Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
|
|
|
- Ludvig Johansen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion Calculus Uge
2 Komplekse tal Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = a + bi hvor a = Re z og b = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i = 1, altså i 2 = 1. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Calculus Uge
3 Komplekse tal Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = a + bi hvor a = Re z og b = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i = 1, altså i 2 = 1. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Mængden af komplekse tal betegnes C. De reelle tal R identificeres med komplekse tal, hvis imaginærdel er 0. Calculus Uge
4 Komplekse tal Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = a + bi hvor a = Re z og b = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginærdel. i er den imaginære enhed, formelt identificeret med i = 1, altså i 2 = 1. To komplekse tal a + bi og c + di er ens, hvis a = c og b = d. Mængden af komplekse tal betegnes C. De reelle tal R identificeres med komplekse tal, hvis imaginærdel er 0. Det er et (overraskende) faktum, at de sædvanlige regneregler for reelle tal udvider meningsfuldt fra realdel til alle komplekse tal. Calculus Uge
5 Komplekse plan Definition Talplanen R 2 med rektangulære koordinater (x,y) identificeres med de komplekse tal (komplekse plan, Argand planen) C ved 1 = (1, 0) og i = (0, 1), så a + bi = (a,b) Calculus Uge
6 Komplekse plan Definition Talplanen R 2 med rektangulære koordinater (x,y) identificeres med de komplekse tal (komplekse plan, Argand planen) C ved 1 = (1, 0) og i = (0, 1), så Im a + bi = (a,b) bi a+bi i 0 1 a Re Calculus Uge
7 Komplekse plan Definition - fortsat x-aksen kaldes den reelle akse og y-aksen kaldes den imaginœre akse. Calculus Uge
8 Komplekse plan Definition - fortsat x-aksen kaldes den reelle akse og y-aksen kaldes den imaginœre akse. Normen a + bi = a 2 + b 2 = (a,b) kaldes modulus eller absolut værdi. Calculus Uge
9 Komplekse plan Definition - fortsat x-aksen kaldes den reelle akse og y-aksen kaldes den imaginœre akse. Normen a + bi = a 2 + b 2 = (a,b) kaldes modulus eller absolut værdi. Eksempel 3 4i = = 25 = 5 Calculus Uge
10 Addition og multiplikation Definition Addition: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Calculus Uge
11 Addition og multiplikation Definition Addition: Multiplikation: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i Calculus Uge
12 Addition og multiplikation Definition Addition: Multiplikation: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = a(c + di) + (bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (ad + bc)i Morale Regn løs med sædvanlige regneregler og reducer til standardform ved at bruge i 2 = 1. Calculus Uge
13 Addition i planen Figur - parallellogramreglen Im z 1 + z 2 z 2 i z Re Calculus Uge
14 Addition og multiplikation Eksempel 1 Addition: (1 i) + (4 + 7i) = (1 + 4) + ( 1 + 7)i = 5 + 6i Calculus Uge
15 Addition og multiplikation Eksempel 1 Addition: (1 i) + (4 + 7i) = (1 + 4) + ( 1 + 7)i = 5 + 6i Multiplikation: ( 1 + 3i)(2 5i) = ( 1)(2 5i) + (3i)(2 5i) = 2 + 5i + 6i 15i 2 = ( ) + (5 + 6)i = i Calculus Uge
16 Kompleks konjugering Definition For et kompleks tal z = a + bi er det konjugerede tal z givet ved spejling i den reelle akse z = a bi Calculus Uge
17 Kompleks konjugering Definition For et kompleks tal z = a + bi er det konjugerede tal z givet ved spejling i den reelle akse z = a bi så Rez = z + z 2, Im z = z z 2i Calculus Uge
