Basal statistik. 30. september 2008

Transkript

1 Basal statistik 30. september 2008

2 Variansanalyse Sammenligning af flere grupper Ensidet variansanalyse Tosidet variansanalyse Interaktion Modelkontrol

3 Peter Dalgaard, Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab, Københavns Universitet Slides af Lene T. Skovgaard findes på

4 variansanalyse, september ANOVA (variansanalyse) i relation til t-test antal grupper, behandlinger, forskellige individer (units) samme individ (unit) situationer el.lign. 2 uparret t-test parret t-test 3 ensidet anova tosidet anova Tosidet variansanalyse forekommer dog oftest i anden sammenhæng: Personerne kan inddeles efter flere forskellige inddelingskriterier (f.eks. rygestatus og aktivitetsniveau)

5 variansanalyse, september Typiske problemstillinger: Hvordan afhænger behandlingens effekt af sygdomsstadium? Er der forskel på effektiviteten af diverse præparater til nedsættelse af blodtrykket? Afhænger lungefunktionen af rygestatus? Og af aktivitetsniveau? Datastruktur: Et antal personer (n) fordelt i et antal veldefinerede grupper (k) Analyseform er ensidet variansanalyse Personerne er inddelt efter flere forskellige inddelingskriterier (f.eks. rygestatus og aktivitetsniveau) Analyseform er tosidet (flersidet) variansanalyse

6 variansanalyse, september Sammenligning af mere end 2 grupper Eksempel: 22 ptt. bypass-operationer, randomiseret til 3 slags ventilering Outcome: Red cell foliate (noget med folinsyre) Gruppe I Gruppe II 50% N 2 O, 50% O 2 i 24 timer 50% N 2 O, 50% O 2 under op. Gruppe III 30 50% O 2 (ingen N 2 O) i 24 timer Gr.I Gr.II Gr.III n Mean SD Er der forskel på fordelingerne af responset i de enkelte grupper? Er der forskel på niveauerne i de enkelte grupper?

7 variansanalyse, september Pas på massesignifikans: sammenlign ikke alle grupper to og to! med mindre... (se senere)

8 variansanalyse, september Ensidet variansanalyse, ANOVA (one-way analysis of variance) ensidet: fordi der kun er et inddelingskriterium, f.eks. som her ventileringsmetode variansanalyse: fordi man sammenligner variansen mellem grupper med variansen indenfor grupper Antagelser: Alle observationer er uafhængige (personerne går ikke igen flere gange, er ikke tvillinger o.l.) Der er samme varians (samme spredning, dvs. biologisk variation) i alle grupper Inden for hver gruppe er observationerne normalfordelt

9 variansanalyse, september Model: Y gi = µ g + ε gi i te observation i gruppe nr. g individuel afvigelse middelværdi for gruppe nr. g Observationerne antages at følge en normalfordeling (inden for hver gruppe) med samme spredning σ. ε gi N(0, σ 2 ), Y gi N(µ g, σ 2 )

10 variansanalyse, september Ensidet variansanalyse går ud på at undersøge, om alle k grupper kan tænkes at have samme middelværdi, altså at teste hypotesen: H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k Fremgangsmåde ved ensidet variansanalyse: Variansestimater for hver gruppe pooles til et fælles estimat, s 2, som er et skøn over (den fælles) varians indenfor grupper. Hypotesen om ens middelværdier for alle grupper (H 0 : µ g = µ) testes ved et F-test på forholdet mellem variation mellem grupper og variation indenfor grupper.

11 variansanalyse, september Kvadratsummer Opspaltning af observationer: y gi ȳ = (y gi ȳ g ) + (ȳ g ȳ ) y gi ȳ g ȳ. i-te observation i g-te gruppe gennemsnit i g-te gruppe totalgennemsnit Opspaltning af variation (kvadratsum, sum of squares, SS): (y gi ȳ ) 2 = (y gi ȳ g ) 2 + (ȳ g ȳ ) 2 i,j i,j i,j }{{}}{{} indenfor grupper mellem grupper SS tot = SS w + SS b (n 1) = (n k) + (k 1)

