Harmonisk oscillator. Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge 46-47

Transkript

1 Harmonisk oscillator Dan Elmkvist Albrechtsen, Edin Ikanović, Joachim Mortensen Hold 4, gruppe n + 1, n {3}, uge november 2007

2 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 3 Fremgangsmåde 3 4 Resultatbehandling Bestemmelse af fjederkonstanten k Fri harmonisk svingning (uden friktion) Eksponentielt aftagende, harmonisk svingning (luftmodstand) Lineært aftagende, harmonisk svingning (konstant friktion) Oversigt over samtlige beregnede størrelser Analyse Hvad vi har lært undervejs Diskussion Fejlkilder Statisk relevans Konklusion 9 A Anvendte Gnuplot-kommandoer 11 Figurer 1 Forsøgsopstilling for en fri svingning Forsøgsopstilling ved hastighedsproportional luft-friktion Forsøgsopstilling med konstant friktion Bestemmelse af fjederkonstanten k. Hældningen på grafen er k Uden friktion i et kort interval. Stort set ingen dæmpning Uden friktion i et længere interval. Tydelig (eksponentielt) aftagende svingning Hastighedsafhængig dæmpning i et kort interval Hastighedsafhængig dæmpning i hele intervallet Konstant friktion i et kort interval Konstant friktion i hele intervallet

3 1 FORMÅL 2 1 Formål Formålet med forsøget er at opstille en kurve for en fjeders udsving som funktion af tiden og lave usikkerhedsberegninger på disse kurver. I alt har vi undersøgt tre forskellige betingelser: Fri harmonisk svingning Harmonisk svingning med luftmodstand Harmonisk svingning med konstant friktion. Derudover vil vi undersøge hvordan en fjeder dæmpes ved tilpas mange svingninger. Ændres svingningshastigheden? Eller det kun udsvinget, der dæmpes? Og så vil vi sammenligne en teoretisk bestemt svingningshastighed ω 0,t med den eksperimentielle ω 0,e. 2 Teori Vi tilnærmer vores kurver i Gnuplot efter følgende ligninger: For fri harmonisk svingning: x(t) = x 0 cos(ω 0 t + φ) + d (1) For harmonisk svingning med hastighedsproportional dæmpning: x(t) = x 0 e γt 2 cos(ω0 t + φ) + d (2) For Harmonisk svingning med linear dæmpning: x(t) = x 0 (1 bt)cos(ω 0 t + φ) + d (3) hvor x 0 ω 0 er start-amplituden er svingingshastigheden t er tiden φ er vinkelforskydningen d er forskydningen i vinkelret på linien y = 0 γ er friktionskonstanten b er hældningen for den linear aftagene funktion Den teoretiske værdi ω 0,t er givet ved.: ω 0,t = k m (4) hvor k er fjederkonstanten

4 3 FREMGANGSMÅDE 3 m er massen af det lod, vi hænger på fjederen Dette er begyndelses-svingingshastigheden, hvis det viser sig, at denne hastighed aftager. I så fald må vi finde en måde at udregne slut-svingningshastighed ω 1,t, når svingningen er ved at aftage. k bestemmer vi ved hjælp af Hooke s lov: k = F x = mg x (positiv, f ordiviregnermedpositivx) (5) hvor g er tyngdeaccelerationen x er den positive længde, fjederen trækkes ud til Svingingsningstiden T 0 er for en hel periode er givet ved: 3 Fremgangsmåde T 0 = 2π ω 0 (6) Det første vi gjorde var at måle vægten af det lod, vi benytter igennem hele forsøget. Derefter målte vi længden som fjederen blev trukket ud af loddet. sammen med fjederkonstanten k kunne ω 0,t udregnes. Så blev længdeforskellen mellem fjederen i hvile med og uden lod målt. På den måde var det muligt at måle fjederkonstanten og få en teoretisk størrelse på vinklerhastighed som så kunne måles med den vi rent faktisk ville få. Figur 1: Forsøgsopstilling for en fri svingning. Første måling gik ud på at måle den frie harmoniske svingning. Fjederen blev, ved håndkraft, sat til at svinge op og ned. En computer var tilkoblet systemet, så man på den måde kunne optage svingningskurven for oscillatoren. Først blev en kort måling foretaget, for at få en måling med så lille dæmpning som mulig. Derefter blev en længere måling foretaget, således at man kunne se dæmpningen. Figur 2: Forsøgsopstilling ved hastighedsproportional luft-friktion.