18 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w Calculus Uge
19 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w zw = z w Calculus Uge
20 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w Hvis z = a + bi, så er zw = z w z z = a 2 + b 2 = z 2 Calculus Uge
21 Kompleks konjugering Sætning Der gælder z + w = z + w Hvis z = a + bi, så er zw = z w z z = a 2 + b 2 = z 2 Bevis z z = (a + bi)(a bi) = a 2 (bi) 2 = a 2 + b 2 = z 2 Calculus Uge
22 Kompleks absolutværdi Sætning Der gælder Trekantsuligheden z + w z + w Calculus Uge
23 Kompleks absolutværdi Sætning Der gælder Trekantsuligheden z + w z + w Multiplikativitet zw = z w Calculus Uge
24 Kompleks reciprok Sætning For et kompleks tal w = c + di 0 er det reciproke tal 1 w = w w w = w w 2 1 c + di = c c 2 + d 2 d c 2 + d 2i Calculus Uge
25 Kompleks reciprok Sætning For et kompleks tal w = c + di 0 er det reciproke tal 1 w = w w w = w w 2 1 c + di = c c 2 + d 2 For et kompleks tal z = a + bi er brøken z w = z w w w = z w w 2 d c 2 + d 2i a + bi c + di = (a + bi)(c di) c 2 + d 2 Calculus Uge
26 Kompleks brøk Eksempel i Angiv 2 + 5i på formen a + bi. Calculus Uge
27 Kompleks brøk Eksempel i Angiv 2 + 5i på formen a + bi i 2 + 5i = = ( 1 + 3i)(2 + 5i) (2 + 5i)(2 + 5i) ( 1 + 3i)(2 5i) (2 + 5i)(2 5i) ( ) + (5 + 6)i = = i Calculus Uge
28 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = 2 er: 1+i (a) z = 1 i. (b) z = 2 2i. (c) z = 2 + 2i. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Calculus Uge
29 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = 2 er: 1+i (a) z = 1 i. (b) z = 2 2i. (c) z = 2 + 2i. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning i = 2(1 i) (1 + i)(1 i) 2(1 i) = = 1 i Calculus Uge
30 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = 2 er: 1+i (a) z = 1 i. (b) z = 2 2i. (c) z = 2 + 2i. Løsning Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) i = 2(1 i) (1 + i)(1 i) 2(1 i) = = 1 i Calculus Uge
31 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Calculus Uge
32 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Løsningerne til ligningen x 2 + c = 0 er da ± c. Calculus Uge
33 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Løsningerne til ligningen x 2 + c = 0 er da ± c. Løsningerne til andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 er da x = b ± b 2 4ac 2a Calculus Uge
34 Kompleks kvadratrod Eksempel 3 For et positivt reelt tal c er hovedkvadratroden af c c = c i Løsningerne til ligningen x 2 + c = 0 er da ± c. Løsningerne til andengradsligningen ax 2 + bx + c = 0 er da x = b ± b 2 4ac 2a Ligningen x 2 + x + 1 = 0 har løsninger x = 1 ± = 1 ± 3 2 = 1 ± 3i 2 Calculus Uge
35 Populære koordinater [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem i planen består af et punkt polen O og en halvlinje polæraksen ud fra polen. Et vilkårligt punkt P er nu bestemt ved et talpar (r,θ). θ er vinklen mellem polæraksen og linjen OP målt med fortegn mod urets retning. r er afstanden fra O til P regnet med fortegn mht. den valgte polærakse. r P O 1 θ Calculus Uge
36 Pol og sigtelinje [S] Appendix H.1 Polar coordinates Definition Et polært koordinatsystem bestemmer et kartesisk koordinatsystem. Polen og punktet med polære koordinater (1, 0) bestemmer x-aksen og polen og punktet med polære koordinater (1, π ) bestemmer y-aksen. 2 y P(r cos(θ), r sin(θ)) 1 r O 1 θ x Calculus Uge
