Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion
|
|
- Tobias Rasmussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Inversion Inversion er en bestemt type transformation af planen, og ved at benytte transformation på en geometrisk problemstilling omformer man problemstillingen til en anden ækvivalent problemstilling. Inversion er derfor et interessant redskab i nogle typer geometriopgaver. Disse noter er en indføring i inversion, de centrale egenskaber ved inversion samt hvordan man kan benytte inversion. Noterne forudsætter et grundigt kendskab til klassisk geometri. (Se fx Geometrinoter) 1 Generelle egenskaber ved inversion 1.1 Inversion Lad C være en cirkel med centrum O og radius r. Inversion i denne cirkel er en afbildning af planen fraregnet punktet O på sig selv. Et punkt A, A O, afbildes i det punkt A som ligger på halvlinjen fra O gennem A, og som opfylder at OA OA = r 2. Det er oplagt at inversionsafbildningen er sin egen inverse, og den er desuden kontinuert hvilket vi ikke vil komme nærmere ind på her. Bemærk at afbildningen fikserer cirklen C og afbilder dens indre på dens ydre og omvendt. Deraf navnet. Det interessante ved inversion er at den afbilder linjer og cirkler i linjer og cirkler, samt at den bevarer vinkler mellem kurver, hvilket vi skal se nærmere på når det drejer sig om linjer og cirkler. Man kan på helt tilsvarende vis definere inversion i en kugle i rummet. I det følgende ser vi på inversion i en cirkel med centrum O og radius r, og vi betegner billedet at et punkt A med A, billedet af en cirkel α med α, osv. 1.2 Sætning: Vinkler og afstande To punkter A og B, begge forskellige fra O, afbildes i punkterne A og B således at OA B = OBA og A B = r 2 OA OB AB. da det viser sætnin- Bevis Vi viser at OAB er envinklet med OB A r med forholdet 2 gen. Først bemærker vi at AOB = A OB. Desuden er OA OB OA = hvilket giver det ønskede. r2 AO = r 2 OA OB OB og tilsvarende OB = r 2 OA OB OA,
2 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Sætning: Linjer og cirkler Inversion afbilder som sagt linjer og cirkler i linjer og cirkler. Mere præcist gælder En linje gennem O afbildes på sig selv. En linje som ikke går gennem O, afbildes på en cirkel gennem O hvis tangent i O er parallel med linjen. En cirkel gennem O afbildes på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i O. En cirkel som ikke går gennem O, afbildes på en cirkel som ikke går gennem O. Bevis En linje gennem O afbildes oplagt på sig selv. Lad α være en linje som ikke går gennem O, og betragt projektionen P af O på α. Påstanden er nu at α er cirklen med diameter OP. Lad Q være et punkt på α. Da gælder at OQ P = OP Q = 90, dvs. at Q ligger på cirklen med diameter OP. Der gælder dermed at α afbildes på en cirkel gennem O hvis tangent i O er parallel med α. Tilsvarende afbildes en cirkel gennem O på en linje som er parallel med tangenten til cirklen i O. Lad β være en cirkel som ikke går gennem O, og som indeholder punkterne P, Q og R. Vi vil nu vise at β afbildes på cirklen gennem P, Q og R. I det følgende regner vi med orienterede vinkler. Lad S være et punkt på β som ligger mellem lad os sige R og P. Vi ønsker at vise at S P Q + Q R S = 180 da dette giver at S ligger på cirklen gennem P, Q og R. Der gælder at Q R S = OR S OR Q = OSR OQR, og tilsvarende fås Samlet giver dette S P Q = OQP OSP. S P Q + Q R S = OSR OSP + OQP OQR = P SR + RQP = 180. Det er vigtigt at bemærke at hvis α er en cirkel som ikke går gennem O, da er billedet af centrum som oftest ikke centrum i α. Nu vil vi vise at vinkler mellem linjer og cirkler bevares ved inversion, men først beviser vi at tangens mellem linjer og cirkler bevares ved inversion.