5 4 RESULTATBEHANDLING 4 Figur 3: Forsøgsopstilling med konstant friktion. Anden måling skulle bruges til at måle dæmpningen en fjederen ved høj luft modstand. En papplade, blev vejet og derefter sat fast på loddet. For tredje måling blev en skrå flade sat op, så fjederen konstant ville gnide imod den. På den måde var det muligt at måle svingningen for en fjeder med konstant friktion. Alle fire målinger blev gemt på computeren. Programmet GNUPLOT blev derefter benyttet til at indtegne de målte kuver og til at lave et Fit med. Altså en tilnærmet graf. Denne tilnærmede graf kunne så bruges til at sammenligne med de teoretiske størrelser og til at lave usikkerhedsberegning med. foo) Det viste sig, at svingningshastigheden ikke aftager, så vi slipper fo rat skulle regne en slut-svingningshastighed ud. 4 Resultatbehandling 4.1 Bestemmelse af fjederkonstanten k Bestemmelsen af fjederkonstanten sker med to størrelser, der begge har en usikkerhed. Da der er en lineær sammenhæng mellem øgningen af fjederens længde og den vægt, massen af et lod trækker ud i f- jederen med, så kan fjederkonstanten bedst bestemmes ved at plotte eksempelvis længden som funktion af lodmassens vægt. Netop dette valg af den afhængige og uafhængige variabel er gjort, fordi usikkerheden på den afhængige variabel (fjederlængden) har en relativ usikkerhed, der næsten er ubetydelig i forhold til dén af de målte lodmasser. δm = 0, 001 kg (7) δx = 0, 001 m (8) Fjederkonstanten bliver altså k = ( m N ) 1 = 4, 65 N m. Vi finder usikkerheden δk på k ved at regne på den ophobede usikkerhed[?, jvf. (3.18), s. 61], der kommer ved en enkelt måling af henholdsvis lodmasse og tilsvarende udstrækning x af fjederen, når loddet hænger i hvile: (δm ) 2 δk = k + m ( ) 2 δx = k x (0, 001 kg 0, 050 kg og den endelige værdi for k bliver k = 4, 7 ± 0, 1 N m. ) 2 + ( ) 2 0, 001 m = 0, 1 N (0, 232 0, 126) m m Usikkerheden δω på ω 0,t finder vi på tilsvarende måde, hvor den endelig teoretiske usikkerhed som et resultat af kvadratroden i formlen for ω 0,t bliver halvt så stor, jvf. eksemplet i [?, (3.26), s.66]. Det var hvad der skulle bruges til at beregne de teoretiske værdier af svingningshastigheden og svingningstiden. Til sidst bliver både de teoretiske værdier og de eksperimentielt fundne ( fittede ) værdier fra de enkelte måleserier, vi foretog. (9)

6 4 RESULTATBEHANDLING 5 Figur 4: Bestemmelse af fjederkonstanten k. Hældningen på grafen er k Fri harmonisk svingning (uden friktion) På figur 5 kan vi se vores frie harmoniske oscillator illustreret. Fjederens svingninger ligner dog kun en fri harmoniske oscillatanor, hvor vi måler svingningerne over et kort interval. Hvis vi måler dem over et længere interval, som er illustreret på figur 6, fremgår det at den fittede funktion ikke er en komplet beskrivelse af svingningen. Her ses vores data som grønne kors. Funktionen, som vi har fundet for den frie harmoniske oscillator, ses som rød. Den blå streg er en eksponentiel udvikling der følger dæmpningen af fjederens udsving. Figur 5: Uden friktion i et kort interval. Stort set ingen dæmpning. 4.3 Eksponentielt aftagende, harmonisk svingning (luftmodstand) På figur 7 kan vi se hvordan vores data stemmer overens med den fittede ligning der beskriver en oscillator med en hastighedsafhængnig dæmpning over et kort interval. På figur 8 kan vi se hvordan denne ligning passer over hele forsøgets længde. Vi kan se at denne passer langt bedre end, resultaterne fra figur 5.

