Funktioner. Frank Villa. 23. januar 2014

Transkript

1 Funktioner Frank Villa 23. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk IT Teaching Tools. ISBN-13: Se yderligere betingelser for brug her.

2 Indhold 1 Introduktion 1 2 Funktioner generelt Indledende eksempler Den rigtige definition Definitionsmængde Bemærkninger En test af forståelsen Terminologi og eksempler Ord, forkortelser og symboler Funktionsværdier Traditionel dovenskab Bestemmelse af definitionsmængden Gaffelforskrifter De trigonometriske grundfunktioner Grafer Bemærkninger og eksempler Grafer for de trigonometriske funktioner Graftegning v.h.a. IT-værktøj Grafisk overblik over ligninger og uligheder Grafkending Regneoperationer på funktioner Addition, subtraktion, multiplikation og division Sammensætning Om at læse et sammensat funktionsudtryk

3 Resumé I dette afsnit indfører vi funktionsbegrebet for alvor og sætter noget af den terminologi som knytter sig dertil på plads. 1 Introduktion I dette dokument skal vi se på funktionsbegrebet for første gang eller i virkeligheden er det ikke for første gang overhovedet. Faktisk har al den matematik du har lært indtil nu kredset omkring funktionsbegrebet på den ene eller den anden måde: Regneoperationer og deres regneregler skal bruges til at definere vores funktioner. Sinus, cosinus og tangens er eksempler på funktioner (de kaldes de trigonometriske grundfunktioner). Løsning af ligninger er et værktøj som skal bruges hele tiden i arbejdet med funktioner. Modelleringsprocessen handler om at vælge den funktion som bedst beskriver sammenhængen mellem to fysiske størrelser. Og store dele af den analytiske geometri handler i virkeligheden om at tegne såkaldte grafer for funktioner. Der kræves ikke så mange forudsætninger for at forstå dette dokument udover at man ved hvad en mængde er og at man klare at tænke på og tale om et abstrakt begreb. Når vi skal snakke om grafer, vil det desuden være en god ide at have sin analytiske geometri fremme i hukommelsen. Til gengæld vil du sikkert opdage at alt hvad du har lært indtil nu vil blive mere overskueligt og hænge sammen på nye måder. Derfor vil du sikkert få en uimodståelig trang til at repetere nogle af de tidligere emner undervejs. side 1

4 2 Funktioner generelt 2.1 Indledende eksempler Hvad er en funktion? Svaret på dette spørgsmål er temmeligt indviklet, og det skal det være, fordi funktionsbegrebet er et meget abstrakt 1 begreb meget mere abstrakt end f.eks. talbegrebet. Meget løst sagt dækker funktionsbegrebet over det fænomen at talstørrelser nogle gange afhænger af hinanden: Hvis man kender den ene størrelse, kan man regne ud hvad den anden nødvendigvis må være, og hvis man ændrer den ene størrelse, så ændrer den anden sig automatisk. Eksempel 1. Lufttrykket og temperaturen i en lukket beholder er et godt eksempel på størrelser som er funktioner af hinanden. Idealgasloven siger at: pv = nrt hvor p er trykket, V er beholderens rumfang, n er et udtryk for hvor mange luftmolekyler beholderen indeholder, R er en naturkonstant og T er temperaturen. Hvis beholderen er lukket, er V, n og R konstante. Ved at omskrive ligningen til: p = nrt V ser vi at p kan bestemmes lige så snart T er kendt, og hvis T ændrer sig, vil p automatisk ændre sig også. Man siger at p er en funktion af T. Man kan også vende eksemplet på hovedet og isolere T i ligningen ovenfor: T = pv nr 1 Ordet abstrakt betyder det modsatte af ordet konkret. En lygtepæl er f.eks. et konkret begreb, mens glæde er et temmeligt abstrakt begreb. side 2

5 Dermed ser man at T også er en funktion af p. Denne sammenhæng er dog lidt ufysisk, da man ikke umiddelbart kan manipulere trykket i en lukket beholder direkte (undtagen ved at varme beholderen op). Desuden er det langtfra altid tilfældet at en funktion kan vendes om på denne måde. Det skal vi se nogle eksempler på senere. 2.2 Den rigtige definition Ovenstående betragtninger er langtfra præcise nok til at være en rigtig definition. I stedet laver vi følgende, meget mere abstrakte definition: Definition 2. En funktion er et matematisk objekt, som består af to mængder (kaldet funktionens primærmængde og sekundærmængde) samt en veldefineret regel som beskriver hvordan elementer i primærmængden kan laves om til elementer i sekundærmængden. At reglen skal være veldefineret vil sige at hvis to forskellige personer læser reglen, og begge personerne starter med det samme element i primærmængden, så vil de altid lave det om til det samme element i sekundærmængden når de følger reglen. Bemærkning Bemærk at en funktion består af hele tre ting på en gang! For at minde sig selv om dette, er det en god ide at have det abstrakte billede på figur 1 inde i hovedet hver gang man taler om en funktion. 2.3 Definitionsmængde Det er ikke nødvendigt at reglen skal give mening for alle elementer i primærmængden. Faktisk er det fuldt ud tilladt at angive en funktionsregel samtidigt med at man oplyser hvilke hvilke elementer i primærmængden den gælder for. side 3

6 Primærmængde Sekundærmængde Regel Figur 1: Et abstrakt billede af en funktion Mængden af de elementer i primærmængden som funktionsreglen gælder for kaldes definitionsmængden. Det er fordi den består af de elementer, hvori funktionen siges at være defineret. Hvis man indtegner definitionsmængden på det indre billede af en funktion, ser det ud som på figur 2. Når man skal lave en funktion skal man altså oplyse følgende (i den nævnte rækkefølge): 1. Primærmængden og Sekundærmængden. 2. Definitionsmængden altså de elementer i primærmængden hvor funktionsreglen skal gælde. 3. Funktionsreglen som til hvert eneste element i definitionsmængden knytter præcis et veldefineret element i sekundærmængden. Man kan med fordel tænke på en funktion som en slags fabrik: Primærmængden er et stort rum, fyldt med hel en masse ting. Sekundærmængden er et andet stort rum med hylder til de færdige produkter. side 4

