MAKRO 2 DEN FULDSTÆNDIGE SOLOW-MODEL. Y t = K α t (A t L t ) 1 α, (A t L t ) 1 α = α. r t = αk α 1. A t L t. w t =(1 α) Kt α L α. A t, 2.

Transkript

1 DEN FULDSÆNDIGE SOLOW-MODEL Y t = K α t ( ) 1 α, MAKRO 2 2. årsprøve r t = αk α 1 t ( ) 1 α = α Ã Kt! α 1, Ã! α w t =(1 α) Kt α L α t A 1 α Kt t =(1 α) A t, S t = sy t, Forelæsning 4 Kapitel 5 og 6 K t+1 K t = S t δk t, K 0 L t+1 =(1+n) L t, L 0 A t+1 =(1+g) A t, A 0. Hans Jørgen Whitta-Jacobsen econ.ku.dk/okojacob/makro-2-f09/makro Givet K 0, L 0 og A 0 bestemmer den (K t ), (L t ), (A t ), (Y t ), (r t ), (w t ), (S t ).

2 KONVERGENS I SOLOW-MODELLEN Modificeret Solow-ligning og -diagram: k t+1 k t k t = 1 h s k t α 1 (n + g + δ + ng) i. (1+n)(1+g) KONVERGENSPROCESSEN I SOLOW-MODELLEN ransitionsligningen: k t+1 = s k t α +(1 δ) k t G ³ k t (1 + n)(1+g) Hældningen i steady state: G 0 ( k )= 1 [α (n + g + δ + ng) + (1 δ)] (1 + n)(1+g) 0 <G 0 ( k ) < 1 λ 1 G 0 ( k ) (1 α)(n + g + δ) Linearisering omkring steady state: k t+1 k = G 0 ³ k ³ k t k ln k t+1 ln k = G 0 ³ k ³ ln k t ln k Overensstemmelse med betinget konvergens: o lande med samme α, s, δ, n, g (og A 0 )... ln ỹ t+1 ln ỹ = G 0 ³ k (ln ỹ t ln ỹ )

3 Stabilitet mod ln ỹ! Dynamikken kan skrives: ln ỹ t+1 ln ỹ t = ³ 1 G 0 ³ k (ln ỹ ln ỹ t ) Matematisk indskud: Fra x t+1 = ax t + b fås succesivt: x 1 = ax 0 + b. Form: ln ỹ t+1 ln ỹ t = λ (ln ỹ ln ỹ t ) ln ỹ t+1 =(1 λ)lnỹ t + λ ln ỹ. x t+1 = ax t + b, 0 <a<1, x 2 = ax 1 + b = a 2 x 0 + ab + b x 3 = ax 2 + b = a 3 x 0 + a 2 b + ab + b... x t = b(1 + a + a a t 1 )+a t x 0 a 1 λ og b λ ln ỹ. Løsning - har i lært i matematik: x t = b 1 at 1 a + at x 0. Her bruges: S = 1+a + a a t 1 as = a + a a t 1 + a t (1 a)s =1 a t S = 1 at 1 a Bliver her til: ln ỹ t = h 1 (1 λ) ti ln ỹ +(1 λ) t ln ỹ 0. Derfor: x t = b 1 at 1 a + at x 0. Indskud slut.

4 For t = : ln ỹ = h 1 (1 λ) i ln ỹ +(1 λ) ln ỹ 0 ln ỹ ln ỹ 0 = h 1 (1 λ) i (ln ỹ ln ỹ 0 ) ln y ln y 0 1 (1 λ) = ln A ln A 0 + (ln A 0 +lnỹ ln y 0 ) Indsæt (ln A ln A 0 ) / = g og ỹ fra steady state. Fører til konvergensligningen: µ ln A 0 + ln y ln y 0 = g + 1 (1 λ) α 1 α [ln s ln(n + g + δ + ng] ln y 0 Denne er intuitivt forståelig! Omskriv lidt:. ln y ln y 0 1 (1 λ) = g+ 1 (1 λ) ln A 0 1 (1 λ) α + [ln s ln(n + g + δ + ng]. 1 α Antag at g og A 0 er ens i alle lande! Regression: g i,0 = β 0 β 1 ln y i 0 + β 2 h ln s i ln(n i i, hvor β 1 = 1 (1 λ) og β 2 = α 1 α β 1. Estimeret (ved OLS) på 90 lande over : g i 00,60 = (se=0.013) (se=0.0015) ln yi 60 h ln s i ln(n i i, adj. R 2 =0.40. (se=0.0025) Når man tegner g00,60 i h ln s i ln(n i i op mod ln y i 60 fås: ln y 0