3 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Sætning: Tangens mellem linjer og cirkler bevares ved inversion En linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i punktet P, P O, afbildes ved inversion på en linje og en cirkel eller to cirkler som tangerer i P. Bevis Da antallet af skæringspunkter forskellig fra O bevares ved inversion, følger det let. 1.5 Øvelse Lad α være en cirkel som ikke går gennem O. Vis at centrum af α, centrum af α og O ligger på linje. 1.6 Øvelse Lad ABC være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. Vis at den ydre røringscirkel til siden c afbildes på sig selv ved inversion i en cirkel med centrum C og radius s. 1.7 Sætning: Vinkler mellem linjer og cirkler bevares ved inversion Vinklen mellem to linjer, en linje og en cirkel samt to cirkler bevares ved inversion. Bevis Hvis to linjer skærer i punktet O bevares vinklen oplagt ved inversion. Lad α og β være to linjer som skærer hinanden i P, P O. Da vil α og β have netop to skæringspunkter P og O. Vinklen mellem α og β i P vil være identisk med vinklen mellem dem i O. Da en linje gennem O afbildes på sig selv, og en linje der ikke går gennem O, afbildes på en cirkel gennem O hvis tangent i O er parallel med linjen, vil vinklen mellem α og β i O være identisk med vinklen mellem α og β i P. Lad α være en linje og β en cirkel som skærer hinanden i P, P O. Lad γ være tangenten til β i P. Da er vinklen mellem α og β i P lig med vinklen mellem α og γ i P som ifølge det vi lige har vist er identisk med vinklen mellem α og γ i P som ifølge 1.4 er lig med vinklen mellem α og β i P. På tilsvarende vis ses at vinklen mellem to cirkler bevares ved inversion. 1.8 Øvelse I en trekant ABC kaldes røringspunkterne mellem den indskrevne cirkel og siden AB og siden AC for henholdsvis M og N. Vis at ved inversion i den indskrevne cirkel afbildes A i midtpunktet af linjestykket MN. 2 Eksempler på inversion Nu skal vi se på hvorfor inversion i nogle sammenhænge er rigtig smart. Fx er Ptolemæus ulighed helt lige til hvis man inverterer problemstillingen.
4 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Ptolemæus ulighed Ptolemæus ulighed siger at for en firkant ABCD gælder at AB CD + AD BC AC BD med lighedstegn netop hvis firkant ABCD er indskrivelig. Bevis Vi inverterer i en cirkel med centrum i A og radius r. Da får vi at AB CD + AD BC = r2 r 2 AB AC AD C D + AD AB AC B C = r2 r 2 og r 4 AB AC AD ( B C + C D ) r2 AC BD = AC AB AD B D = r 2 r 4 AB AC AD B D. Ptolemæus ulighed er i den inverterede situation derfor blot trekantsuligheden B C + C D B D hvor der gælder lighedstegn netop hvis B, C og D ligger på en linje i nævnte rækkefølge. I det ikke inverterede tilfælde er dette netop ækvivalent med at B, C og D ligger på en cirkel gennem A, således at C ikke ligger ved siden af A, dvs. at firkant ABCD er omskrivelig. I beviset for Ptolemæus ulighed benyttede vi kun formlen for hvordan afstande ændres ved inversion, samt at en cirkel gennem inversionscirklens centrum afbildes på en linje der ikke går gennem centrum og omvendt. Nu skal vi se på nogle flere eksempler. 2.2 Eksempel To cirkler tangerer hinanden i punktet A således at den ene cirkel indeholder den anden. En linje skærer de to cirkler i punkterne M, N, P og Q således at punkterne ligger i nævnte rækkefælge på linjen. Vi ønsker at vise at MAN = P AQ. Da vi skal vise noget om vinkler som begge har toppunkt i A, inverterer vi i en cirkel med A som centrum. Dermed afbildes de to cirkler på to parallelle linjer, og linjen afbildes til en cirkel gennem A. Alle linjer gennem A afbildes på sig selv, så at vise at MAN = P AQ,
5 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august er ækvivalent med at vise at M AN = P AQ. Da linjerne M Q og N P er parallelle, er det oplagt. Ved inversion får man et helt andet geometrisk problem som i nogle tilfælde er lettere end udgangspunktet. Nu skal vi se på opgave 4 fra den Nordiske Matematik-Konkurrence 2007 som var langt den sværeste af de fire opgaver dette år. 2.3 Eksempel: NMC 2007 Opgaven lyder: En linje gennem A skærer en cirkel i to punkter, B og C, på en sådan måde at B ligger mellem A og C. Fra punktet A tegnes de to tangenter til cirklen. Tangenterne rører cirklen i punkterne S og T. Lad P være skæringspunktet mellem linjerne ST og AC. Vis at AP P C = 2 AB BC. I den officielle løsning benytter man viden om radikalaksen for to cirkler samt sætningen om et punkts potens op til flere gange i forbindelse med flere forskellige cirkler. I stedet skal vi her benytte inversion og betragte det nye og nemmere problem som fremkommer. De to mest centrale punkter er P og A, så vi prøver først at invertere i en cirkel med centrum i P og dernæst i en cirkel med centrum i A for at se hvordan det omformer problemstillingen. Inversion i en cirkel med centrum i P. Ved inversion i en cirkel med centrum P og radius r afbildes linjerne gennem P på sig selv, cirklen afbildes på en cirkel, og de to tangenter afbildes i to cirkler som tangerer billedet af cirklen. Nu skal vi først udregne hvad det er vi skal vise: AP P C = r2 / A P r 2 / P C = P C A P og AB BC = r2 A B /( P A P B ) r 2 B C /( P B P C ) = A B P C B C P A.
