1 + ib 2, hvor a k og b k, k = 1,2 er reelle tal. 1. Vis, at løsningen z = (x,y) til ligningen az = b kan findes som skæringspunktet mellem følgende to rette linier i (x,y)-planen: a 1 x a 2 y = b 1 og a 2 x + a 1 y = b Vis, at de to rette linier er ortogonale og find skæringspunktet. Sammenlign med den direkte komplekse løsning af az = b. 3. Vis, at løsningerne til z 2 = a kan findes som skæringspunkterne mellem de to kurver i (x, y)-planen: x 2 y 2 = a 1 (1) 2xy = a 2. (2) 4. Skitsér kurverne, angiv deres art og vis, at de netop har 2 skæringspunkter for a Indsæt udtrykkene fra lærebogens formel (4.23) i (1) og (2) og eftervis derved, at disse udtryk virkelig løser den binome ligning. 6. Illustrer med Maple. Projekt-opgave 5: Kompleks funktion af en kompleks variabel Hvis vi har en afbildning f, som til ethvert komplekst tal z A C tilordner et komplekst tal w C, så kaldes f en kompleks funktion af en kompleks variabel, og vi skriver f : A C eller w = f (z). Vil man skitsere forholdene, må man benytte en z-plan og en w-plan. 1. Et eksempel er eksponentialfunktionen w = e z. Denne funktion betragtes nu. Sæt z = x + iy, w = u + iv, x,y,u,v R. (a) Angiv ud fra definition (4.32) u og v ved x og y. (b) Angiv i en skitse billedet af x-aksen og af alle linjer, der er parallelle med x-aksen. (c) Tilsvarende spørgsmål for y-aksen. 2. Lad g være den komplekse funktion givet ved w = g(z) = 1, z 0, z C. z Vis, at g afbilder enhver ret linje i enten en cirkel eller en ret linje, og at g afbilder enhver cirkel i enten en cirkel eller en ret linje. 3. Illustrér med Maple.
6 side 6 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) Matematik 1 Projekt-opgave 6: Ohm s lov på kompleks form Ved en sinusformet vekselspændingskilde forstås en spændningskilde, hvis polspændning v som funktion af tiden t er af typen v(t) = v max cos(ωt + φ v ), t R, hvor amplituden v max og vinkelfrekvensen ω er positive konstanter og faseforskydningen φ v er reel. Hvis en sinusformet vekselspændingskilde sender en strøm gennem et kredsløb sammensat af modstande, spoler og kondensatorer, vil strømmen også blive sinusformet, men vil være faseforskudt i forhold til spændingen. Derfor kan strømstyrken i(t) angives ved et udtryk af formen i(t) = i max cos(ωt + φ i ). Amplituden i max antages at være positiv og φ i er reel. For at kunne bibeholde Ohms lov i sin simple form også for vekselstrømskredse, opfatter man den reelle funktion v(t) og den reelle funktion i(t) som realdele af følgende to komplekse funktioner V (t) og I(t) af den reelle variable t: V (t) = v max e j(ωt+φ v) = v max e jφ v e jωt, (1) I(t) = i max e j(ωt+φ i) = i max e jφ i e jωt. (2) Bemærk, at vi i overenstemmelse med betegnelserne i elektronik og elektromagnetisme har kaldt den imaginære enhed for " j". 1. Vis, at Re (V (t)) = v(t) og Re (I(t)) = i(t) og angiv de numeriske værdier V (t) og I(t). Resten af opgaven går nu ud på at finde de komplekse modstande Z R, Z L og Z C, som henholdsvis en Ohmsk modstand R, en spole med selvinduktion L og en kondensator med kapacitet C giver anledning til. Disse komplekse størrelser Z kaldes impedanser og for hver af dem gælder Ohms lov i sin simple form, men nu for komplekse størrelser: V (t) = Z I(t). (3) 2. Vis, at (1) medfører V (t) = Z I(t) og Z = Z e j(φ v φ i ), hvor Z = v max /i max og φ v φ i er faseforskydningen mellem strøm og spænding. 3. Hvis en Ohmsk modstand R, (R reel), tilsluttes spændingskilden med den reelle spænding v(t), findes den reelle strømstyrke i(t) jo ved v(t) = R i(t). Impedansen Z R bestemmes da ved at løse den komplekse ligning V (t) = R I(t)
7 Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 7 og desuden bruge Ohms lov på kompleks form (3). Find Z R på formen Z R = Z R e jφ R. 4. Hvis en spole med selvinduktion L tilsluttes spændingskilden med den reelle spænding v(t), så ved man fra induktionsloven, at den reelle strømstyrke i(t) findes som løsning af differentialligningen v(t) = L di(t). dt Impedansen Z L bestemmes da ved at betragte den komplekse differentialligning V (t) = L di(t) dt (4) og ved brug af Ohms lov på kompleks form (3). Angiv impedansen Z L på såvel formen Z L = a + jb som på formen Z L = Z L e jφ L. (Vink: Indsæt (1) og (2) i den komplekse differentialligning (4) og sammenlign med (3)). Angiv i max udtrykt ved ω,l og v max. 5. Hvis en kondensator med kapacitet C tilsluttes spændingskilden med den reelle spænding v(t), så ved man, at den reelle strømstyrke (t) findes af differentialligningen dv(t) dt = 1 C i(t). Impedansen Z C bestemmes da af den komplekse differentialligning dv (t) dt = 1 C I(t) og ved at bruge Ohms lov på kompleks form (3). Angiv impedansen Z C på såvel formen Z C = a + jb som på formen Z C = Z C e jφ C. Angiv i max udtrykt ved ω,c og v max. Det skal endelig bemærkes, at den resulterende impedans i et sammensat kredsløb beregnes efter de samme regler som gælder for reelle modstande. Serieforbindelse : Z = Z 1 + Z 2 Parallelforbindelse : 1 Z = 1 Z Z 2.