7 Primærmængde Sekundærmængde Definitionsmængde Regel Figur 2: Et abstrakt billede af en funktion Definitionsmængden består at de ting fra det første rum som rent faktisk må bruges i produktionen. Funktionsreglen er en stor, larmende maskine som er placeret mellem de to rum: Man propper ting fra primærmængden (men naturligvis kun dem som er med i definitionsmængden) ind i maskinen, og så producerer den elementer i sekundærmængden. Eksempel 3. I eksempel 1 om idealgasloven kan man betragte mængden af alle tænkelige temperaturer som primærmængde og mængden af alle tænkelige værdier af trykket som sekundærmængde. Dermed giver den første omskrivning af idealgasloven en regel for hvordan en given værdi af temperaturen bestemmer en værdi af trykket. Definitionsmængden kunne i dette tilfælde være en yderligere oplysning om at temperaturen skulle holdes inden for rimelighedens grænser. (Man kunne let forestille sig at vores regel holdt op med at virke i det øjeblik at gassen enten blev flydende (ved meget lave temperaturer) side 5

8 eller beholderen sprang i luften (ved meget høje temperaturer). Man kan dog også bytte om på de to mængder og bruge den anden omskrivning som regel. Dette svarer til at vende pilen på figur 1 om. Her er et andet eksempel på en funktion: Øvelse 4. Forestil dig mængden af alle naturlige tal. Et hvilket som helst af disse kan fordobles, hvilket giver et (lige) naturligt tal. Det at fordoble, kan altså betragtes som en funktion hvor både primærmængden, sekundærmængden og definitionsmængden består af alle de naturlige tal. Lav en abstrakt tegning i stil med figur 2 af denne funktion, idet du indtegner nogle konkrete elementer i definitionsmængden og deres funktionsværdier i sekundærmængden. 2.4 Bemærkninger Man skal passe godt på ikke at læse mere i definitionen end der står. En funktion behøver f.eks. ikke at ramme alle elementerne i sekundærmængden. I eksemplet fra opgave 4 rammer man f.eks. aldrig et ulige tal i sekundærmængden. Det kan også nemt forekomme at to forskellige elementer i definitionsmængden bliver til det samme element i sekundærmængden når man sender dem igennem funktionen. Det skal vi se nogle eksempler på senere. Her er en god test på om man har forstået hvad en funktion er. Læs følgende eksempel, og hvis det virker som fuldstændig sort snak, så skal du nok læse hele afsnittet en gang til. 2.5 En test af forståelsen En spøjs detalje ved funktionsbegrebet er at funktioner ligesom talstørrelser kan eksistere, men alligevel være ukendte. side 6

9 Hvis vi f.eks. betragter tiden, t (f.eks. målt i sekunder efter 1. januar 1990), og lufttemperaturen i Åkirkeby på Bornholm, T (f.eks. målt i grader Celsius), så er T helt uundgåeligt en funktion af t. Til et hvilket som helst tidspunkt har lufttemperaturen i Åkirkeby nemlig en helt bestemt, veldefineret værdi. 2 Definitionsmængden og primærmængden for denne funktion består af alle tænkelige tidspunkter, og sekundærmængden består af alle tænkelige temperaturer. Desværre er der dog ingen mennesker i verden som kender reglen for denne funktion godt nok til at kunne fortælle præcis hvad lufttemperaturen i Åkirkeby f.eks. vil være om 3 måneder. Problemet er at temperaturen i Åkirkeby hænger sammen med utroligt mange andre størrelser, og man vil (efter al sandsynlighed) aldrig kunne bygge alle disse sammenhænge ind i en simpel formel. Men funktionen eksisterer! Og selvom vi ikke kan kende den fuldstændigt, kan man alligevel sige noget om hvordan den opfører sig i forhold til andre størrelser, der også er (ukendte) funktioner af tiden. 3 Lige præcis den slags sammenhænge mellem ukendte funktioner kan faktisk bruges til at skaffe sig mere information om funktionerne. Især lufttrykket (ikke blot på Bornholm men alle mulige andre steder også) spiller en vigtig rolle for om temperaturen i Åkirkeby stiger eller falder. Videnskaben meteorologi handler groft sagt om at bruge informationer om lufttryk og temperatur lige nu til at give estimater på hvad de vil være i fremtiden. Som nævnt er det meget ofte funktioner af tiden, hvor man kun kender funktionen delvist, idet man kender dens værdi til alle tidspunkter indtil nu, og man ville mægtigt gerne udtale sig om værdierne til senere tidspunkter. (Også kaldet at se ud i fremtiden). Der er dog mange andre eksempler på funktioner som kun er delvist kendte. 2 Faktisk er enhver målbar størrelse automatisk en funktion af tiden, idet man jo (i vores hverdagsopfattelse af virkeligheden) aldrig kan have to forskellige værdier af en målbar størrelse til det samme tidspunkt. Den har nu engang den værdi man kan måle på det pågældende tidspunkt. 3 Sådanne sammenhænge mellem ukendte funktioner udtrykkes ofte ved hjælp af såkaldte differentialligninger. Dem kan du læse mere om her side 7