6 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Vi skal altså i det inverterede tilfælde blot vise den simplere sammenhæng at Dette kan vises vha. ensvinklede trekanter: Ifølge eksempel 2.2 er B C = 2 A B. C T A = P T B = A C S og A S C = B S P = A C T. Dermed er trekant A S C og trekant A C T ensvinklede, og altså A C 2 = A S A T. På tilsvarende vis får man at trekant A B S og trekant A T B er ensvinklede, og altså A B 2 = A S A T. Samlet er B C = 2 A B, og dermed har vi vist Inversion i en cirkel med centrum i A. Nu prøver vi i stedet at se hvad der sker, når vi inverterer i en cirkel med centrum i A og radius r. Linjerne gennem A afbildes på sig selv, linjen ST afbildes i en cirkel gennem A, og cirklen afbildes i en cirkel som tangerer linjerne AS og AT som vist på figuren. Ligheden som vi skal vise, reduceres i dette tilfælde til B C = 2 P C. Dette kan vises udelukkende ved kendskab til periferivinkler, korde-tangentvinkler samt ensvinklede trekanter. Vi viser først at trekant S B P er ensvinklet med trekant B T P : S B P = C S A = 180 AC S S AC = S C P S AC = S T B S T P = P T B. Tilsvarende får vi at B S P = P B T, og dermed er trekant S B P er ensvinklet med trekant B T P. Dette giver at P B 2 = P T P S. Til slut viser vi at trekant S C P er ensvinklet med trekant C T P : S C P = 180 AC S = S AC + AS C = S T P + S T C = C T P.
7 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Tilsvarende får vi at C S P = T C P, og dermed at trekant S C P er ensvinklet med trekant C T P. Dette giver at P C 2 = P T P S. Samlet er B C = 2 P C, og dermed har vi vist. Både i tilfældet hvor vi inverterer i en cirkel med centrum i A, og i tilfældet hvor vi inverterer i en cirkel med centrum i P, reduceres den lighed vi skal vise, til en væsentlig simplere lighed præcis som i beviset for Ptolemæus sætning. De to tilfælde giver to lidt forskellige problemstillinger, men begge kan vises ved hjælp af viden om vinkler i cirkler og ensvinklede trekanter, og de to nye problemstillinger er derfor væsentligt simplere end den oprindelige. Nu skal vi se på en IMO opgave fra 1996 hvor inversion også er et utroligt effektivt redskab. 2.4 Eksempel: IMO 1996 Opgaven lyder: Lad P være et indre punkt i trekant ABC således at AP B ACB = AP C ABC. Led D og E være centrene for henholdsvis de indskrevne cirkler i trekant AP B og trekant AP C. Vis at linjerne AP, BD og CE skærer hinanden i et punkt. Først bemærker vi at linjen BD er vinkelhalveringslinjen fra B i trekant ABP, og det er k- endt at vinkelhalveringslinjen deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de to hosliggende sider. Linjen BD deler altså linjestykket AP i forholdet AB / BP. På tilsvarende vis ses at linjen CE deler linjestykket AP i forholdet AC / P C. At vise at de tre linjer BD, CE og AP går gennem samme punkt, er altså ækvivalent med at vise at AB BP = AC P C. Nu skal vi overveje hvilket centrum vores inversionscirkel skal have. I dette tilfælde er der en del vinkler hvis ene vinkelben går gennem A, og i sådan et tilfælde er det ofte en god ide at invertere i en cirkel med centrum i A. Valget af radius er derimod ikke væsentligt. Nu inverterer vi en cirkel med centrum i A og radius r. Ligheden svarer nu til den væsentlige simplere lighed P B = P C. Vi har endnu ikke benyttet oplysningerne om vinklerne, så nu ser vi på hvad disse giver os af information i den inverterede situation. AP B ACB = AB P AB C = C B P.