8 side 8 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) Matematik 1 Hjemmeopgaver til uge 7 Opgave 1 (Fra 2-timers prøven E00) : Lad a og b betegne de to komplekse tal a = 1 + i og b = 2 + 2i. 1. Angiv på en tegning de to komplekse tal a og b i den komplekse talplan. 2. Angiv modulus og hovedargument for hver af de 3 komplekse tal a, b og ab. 3. Findes der et reelt polynomium af 2. grad som har a og b som rødder? 4. Bestem det komplekse tal c, således at den binome ligning z 2 = c har a som løsning. Angiv også den anden løsning. Opgave 2 : Løs opgave MA Opgave 3 (Fra 4-timers prøven F01) : 1. For hvilke komplekse tal z C gælder z 2 = z 2? 2. For hvilke komplekse tal z C gælder zz = z 2? 3. For hvilke komplekse tal z C gælder z 2 =iz? Opgave 4 : Løs opgave MA SLUT
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 4 5 (25. september - 6. oktober 2006 side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 4 og 5 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer af selvstudium med
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER
EE Basis, foråret 2009 ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 1 Emner for idag Komplekse tal sådan helt fra bunden DefiniHoner og regneregler Lidt flere definihoner og lidt
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereImpedans. I = C du dt (1) og en spole med selvinduktionen L
Impedans I et kredsløb, der består af andre netværkselementer end blot lække (modstande) og kilder vil der ikke i almindelighed være en simpel proportional, tidslig sammenhæng mellem strøm og spænding,
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereKomplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereKomplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning
enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereInstitut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne
De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,
Læs mereInden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereKomplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015
Eksamen i Calculus Mandag den 8. juni 2015 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med 12
Læs mereIMPEDANSBEGREBET - SPOLEN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer
AC IMPEDANSBEGREBET - SPOLEN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Spolens faseforskydning: En spole består egentlig af en resistiv del (R) og en ideel reaktiv del
Læs mereMATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1
MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereKomplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015
Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som
Læs mereOpgave nr. 1. Find det fjerde Taylorpolynomium. (nul). Opgave nr Lad der være givet et sædvanligt retvinklet koordinatsystem
\ De reelle tal betegnes i det følgende med m og de komplekse tal med
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereKomplekse tal. enote Indledning
enote 1 1 enote 1 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereMatematik F2 - sæt 1 af 7, f(z)dz = 0 1
f(z)dz = 0 1 I denne uge er det meningen, at I skal blie fortrolige med komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. Vi skal kigge nærmere på, hornår komplekse funktioner er differentiable
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereEksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016
Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereReeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereKompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereDiMS 2010 Uge 7,
DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereKomplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006
Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper
Læs mereEulers equidimensionale differentialligning
Eulers equidimensionale differentialligning Projektbesvarelse for MM501, udformet af Hans J. Munkholm Differentialligningen September-oktober 2009 For at kunne referere let og elegant gentages differentialligningen
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereIMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN. Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S. Diagrammer
AC IMPEDANSBEGREBET - KONDENSATOREN Faseforskydning mellem I og U Eksempel: R, X og Z I og U P, Q og S Diagrammer Kondensatorens faseforskydning: En kondensator består alene af ideel reaktiv del (X C ),
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Læs mereEksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:
Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2016 24. maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Da trekanterne er ensvinklede, er forholdene mellem korresponderende linjestykker i de to trekanter det
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereStudieretningsprojekt 2013/14 Elevens navn: Helena Clara Eiken Klasse: 3x 08
Frederiksborg Gymnasium og HF Studieretningsprojekt 2013/14 Elevens navn: Helena Clara Eiken Klasse: 3x 08 Fag: Vejleder: Studieretningsfag på A-niveau MA GS Gert Schomacker Fag på mindst B-niveau FY GS
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2014 Institution Marie Kruses Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold STX Matematik A Jesper
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan findes her. PDF. Henrik S. Hansen, version 3.
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Opgaver til noterne kan findes her. PDF Facit til opgaverne kan findes her. PDF Henrik S. Hansen, version 3.1 0 Indhold Tallenes udvikling... 1 Tallenes udvikling...
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg GSK Matematik
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereLidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion
Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.
Læs mereUndervisningsplan og -beskrivelse Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Bøger:
Undervisningsplan og -beskrivelse Udarbejdet april 2018 Termin November 2017 Juni 2020 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HTX Esbjerg Htx Matematik A Steffen Podlech Hold 1.B Bøger: Teknisk
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på A-niveau 2017
Løsninger til eksamensopgaver på A-niveau 017 18. maj 017: Delprøven UDEN hjælpemidler Opgave 1: Alle funktionerne f, g og h er lineære funktioner (og ingen er mere lineære end andre) og kan skrives på
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2017 Marie
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik Aa (et årig enkeltfag)
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni 2014 Studenterkurset
Læs mereKursusnoter til BasisMat
Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2011 Uddannelsescenter
Læs mereKomplekse tal i elektronik
Januar 5 Komplekse tal i elektronik KOMPLEKSE tal er ideelle til beregning på elektriske og elektroniske kredsløb hvori der indgår komponenter, der ved vekselspændinger fase-forskyder strømme og spændinger,
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereSCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereOpgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning
Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2013/14 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen 7Ama1V13
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTaylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium
Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt
Læs mere