10 Eksemplet med temperaturen og tiden viser også et andet fænomen, nemlig at temperaturen ganske vist er en funktion af tiden, men at det omvendte ikke er tilfældet: Tiden er ikke en funktion af lufttemperaturen i Åkirkeby, fordi man sagtens kan have den samme temperatur på to forskellige tidspunkter. Derfor kan der umuligt findes en funktion som regner tidspunktet ud alene ved hjælp af temperaturen i Åkirkeby. Spørgsmålet om hvorvidt en funktion kan vendes om eller ej kaldes injektivitet. Det vender vi tilbage til senere. 3 Terminologi og eksempler 3.1 Ord, forkortelser og symboler Når man taler om en funktion, uanset om den er kendt eller ukendt, er det altid klogt at give den et navn. Meget ofte vælger man bogstaverne f, g eller h til at betegne sine funktioner. Hvis man har rigtig mange funktioner på spil, kan man også nummerere dem med et index, f.eks. f 1, f 2, f 3,... Hvis en funktion f.eks. hedder f, så har man ofte brug for at omtale dens definitionsmængde. Dertil bruger man følgende forkortelse: Dm(f) Tilsvarende kan man forkorte primær- og sekundærmængden som P m(f) og Sm(f), men det er meget mere sjældent at man har brug for det. I stedet er det meget almindeligt at skrive: f : A B hvis man vil oplyse at f er en funktion med primærmængde A og sekundærmængde B. Næsten alle vores funktioner vil være af typen: f : R R altså hvor både primærmængden og sekundærmængden er de reelle tal. side 8

11 Når man skal fastlægge en funktion, skal man desuden oplyse funktionens definitionsmængde og dens regel. Dertil kan man bruge den såkaldte elementpil: Det er nemmest at forklare hvordan den bruges ud fra et eksempel: Eksempel 5. Betragt funktionen: f : R R, defineret ved: x x 2 (x R + ) Hvis dette skal læses højt, så læses det som følgende: Betragt funktionen f med primærmængde R og sekundærmængde R, defineret ved at et element x bliver lavet om til x 2 (og definitionsmængden er R + ) Med andre ord: f er den funktion som opløfter positive reelle tal i anden potens a. Når man skal læse hurtigt kan man godt bruge lidt mere sloganagtigt sprog, som f.eks. Betragt f fra R til R som sender x til x 2 for x i de positive reelle tal. a Den vakse læser bemærker at denne funktion sagtens kunne have været defineret i alle reelle tal. Det havde bare været en anden funktion, hvis man havde gjort dette. Bemærkning Læg mærke til at der nøjagtigt lige så godt kunne have stået b b 2. Bogstavet x er bare en pladsholder. Man er jo kun ude på at fortælle hvad funktionen gør ved elementer i dens definitionsmængde. Dertil er det komplet ligegyldigt hvad disse elementer hedder. side 9

12 3.2 Funktionsværdier Hvis man har en funktion, f, og et element x i dens definitionsmængde, så skriver vi det element som f producerer når man tager f på x som: f(x) Udtrykket f(x) læses som f af x eller f taget på x eller f s værdi i x. Eksempel 6. Betragt funktionen f : R R defineret ved: x x 3 (x R) Om denne funktion gælder f.eks. at: (Øv dig i at læse hver information højt, og kontroller at den passer.) Dm(f) = R f(2) = 8 f( 3) = 27 f( 1 2 ) = 1 8 Nogle gange kan man blive forvirret fordi tingene er mere simple end man forventer. Det næste eksempel viser en sådan situation. Eksempel 7. Betragt funktionen f : R R defineret ved: x 1 (x R) Det kan ske at man bliver forvirret, fordi funktionsudtrykket til højre for elementpilen slet ikke indeholder et x. Det skal man dog ikke blive, for der er blot tale om en meget side 10

13 simpel funktion, nemlig en såkaldt konstant funktion, som antager den samme værdi (nemlig 1) uanset hvilket element fra definitionsmængden man propper ind i den. Således er: f(0) = 1 f(1) = 1 f( 1000) = 1 f(π) = 1 Nu kommer der nogle eksempler på funktioner som allerede er blevet nævnt flere gange. Eksempel 8. Betragt funktionen: f : R R defineret ved: x 1 x (x 0) er: Denne funktion er kendt under navnet reciprokfunktionen. F.eks. f(1) = 1 f(2) = 1 2 f( 3 4 ) = 4 3 f( 10000) = 0,0001 Bemærk at reciprokfunktionen er defineret i alle reelle tal, undtagen nul. side 11

14 Eksempel 9. Betragt funktionen: f : R R defineret ved: x Det ikke negative tal, y hvorom der gælder at y 2 = x (x 0) Denne funktion er kendt under navnet kvadratrodsfunktionen. F.eks. er: f(1) = 1 f(4) = 2 f(10000) = 100 f( 1 4 ) = 1 2 Bemærk det velkendte (men meget vigtige) faktum at definitionsmængden kun består af ikke-negative tal. Man kan altså ikke tage kvadratroden til negative tal. Derudover er det værd at nævne at funktionens regel er temmeligt kompliceret. Man er nødt til at give funktionsværdien i x et navn (i dette tilfælde y), før man overhovedet kan forklare hvad den er. Faktisk er kvadratrodsfunktionen en såkaldt invers til funktionen i eksempel 5. Vi skal se mere på inverse funktioner senere. En sidste særlig ting ved kvadratrodsfunktionen er at man har besluttet at give den sit helt eget symbol, sådan at man kan bruge den uden nødvendigvis at skulle kalde den f først. Man skriver f.eks. f(16) = 16 = 4 side 12