8 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Tilsvarende er AP C ABC = AC P AC B = B C P. Ifølge antagelsen om vinklerne har vi nu at C B P = B C P, dvs. at P B = P C som ønsket. Ved først at udnytte at vinkelhalveringslinjer deler modstående side i samme forhold som forholdet mellem de hosliggende cirkler, og efterfølgende invertere omformes problemstillingen til en problemstilling der nærmest giver sig selv. Kunsten er selvfølgelig at gennemskue at inversion i en cirkel med centrum i A forsimpler problemstillingen.
9 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Opgaver 3.1 Opgave Lad ABC være en trekant, og lad s betegne den halve omkreds. Punkterne P og Q ligger på linjen AB således at CP = CQ = s. Vis at den omskrevne cirkel til trekant CP Q tangerer den ydre røringscirkel til siden c i trekant ABC. 3.2 Opgave Fire cirkler tangerer hinanden således at C 1 og C 3 tangerer C 2 og C 4. Røringspunkterne mellem C 1 og C 2, C 2 og C 3, C 3 og C 4 samt C 4 og C 1 betegnes henholdsvis A, B, C og D. Vis at disse fire punkter enten ligger på en ret linje eller på en cirkel. 3.3 Opgave Lad B 1 og C 1 være midtpunkterne af henholdsvis AB og AC i trekant ABC. Skæringspunktet mellem de omskrevne cirkler til trekant AB 1 C og trekant ABC 1 betegnes P, og skæringspunktet forskelligt fra A mellem linjen AP og den omskrevne cirkel til trekant AB 1 C 1 betegnes P 1. Vis at 2 AP = 3 AP 1. (Baltic Way 2006) 3.4 Opgave Fire cirkler α 1, α 2, α 3 og α 4 går alle gennem et punkt P således at α 1 og α 3 tangerer hinanden udvendigt i P, og α 2 og α 4 ligeledes tangerer hinanden udvendigt i P. Antag yderligere at α 1 og α 2, α 2 og α 3, α 3 og α 4 samt α 4 og α 1 skærer hinanden i henholdsvis A, B, C og D alle forskellige fra P. Vis at AB BC P B 2 = AD DC P D Opgave Lad α være en halvcirkel med diameter AB, C et punkt på linjestykket AB forskelligt fra A og B, og α 0 en halvcirkel med AC som diameter således at α og α 0 ligger på samme side af AB. Nu definerer vi en følge af cirkler på følgende måde. Cirklen α 1 er cirklen med diameter BC, og cirklen α n er cirklen som tangerer α, α 0 og α n 1 som vist på figuren. Kald røringspunktet mellem α i og α i+1, i = 1, 2,..., for P i. Vis at alle røringspunkterne P 1, P 2, P 2,... ligger på en cirkel.
10 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Opgave Lad ABCD være en konveks firkant således at de to diagonaler står vinkelret på hinanden. Kald skæringspunktet mellem diagonalerne for O, og kald fodpunkterne for højderne fra O i trekant OAB, OBC, OCD og ODA for henholdsvis P, Q, R og S. Vis at punkterne P, Q, R og S ligger på en cirkel. 3.7 Opgave Lad α være en halvcirkel med diameter P Q, β en cirkel som tangerer linjestykket P Q og halvcirklen α, og γ en linje som tangerer β og står vinkelret på P Q i punktet B, således at B ligger mellem C og Q. Kald det andet skæringspunkt mellem α og γ for A Vis at AC er vinkelhalveringslinje i trekant P AB.