7 4 RESULTATBEHANDLING 6 Figur 6: Uden friktion i et længere interval. Tydelig (eksponentielt) aftagende svingning. Figur 7: Hastighedsafhængig dæmpning i et kort interval. 4.4 Lineært aftagende, harmonisk svingning (konstant friktion) På figur 9 kan vi se data fra den harmoniske oscillator der blev dæmpet af konstant friktion. Derudover kan vi se den ligning som blev fittet til at passer overens med vores data. På figur 10 har vi hentet data fra hele forsøgets længde og sat det sammen med den funde ligning. Vi kan se at ligningen det meste af tiden beskriver fjederens udsving meget godt. Men jo længere vi når hen mod forsøgets slutning, jo mere fjerner ligningen sig fra vores data. Til sidst vender ligningen og begynder at få et større og større udsving, hvilket fysisk set ikke giver mening. 4.5 Oversigt over samtlige beregnede størrelser For hvert forsøg, kan vi nu finde den teoretiske værdi af svingningshastigheden ω 0,t, og ved hjælp af Gnuplots fit-kommando har vi også den eksperimentielle værdi ω 0,e for hver af de bedst tilpassede

8 4 RESULTATBEHANDLING 7 Figur 8: Hastighedsafhængig dæmpning i hele intervallet. Figur 9: Konstant friktion i et kort interval. funktionsforskrifter: Forsøg Lodmasse m/kg ω 0,t /rad s 1 δω//rad s 1 T 0,t /s ω 0,e /rad s 1 T 0,e /s Fri (kort) ,2 0,2 0,618 9,40 0,682 Fri (lang) ,2 0,2 0,618 9,40 0,682 Luftmodstand ,64 0,1 0,652 8,78 0,716 Konstant friktion ,2 0,2 0,618 9,39 0,669

9 5 ANALYSE 8 Figur 10: Konstant friktion i hele intervallet. Som vi kan se i tabellen falder vores teoretisk beregnede svingningshastighed, ikke sammen med den målte svingningshastighed. Dette gælder også efter vi kigger på usikkerheden på vores teoretisk beregnede svingningshastigheder. Afvigelsen er dog lille nok, til at man stadig kan argumentere for gyldigheden af vores resultater, på baggrund af de opstillede fejlkilder, som kommer længere nede. 5 Analyse 5.1 Hvad vi har lært undervejs Vi har lært at foretage usikkerhedsberegninger på de målte størrelser (masse og længde af f- jederudstrækning), som vi har brug for at kende, når vi skal beregne de teoretiske værdier af fjederkonstanten, svingningshastigheden og omløbstiden. Vi har lært at bruge Gnuplot til at vise data fra en måleserie og ud fra en teoretisk model, finde en konkret beskrivelse af sammenhængen mellem de målte størrelser. Vi har plottet de forskellige måleserier og anvendt Gnuplots fit-funktion sammen med en model for de forskellige typer af dæmpning (eller fri oscillation) til at finde den bedst mulige funktion til beskrivelse af bevægelserne. Derudover har fit-funktionen givet os et mål for, hvor god en tilpasning, vi har fundet i de enkelte tilfælde(med angivelse af Chi 2 ). 5.2 Diskussion Det forekom os naturligt, at en fjeder, der hænger frit og bliver sat til at svinge med et lod hængt på, efterhånden vil få dæmpet sit maksimale udsving ved friktion fra den omgivende luft (omend lille og ubetydelig i tilpas korte intervaller, som det fremgår af figur 5). Vi var interesseret i at undersøge, hvorvidt denne gnidningskraft medfører en lineært eller eksponenielt aftagende dæmpning på svingningen. Afhængig af størrelsen af hastigheden, er dæmpningen proportional med hastigheden i første eller anden potens. I forsøget med den frie svingning, forventede vi en dæmpning, der er afhængig af gnidningen med den omgivende luft, og at denne friktion afhænger af størrelsen af hastigheden på forskellige tidspunkter i svingningen. Vi forventede derfor en væsentlig øgning af denne friktion i dét forsøg, hvor vi satte pladen på loddet. For svingningen med konstant friktion forventede vi et lineært aftagende udsving for bevægelsen.