15 Eksempel 10. Betragt funktionen: f : R R defineret ved: x ( x) (x R) Denne funktion (kendt under navnet fortegnsskift ) går fra de reelle tal til de reelle tal, og den virker på et element i definitionsmængden ved at skifte fortegn på det. F.eks. er: f(1) = 1 f(0) = 0 f( 17) = 17 En sjov ting ved denne funktion er, at dens funktionsværdier ligger i sekundærmængden, R, som jo også er definitionsmængden. Derfor kan man godt tage f en gang til på f(x) a. Der gælder for ethvert x R at: f(f(x)) = x Også kendt under sloganet minus minus giver plus. a Man kalder det at iterere funktionen, eller at sammensætte den med sig selv. Vi skal se mere til sammensætning af funktioner senere. 3.3 Traditionel dovenskab Eftersom rigtigt mange funktioner (faktisk alle dem vi skal arbejde med det første lange stykke tid 4 ) har de reelle tal som både primærmængde og sekundærmængde, gider man som regel ikke skrive dette. Desuden er der en tradition for at hvis man heller ikke oplyser definitionsmængden, men kun giver et regneudtryk for hvad funktio- 4 Der kommer eksempler på funktioner med andre sekundærmængder. F.eks. når vi skal arbejde med de såkaldte vektorfunktioner. Dem kan du læse om her side 13

16 nen gør ved et givet x, så er det underforstået at definitionsmængden består af alle de reelle tal, hvor regneudtrykket giver mening. Disse to traditioner skriver vi lige op som en definition: Definition 11. Hvis man om en funktion, f, udelukkende oplyser et udtryk for funktionsværdien i et ikke nærmere bestemt element, x, f.eks.: f(x) = x 2 så er det underforstået at der er tale om en funktion med primær og sekundærmængde R, og at dens definitionsmængde er mængden af de reelle tal, x, hvor det givne udtryk for f(x) giver mening. Eksempel 12. Betragt funktionen f givet ved regneudtrykket: f(x) = 1 x 1. Her er det så underforstået at denne funktion har primær og sekundærmængde R og at dens definitionsmængde består af alle de 1 reelle tal, x, hvor regneudtrykket giver mening. Eftersom man x 1 ikke må dividere med nul, er dette alle andre reelle tal end x = 1. Med andre ord: Dm(f) = R \ {1} En advarsel! Når man taler om funktioner, er der er utroligt mange mennesker som tilsyneladende ikke kan se forskel på udtrykkene f og f(x) side 14

17 Dette er en skandale, fordi de to ting betyder noget fuldkommen forskelligt: f er som regel navnet på en funktion, med alt hvad den måtte have af primærmængde, sekundærmængde og funktionsregel. f(x) derimod betyder umiddelbart ingenting. Først hvis x er et givet element i definitionsmængden, så betyder f(x) det element i sekundærmængden som fremkommer ved at tage f på x. Det kan give anledning til rigtig meget forvirring hvis man ikke husker denne forskel, og den primære årsag er nok den tradition som er nævnt ovenfor. Lær den derfor, men brug den forsigtigt! Man kan sågar komme ud for at nogen skriver: eller endnu værre: Betragt funktionen: f(x) = 1 x 1. Funktionen x 2 Der er naturligvis stadig ingen tvivl om hvilken funktion vi taler om. Men hvis man læser det for mange gange, kan man måske begynde at tro at f(x) eller x 2 er selve funktionen. Men det er det altså ikke! 3.4 Bestemmelse af definitionsmængden Når ikke en funktions definitionsmængde er oplyst direkte, så er man selv nødt til at bestemme den ud fra reglen om at den skal bestå af de reelle tal, hvor den oplyste funktionsregel giver mening. Når man skal finde en funktions definitionsmængde, så skal man specielt holde øje med følgende: Brøker: Hvis nævneren giver nul, giver brøken ikke mening. Kvadratrodstegn: Hvis udtrykket inde i kvadratrodstegnet bliver negativt, giver kvadratrodstegnet ikke mening. side 15

18 Potensopløftninger: Hvis p er et negativt heltal, giver x p ikke mening når x er nul. Hvis p er en brøk eller et irrationelt tal, giver x p kun mening for x > 0. 5 Tangens: tan(x) giver ikke mening hvis x er π 2 gange π. 6 plus et helt antal Inverse trigonometriske funktioner: cos 1 (x) og sin 1 (x) giver kun mening hvis x [ 1; 1]. 7 Logaritmer: Hvis udtrykket inde i en logaritme er negativt eller nul, giver logaritmen ikke mening. 8 Øvelse 13. Betragt funktionen f givet ved følgende forskrift: f(x) = 1 x + 19 x sin(x) Hvilken af følgende udtalelser er mest forkert? 1. f(x) er en kompliceret funktion 2. f er en kompliceret funktion Bestem desuden definitionsmængden for f. Traditionen fra definition 11 kan nogle gange medføre nogle lidt underlige konklusioner. Det skal vi lige se et enkelt eksempel på: 5 Læs om potensregneregler her 6 Læs om de trigonometriske funktioner her 7 Læs om de inverse trigonometriske funktioner her 8 Læs om logaritmefunktioner her side 16

19 Eksempel 14. Betragt de to funktioner f og g givet ved: f(x) = 1 og g(x) = x x Begge disse funktioner giver altid funktionsværdien 1. Men de er alligevel forskellige funktioner. Forskellen er at f er defineret i alle reelle tal, mens g ikke er defineret i x = 0. (Brøken 0 giver ikke 0 mening.) 3.5 Gaffelforskrifter Mange funktioner har en fuldkommen logisk regel som kan formuleres med en enkelt information. F.eks. betyder f(x) = 2x den funktion med definitionsmængde R, sekundærmængde R, og som simpelt hen ganger ting med 2. Der er dog også funktioner som er mere komplicerede. Man kunne forestille sig at funktionen reagerede forskelligt, alt efter om man tog den til et negativt tal eller et positivt tal. Lad os f.eks. forestille os en funktion, f : R R, som ganger med 2 hvis man tager den på et positivt tal, men som ganske enkelt giver værdien nul, hvis man tager den på noget andet. Hvis man skal definere en sådan funktion, benytter man følgende skrivemåde: { 2x, x > 0 f(x) = 0, x 0 Dette skal læses som at f gør noget forskelligt alt efter om man tager den i et positivt tal, eller i et tal der er nul eller mindre. Hvis x > 0 skal man læses funktionens regel i den øverste linje, og ellers skal man læse funktionens regel i den nederste linje. Man kalder dette en gaffelforskrift for funktionen. side 17

