Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Transkript

1 Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens os A os A Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Niels Mrk Agrd

2 Indholdsfortegnelse for H1: Undervisningens indhold... 3 Treknter... 4 Ligednnede treknter... 4 Enhedsirkel... 5 Trigonomiske funktioner... 6 Sinusreltion... 7 Cosinusreltion... 9 Trigonometri former for vilkårlige treknter Egne notter Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 2 f 12

3 Undervisningens indhold Formålet med mtemtik på 1. hovedforlø er t du opnår kendsk til følgende mtemtiske emner: F, E og D-niveu Kendsk til egreerne ensvinklede treknter og ligednnede treknter. Kendsk til enhedsirklen som mtemtisk forklringsmodel. Kendsk til definitionerne sinus, osinus og tngens. Blive i stnd til t nvende trigonometri for t finde længder og vinkler i retvinklede treknter. Blive i stnd til t løse tømrerfglige prolemstillinger ved hjælp f trigonometri. E og D-niveu. * Få kendsk til sinusreltion og osinusreltion. * Være i stnd til t eregne sider og vinkler i vilkårlige treknter. Kompendiet hentes på Gem det som minimum på dit H-drev eller på din egen omputer. Du kn med fordel skrive et eksemplr ud til rug i undervisningen. Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 3 f 12

4 Treknter En treknt er en polygon, estående f tre rette linier. Treknter deles op i to hovedgrupper: - Retvinklede treknter - Vilkårlige treknter. B Vinklerne i en treknt enævnes med store ogstver. Siderne enævnes med små ogstver. En vinkels modstående side enævnes med smme ogstv som vinklen. I en retvinklet treknt enævnes den rette vinkel C. Ved nvngivning f vinkler følge lfetet uret rundt. A C Ligednnede treknter To treknter der hr smme vinkler (ensvinklede), er også ligednnede treknter. Det vil sige t forholdet mellem de to treknters sider er ens. D B A C E AB 67 AC 60 AD 112 AE AC AE AB AD Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 4 f 12

5 Enhedsirkel I et retvinklet koordintsystem tegnes en irkel med entrum i skæringspunktet mellem x-ksen og y-ksen (0, 0). Cirklen hr en rdius på 1. Cirklen skærer kserne i punkterne (1, 0), (0, 1), (-1, 0) og (0, -1) Denne irkel kldes enhedsirklen. y 1 sinus tngens v osinus -1 1 x -1 Ud over irklen tegnes en linie der netop rører irkelperiferien (tngenten). Tngenten er vinkelret på x-ksen og rmmer ksen i (1, 0). En vinkel dnnes i enhedsirklen ved t trække en linie fr (0, 0). Denne linie dnner venstre vinkelen i vinkel (v), hvor x-ksen dnner højre vinkelen. Hvor venstre vinkelen rmmer irkelperiferien, nedfældes en linie vinkelret på x-ksen. Længden f denne linie kldes sinus (sin). Cosinus (os) er fstnden fr (0, 0) til det punkt, hvor sinus rmmer x-ksen. Hvor venstre vinkelen rmmer tngenten, nedfældes en linie vinkelret på x-ksen. Længden f denne linie kldes tngens (tn). Det vil sige t sinus, osinus og tngens til enhver tid er fhængig f vinkelen (v). D sinus og osinus er undet til irkelperiferien kn de ldrig live størrer end 1 og mindre -1 D tngens er undet til tngenten, der er en uendelig lng linie, vil tngen gå fr minus uendelig til plus uendelig. Sin [-1, 1] os [-1, 1] tn ]-, [ ortset fr 90 og 270 Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 5 f 12

6 Trigonomiske funktioner. I fsnittet om ligednnede treknter så vi t der i en retvinklet treknt gælder følgende forhold, og og fhænger f vinkel A. B A C D størrelsen på vinkel A (det smme gælder for vinkel B) er estemmende for længden f siderne, og, vil forholdet mellem /, / og / selvsgt ændre sig i tkt med vinklen. Der gælder ltså t: til enhver størrelse f vinkel A svrer én og kun én værdi f de tre forhold. Dette forhold er funktionen til vinkel A. Eksempel Vinkel 60 : / 0,866, / 0,5, / 1,732 Vinkel 20 : / 0342, / 0,94, / 0,364 Ved t kole vores viden om de ligednnede treknter og egreerne fr enhedsirklen finder vi frem til følgende forhold Ved sin(a) forstås forholdet Ved os(a) forstås forholdet Ved tn(a) forstås forholdet I en retvinklet treknt for vi følgende udtryk, der gælder redt unset hvordn treknten nvngives. Sin (v) længden f den modstående ktete længden f hypotenusen os (v) længden f den hosliggende ktete længden f hypotenusen tn (v) længden f den modstående ktete længden f den hosliggende ktete Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 6 f 12