5 Dette ser meget godt ud: Signifikante parametre og fin R 2 osv. Konflikter ikke afgørende med antagelsen om samme g og A 0 i alle lande. Men: Vi har to endogeniseringer af konvergensraten: 1. Fra teorien: λ = (1 α)(n + g + δ) λ omkring 5%. 2. Fra empirien: β 1 = 1 (1 λ) λ =1 (1 β 1 ) 1. Giver med estimeret β 1 =0, 006 og =40et λ på 0,7%. Modellen overvurderer kraftigt konvergens-hastigheden! At konvergere med en hast svarende til Solow-modellens teoretiske udsigelse er at konvergere meget hurtigt! Både mht. steady state og mht. konvergens klarer Solowmodellen sig godt empirisk, men begge steder med et problem omkring størrelsesordener.

6 KONKLUSIONER, SOLOWMODELLEN Vigtigste økonomisk politiske implikationer stort set de samme som udledt fra den basale Solow-model. CHAPER 6: SOLOW-MODELLEN MED HUMAN KAPIAL Fokusér på Solow-modellens to empiriske problemer: Modellens steady state udviser balanceret vækst med konstant og positiv vækstrate i BNP per arbejder. Hermed skaber modellen overensstemmelse med fundamentale stylized facts. Den underliggende forklaring, eksogen teknologisk vækst, dog ikke så dyb. Modellens stady state-udsigelse klarer sig godt empirisk dog med klar tendens til, at modellen undervurderer graden, hvormed investeringsrate og befolkningsvækstrate påvirker indkomst per arbejder. Modellens konvergens-udsigelse (udsigelsen om vækstprocessen udenfor steady state) klarer sig også godt empirisk, men med klar tendens til, at modellen overvurderer konvergenshastigheden. 1. s og n ser ud til at have meget stærkere indflydelse på y i virkeligheden end Solow-modellens steady state tilsiger. 2. Konvergens ser ud til at (foregå, men) foregå meget langsommere i virkelighedens verden end tilsagt af Solowmodellens konvergens-process. Findes der en modifikation af Solow-modellen, der kan bidrage til at løse begge af Solow-modellens empiriske problemer? Mankiw, Romer, Weil, MRW: A Contribution to the Empirics of Economic Growth, QJE, 1992.

7 Konvergenshastigheden i Solow-modellen er jo (husk): λ =(1 α)(n + g + δ) Større α giver lavere λ: Kapitalakkumulation tager tid. Hvis vi kunne hæve α... Men α = 1/3 pga. lønandel omkring 2/3. Hvis der nu var en anden form for kapital med en egen output-elasticitet ϕ,somakkumuleredes ligesom fysisk kapital, menhvis afkast gik til arbejdere... I så fald langsommere konvergens (fordi α + ϕ>α) og uændret lønandel 1 α (fordi kun andel α ikke går til arbejdere). HUMAN KAPIAL: Den akkumulerede stock af hvad der på den ene eller anden måde er investeret i dygtiggørelse af arbejdskraften: Uddannelse, mistet produktion og indkomst... Antag human kapital akkumuleres ligesom fysisk kapital: Hvert år anvendes en fast andel af BNP til bruttoinvestering i human kapital. Dermed påvirker (akkumulation af) human kapital konvergenshastigheden, ligesom fysisik kapital gør. Human kapital er uløseligt knyttet til arbejderne. Man kan ikke adskille en mand fra hans uddannelse, men godt fra hans computer. Derfor fremtræder afkastet på human kapital nødvendigvis som en del af lønnen. Og derfor er uændret lønandel mulig, selv om der akkumuleres en ny form for kapital. Human kapital synes at kunne bidrage til løsning af problemet med Solow-modellens konvergenshastighed.