20 Man kan også have mere komplicerede gaffelforskrifter: Eksempel 15. Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften: f(x) = 2x, x > 10 0, x 0 x 2, x [1; 6] 27, ellers Bemærk den nederste linje, hvor betingelsen bare er skrevet som ellers. Det betyder at funktionens værdi skal læses i denne linje i alle de situationer, som ikke er omfattet af nogen af de andre linjer. Således giver denne funktion følgende funktionsværdier: (Tjek selv efter at det passer!) f(-144) = 0 f(0) = 0 f(12) = 24 f(100) = 200 f(4) = 16 f(7) = 27 Øvelse 16. Betragt funktionen f : R R givet ved forskriften: f(x) = { x, x 0 x, x < 0 Beregn funktionsværdierne: f(0), f(5), f( 4) og f( 17). Denne funktion er bedre kendt under et andet navn. Hvilket navn er det? side 18

21 3.6 De trigonometriske grundfunktioner Sinus, Cosinus og Tangens er funktioner. De kaldes de trigonometriske grundfunktioner. F.eks. er sinus defineret ved: sin(x) = y-koordinaten til det punkt på enhedscirklen hvor venstre ben skærer, idet man tolker x som en vinkel og indtegner den med spidsen i origo og højre ben langs x-aksen. Der er et enkelt farligt punkt i denne lange definition, og det er ordene idet man tolker x som en vinkel. Det skyldes at man skal være fuldstændigt enige om hvordan et givet tal x kan tolkes som en vinkel. For det første skal man være enige om hvorvidt vinkler måles i radianer eller i grader. Ellers aner man jo ikke om x-værdien 1,6 skal tolkes som en meget lille vinkel på 1,6 eller som en vinkel som næsten er ret (fordi den er lidt over π 2 ). Den generelle regel er at: Så snart de trigonometriske funktioner betragtes som funktioner skal vinkler angives i radianer! Vi skal således udelukkende måle vinkler i radianer i dette afsnit. Tag derfor allerede nu fat i din lommeregner og indstil den til at vinkler angives i radianer, og væn dig til at kontrollere denne indstilling hver eneste gang du rører ved en af de trigonometriske funktionstaster 9 For det andet skal man være enige om hvordan et tal, x tolkes som en vinkel hvis det er negativt, eller hvis det er større end 2π (en hel omgang rundt på enhedscirklen). Det har vi dog allerede en konvention om, nemlig at negative tal tolkes som vinkler, der kører den modsatte vej, altså hvor det i praksis er vinklens venstre ben, 9 De fleste lommeregnere har enten Deg eller Rad stående et sted i display et for at vise hvad den er indstillet til. side 19

22 der ligger langs x-aksen, og at tal der er større end 2π blot tolkes som at køre flere omgange rundt. 4 Grafer Vi vil nu begrænse os til udelukkende at tale om funktioner hvis primær og sekundærmængde er de reelle tal. Definition 17. For enhver funktion f : R R definerer vi grafen for f, som følgende mængde: Graf(f) = {(x; y) R 2 x Dm(f) y = f(x)} 4.1 Bemærkninger og eksempler Grafen for en funktion er altså en delmængde af det todimensionale koordinatsystem. Derfor starter man selvfølgelig med at tegne et koordinatsystem, hvis man vil tegne grafen for en funktion. Definitionen kan godt være lidt svær at læse rigtigt. Der står at man skal indtegne alle punkter af typen (x; y) hvor x-koordinaten ligger i Dm(f) og y-koordinaten er lig med f s værdi i x-koordinaten. I praksis tegnes grafen ved at man finder alle elementer fra Dm(f) et ad gangen på x-aksen. Hver gang man finder sådan et (lad os kalde det x), beregner man funktionens værdi f(x), og så sætter man en prik i højden f(x). Man må meget gerne huske definitionen på grafen ved at memorere den helt centrale ligning: y = f(x) men man skal selvfølgelig huske at x og y er henholdsvis x-koordinaten og y-koordinaten til et punkt på grafen, og at x skal gennemløbe alle elementer i definitionsmængden. side 20

23 Som regel vil grafen strække sig ud over hele koordinatsystemet, og man vil derfor aldrig kunne tegne hele grafen. I stedet skal man udvælge et fornuftigt udsnit af grafen, som enten viser den del af grafen som er interessant i den aktuelle situation, eller som tydeligt antyder hvordan resten af grafen forløber. Eksempel 18. Vi vil tegne grafen for funktionen f : R R givet ved: Grafen er i dette tilfælde: x x 2 (x > 0) Graf(f) = {(x; y) R 2 x R + y = x 2 } Vi skal altså indtegne alle punkter (x; y) hvor x er et positivt tal, og y = x 2. Dette gøres ved at vælge en x-værdi ad gangen, og hver eneste gang beregne hvad den tilhørende y-værdi skal være. Til x-værdien 1 hører f.eks. y-værdien 1 2 = 1, til x-værdien 2 hører y- værdien 2 2 = 4, og til x-værdien 1 1 hører y-værdien 2 = 1. Derfor sættes der prikker i punkterne (1; 1), (2; 4) og ( 1 ; 1 ). Fortsætter vi på denne måde, opstår kurven på figur 3. Bemærk at vi har sat en åben prik 10 i origo, for at antyde at der ikke er noget punkt i selve origo (0 er jo ikke i definitionsmængden), men der er punkter vilkårligt tæt på (f.eks. i punktet ( 1 ; 1 ) Figur 3 indeholder naturligvis ikke hele grafen, eftersom dette ville kræve et uendeligt stort koordinatsystem. I stedet har vi valgt et fornuftigt udsnit af grafen, som giver et indtryk af hvordan resten af grafen forløber. 10 Læs om notationen med åbne og lukkede prikker her side 21