37 Polær-kartesisk ordbog [S] Appendix H.1 Polar coordinates Sætning Givet et polœrt og tilhørende kartesiske koordinatsystem. Et punkt med polœre koordinater (r,θ) har kartesiske koordinater 1 x = r cos(θ), y = r sin(θ) Et punkt med kartesiske koordinater (x,y), x > 0 har polœre koordinater 2 r = x 2 + y 2, θ = tan 1 ( y x ) Calculus Uge
38 Kompleks polarform Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrykt i polære koordinater kaldes polarformen. z = a + bi = r(cosθ + i sin θ) Calculus Uge
39 Kompleks polarform Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrykt i polære koordinater z = a + bi = r(cosθ + i sin θ) kaldes polarformen. Hvis a 0 r = z = a 2 + b 2, tan θ = b a Vinklen θ = arg z kaldes argumentet, bestemt pånær 2pπ. Calculus Uge
40 Kompleks polarform Definition Et kompleks tal z = a + bi udtrykt i polære koordinater z = a + bi = r(cosθ + i sin θ) kaldes polarformen. Hvis a 0 r = z = a 2 + b 2, tan θ = b a Vinklen θ = arg z kaldes argumentet, bestemt pånær 2pπ. Im bi a+bi r i θ 0 1 a Re Calculus Uge
41 Kompleks polarform Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = 1 + i på polarform. Calculus Uge
42 Kompleks polarform Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = 1 + i på polarform. Løsning r = z = = 2 tan θ = 1 1 = 1 Vinklen vælges θ = π/4 og polarformen er z = r(cosθ + i sin θ) = 2(cos π 4 + i sin π 4 ) Calculus Uge
43 Kompleks polarform Eksempel 4 Skriv det komplekse tal z = 1 + i på polarform. Løsning r = z = = 2 tan θ = 1 1 = 1 Vinklen vælges θ = π/4 og polarformen er z = r(cosθ + i sin θ) = 2(cos π 4 + i sin π 4 ) Im i 2 1+i π Re Calculus Uge
44 Multiplikation på polarform Sætning Multiplikation i C kan udtrykkes ved additionsformlerne. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) gœlder 1 z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] Calculus Uge
45 Multiplikation på polarform Sætning Multiplikation i C kan udtrykkes ved additionsformlerne. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) gœlder 1 z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )] Så for komplekse tal z 1,z 2 er z 1 z 2 = z 1 z 2 arg(z 1 z 2 ) = arg z 1 + arg z 2 Calculus Uge
46 Multiplikation på polarform Figur - multiplikation z 1 z 2 Im z 1 z 2 θ 1 θ 2 θ 1 + θ 2 Re Calculus Uge
47 Division på polarform Sætning - udvidelse Division i C kan udtrykkes på polarform. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) 0 gœlder z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )] Calculus Uge
48 Division på polarform Sætning - udvidelse Division i C kan udtrykkes på polarform. For z 1 = r 1 (cosθ 1 + i sin θ 1 ), z 2 = r 2 (cosθ 2 + i sin θ 2 ) 0 gœlder z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )] Så for komplekse tal z 1,z 2 0 er z 1 = z 1 z 2 z 2 arg( z 1 z 2 ) = arg z 1 arg z 2 Calculus Uge
49 Potens på polarform 2 Sætning - De Moivre Hvis z = r(cos θ + i sin θ) og n et positivt helt tal, så gœlder z n = [r(cosθ + i sin θ)] n = r n (cosnθ + i sin nθ) Calculus Uge
50 Potens på polarform 2 Sætning - De Moivre Hvis z = r(cos θ + i sin θ) og n et positivt helt tal, så gœlder z n = [r(cosθ + i sin θ)] n = r n (cosnθ + i sin nθ) n-te potens af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te potens af modulus og n gange argument. z n = z n arg(z n ) = n arg z Calculus Uge
51 Potens på polarform Eksempel 6 ( 1 Find ) 10 2 i. Calculus Uge
52 Potens på polarform Eksempel 6 ( 1 Find ) 10 2 i. Løsning så z = i = 1 2 2(cos π 4 + i sin π 4 ) z 10 = ( 2 2 ) 10 (cos 10 π 4 + i sin 10π 4 ) = (cos 5π 2 + i sin 5π 2 ) = 1 32 i Calculus Uge