11 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august Løsninger til øvelser og opgaver Øvelse 1.5 Betragt diameteren hvis forlængelse går gennem O. Denne diameter vil af symmetrigrunde afbildes i diameteren til α, og da linjer gennem O afbildes på sig selv følger det at centrum for α, centrum for α og punktet O ligger på linje. Øvelse 1.6 Kald røringspunkterne for den ydre røringscirkel og linjerne AC og BC for henholdsvis M og N. Det er velkendt at CM = CN = s. Punkterne M og N fikses derfor ved inversionen, dvs. at den ydre røringscirkel afbildes i en cirkel gennem M og N som tangerer linjerne AC og BC. Da AC og BC afbildes på sig selv, må også cirklen afbildes på sig selv. Øvelse 1.8 Kald centrum for den indskrevne cirkel for I. Firkant AMIN er indskrivelig da AMI = ANI = 90. Cirklen AMN afbildes derfor i en linje gennem M og N da disse to punkter ligger på inversionscirklen. Billedet af A ligger dermed på linjestykket NM, og af symmetrigrunde må det være midtpunktet. Opgave 3.1 Ved inversion i en cirkel med centrum C og radius s afbildes den ydre røringscirkel på sig selv ifølge øvelse 1.6. Vi skal altså vise at billedet af den omskrevne cirkel til trekant CP Q tangerer den ydre røringscirkel. Da P og Q afbildes på sig selv, vil den omskrevne cirkel til trekant CP Q afbildes i linjen P Q som tangerer røringscirklen. Opgave 3.2 Ved inversion i en cirkel med centrum i A afbildes C 1 og C 2 i to parallelle linjer, og C 3 og C 4 afbildes i to cirkler der tangerer hinanden samt henholdsvis billedet af C 2 og C 1. Ved at regne på vinklerne ses let at B, C og D ligger på linje. Hvis denne linje går gennem A, vil A, B, C og D ligge på linje, og hvis linjen ikke går gennem A, vil A, B, C og D ligge på en cirkel. Opgave 3.3 Inverter i en cirkel med centrum i A og radius r. Linjerne AB, AP og AC afbildes på sig selv, cirklen gennem A, B, C 1, P afbildes på en linje gennem B, C 1 og P, cirklen gennem A, B 1, C, P afbildes i en linje gennem B 1, C og P, og cirklen gennem AB 1 P 1 C 1 afbildes i en linje gennem B 1, C 1 og P 1. Da B 1 og C 1 er midtpunkt på henholdsvis AB og AC, er B og C midtpunkt på henholdsvis linjestykkerne AB 1 og AC 1. Dermed er AB 1 C 1 en trekant med B 1 C og B C 1 som medianer. Da linjen gennem A, P og P 1 går gennem skæringspunktet mellem B 1 C og
12 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august B C 1, er AP 1 også median i trekant AB 1 C 1. Da medianerne skærer hinanden i forholdet 1 : 2, får vi r2 r2 2 AP = 2 AP = 3 AP 1 = 3 AP 1. Opgave 3.4 Da P er det centrale punkt, inverterer vi i en cirkel med centrum i P og radius r. Dermed er α 1 og α 3 to parallelle linjer, og α 2 og α 4 er to parallelle linjer. Firkant A B C D er derfor et paralellelogram. Nu regner vi på begge sider af lighedstegnet: og AB BC AD DC = r 2 A B r 2 B C P A P B P B P C r 2 A D r 2 D C P A P D P D P C P B 2 P D 2 = r 4 P B 2 = r 4 P D 2 Ligheden som vi skal vise, reduceres dermed til A B B C A D D C = 1, hvilket er sandt da A B C D er et parallelogram. = A B B C P D 2 A D D C P B 2, P D 2 P B 2. Opgave 3.5 Inverter i en cirkel med centrum i A, da α og α 0 derved afbildes i to parallelle linjer som alle billederne af cirklerne i følgen tangerer. Røringspunkternes billeder P 1, P 2, P 3,... ligger derfor på en ret linje, dvs. at P 1, P 2, P 3,... ligger på en cirkel gennem A. Opgave 3.6 Bemærk først at firkant AP OS, BQOP, CROQ og DSOR er indskrivelige, og kald deres omskrevne cirkler for henholdsvis α A, α B, α C og α D. Da AO og CO er diameter i henholdsvis α A og α C, tangerer de begge linjen BD i O. Tilsvarende tangerer α B og α C linjen AC i O. Inverter i en cirkel med centrum i O. Da afbildes α A og α C i to linjer som er parallelle med DB, og α B og α D i to linjer parallelle med AC. Skæringspunkterne mellem de fire cirkler er netop P, Q, R og S, dvs. at P Q R S er et rektangel og dermed indskrivelig. Punkterne P, Q, R og S ligger derfor også på en cirkel. Opgave 3.7 Inverter i en cirkel med centrum i C. Da afbildes linjen P Q på sig selv, cirklen β i en linje parallel med P Q, halvcirklencirklen α i en halvcirkelcirkel som tangerer β og har P Q
13 Transformationsgeometri: Inversion. Kirsten Rosenkilde, august som diameter, og linjen γ i en cirkel som tangerer β og har CB som diameter. Da linjen gennem P, C, Q og B er parallel med linjen β, må de to cirkler α og γ have samme radius. Derfor er P AC = A P C = A B C = BAC, dvs. at AC er vinkelhalveringslinje i trekant P AC.
Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler sætninger om trekanter, trekantens ydre røringscirkler, to cirklers radikalakse samt Simson- og Eulerlinjen i en trekant.