10 6 KONKLUSION 9 Eftersom vi mener, at dæmpningen er proportional med friktionen fra den omgivende luft, må den være proportional med den relative hastighed i forhold til den omgivende luft. Denne påvirkning er ikke konstant, men aftager (og skifter retning), når loddet befinder sig i udsvingets yderpositioner. I forsøget med pladen understreges dette, da pladen øger luftmodstanden, og medfærer således en markant hurtigere dæmpning end for den lange måling ved den frie oscillations. Hvis vi vil simulere en fri harmonisk oscillator over et længere tid, end det lykkedes i vores forsøg, kunne man derfor prøve at gennemføre forsøgets første del i vakuum. Der vil så ikke være noget luft der kan være med til at begrænse fjederens udsving. 5.3 Fejlkilder Masse Systematiske fejl Længde x Systematisk fejl + tilfældige fejl Fjederkonstant Systematisk fejl + tilfældige fejl vingningshastighed Systematiske fejl + tilfældige fejl svigningshastighed Systematiske fejl + tilfældige fejl I teorien tager vi udgangspunkt i en lodret svingning, men dette er svært at udføre i praksis. I vores forsøg havde loddet sikekrt også et lille udsving til begge sider, hvilket altså ikke en fuldstændig lodret svingning. Hvis fjederen så bruger længere tid på at komme igennem denne elipsebevægelse, må det nødvendigvis resultere i en langsommere svigningshastighed end forventet. Vi har dog ikke foretaget målinger, der gør det muligt at bestemme, hvor meget svigningshastigheden reduceres i praksis. I delforsøg 3, hvor vi bestemmer linear dæmpning af svingningerne vha. af konstant friktion, benytter vi os af en væg. Denne væg har en hældning, som kan varire afhængig af hvordan man lægger væggen. Hvis væggens hældning i forhold til lodret er for stor, risikere man en situation, hvor der ikke er konstant friktion. 5.4 Statisk relevans Vi har fundet frem til følgende systematiske fejl: Den anvendte vægt kunne være dårligt kallibreret, hvilket vil give en systematisk afvigelse. Den lineal, vi brugte til at måle fjederens udstrækning, kan være bøjet/skæv. Kallibrering af af de sensorer, der måler på svingingerne, kan også have afvigelser, der i givet fald må være systematiske. Usikkerheden på massen har vi fået fra den vægt, vi brugte. Længden af fjederudtrækningen aflæste vi hver især meget nøgternt, og usikkerheden på disse aflæsninger vedtog vi ud fra den maksimale absolutte afvigelse mellem hver af disse uafhængig aflæsninger. 6 Konklusion Vi har altså lært, at: det kun er det maksimale udsving, der dæmpes, hvorimod svingningshastigheden er konstant vi har med et rimeligt resultat eftervist modellerne om betydningen af henholdsvis luftmodstanden (der er hastighedsafhængig) og den konstante friktion fra en rimelig lodret plade på svingningen. Og vi har til en hvis grad lært at anvende Gnuplot til fitning af modeller med konkrete måleresultater. Sidstnævnte proces var i sig selv ny for os, så det ryger med oven i puljen.

11 LITTERATUR 10 Litteratur [1] John Robert Taylor. An introduction to Error Analysis. University Science Books, 1997.

12 A ANVENDTE GNUPLOT-KOMMANDOER 11 A Anvendte Gnuplot-kommandoer Fri oscillation # Gnuplot script 1 for forsøget "Harmonisk oscillator" # Plottet omhandler frie hamoniske svingninger # Definerer funktionen f(x)=(a*cos(b*x+c)+d) #Definere variablerne a=10; b=0.4; c=0.3; d=0.1 #Laver et fit fit [200:300] f(x) "46umodstand_kort" via a,b,c,d #Der skal bruges flere punkter til tegning af plottet set samples # Plotter datasættet samt funktionen, med de variabler der blev fundet plot [200:300] [-9:9] f(x), "46umodstand_kort" Dæmpet oscillation - luftmodstand #Gnuplot script 2 for forsøget "Harmonisk oscillator" # Plottet omhandler svingninger med hastighedsproportional dæmpning #Definere funktionen f(x)=(a*exp(-0.5*b*x)*cos(c*x+d)+e) #Definere variablerne a=5; b=0.1; c=0.4; d=0.3; e=2 #Laver et fit fit [100:200] f(x) "46mluft" via a,b,c,d,e #Der skal bruges flere punkter til tegning af plottet set samples #Plotter datasættet samt funktionen, med de variabler der blev fundet plot [100:200] [-1:6] f(x), "46mluft" Dæmpet oscillation - gnidning # Gnuplot script 3 for forsøget "Harmonisk oscillator" # Plottet omhandler svingninger med linear dæmpning # Definerer funktionen f(x)=(a*(1-b*x)*sin(c*x+d)+e) #Definere variablerne a=6; b=0.01; c=0.4; d=1; e=0.1 #Laver et fit fit [100:150] f(x) "46mluft" via a,b,c,d,e #Der skal bruges flere punkter til tegning af plottet set samples #Plotter datasættet samt funktionen, med de variabler der blev fundet plot [100:150] [-10:10] f(x), "46mluft"