12 variansanalyse, september Middelkvadratsummer (Mean Squares, MS): MS w = SS w /(N k): Poolet varians indenfor de 3 grupper MS b = SS b /(k 1): Varians mellem gruppegennemsnit Teststørrelse: F = MS b MS w Vi forkaster nulhypotesen hvis F er stor, dvs. hvis variationen mellem grupper er for stor i forhold til variationen indenfor grupper. Variansanalyseskema df SS MS F P Between Within Total

13 variansanalyse, september Ensidet ANOVA i SAS: OBS: Data sættes op i 2 kolonner, en med outcome (redcell) og en med klassifikationsvariablen (grp). I Analyst: Statistics ANOVA One-Way ANOVA... hvor redcell er Dependent og grp er Class : The ANOVA Procedure Class Level Information Class Levels Values grp Number of observations 22

14 variansanalyse, september Dependent Variable: redcell Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE redcell Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F grp

15 variansanalyse, september Hvis man også vil have estimater og konfidensgrænser...og det vil man vel som regel: Statistics ANOVA Linear Models, afkryds Parameter Estimates klik Statistics og Gå endvidere ud i koden og tilføje clparm i model-linien: model redcell=grp / solution clparm; hvorved man vil få Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t 95% Confidence Limits Intercept B < grp B grp B grp B.....

16 variansanalyse, september Normalfordelingsantagelsen Det er antaget, at observationerne følger en normalfordeling inden for hver gruppe. Dette bør checkes, f.eks.: ved at tegne histogrammer eller fraktildiagrammer for hver gruppe ved at tegne histogram eller fraktildiagram for residualerne r gi = Y gi ˆµ g = Y gi Ȳg ved at lave normalfordelingstest, enten for hver gruppe for sig, eller samlet for residualerne

17 variansanalyse, september Histogram af residualer, med overlejret normalfordeling: Flot er det jo ikke men hvad kan man forvente med kun 22 observationer...

18 variansanalyse, september Fraktildiagram: Tests for Normality Test --Statistic p Value Shapiro-Wilk W Pr < W Kolmogorov-Smirnov D Pr > D > Cramer-von Mises W-Sq Pr > W-Sq > Anderson-Darling A-Sq Pr > A-Sq > Her vurderes normalfordelingsantagelsen at være OK

19 variansanalyse, september Test for identiske varianser/spredninger i de 3 grupper (en af forudsætningerne for den ensidede variansanalyse) Dette testes ved at klikke Test og afkrydse i Levenes test : Levene s Test for Homogeneity of redcell Variance ANOVA of Squared Deviations from Group Means Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F grp Error Ved sammenligning af de k = 3 variansestimater fås en teststørrelse på 4.14, som er F(2,19)-fordelt, svarende til P=0.03, og altså signifikans!

20 variansanalyse, september Antagelsen om varianshomogenitet kan også checkes grafisk med residualplot: Residualer tegnes op mod predikterede (=forventede=fittede) værdier Det giver dog ikke så meget ny information...

21 variansanalyse, september Multiple sammenligninger Problem: F-test viser, at der nok er forskel men hvor? Parvise t-test ikke godt pga. massesignifikans Der er m = k(k 1)/2 mulige test, reelt signifikansniveau: 1 (1 α) m, f.eks. for k=5: 0.40

22 variansanalyse, september Hvad gør man så i praksis? Der findes ikke nogen helt tilfredsstillende løsning, men 1. Prøv at undgå problemet (fokuser problemstillingen) 2. Udvælg et (lille) antal relevante sammenligninger på forhånd, dvs. skriv dem ind i protokollen! 3. Tegn gennemsnit ±2 SEM og brug øjemålet (!?), evt. suppleret med F-tests på delsæt af grupper. 4. Modificer t-test ved at gange P med antallet af tests, den såkaldte Bonferroni korrektion (konservativ) eller anden form for korrektion (Dunnett, Tukey).