24 5 4 y=f(x) Figur 3: Grafen for funktionen i eksempel 18 Bemærk at grafen (i princippet) indeholder al information om vores funktion. Hvis man er interesseret i funktionsværdien i f.eks. 23, skal man blot finde 23 på x-aksen og se i hvilken højde grafen befinder sig derhenne. Dette vil naturligvis være et meget stort tal (helt præcist 529), og man vil skulle bruge et andet udsnit af grafen end det på figur 3, men det er principielt muligt. Grafen giver dog meget mere information om funktionen end blot muligheden for at aflæse dens funktionsværdier en af gangen. Hvis man kigger på alle funktionsværdierne på en gang, får man et indtryk af hvordan funktionens værdier ændrer sig når man tager den i forskellige tal. F.eks. kan man se på figur 3 at f er en såkaldt voksende funktion. Jo større tal man tager funktionen i, desto større bliver funktionsværdien. Men ikke bare det: Man kan endda se at funktionen vokser langsomt i starten, og jo større tal man sætter ind i den, desto hurtigere vokser den. side 22

25 Øvelse 19. Tegn grafer for funktionerne i eksempel 6, 7, 9, 10, 12 og 15. Som du nok allerede har opdaget, er det bestemt ikke enhver delmængde af koordinatsystemet som kan være graf for en funktion. Der kan aldrig kan være to punkter på en graf, som har samme x- koordinat, men to forskellige y-koordinater. Det ville jo betyde at funktionen skulle have to forskellige funktionsværdier i det den pågældende x-koordinat. Øvelse 20. Hvilke af kurverne på figur 4 kan opstå som grafen for en funktion? Figur 4: Graf eller ej? 4.2 Grafer for de trigonometriske funktioner Til sidst vil vi tegne grafer for de trigonometriske grundfunktioner. Det er en meget god ide at lære disse grafers forløb udenad, med så mange detaljer som muligt. side 23

26 Figur 5: Grafen for sinus Figur 6: Grafen for cosinus Bemærkning om radianer og grafhældning Læg rigtig godt mærke til enhederne på x-aksen. Det sted hvor grafen for sinus topper, og hvor grafen for cosinus rammer x-aksen for første gang ligger i x-koordinaten π 1,57. Og begge grafer gentager sig selv hver gang man går 2π 6,28 ud langs x-aksen. Dette 2 skyldes selvfølgelig at vi regner vinkler i radianer. Hvis man havde regnet vinkler i grader, ville der have stået henholdsvis 90 og 360. Dette er faktisk grunden til at vi regner vinkler i radianer. Vi skal nemlig på et tidspunkt beskæftige os meget med et begreb der hedder differentiation som handler om hvor meget en graf hælder. Når side 24

27 man beskæftiger sig med dette, opdager man en sjov (og meget vigtig) sammenhæng mellem sinus og cosinus: Prøv at kigge på grafen for sinus. Til x-koordinaten nul giver funktionsværdien nul, og derfor går grafen gennem origo. Idet den gør går gennem origo, følger den nærmest en ret linje med hældningskoefficient 1. Prøv nu at kigge på grafen for cosinus og se hvad værdien af cosinus er til x-koordinaten nul. Hvis man gentager dette eksperiment i andre x-koordinater, opdager man at værdien af cosinus bestemmer hældningen af grafen for sinus. Hvis vi havde målt vinkler i grader, ville der have stået helt andre tal på x-aksen, og derfor ville både cosinus og sinus have grafhældninger som var meget (cirka 50 gange) mindre. Til sidst vil vi tegne grafen for tangens (se figur 7). Den ser helt anderledes ud end de to foregående. Det skyldes blandt andet at tangens ikke er defineret i alle reelle tal. Husk på at tangens til en vinkel angiver hældningen af det rette linjestykke mellem origo og enhedscirklen, som fremkommer når man indtegner vinklen med højre ben langs x-aksen. Da lodrette linjestykker ikke har nogen hældning, er tangens ikke defineret i vinkler som er lig π plus et helt antal gange 4 π, og når vinklen nærmer sig disse tal, vil værdien af tangens blive meget stor (eventuelt negativ). Læg for øvrigt mærke til at de steder hvor tangens er udefineret svarer præcis til de steder hvor cosinus er nul. side 25

28 Figur 7: Grafen for tangens 4.3 Graftegning v.h.a. IT-værktøj I praksis tegner man næsten aldrig grafer i hånden. Der findes nemlig et hav af elektroniske redskaber som kan gøre det for os. Grafiske lommeregnere: F.eks. Texas TI-89 kan tegne grafer, selvom den ikke er særligt god til det. God i en snæver vending, hvis man ikke har en computer i nærheden, men helt umulig hvis man f.eks. skal bruge grafen i en præsentation. Graphmatica: Fremragende og simpelt udseende program, som kan præcis det som det skal kunne, og findes til både Windows og Mac. side 26

29 Graph: Et glimrende gratis (GNU open source) alternativ til Graphmatica. Det kan downloades til Windows-computere her. Der er også en kildefil som kan kompileres på andre systemer. Grapher: Et program, der er indbygget i styresystemet OS-X på Apple-computere. Programmet kan praktisk talt alt, selvom det nogle gange kan være lidt svært at overtale det til at gøre hvad man ønsker. Fordelen ved at bruge et elektronisk værktøj er selvfølgelig at det går meget hurtigere, og at tegningerne bliver pænere og mere præcise. Ulempen ved at bruge et elektronisk værktøj er, at man nemt kan glemme at tænke sig om. Et graftegningsprogram kan lynhurtigt vælge flere tusinde elementer i definitionsmængden, og for hver af disse udregne funktionsværdien og sætte en prik i koordinatsystemet. Men programmet kan ikke regne ud hvilket udsnit af grafen vi har lyst til at se! Dette skal man selv tænke over og gøre programmet opmærksom på, inden man sætter det i gang med at tegne grafen. Øvelse 21. På figur 8, 9 og 10 har vi tegnet forskellige udsnit af grafen for funktionen: f(x) = 3x4 + x 3 + x 2 2x 3 x 3 Hvilket udsnit siger mest om grafens forløb? Nogle gange kan det være helt umuligt at finde et grafudsnit som fortæller alt om hvordan grafen opfører sig. Prøv f.eks. at tegne en god graf for følgende uskyldigt udseende funktion: Øvelse 22. Tegn grafen for funktionen: R \ {0} R f : 100 sin( x x ) 100x side 27