7 Sinusreltion Ud over de uendelig mnge retvinklede treknter der findes, er der også uendelig mnge vilkårlige treknter. En vilkårlig treknt kn åde være stumpvinklet og spidsvinklet. Det der er fgørende er t ingen f vinklerne er 90. I de vilkårlige treknter gælder funktionerne fr de retvinklede treknter (sin(v) /) ikke. Vi må derfor udlede nogle regneregler der gælder i vilkårlige treknter. Til eregning f vinkler og sider i vilkårlige treknter skl vi ruge Sinusreltionen og osinusreltionen. For t udlede formler for de vilkårlige treknter, vil vi enytte vores viden om de retvinklede treknter. Vi vil derfor i den vilkårlige treknt fremskffe to retvinklede treknter, ved t indtegne én f højderne i nedenstående treknt. Højden står jo som ekendt vinkelret på grundlinien og udgår fr modstående vinkel. B h A D C D vi nu hr to retvinklede treknter kn vi etrgte dem hver især ud for vores viden om retvinklede treknter. Højden h er fælles for de to retvinklede treknter og vi vil ruge den som en slgs fællesnævner for de to retvinklede treknter. I treknt ABD, der er retvinklet, hr vi fr den oprindelige vilkårlige treknt vinkel A smt siden. Vi enytter os derfor f Sin (v) længden f den modstående ktete > Sin (A) h længden f hypotenusen Dette kn vi omskrive til h sin (A) Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 7 f 12

8 I det treknt BCD, der ligeledes er retvinklet, hr vi fr den oprindelige vilkårlige treknt vinkel C smt siden. Vi enytter os derfor f Sin (v) længden f den modstående ktete > Sin (C) h længden f hypotenusen Dette kn vi omskrive til h sin (C). Af de to opstillinger kn vi se t h er lig med sin (A), men t h også er lig med sin (C), hvorf vi slutter t: sin (C) sin (A) Denne ligning kn omskrives til sin (A) sin (C) Dett4e er ltså den ligning, der fremkommer ved t nvende højden til B. Ved t etrgte ligningen kn vi se, t der fremkommer en ligning der gælder for den oprindelige vilkårlige treknt, og t vinklen som højden udgik fr ikke er indeholdt i ligningen. Vi kunne dog lige så godt hve nvendt højderne til A eller C. Ved ogstv-omytning kn vi se, t der fremkommer to nye ligninger: sin (A) sin (B) sin (B) sin (C) Disse tre ligninger kn sættes smmen til sinusreltionen: sin (A) sin (B) sin (C) Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 8 f 12

9 Cosinusreltion. Sinusreltionen kn ikke nvendes til t løse lle eregninger i vilkårlige treknter. Vi må derfor hve et redsk mere osinusreltionen. For t opygge osinusreltionen nvender vi igen vores viden om retvinklede treknter smt phytgurs. Lige som ved sinusreltionen ruger vi en spidsvinklet treknt til t udlede formlen, men en stumpvinklet treknt ville føre frem til smme resultt. B h A D C I følge Phytgurs får vi. h 2 + AD 2 2 h AD 2 og h 2 + CD 2 2 h CD 2 Vi ser igen t h 2 er lig med åde 2 - AD 2 og 2 - CD 2, og kn derfor skrive: 2 - AD CD 2 Dette omskrives til DC 2 - AD 2 Ved t etrgte den oprindelige treknt kn vi se t DC AD. Når vi indsætter denne størrelse i stedet for, fås: ( AD) 2 - AD AD 2 2 AD - AD AD ( + ) ± 2 (idet +AD 2 og AD 2 ophæver hinnden) Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 9 f 12

10 Af treknt ABD ses, t AD Cos A, hvilket kn omskrives til Cos A AD Ved indsættelse i AD, fås os A enævnt osinusreltion. På tilsvrende vis kn der udledes udtryk, der tger udgngspunkt i højderne til A og C, hvilket ville give tilsvrende formler: os A os B os C Vi hr således fået skt et redsk til eregning f en ukendt side I treknt ABC, når vi kender de to øvrige siders længde smt osines til den modstående vinkel. Ved en omskrivning f de tre ovenstående formler fås tre nye formler, der nvendes til eregning f vinkler i treknt ABC. Her vises lot ligningen til eregning f vinkel A os A os A os A os A Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 10 f 12

11 Trigonometri former for vilkårlige treknter. Sinusreltion: B sin (A) 2R sin (B) sin (C) R sin (A) sin (B) A C sin (B) sin (C) sin (A) sin (C) ********************************* Cosinusreltion: os A os B os C os A os B os C *********************************** Arelformler: A ½ sin C Herons formel: A ½ sin B A s (s ) (s ) (s ) A ½ sin A s Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 11 f 12

12 Egne notter Svendorg Erhvervsskole Tømrerfdelingen Mtemtik Niels Mrk Agrd Side 12 f 12