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mere1 Trekantens linjer. 1.1 Medianer En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter, maj 007, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, indskrivelige
Læs mereGeometri. 1 Trekantens linjer. Indhold
Geometrinoter, 2012, Kirsten Rosenkilde 1 Geometri Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer.
Læs mereGeometri - Teori og opgaveløsning
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs mere1 Trekantens linjer. Indhold
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs mere1 Trekantens linjer. Definition af median En median er en linje i en trekant der forbinder en vinkelspids med midtpunktet af modstående side.
Geometrinoter 1, januar 009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 1 Disse noter omhandler grundlæggende sætninger om trekantens linjer, sammenhængen mellem en vinkel og den cirkelbue den spænder over, samt
Læs mere1 Trekantens linjer. Indhold
Geometri - Teori og opgaveløsning Formålet med disse noter er at give en grundig introduktion til geometri med fokus på hvad man har brug for til internationale matematikkonkurrencer. Noterne forudsætter
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereGeometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:
Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.
Læs mereSorø 2004. Opgaver, geometri
Opgaver, geometri 1. [Balkan olympiade 1999]. For en given trekant ABC skærer den omskrevne cirkel BC s midtnormal i punkterne D og E, og F og G er spejlbillederne af D og E i BC. Vis at midtpunkterne
Læs meredvs. vinkelsummen i enhver trekant er 180E. Figur 11
Sætning 5.8: Vinkelsummen i en trekant er 180E. Bevis: Lad ÎABC være givet. Gennem punktet C konstrueres en linje, som er parallel med linjen gennem A og B. Dette lader sig gøre på grund af sætning 5.7.
Læs mereMatematik 2011/2012 Skovbo Efterskole Trigonometri. Trigonometri
Trigonometri Spidse og stumpe vinkler En vinkel kaldes spids, når den er mindre end 90. En vinkel kaldes ret, når den er 90. En vinkel kaldes stump, når den er større end 90. En vinkel kaldes lige, når
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereProjekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten
Projekt 3.3 Linjer og cirkler ved trekanten Midtnormalerne i en trekant Konstruer et linjestykke (punkt-menuen) og navngiv endepunkterne A og B (højreklik og vælg: Etiket), dvs. linjestykket betegnes AB.
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på bagsiden).
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereOm ensvinklede og ligedannede trekanter
Om ensvinklede og ligedannede trekanter Vi vil her give et bevis for sætningen, der siger at for trekanter er begreberne ensvinklet og ligedannet det samme. Sætningen er langt fra trivial trekanter er
Læs mere*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV. - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser
*HRPHWUL PHG *HRPH7ULFNV q2nodvvh - et fundament af erfaringer - et arbejde med undersøgelser og overvejelser INFA 1998 1 Forord I den nye læseplan for matematik og i den tilhørende undervisningsvejledning
Læs mereProjekt 2.4 Euklids konstruktion af femkanten
Projekter: Kapitel Projekt.4 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen af den regulære femkant. 0. Forudsætninger, definitioner og
Læs mereSvar på opgave 322 (September 2015)
Svar på opgave 3 (September 05) Opgave: En sekskant har sidelængder 7 7. Bestem radius i den omskrevne cirkel hvis sekskanten er indskrivelig. Besvarelse: ny version 6/0-05. metode. Antag at sekskanten
Læs mereGeometriske eksperimenter
I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereNoter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a.