23 variansanalyse, september Statistics ANOVA One-Way ANOVA... Tryk Plots og videre i Means Plot Her med Bars på 2 s.e., dvs. konfidensintervaller for middelværdierne I direkte programmering ændres i symbol-sætningen: symbol1 v=circle i=std1jt l=1 h=3 w=2;

24 variansanalyse, september Korrektion for multiple sammenligninger Bonferroni benytter signifikansniveau α m stærkt konservativ, dvs. for høje P-værdier (lav styrke) Sidak benytter signifikansniveau 1 (1 α) 1 m α m for små m lidt mindre konservativ, men stadig ret lav styrke Tukey baseres på fordeling af størst blandt mange giver større styrke Dunnett korrigerer kun for test mod referencegruppe (typisk en kontrolgruppe eller tid 0 )

25 variansanalyse, september Multiple sammenligninger i SAS Analyst: Vælg Statistics/Anova/Linear Models og herunder Means/LS Means, vælg grp og compute p s for pairwise differences samt Bonferroni eller Tukey som Adjustment Method: For også at få konfidensintervaller, skal man ud i koden og tilføje cl i lsmeans-sætningen: lsmeans grp / pdiff adjust=bonferroni cl; lsmeans grp / pdiff adjust=tukey cl;

26 variansanalyse, september Eksempel på SAS output for Bonferroni korrektionen: Adjustment for Multiple Comparisons: Bonferroni Least Squares Means for effect grp Pr > t for H0: LSMean(i)=LSMean(j) Dependent Variable: redcell i/j Adjustment for Multiple Comparisons: Bonferroni Difference Simultaneous 95% Between Confidence Limits for i j Means LSMean(i)-LSMean(j)

27 variansanalyse, september Eksempel på SAS output for Tukey korrektionen: Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer Least Squares Means for effect grp Pr > t for H0: LSMean(i)=LSMean(j) Dependent Variable: redcell i/j Adjustment for Multiple Comparisons: Tukey-Kramer Difference Simultaneous 95% Between Confidence Limits for i j Means LSMean(i)-LSMean(j)

28 variansanalyse, september Hvis antagelserne ikke holder: Transformation (ofte logaritmer) kan afhjælpe såvel variansinhomogenitet som dårlig normalfordelingstilpasning Man kan lave vægtet analyse (Welch s test), ligesom ved T-test Statistics ANOVA One-Way ANOVA... Klik Tests og afkryds Welch s variance-weighted test Welch s ANOVA for redcell Source DF F Value Pr > F grp Error Vi er altså ikke alt for sikre på den fundne forskel...

29 variansanalyse, september Analyse af logaritmerede data: Dependent Variable: logredcell Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE logredcell Mean Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F grp Levene s Test for Homogeneity of logredcell Variance ANOVA of Squared Deviations from Group Means Sum of Mean Source DF Squares Square F Value Pr > F grp Error

30 variansanalyse, september Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept B <.0001 grp B grp B grp B... Parameter 95% Confidence Limits Intercept grp grp grp 3..

31 variansanalyse, september Fortolkning af logaritmeret analyse Eksempelvis forskel mellem gruppe 1 og gruppe 3: Estimatet var med konfidensgrænser ( , ) Det skal tilbagetransformeres: = med konfidensgrænser ( , ) = (0.933, 1.363) Det betyder, at gruppe 1 estimeres til at ligge 12.8% højere end gruppe 3, med 95% grænser fra 6.7% under til 36.3% over.

32 variansanalyse, september Non-parametrisk Kruskal-Wallis test: Statistics ANOVA Nonparametric One-Way ANOVA... hvor redcell sættes som Dependent og grp som Independent (dårlig betegnelse): Kruskal-Wallis Test Chi-Square DF 2 Asymptotic Pr > Chi-Square Exact Pr >= Chi-Square Bemærk: Man kan også få en eksakt vurdering af teststørrelsen, men pas på i tilfælde af store materialer!

33 variansanalyse, september Direkte programmering: /* indlæsning af data og dannelse af sasuser.redcell */ data sasuser.redcell; input grp redcell; datalines; ; run;

34 variansanalyse, september /* scatter plot, s. 4 */ proc gplot data=a1; plot redcell*grp / haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 order=(1 to 3 by 1) offset=(8,8) label=(h=3 gruppe nr. ) value=(h=3) minor=none; axis2 offset=(1,1) value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3 red cell foliate ); symbol1 v=circle i=none l=1 h=3 w=2; run; /* analyse s ,16,25 */ proc anova data=sasuser.redcell; class grp; model redcell=grp; /* s. 10 */ means grp / hovtest=levene welch; /* s */ output out=ny p=predikt r=resid; run;