53 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = (2 cos π + 2i sin π) 2 er: (a) z = 2. (b) z = 4. (c) z = 4. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Calculus Uge
54 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = (2 cos π + 2i sin π) 2 er: (a) z = 2. (b) z = 4. (c) z = 4. Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning (2 cosπ + 2i sin π) 2 = (2(cosπ + i sin π)) 2 = 2 2 (cos 2π + i sin 2π) = 4 Calculus Uge
55 Test komplekse tal Test Det komplekse tal z = (2 cos π + 2i sin π) 2 er: (a) z = 2. (b) z = 4. (c) z = 4. Løsning Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) (2 cosπ + 2i sin π) 2 = (2(cosπ + i sin π)) 2 = 2 2 (cos 2π + i sin 2π) = 4 Calculus Uge
56 Rod på polarform 3 Sætning - Rod af kompleks tal Hvis z = r(cosθ + i sin θ) 0 og n et positivt helt tal, så har z de n forskellige n-te rødder (w n k = z) ( ) ( )] θ + 2kπ θ + 2kπ w k = r [cos 1/n + i sin n n hvor k = 0, 1,...,n 1. Calculus Uge
57 Rod på polarform 3 Sætning - Rod af kompleks tal Hvis z = r(cosθ + i sin θ) 0 og n et positivt helt tal, så har z de n forskellige n-te rødder (w n k = z) ( ) ( )] θ + 2kπ θ + 2kπ w k = r [cos 1/n + i sin n n hvor k = 0, 1,...,n 1. n-te rødder af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te rod af modulus og n-te del af alle argumenter. z 1/n = z 1/n arg(z 1/n ) = arg z + 2kπ n Calculus Uge
58 Kvadratrod på polarform Figur - kvadratrod Im z i θ 1 θ 2 z Re Calculus Uge
59 Rod på polarform Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Calculus Uge
60 Rod på polarform Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Løsning z = 8(cosπ + i sin π) så ( ) ( )] π + 2kπ π + 2kπ w k = 8 [cos 1/6 + i sin 6 6 hvor k = 0, 1,..., 5. Calculus Uge
61 Rod på polarform Eksempel 7 Find 6-te rødder af 8. Løsning z = 8(cosπ + i sin π) så ( ) ( )] π + 2kπ π + 2kπ w k = 8 [cos 1/6 + i sin 6 6 hvor k = 0, 1,..., 5. For eksempel w 0 = 2 [ ( π cos 6) ( π + i sin 6)] = 2 ( ) i Calculus Uge
62 Algebraens fundamentalsætning Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen x n z = 0 har n rødder w 0,w 1,...,w n 1. Calculus Uge
63 Algebraens fundamentalsætning Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen x n z = 0 har n rødder w 0,w 1,...,w n 1. Sætning - Algebraens fundamentalsætning Enhver polynomiumsligning a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 af grad mindst én har en rod i de komplekse tal. Calculus Uge
64 Algebraens fundamentalsætning Eksempel Sætningen om rødder giver, at ligningen x n z = 0 har n rødder w 0,w 1,...,w n 1. Sætning - Algebraens fundamentalsætning Enhver polynomiumsligning a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 af grad mindst én har en rod i de komplekse tal. Algebraens fundamentalsætning blev vist af Gauss. Calculus Uge
65 Kompleks eksponentialfunktion Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi, 7 e z = e x+yi = e x (cosy + i sin y) Calculus Uge
66 Kompleks eksponentialfunktion Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi, 7 e z = e x+yi = e x (cosy + i sin y) Et specialtilfælde kaldes Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y Calculus Uge
67 Kompleks eksponentialfunktion Definition Den komplekse eksponentialfunktion er givet ved, z = x + yi, 7 e z = e x+yi = e x (cosy + i sin y) Et specialtilfælde kaldes Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y Eksponentialfunktionen opfylder den sædvanlige regneregel 5 e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 Calculus Uge