30 Figur 8: Et udsnit af grafen for funktionen i eksempel Figur 9: Et udsnit af grafen for funktionen i eksempel 21 side 28

31 Figur 10: Et udsnit af grafen for funktionen i eksempel Grafisk overblik over ligninger og uligheder Sammenhængen mellem ligninger og funktioner kan også bruges når man skal løse komplicerede ligninger og uligheder. Enhver ligning med én ukendt størrelse x kan betragtes som om der står: f(x) = g(x) hvor f og g er to funktioner. Når man skal forsøge at løse en sådan ligning, kan det være en kæmpe hjælp at tegne graferne for de to funktioner i det samme koordinatsystem. Løsninger til ligningen vil således nemlig bestå af x-koordinater til punkter hvor de to grafer skærer hinanden. Det kan ganske vist sjældent lade sig gøre at aflæse løsningerne præcist på denne måde, men man kan let danne sig et overblik over hvor mange løsninger der er, og omtrent hvor de ligger. Tilsvarende vil enhver ulighed med én ukendt størrelse x kunne betragtes som om der står f(x) < g(x) side 29

32 eller f(x) g(x) hvor f og g er to funktioner. Igen er det smart at tegne de to grafer i det samme koordinatsystem. Løsningerne til uligheden vil således bestå af alle de x-koordinater til punkter hvor grafen for f ligger under grafen for g. (Eventuelt inklusive skæringspunkterne, hvis uligheden er blød.) Hvis man allerede har løsningerne til den tilsvarende ligning, er det så let som ingenting at aflæse løsningsintervallerne til uligheden på graferne ved ganske enkelt at aflæse i hvilke intervaller den rigtige graf ligger øverst. 4.5 Grafkending Mens det at tegne en graf for en given funktion altid er lige ud af landevejen så er det en meget finurlig kunst at gå den omvendte vej: At se grafen for en funktion, og derudfra regne ud hvilken funktion der er tale om. Men samtidigt er grafkending (som det kaldes) en kunst som kan være ekstremt nyttig i praksis. For det første findes der mange situtiationer ude i virkeligheden hvor man står med en funktion, men hvor man kun kender et antal funktionsværdier (svarende til et antal givne punkter på grafen). Hvis man derudfra kan gætte en funktionsregel som passer med alle de givne punkter, så kan denne regel bruges til at forudsige alle mulige andre funktionsværdier. Denne proces kaldes modellering, og det bliver gennemgået i et andet dokument 11 Derudover giver det en solid forståelse af de forskellige regneoperationer hvis man lærer hvad hver enkelt operation gør ved grafen for en funktion hvis de indgår i funktionsreglen. I næste afsnit skal vi se hvordan et kompliceret funktionsudtryk kan ses som en kombination af flere simple funktionsudtryk. Når man derefter prøver at 11 Læs om modellering her side 30

33 forstå hvordan forskellige kombinationer af funktionsudtryk påvirker den færdige graf 12, så bliver man hurtigt bedre til at genkende funktioner ud fra deres grafer. 5 Regneoperationer på funktioner Vi vil nu definere hvordan man kan regne med funktioner på næsten samme måde som med reelle tal. Vi skal definere hvordan funktioner lægges sammen, trækkes fra hinanden, ganges og divideres med hinanden samt en helt ny regneoperation kaldet sammensætning. Disse regneoperationer gør det muligt at konstruere masser af nye, avancerede funktioner ud fra nogle få basale funktioner. 5.1 Addition, subtraktion, multiplikation og division Definitionerne i dette afsnit er så simple at man nemt kan tro at de slet ikke siger noget som helst. Men husk på at vi er i gang med at definere helt nye regneoperationer. Ikke fordi regnesymbolerne er nye, men fordi de skal sættes mellem nogle nye, og meget abstrakte ting, nemlig funktioner. Definition 23. Hvis f og g er to funktioner med primær og sekundærmængde R, definerer vi funktionen: f + g ved: (f + g)(x) = f(x) + g(x) Bemærk at vi underforstået har fastlagt at definitionsmængden for f + g er: Dm(f + g) = Dm(f) Dm(g) 12 Dette emne kaldes grafmanipulation, og det kan du læse om her side 31

34 fordi udtrykket f(x) + g(x) giver mening præcis når x både ligger i Dm(f) og Dm(g). Eksempel 24. Betragt funktionerne f og g givet ved: og f(x) = 1 x 1 Der gælder underforstået at g(x) = 1 x Dm(f) = R \ {1} og Dm(g) = R \ {0} Funktionen f + g er således defineret i og er selvfølgelig defineret ved: For eksempel er: Dm(f + g) = R \ {0, 1} (f + g)(x) = 1 x x (f + g)(2) = = 3 2 Definition 25. Hvis f og g er to funktioner med primær og sekundærmængde R, definerer vi funktionerne: f g, f g og f g ved: side 32

35 (f g)(x) = f(x) g(x) (f g)(x) = f(x) g(x) f f(x) (x) = g g(x) Der gælder fuldstændig de samme bemærkninger om definitionsmængden for disse funktioner. Bemærk dog at definitionsmængden for f ofte er endnu mindre, fordi udtrykket g f(x) g(x) giver mening præcis hvis x ligger i Dm(f) og Dm(g) og der gælder at g(x) 0. Øvelse 26. Betragt funktionerne: 1. Den konstante funktion, f 1, givet ved: f 1 (x) = f 2 : R R givet ved: x 1 x (x 0) 3. Funktionen f 3, givet ved: f 3 (x) = x Funktionen f 4, givet ved: f 4 (x) = x Bestem både definitionsmængden og funktionsreglen for følgende funktioner, og tegn deres grafer. 1. f 1 + f 4 f 3 side 33