35 variansanalyse, september /* analyse s. 12,16,24 */ proc glm data=sasuser.redcell; class grp; model redcell=grp / solution clparm; /* s. 12 */ means grp / hovtest=levene; /* s. 16 */ lsmeans grp / pdiff adjust=tukey cl; /* s. 24 */ run; /* figurer s. 14,15 */ proc univariate normal data=ny; var resid; histogram / cfill=gray height=3 normal; /* s. 14 */ probplot / height=3 normal(mu=est sigma=est l=33); /* s. 15 */ inset mean std skewness / header= descriptive ; run; /* nonparametrisk sammenligning, s. 29 */ proc npar1way data=a1 anova wilcoxon; exact wilcoxon; class grp; var redcell; run;

36 variansanalyse, september ANOVA (variansanalyse) i relation til t-test antal grupper, behandlinger, forskellige individer (units) samme individ (unit) situationer el.lign. 2 uparret t-test parret t-test 3 ensidet anova tosidet anova Tosidet variansanalyse forekommer dog oftest i anden sammenhæng: Personerne kan inddeles efter flere forskellige inddelingskriterier (f.eks. rygestatus og aktivitetsniveau)

37 variansanalyse, september Korttidseffekt af enalaprilat på puls, gentagne målinger Tid Person mean mean Ved sammenligning af tidspunkter skal man eliminere variation mellem personer, ganske som i et parret t-test

38 variansanalyse, september Linieplot ( Spaghettiogram ) Puls vs. tid, observationer hørende til samme person forbundet. Ideelt er forløbene parallelle (additivitet).

39 variansanalyse, september Additiv model: Der er effekt af person (p) og tid (t): Y pt = µ + α p + β t + ε pt og disse virker additivt (de skal lægges sammen). (Nødvendigt med passende bånd på parametrene, i SAS f.eks. α 9 = β 4 = 0). ε pt uafhængige, middelværdi 0, samme spredning, normalfordelte, dvs. ε pt N(0, σ 2 ). Variationsopspaltning: SS tot = SS person + SS tid + SS res

40 variansanalyse, september Forsøg på grafisk illustration af modellen: Ideelt set parallelle forløb, overlejret med normalfordelt variation giver mere irregulære forløb. Person 1 Person 1 Person 2 Person 2 Time point Time point

41 variansanalyse, september Variansanalyseskema df SS MS F P Personer < Tid Resid Total Højsignifikant forskel på personer (forventeligt, men ikke så interessant) Signifikant tidsforskel, P=0.018, men vi mangler estimater!

42 variansanalyse, september Man kan igen med fordel anvende: Statistics/Anova/Linear Models med puls som Dependent og både person og tid som Class-variable. I Statistics vælges Parameter Estimates: Class Level Information Class Levels Values person tid Number of observations 36 Dependent Variable: puls Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model <.0001 Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE puls Mean

43 variansanalyse, september Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F tid person <.0001 Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept B <.0001 tid B tid B tid B tid B... person B person B person B <.0001 person B <.0001 person B <.0001 person B person B <.0001 person B <.0001 person B... Bemærk, at de sidste niveauer af hver faktor (Class-variabel) bliver sat til 0 De kaldes referenceniveauer

44 variansanalyse, september Forventede værdier for person=3, tid=30: ŷ pt = ˆµ + ˆα p + ˆβ t = = Residualer r pt = y pt ŷ pt = y pt ȳ p. ȳ.t + ȳ.. Altså f.eks. ŷ 32 = r 32 = = 0.84

45 variansanalyse, september Modelkontrol Se efter: Varianshomogenitet (systematik, trompet?) Normalfordelingstilpasning (tunge haler?, skæv fordeling?) Mangel på additivitet (vekselvirkning):. kan kun undersøges hvis der er flere observationer pr. celle Seriel korrelation? (Naboobservationer hænger tættere sammen)

46 variansanalyse, september Residualer vs. forventede værdier Der bør ikke ses nogen systematik.