68 Kompleks eksponentialfunktion Figur - eksponentialfunktion Im e x+yi e x 0 y Re Calculus Uge
69 Kompleks eksponentialfunktion Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e 1+iπ/2 Calculus Uge
70 Kompleks eksponentialfunktion Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e 1+iπ/2 Løsning (a) e iπ = cos π + i sin π = 1 Calculus Uge
71 Kompleks eksponentialfunktion Eksempel 8 Beregn: (a) e iπ (b) e 1+iπ/2 Løsning (a) e iπ = cos π + i sin π = 1 (b) ( e 1+iπ/2 = e 1 cos π 2 + i sin π ) 2 = i e Calculus Uge
72 Kompleks logaritmefunktion Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cosθ + i sin θ) 0, log z = ln r + iθ Calculus Uge
73 Kompleks logaritmefunktion Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cosθ + i sin θ) 0, log z = ln r + iθ Kan skrives log z = ln z + i arg z Calculus Uge
74 Kompleks logaritmefunktion Definition Den komplekse logatitmefunktion er bestemt pånær 2kπ og givet ved, z = r(cosθ + i sin θ) 0, log z = ln r + iθ Kan skrives Der gælder log z = ln z + i arg z e log z = z, log e z = z + 2kπi og log z 1 z 2 = log z 1 + log z 2 + 2kπi Calculus Uge
75 Komplekse trigonometriske funktioner Eksempel Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y giver cos y = eiy + e iy 2, siny = eiy e iy 2i Calculus Uge
76 Komplekse trigonometriske funktioner Eksempel Eulers formel 6 e iy = cosy + i sin y giver cos y = eiy + e iy, siny = eiy e iy 2 2i Definition De komplekse trigonometriske funktioner defineres ved cosz = eiz + e iz 2, sinz = eiz e iz 2i Calculus Uge
77 Komplekse trigonometriske funktioner Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfyldte cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cosz 2 sinz 1 sin z 2 sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cosz 2 + cos z 1 sin z 2 Calculus Uge
78 Komplekse trigonometriske funktioner Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfyldte cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cosz 2 sinz 1 sin z 2 sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cosz 2 + cos z 1 sin z 2 Der er inverse funktioner. For w = cos z er z = arccosw = 1 i log(w ± w 2 1) Calculus Uge
79 Komplekse trigonometriske funktioner Definition - fortsat De trigonometriske additionsformler er opfyldte cos(z 1 + z 2 ) = cos z 1 cosz 2 sinz 1 sin z 2 sin(z 1 + z 2 ) = sin z 1 cosz 2 + cos z 1 sin z 2 Der er inverse funktioner. For w = cos z er z = arccosw = 1 i log(w ± w 2 1) Tilsvarende for w = sin z er z = arcsin w = 1 i log(wi ± 1 w 2 ) Calculus Uge
MM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 37, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm 2009 bearbejdet af Jessica Carter 2010 1 Hvad er et komplekst tal? Hvordan regner man med komplekse tal? Man kan betragte udvidelsen
Komplekse tal og rækker
Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver
DesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1
![Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1](/thumbs/62/47252518.jpg "Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1")
Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning
enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller
Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse
Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal Mike Auerbach Odense 2012 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner Inden der siges noget om komplekse tal, vil der i dette afsnit blive gennemgået en smule teori om trigonometriske funktioner.