36 2. 3. f 2 f 4 f 1 + f 4 f Sammensætning I virkeligheden var sidste afsnit mest beregnet til at vænne dig til tanken om at man kan have regneoperationer på mængden af funktioner. Vi skal nu definere en helt ny regneoperation, som slet ikke minder om nogen regneoperationer mellem talstørrelser. Den kaldes sammensætning. Definition 27. Hvis f og g er to funktioner med primær og sekundærmængde R, så definerer vi sammensætningen, f g (læses som: f bolle g ) som: (f g)(x) = f(g(x)) Definitionen kan være lidt svær at læse: Der står at den sammensatte funktion (f g) tages i et x, ved at man først tager g på x, og derefter tager f på resultatet. Man bør have det abstrakte billede på figur 11 i hovedet hver gang man taler om sammensætning af funktioner. (Bemærk rækkefølgen af de to funktioner.) Eksempel 28. Lad f og g være funktionerne givet ved: f(x) = x 2 og g(x) = x + 1. Den sammensatte funktion f g er givet ved: (f g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1 (Hvor vi brugte den første kvadratsætning i den sidste omskrivning.) side 34

37 Figur 11: Sammensætning af to funktioner Man kan også sammensætte de to funktioner i den omvendte rækkefølge. Den sammensatte funktion g f er givet ved: (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 ) = x Bemærkninger Læg mærke til at f g ikke er den samme funktion som g f. Man kan sige at den kommutative lov ikke gælder for sammensætning af funktioner. Definitionsmængden for den sammensatte funktion er en temmeligt kompliceret sag. Den består af elementer x som for det første ligger i Dm(g) (ellers kan man så ikke tage g på dem), og som opfører sig sådan at g(x) ligger i Dm(f). Det næste eksempel viser hvordan man i praksis finder ud af dette. Eksempel 29. Betragt funktionerne f og g, hvor f(x) = x side 35

38 og g(x) = tan x Den sammensatte funktion f g er givet ved: (f g)(x) = tan x Definitionsmængden består således af elementer x som ligger i Dm(g) = R \ {... 3π 2, π 2, π 2, 3π 2,...} og som opfylder at tan x ligger i Dm(f) = [0; [ Hvis man kigger grundigt efter på grafen for tangens (se figur 7), kan man se at det drejer sig om følgende komplicerede definitionsmængde: Dm(f g) = {x R tan x 0} =... [ π; π + π 2 [ [ 0; π 2 [ [ [ π; π + π 2... Denne mængde er en forening af uendeligt mange intervaller. For at gøre det lidt mere overskueligt har vi opmalet den med rødt på x-aksen i figur 12. Øvelse 30. Beskriv den sammensatte funktion g f, hvor f og g er funktionerne fra eksempel 29. Bestem også dens definitionsmængde. Øvelse 31. Betragt de fire funktioner, f 1, f 2, f 3 og f 4 fra opgave 26. Angiv funktionsreglen og definitionsmængden for følgende funktioner: side 36

39 Figur 12: Grafen for tangens med markering af definitionsmængden for den sammensatte funktion i eksempel f 1 f 2 2. f 3 f 2 3. f 3 f 3 4. f 4 f 3 f 2 f Om at læse et sammensat funktionsudtryk Hvis de foregående afsnit har mindet dig om noget du har set under ULULU -temaet, så er du på det helt rigtige spor! I temaet om Udtryk, Logik, Udsagn, Ligninger og Uligheder trænede du jo den ædle kunst at læse et udtryk hvor der indgik ukendte side 37

40 størrelser og derunder svare på spørgsmålet: Hvad er der sket med den ukendte størrelse, og i hvilken rækkefølge? Vi minder lige om at den allervigtigste forudsætning for at mestre denne kunst er at man kender regnearternes hierarki samt reglerne om brug af parenteser ikke mindst de usynlige parenteser i brøker, potenser og kvadratrødder. Eksempel 32. Udtrykket: x x skal i første omgang læses med alle de usynlige parenteser: ( (3 x) ) ( (x 4 + 5) + 6 ) Dette skal derefter fortolkes således: Man tager to kopier af x. Først beregner man tælleren af brøken med den ene kopi af x: x ganges med 3. 2 opløftes i resultatet. Der lægges 1 til resultatet. Derefter beregner man nævneren med den anden kopi af x: x opløftes i fjerde potens. Der lægges 5 til resultatet. Der tages kvadratroden af resultatet. Der lægges 6 til resultatet. Når disse to beregninger er udført divideres resultatet af den første med resultatet af den anden. side 38

41 Lige præcis denne evne skal genbruges når man læser et kompliceret funktionsudtryk. Således kan den komplicerede funktion: f(x) = x x nedbrydes i atomer på følgende måde: Først og fremmest kan vi skrive: hvor g og h er funktionerne: og f = g h g(x) = x h(x) = x Disse to funktioner kan igen beskrives som en sammensætning af funktioner: g = g 3 g 2 g 1 og Hvor: og: h = h 4 h 3 h 2 h 1 g 1 (x) = 3x g 2 (x) = 2 x g 3 (x) = 1 + x h 1 (x) = x 4 h 2 (x) = x + 5 h 3 (x) = x h 4 (x) = x + 6 Bemærk at der som regel er mere end 1 rigtig måde at skille en funktion ad på. F.eks. kunne funktionen h i eksemplet også ses som en sum af h 3 h 2 h 1 med den konstante funktion k(x) = 6. side 39