47 variansanalyse, september Check af normalfordelingsantagelsen: Det ser rimeligt ud

48 variansanalyse, september Check af uafhængighed er rimeligt her, da der er flere observationer for hver person Vi har godt nok et personniveau, men der kunne være ekstra seriel korrelation, dvs. at naboresidualer kunne ligne hinanden Modeller, der inkluderer sådanne korrelationer, går under navnet Repeated measurements

49 variansanalyse, september Der ser ikke ud til at være seriel korrelation her

50 variansanalyse, september Direkte programmering af den tosidede variansanlyse: data sasuser.puls; infile puls.tal firstobs=2; input person tid0 tid30 tid60 tid120; /* udfoldning af data til 4 linier pr. person */ tid=0; puls=tid0; output; tid=30; puls=tid30; output; tid=60; puls=tid60; output; tid=120; puls=tid120; output; run; /* figur s. 35 */ proc gplot data=sasuser.puls; plot puls*tid=person / nolegend haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 value=(h=3) minor=none label=(h=3); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3); symbol1 v=circle i=join c=black l=2 h=3 w=2 r=9; run;

51 variansanalyse, september /* analyse s */ proc glm data=sasuser.puls; class person tid; model puls=tid person / solution; output out=ny p=predikt r=resid; run; /* figur s. 43 */ proc gplot gout=plotud data=ny; plot resid*yhat / vref=0 lv=33 haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 value=(h=3) minor=none label=(h=3 Expected ); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3 Residual ); symbol1 v=circle i=none c=black h=3 l=2 w=2 r=9; run; /* figurer s. 44 */ proc univariate normal data=ny gout=plotud; var resid; histogram / cfill=gray height=3 normal; probplot / height=3 normal(mu=est sigma=est l=33); inset mean std skewness / header= descriptive ; run;

52 variansanalyse, september data b1; set ny; lagresid=lag(resid); run; /* figur s. 46 */ proc gplot gout=plotud data=b1; where tid>0; plot resid*lagresid / href=0 lh=33 vref=0 lv=33 haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 value=(h=3) minor=none label=(h=3 forrige residual ); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3 residual ); symbol1 v=circle i=none c=black h=3 l=2 w=2 r=9; run;

53 variansanalyse, september Eksempel på vekselvirkning (interaktion): To inddelingskriterier: køn og rygestatus Outcome: FEV 1 Effekten af rygning afhænger af køn Forskellen på kønnene afhænger af rygestatus

54 variansanalyse, september Mulige forklaringer: biologisk forskel på effekt af rygning holder vist ikke i praksis, men eksemplet er jo også blot tænkt måske ryger kvinderne ikke helt så meget antal pakkeår confounder for køn måske virker rygningen som en relativ (%-vis) nedsættelse af FEV 1 kunne undersøges ved en longitudinel undersøgelse

55 variansanalyse, september Eksempel: Rygnings effekt på fødselsvægt

56 variansanalyse, september Interaktion/vekselvirkning mellem mængden og varigheden af rygningen Der er effekt af mængden, men kun hvis man har røget længe. Der er effekt af varigheden, og denne effekt øges med mængden. Effekten af mængden afhænger af... og effekten af varigheden afhænger af...

57 variansanalyse, september Eksempel: Fibrinogen efter miltoperation 34 rotter randomiseres, på 2 måder 17 får fjernet milten (splenectomy=yes) 8/17 i hver gruppe opholder sig i stor højde (place=altitude) Outcome: Fibrinogen niveau i mg% ved dag 21

58 variansanalyse, september

59 variansanalyse, september Den sædvanlige additive model: Y spr = µ + α s + β p + ε spr splenectomy (s=yes/no) og place (p=altitude/control) virker additivt. Model med interaktion (vekselvirkning) Y spr = µ + α s + β p + γ sp + ε spr Her specificeres en interaktion mellem splenectomy og place, dvs. effekten af ophold i stor højde tænkes at afhænge af, hvorvidt man har fået fjernet milten eller ej. og omvendt...

60 variansanalyse, september Tosidet variansanalyse med vekselvirkning: Statistics ANOVA Linear Models hvor fibrinogen sættes som Dependent og såvel splenectomy som place som Class. For at få interaktionsleddet med, klikkes nu Model, hvorefter man udvælger begge variable og trykker Cross/Add: The GLM Procedure Class Level Information Class Levels Values splenectomy 2 no yes place 2 altitude control Number of observations 34

61 variansanalyse, september Dependent Variable: fibrinogen Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE fibrinogen Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F place splenectomy splenectomy*place Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F place splenectomy splenectomy*place

62 variansanalyse, september Standard Parameter Estimate Error t Value Intercept B place altitude B place control B.. splenectomy no B splenectomy yes B.. splenectomy*place no altitude B splenectomy*place no control B.. splenectomy*place yes altitude B.. splenectomy*place yes control B.. Parameter Pr > t Intercept <.0001 place altitude place control. splenectomy no splenectomy yes. splenectomy*place no altitude splenectomy*place no control. splenectomy*place yes altitude. splenectomy*place yes control.