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereBaltic Way opgavesæt Sorø 2005 Løsninger
Baltic Way opgavesæt Sorø 005 Løsninger 1. Lad r > 1 være et reelt tal og lad a n være givet ved a n = 1 ( r n 1 ) n r n for n 1. Bevis at a n+1 > a n for alle n 1. Løsning: Vi har følgende serie af biimplikationer:
Læs mereElevark Niveau 2 - Side 1
Elevark Niveau 2 - Side 1 Opgave 2-1 Brug (Polygon-værktøjet) og tegn trekanter, der ligner disse: Brug (Tekstværktøjet) til at skrive et stort R under de retvinklede trekanter Se Tip 1 og 2 Elevark Niveau
Læs mereGeometri Følgende forkortelser anvendes:
Geometri Følgende forkortelser anvendes: D eller d = diameter R eller r = radius K eller k = korde tg = tangent Fig. 14 Benævnelser af cirklens liniestykker Cirkelperiferien inddeles i grader Cirkelperiferien
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereRettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen runde
Rettevejledning til Georg Mohr-Konkurrencen 2006 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en opgave, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne oplysninger til
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereSvar på opgave 337 (Februar 2017) ny version d. 21/3-2017
Svar på opgave 337 (Februar 07) ny version d. /3-07 I nedenstående besvarelse er der problemer med manglende ^ (hat) over visse vektorer. Evt. papirkopi kan rekvireres hos Jens Carstensen. Opgave: I ABC
Læs mereUndervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med geometri at:
Noter til læreren side 1 I Trinmål for faget matematik står der bl.a. Undervisningen skal lede frem mod, at eleverne har tilegnet sig kundskaber og færdigheder, der sætter dem i stand til i arbejdet med
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGeometri med Geometer II
hristian Madsen & Frans Kappel Øre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer II I det første forløb om geometri med Geometer beskæftigede i os især med at konstruere på skærmen. Ved hjælp af konstruktionerne
Læs mereMatematik. Meteriske system
Matematik Geometriske figurer 1 Meteriske system Enheder: Når vi arbejder i længder, arealer og rummål er udgangspunktet metersystemet: 2 www.ucholstebro.dk. Døesvej 70 76. 7500 Holstebro. Telefon 99 122
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mere1 Geometri & trigonometri
1 Geometri & trigonometri 1.0.1 Generelle forhold Trigonometri tager sit udgangspunkt i trekanter, hvor der er visse generelle regler: vinkelsum areal A trekant = 1 2 h G A B C = 180 o retvinklet trekant
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereSvar på sommeropgave (2019)
Svar på sommeropgave (9) Opgave: I B er O centrum for den omskrevne cirkel og DE er en korde parallel med. En cirkel med centrum O gerer DE, B og den omskrevne cirkel, og en cirkel med centrum O gerer
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2009 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs merebrikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 4.-10. klasse
Løsningsforslag til Geometri 4.-0. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser, dem
Læs mereForslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 338)
Forslag til løsning af Opgaver til analytisk geometri (side 8) Opgave Linjerne har ligningerne: a : y x 9 b : x y 0 y x 8 c : x y 8 0 y x Der må gælde: a b, da Skæringspunkt mellem a og b:. Det betyder,
Læs mereTALTEORI Ligninger og det der ligner.
Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter
Læs mereBesvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af
Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien
Læs mereOpgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007
Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der
Læs mereIb Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65
Euklid Ib Michelsen: Matematik C, Geometri 2011, Euklid Version 7.2 03-10-11 G:\_nyBog\1-3-euklid\nyEuclid4.odt Sidetal starter med 65 Indledning "Matematikeren Euklid levede og virkede omtrent 300 aar
Læs mereMatematik for malere. praktikopgaver. Geometri Regneregler Areal Procent. Tilhører:
Matematik for malere praktikopgaver 2 Geometri Regneregler Areal Procent Tilhører: 2 Indhold: Geometri... side 4 Regneregler... side 10 Areal... side 12 Procent... side 16 Beregninger til praktikopgave
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen og Katrine Rude Laub Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post
Læs mereTREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)
Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereGEOMETRI. Generelt om vinkler. Notation for vinkler: u, A, BAC. Topvinkler er lige store, x = y
GEOMETRI Generelt om inkler Nottion for inkler: u, A, BAC Topinkler er lige store, x y Komplementinkler er inkler, der tilsmmen er 90 u + 90 Supplementinkler er inkler, der tilsmmen er 180 (I stedet for
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereLæringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal
Læringsmiddel Geogebra: Rombens sammen mellem omkreds og areal Link Mål Kompetence mål: Modellering Færdighedsmål Eleven kan vurdere egne og andres modelleringsprocesser Videns mål Eleven har viden om
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereForlag Malling Beck Best. nr Sigma for syvende
Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse: Forlag Malling Beck Best. nr. 0 Sigma for svende Navn: Klasse:
Læs mereMatematik A. Studentereksamen
Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mereKapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).