Komplekse tal. Mike Auerbach. Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015
Komplekse tal Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium, Odense 2015 Indhold 1 Vinkelmål og trigonometriske funktioner 2 1.1 Radianer................................................ 2 1.2 Cosinus og sinus som
Komplekse tal. enote Indledning
enote 1 1 enote 1 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Komplekse tal. Jan Scholtyßek 29.04.2009
Komplekse tal Jan Scholtyßek 29.04.2009 1 Grundlag Underlige begreber er det, der opstår i matematikken. Blandt andet komplekse tal. Hvad for fanden er det? Lyder...komplekst. Men bare roligt. Så komplekst
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Noter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. I. De komplekse tals historie. Historien om 3. grads ligningerne
De komplekse tals historie side 1 Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave I. De komplekse tals historie Historien om 3. grads ligningerne x 3 + a x = b, x 3 + a x 2 = b, - Abraham bar Hiyya Ha-Nasi,
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Komplekse tal. Preben Alsholm Juli 2006
Komplekse tal Preben Alsholm Juli 006 Talmængder og regneregler for tal. Talmængder Indenfor matematikken optræder der forskellige klasser af tal: Naturlige tal. N er mængden af naturlige tal, ; ; 3; 4;
Komplekse Tal. Frank Villa. 22. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 22. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Kursusnoter til BasisMat
Kursusnoter til BasisMat Peter Beelen Søren Thomsen Peter Nørtoft Morten Brøns Im z=re iα z =r arg(z)=α Re e iπ + 1 = 0 INSTITUT FOR MATEMATIK OG COMPUTER SCIENCE DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET 2016 Indhold
Komplekse Tal. Frank Villa. 15. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Komplekse Tal. Frank Nasser. 15. april 2011
Komplekse Tal Frank Nasser 15. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Komplekse Tal. Frank Villa. 20. februar 2013
Komplekse Tal Frank Villa 20. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs10-matn/a-108010 Torsdag den 1. august 010 kl. 09.00-14.00 Forberedelsesmateriale Prøvesæt
Lektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Komplekse tal og polynomier
Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med
Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk
matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan findes her. PDF. Henrik S. Hansen, version 3.
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Opgaver til noterne kan findes her. PDF Facit til opgaverne kan findes her. PDF Henrik S. Hansen, version 3.1 0 Indhold Tallenes udvikling... 1 Tallenes udvikling...
z + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik 1 Semesteruge 5 6 (1. oktober - 12. oktober 2001) side 1 Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Nøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Kompendie Komplekse tal
Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske
Oversigt [LA] 3, 4, 5
![Oversigt [LA] 3, 4, 5](/thumbs/55/37584246.jpg "Oversigt [LA] 3, 4, 5")
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/70/62452762.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Polynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Matematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
π can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Grundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Polynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af
Matematik F2 Opgavesæt 1
Opgaer uge 1 I denne uge er temaet komplekse tal og komplekse funktioner af en kompleks ariabel. De første opgaer skulle gerne øge jeres fortrolighed med komplekse tal. I kan med fordel repetere de basale
Definition Ved et kompleks tal forstås et udtryk. Eksempel
Ovesgt [S] App. I, App. H. Komplekse tal Nøgleod og begebe Komplekse tal Test komplekse tal Polæe koodate Kompleks polafom De Moves sætg Test komplekse tal Komplekse ødde Kompleks ekspoetalfukto Ved et
MATEMATIK 1A MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1
MATEMATISK ANALYSE 12. november 2009 Oversigt nr. 1 På hold 3 fortsætter vi med integration i flere variable i uge 47. Man kan med fordel repetere kapitel 13.4 og 13.5 og deri regne sandt/falsk opgaverne
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL. Henrik S. Hansen, version 1.5
SCT. KNUDS GYMNASIUM KOMPLEKSE TAL Henrik S. Hansen, version 1.5 Indhold Tallenes udvikling... 2 De naturlige tal... 2 De hele tal... 2 De rationale tal... 3 De reelle tal... 3 De komplekse tal... 4 Indledning...