63 variansanalyse, september Estimater Referenceniveauerne er: place=control, splenectomy=yes (de sidste i den alfabetiske rækkefølge) Denne gruppe har et forventet fibrinogenniveau på intercept= For de andre niveauer skal der adderes et eller flere korrektionsled, således: place splenectomy control altitude yes = no = =

64 variansanalyse, september Vi kan godt få SAS til at udregne disse niveauer explicit: I Model under Linear Models fjernes hovedvirkningerne, og der afkrydses i No intercept Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F splenectomy*place <.0001 Standard Parameter Estimate Error t Value splenectomy*place no altitude splenectomy*place no control splenectomy*place yes altitude splenectomy*place yes control Parameter Pr > t splenectomy*place no altitude <.0001 splenectomy*place no control <.0001 splenectomy*place yes altitude <.0001 splenectomy*place yes control <.0001 men så mister vi muligheden for at teste

65 variansanalyse, september Vekselvirkningen er ikke signifikant (P=0.77), så vi simplificerer til en tosidet variansanalyse uden vekselvirkning: The GLM Procedure Dependent Variable: fibrinogen Sum of Source DF Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square Coeff Var Root MSE fibrinogen Mean Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F place splenectomy

66 variansanalyse, september Standard Parameter Estimate Error t Value Pr > t Intercept B <.0001 place altitude B place control B... splenectomy no B splenectomy yes B... Parameter 95% Confidence Limits Intercept place altitude place control.. splenectomy no splenectomy yes..

67 variansanalyse, september Modelkontrolplots:

68 variansanalyse, september Test for normalitet: Goodness-of-Fit Tests for Normal Distribution Test ---Statistic p Value----- Kolmogorov-Smirnov D Pr > D >0.150 Cramer-von Mises W-Sq Pr > W-Sq Anderson-Darling A-Sq Pr > A-Sq 0.160

69 variansanalyse, september Direkte programmering af interaktion: data a1; input place $ splenectomy $ fibrinogen; datalines; a y 528 a y 444 a y 228 c n 388 c n 425 c n 344 c n 425 ; run;

70 variansanalyse, september data sasuser.fibrinogen; set a1; if place= a then place= altitude ; if place= c then place= control ; if splenectomy= y then splenectomy= yes ; if splenectomy= n then splenectomy= no ; if place= a and splenectomy= y then group= yes_altitude ; if place= c and splenectomy= y then group= yes_control ; if place= a and splenectomy= n then group= no_altitude ; if place= c and splenectomy= n then group= no_control ; run; /* figur s. 55 */ proc gplot data=sasuser.fibronogen; plot fibrinogen*group / nolegend haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 offset=(3,3) value=(h=2) minor=none label=(h=3); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3); symbol1 v=circle i=none c=black h=3; run;

71 variansanalyse, september /* analyse s */ proc glm data=sasuser.fibronogen; class splenectomy place; model fibrinogen=place splenectomy place*splenectomy / solution; *output out=ny p=yhat r=resid; run; /* analyse s. 61 */ proc glm data=sasuser.fibronogen; class splenectomy place; model fibrinogen=place*splenectomy / noint solution; run; /* analyse s */ proc glm data=sasuser.fibronogen; class splenectomy place; model fibrinogen=place splenectomy / solution clparm; output out=ny p=yhat r=resid; run;

72 variansanalyse, september /* figur s. 64 */ proc gplot data=ny; plot resid*yhat / haxis=axis1 vaxis=axis2 frame; axis1 value=(h=3) minor=none label=(h=3 Expected ); axis2 value=(h=3) minor=none label=(a=90 R=0 H=3 Residual ); symbol1 v=circle i=none c=black h=3 l=2 w=2 r=9; run; /* figur og test s. 64,65 */ proc univariate normal data=ny; var resid; probplot / height=3 normal(mu=est sigma=est l=33); histogram / cfill=gray height=3 normal; inset mean std skewness / header= descriptive ; run;