Kompleks ligning 1. - en illustration af hvordan løsninger til ligningen z 5 + iz + 1 = 0 ser ud. 1. Oprette den frie variabel z.

Transkript

1 Kompleks ligning 1 - en illustration af hvordan løsninger til ligningen z 5 + iz + 1 = 0 ser ud Formål At give mulighed for at undersøge/illustrere hvordan et komplekst polynomium opfører sig, og hvordan dets rødder ser ud. Man kan variere på z og se hvordan polynomium-værdien påvirkes. Ethvert komplekst tal z giver en funktionsværdi som også er et komplekst tal. Undersøgelse af hvordan ændring af z giver en ændring af polynomiets værdi deles op i 2 dele. 1 ) Hvilken ændring i mulige funktionsværdier giver ændring i modulus for z? For en given modulus illustreres alle mulige funktionsværdier når argument for z gennemløber værdierne i intervallet [0; 2π]. 2) For en fastholdt modulus illustreres hvordan funktionsværdien bevæger sig i mængden af mulige funktionsværdier, når argumentet for z bevæger sig gennem værdierne i intervallet [0; 2π]. Geogebra-elementer i brug Skyder Punkt / komplekst tal Cirkel Delvist frit punkt - punkt bundet til en cirkel Regneudtryk / funktion med komplekst tal Sted (Locus) 1. Oprette den frie variabel z I stedet for at lave z som et helt frit punkt, vil vi lave det sådan, at man stiller på modulus og argument hver for sig. På den måde kan man undersøge, hvad der sker, når man for fastholdt modulus lader argumentet løbe hele vejen rundt. For fastholdt modulus(z) kan man variere argument for z, og lade det gennemløbe [0; 2π]. Det gør vi ved at lade z være et punkt på en cirkel om (0, 0) med radius modulus(z). Derefter kan z bevæges frit på cirklen, imens man undersøger vinklens (argumentets) betydning for fastholdt modulus(z). modulus for z Modulus z bestemmes vha. en skyder, Vælg side 1 af 10

2 zmod skal være modulus for vores z. z vil da ligge på cirklen med centrum i (0, 0) og radius zmod. For at vi kan eksperimentere med z s argument (uden at ændre på modulus) konstrueres z som et punkt på den cirkel. Først laver vi cirklen. Skriv i input-feltet: Cirkel[(0,0),zmod] z laves som et punkt på cirklen. Vælg, og klik et sted på cirklen. Omdøb punktet til z, ved at højreklikke og vælg Omdøb. Så er situationen sådan: side 2 af 10

3 z kan flyttes rundt på cirklen. Til hver position svarer et komplekst tal med modulus zmod, og argument hvad? Ja det kan GeoGebra fortælle os, ved funktionen arg(z). Skriv i inputlinjen zarg = arg(z) Nu kan værdien af zarg ses i algebravinduet. Hvis man vil vise værdien af arg z på tegningen, kan det gøre vha. et tekst-objekt. Opret en tekst ved at vælge og klikke et sted på tegnefladen. Skriv en ledetekst, og indsæt objektet. Så vil teksten indeholde aktuel værdi af objektet her et tal. 2. Oprette og vise z 5 for et givet z Til hver værdi af z hører en værdi af z 5. Skriv i inputlinjen z5=z^5 z^5 betyder z i femte. z5 er navnet på det nye objekt det vælger vi selv. side 3 af 10

4 Dette kan vi gøre, fordi vi har oprettet punktet som et komplekst tal. (Man kan ikke skrive <punkt>^5, altså opløfte et punkt i en potens). Nu vil vi gerne vise alle værdier som z 5 gennemløber, når z gennemløber alle sine mulige værdier i intervallet [0; 2π]. GeoGebra har en funktion til at vise, hvad et afhængigt punkt gennemløber, når det uafhængige punkt der ligger til grund, gennemløber hele sin mulige punktmængde. For z og z 5 vil det sige, hvad z 5 gennemløber, når z gennemløber hele cirklen c. Funktionen hedder Sted (på engelsk Locus). Skriv i inputlinjen Sted[z5, z] Nu ser billedet fx sådan ud. Prøv at ændre modulus for z ved at rykke på skyderen. Prøv at ændre argument for z, ved at flytte punktet rundt på cirklen. Det er altså (ikke overraskende) sådan, at z 5 løber på cirklen med radius zmod 5. side 4 af 10

5 3. Polynomiets værdi for et givet z Nu opretter vi polynomiet, og viser på samme måde, hvilke værdier det gennemløber, når z gennemløber c. poly=z^5+i*z+1 Sted[poly, z] Nu vises alle værdier som z 5 + iz + 1 gennemløber, når z gennemløber alle sine mulige værdier på cirklen, dvs. intervallet [0; 2π]. Man kan stille på farverne, så det bliver lettere at skelne de 3 kurver fra hinanden (cirklen c, kurven for z 5 og kurven for z 5 + iz + 1). 4. Hvordan kan man bruge dette til at finde og forstå rødder i polynomiet? Vi finder først værdier af zmod (modulus for løsninger z) side 5 af 10

6 Først kan vi undersøge hvilke værdier af zmod som får den røde kurve til at gå gennem (0, 0). Hvis vi sætter zmod-skyderen tæt på 0, ser vi først den røde kurve (polynomiets mulige værdier) ligge helt ved siden af (0,0) Gør vi zmod større (bevæger skyderen mod højre), breder kurven sig ud, og når zmod er ca 0,776 går kurven gennem (0, 0) første gang. Bemærk, at man kan bruge piletasterne til at bevæge skyderen, når først der er klikket på den, så den er aktiv. Skyderen bevæges mod højre, zmod vokser yderligere. Anden gang den røde kurve går igennem (0, 0) er ved zmod omkring 0,927 side 6 af 10

7 Og de næste 3 gange er for zmod omkring 1,055, 1,13 og 1,163. Her ser man tydeligt de 5 buer. side 7 af 10

8 Og så kan man se at der ikke kommer flere, for nu er hele den røde kurve på vej ud og væk fra (0, 0). Vi finder så de tilhørende værdier af zarg (argument for løsninger z) Vi har indstillet zmod så den røde kurve går igennem (0, 0). Prøv at se, hvad der sker med polynomiumværdien ( poly ) når man varierer argument for z dvs. rykker punktet z rundt på cirklen. side 8 af 10

9 z har rykket sig et lille stykke, poly har rykket sig et meget større stykke. Vi fortsætter med at flytte z rundt. z har rykket sig ca. 2 5 rundt, mens poly har rykket sig omkring 2 gange rundt. Vi fortsætter, og på et tidspunkt når poly ind til (0, 0). Roden er fundet - ved zarg ca Det vil sige, at z = er løsning til ligningen z 5 +iz+1=0 side 9 af 10

10 Lader vi z løbe videre, vil poly gennemløbe resten af den røde kurve og den vil altså ikke igen ramme (0,0). Til denne røde kurve og altså til denne værdi af zmod hører netop 1 argumentværdi, som gør, at polynomiumværdien bliver (0, 0). Til de andre 4 værdier af zmod, der giver en rød kurve, som går gennem (0, 0), hører på samme måde 1 værdi af zarg, som bevirker, at polynomiumværdien bliver (0, 0). side 10 af 10