t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik 1 Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse
SØREN L. BUHL KOMPLEKSE TAL M. M. Matematik Den teknisk naturvidenskabelige Basisuddannelse Afdeling for Matematik og Datalogi Institut for Elektroniske Systemer Aalborg Universitetscenter MCMXCII Indhold
Komplekse tal. enote 29. 29.1 Indledning
enote 29 1 enote 29 Komplekse tal I denne enote introduceres og undersøges talmængden C, de komplekse tal. Da C betragtes som en udvidelse af R, forudsætter enoten almindeligt kendskab til de reelle tal,
Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 217 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Analyse 1. Matthias Christandl
Analyse 1 Matthias Christandl Marts 2019 ii Forord Følger af tal kan opføre sig på mange forskellige måder, bare tænk på talfølgerne som går mod uendelig, som konvergerer mod nul, og 1, 2, 3, 4, 5,...,
KOMPLEKS ANALYSE. noter til matematik beta H.A. NIELSEN
KOMPLEKS ANALYSE noter til matematik beta H.A. NIELSEN institut for matematiske fag aarhus universitet 23 KOMPLEKS ANALYSE H.A. NIELSEN Indhold. Komplekse tal 2 2. Elementære funktioner 3. Holomorfe funktioner
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/74/70906933.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig
Analyse : Eulers formel Sebastian rsted 9. maj 015 Idenne note giver vi et eksempel på, hvorledes det er vigtigt at holde sig for øje, hvor de matematiske resultater kommer fra, og hvad de baseres på;
De Komplekse Tal. Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011. God made the natural numbers; all else is the work of man.
De Komplekse Tal Johan Martens og Jens-Jakob Kratmann Nissen 27/8-2011 1 Tal God made the natural numbers; all else is the work of man. Kronecker Det er ikke meningen, at vi skal dykke ned i teologien
Svar på opgave 336 (Januar 2017)
Svar på opgave 6 (Januar 07) Opgave: De komplekse tal a, b og c opfylder ligningssystemet Vis, at a, b og c er reelle. (a + b)(a + c) = b (b + c)(b + a) = c (c + a)(c + b) = a. Besvarelse:. metode Lad
Grundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5., 5.3, 5.4,.,. Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 6 Uge 39.
Analyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
DesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2018 Rybners
Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Matematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Studieretningsprojekt 2013/14 Elevens navn: Helena Clara Eiken Klasse: 3x 08
Frederiksborg Gymnasium og HF Studieretningsprojekt 2013/14 Elevens navn: Helena Clara Eiken Klasse: 3x 08 Fag: Vejleder: Studieretningsfag på A-niveau MA GS Gert Schomacker Fag på mindst B-niveau FY GS
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2008-juni 2011 Institution Sukkertoppen/Københavns tekniske skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e)
ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER
EE Basis, foråret 2009 ELEKTRISKE KREDSLØB OG DYNAMISKE SYSTEMER Jan H. Mikkelsen EKDS6, F09 1 Emner for idag Komplekse tal sådan helt fra bunden DefiniHoner og regneregler Lidt flere definihoner og lidt
Oversigt [LA] 11, 12, 13
![Oversigt [LA] 11, 12, 13](/thumbs/62/46643337.jpg "Oversigt [LA] 11, 12, 13")
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 2002, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed Calculus
Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Test grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komlekse eksonentialfunktion og olynomie Peben Alsholm Uge 8 Foå 009 Den komlekse eksonentialfunktion. Definitionen Definitionen Den velkendte eksonentialfunktion x! e x vil vi ofte ligesom
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
![Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3](/thumbs/52/30090298.jpg "Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3")
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Definition. og lœngden, normen. og afstanden mellem vektorer a og b. Der gælder
Oversigt [LA] 11, 1, 13 Prikprodukt Nøgleord og begreber Ortogonalitet Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Pythagoras formel Kortest afstand August 00, opgave 6 Cauchy-Schwarz ulighed
To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Værktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Værktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Matematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
![Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3](/thumbs/91/105982264.jpg "Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3")
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Eksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.
17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter
Vektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: Projekt Trigonometri
VUC Vestsjælland Syd, Slagelse Nr. 1 Institution: 333247 2015 Anders Jørgensen, Mark Kddafi, David Jensen, Kourosh Abady og Nikolaj Eriksen 1. Indledning I dette projekt, vil man kunne se definitioner
MM501 forelæsningsslides
MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele
Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt
Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26