Læs mereLøsningsforslag MatB Juni 2013
Løsningsforslag MatB Juni 2013 Opgave 1 (5 %) Et andengradspolynomium er givet ved: f (x) = x 2 4x + 3 a) Bestem koordinatsættet til toppunktet for parablen givet ved grafen for f Løsning: a) f (x) = x
Læs mereLigedannede trekanter
Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011 Version 7.1 22-08-11 Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt Arven fra Grækenland Arven
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereLøsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse
1 Løsningsforslag til Geometri 1.-6. klasse Bemærk, at vi benytter betegnelsen øvelser som en meget bred betegnelse. Derfor er der også nogle af vores øvelser, der nærmer sig kategorien undersøgelser,
Læs mereDifferentialkvotient af cosinus og sinus
Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises
Læs mereLøsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård
website: link fra, kapitel 7, afsnit 2 Løsning til øvelse 7.8, side 272: Københavns Politigård Bemærk: Benyt fx formelsamlingen til stxa side 10-14 til at finde de relevante formler. (Geogebra starter
Læs mereGeometri med Geometer I
f Frans Kappel Øvre, Morsø Gymnasium Geometri med Geometer I Markeringspil: Klik på et objekt (punkt, linje, cirkel) for at markere det. Hvis du trykker Shift samtidig kan du markere flere objekter eller
Læs mereGeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)
Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereTrigonometri. for 9. klasse. Geert Cederkvist
Trigonometri Ved konstruktion af bygningsværker, hvor der kræves stor nøjagtighed, er der ofte brug for, at man kan beregne sider og vinkler i geometriske figurer. Alle polygoner kan deles op i trekanter,
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereGeomeTricks Windows version
GeomeTricks Windows version Elevarbejdsark MI 130 En INFA-publikation - 1998 GeomeTricks - Elevarbejdsark Viggo Sadolin 16 september 1997 Oversigt over elevarbejdsarkene Klassetrin Type ark 3 4 5 6 7 8
Læs mereDynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling
Dynamiske konstruktioner med et dynamisk geometriprogram En øvelsessamling Disse opgaver er i sin tid udarbejdet til programmerne Geometer, og Geometrix. I dag er GeoGebra (af mange gode grunde, som jeg
Læs mereTeknisk. Matematik FACITLISTE. Preben Madsen. 4. udgave
Teknisk Preben Madsen Matematik 4. udgave FACITLISTE Indhold TAL OG ALGEBRA... LIGNINGER OG ULIGHEDER... GEOMETRI... 4 TRIGONOMETRI... 5 CIRKLEN... 5 6 OVERFLADER UDFOLDNINGER... 5 7 RUMFANG... 8 8 ANALYTISK
Læs mereBjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF, 2003
Keglesnitsværktøjer De følgende værktøjer er beregnet til at tegne keglesnit på forskellig vis, såsom ellipser og hyperbler ud fra centrum, toppunkter, halvakser og lignende. Der er faktisk allerede inkluderet
Læs mereSTUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 2009 2009-8-2 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER
STUDENTEREKSAMEN MAJ-JUNI 009 009-8- MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Mandag den 11. maj 009 kl. 9.00-10.00 BESVARELSEN AFLEVERES KL. 10.00 Der tildeles
Læs mereGeometri, (E-opgaver 9d)
Geometri, (E-opgaver 9d) GEOMETRI, (E-OPGAVER 9D)... 1 Vinkler... 1 Trekanter... 2 Ensvinklede trekanter... 2 Retvinklede trekanter... 3 Pythagoras sætning... 3 Sinus, Cosinus og Tangens... 4 Vilkårlige
Læs mereOpgave 1 A. Opgave 2 A m 2 B. 125,66 m 2 C m 2 D m 2
Opgave 1 Opgave 2 21 000 m 2 B. 125,66 m 2 C. 1200 m 2 D. 185 540 m 2 Opgave 3 Det betyder, at en centimeter på tegningen svarer til 100 cm i virkeligheden B. 22m 2 C. D. E. Hvis længdeforholdet ændres
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereGeometriopgaver. Pladeudfoldning Geometriopgaver - 1 -
2009 Geometriopgaver Pladeudfoldning Geometriopgaver Teknisk Isolering AMUSYD 06 02 2009-1 - Indholdsfortegnelse OPGAVE 1 - A, B, C, D.... 3 OPGAVE 1 A REKTANGEL DEL VED FORSØG... 3 OPGAVE 1 B PARALLELOGRAM...
Læs mereAllan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg
Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Allan C. Malmberg Matematik i glimt For elever med særlig interesse og evne for faget INFA 2006 Seneste
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereKonstruktion. d: En cirkel med diameter 7,4 cm. e: En trekant med grundlinie på 9,6 cm og højde på 5,2 cm. (Der er mange muligheder)
1: Tegn disse figurer: a: Et kvadrat med sidelængden 3,5 cm. b: En cirkel med radius 4,. c: Et rektangel med sidelængderne 3,6 cm og 9,. d: En cirkel med diameter 7,. e: En trekant med grundlinie på 9,6
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereA U E R B A C H M I K E # e z. a z. # a. # e x. # e y. a x
M A T E M A T I K B A M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK z a z # e z # a a x # e x ay # e y y x Matematik B A 2. udgave, 207 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit
Læs meregl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a
gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven
Læs mere