8 Hvad med problemet omkring Solow-modellens steady state-forudsigelse? Antag investeringsraten i fysisik kapital (vores s hidtil) stiger. Giver i steady state højere k og y via de sædvanlige og hidtil beskrevne mekanismer. Med en fast investeringsrate også i human kapital giver højere y mere investering i human kapital, derfor også mere human kapital per arbejder i steady state. Da human kapital er produktiv, får man en større stigning i y som følge af en stigning i s end uden human kapital. Human kapital synes også at kunne bidrage til løsning af problemet med størrelsen af gennemslaget fra investeringsrate til BNP pr. mand. Dvs. human kapital kan måske bidrage til løsning af begge empiriske problemer fra Solowmodellen. Her ud over et mål i sig selv at berige modellen med human kapital, da arbejdskraftens dygtighed intuitivt må være blandt de vigtigste aggregerede produktionsfaktorer. SOLOW-MODELLEN MED HUMAN KAPIAL Mikroverdenen er i høj grad som før, men noget nyt er der. Samme typer aktører: én repræsentativ virksomhed og én repræsentativ forbruger (og offentlig sektor!). Men virksomheden har nu også human kapital i produktionsfunktionen, og forbrugeren akkumulerer også human kapital. Output kan bruges som forbrug, investering i fysisk kapital eller investering i human kapital. Fortsat én produktionssektor. Samme markeder: Output, (ydelser fra) fysisk kapital og arbejdskraft.

9 Separat marked for humankapitalydelser? Nej, fordi human kapital hænger uløseligt sammen med arbejdskraften, hvorfor dens ydelser også sælges sammen med arbejdskraft. På arbejdsmarkedet sælges ikke længere rå arbejdsår, men arbejdsår udstyret med (gennemsnitlig) humankapital. Reallønnen er en blanding af egentlig løn og afkast til humankapital. Antal arbejdere, arbejdsudbuddet = L t. Hver arbejder er udstyret med samme human kapital h t. otal human kapital i økonomien er H t = h t L t. Men arbejdsinput L d t kan ikke varieres uafhængigt af humankapital. Input af human kapital er proportionalt med L d t, nemlig h tl d t, fordi hver arbejder kommer med sit h t. Hererenvigtigforskel fra fysisk kapital. Vi beskriver nu økonomiens nye elementer. PRODUKIONSFK. MED HUMAN KAPIAL Y t = K α t H ϕ t (A tl t ) 1 α ϕ = K α t (h t L t ) ϕ ( ) 1 α ϕ = K α t h ϕ t A1 α ϕ t L 1 α t, hvor 0 <α<1, 0 <ϕ<1, α+ϕ <1, A t =(1+g) t A 0. Der er konstant skalaafkast i K t,h t,l t. Replikeringsargumentet. Per capita produktionsfunktion: y t = k α t h ϕ t A1 α ϕ t g y t = αgk t + ϕg h t +(1 α ϕ) g A t. Ved beregning af grænseproduktet for (et ekstra) mandår, skal der tages hensyn til, at en ekstra arbejder kommer med en given human kapital på h t,hvorforh t -ikkeh t - skal tages for given.

10 Husk Y t = Kt αhϕ t A1 α ϕ t L 1 α t. FORBRUGERNES AKKUMULAION AF HUMAN KAPIAL r t = αk α 1 = α t h ϕ t A1 α ϕ t Lt 1 α Ã! α 1 Ã! ϕ Kt Ht, Som før udbyder hver af L t forbrugere én enhed arbejdskraft uelastisk, og antallet af forbrugere vokser med fast rate n> 1. w t = (1 α) K α t h ϕ t A1 α ϕ = (1 α) Ã Kt t L α! t α Ã Ht! ϕ A t. Det ses, at r t K t /Y t = α og w t L t /Y t =1 α. Arbejdskraften snupper afkastet på human kapital! Empiriske observationer peger, som sædvanlig, på α = 1/3, men også (med lidt mindre tyngde måske) på ϕ = 1/3 (måske endda ϕ lidt større end 1/3). Ligeledes udbydes al fysisk kapital K t når blot r t > 0. Og som før skal den repræsentative forbruger, givet Y t, beslutte C t og dermed S t = Y t C t. Men nu skal forbrugeren også beslutte hvordan bruttoopsparingen S t skal fordeles på bruttoinvestering i fysisk kapital I K t og bruttoinvestering i human kapital I H t. Givet I K t og I H t :

11 K t+1 K t = I K t δk t, H t+1 H t = I H t δh t, hvor vi har antaget samme nedslidningsrate, 0 <δ<1, for fysisk og human kapital. Restriktionen, som I K t og I H t skal opfylde, er: I K t + I H t = Y t C t = S t. Resultat af forbrugerens overvejelser antages (helt Solowagtigt) at være : I K t = s K Y t og I H t = s H Y t 0 <s K < 1, 0 <s H < 1, s K + s H < 1. Dvs. S t =(s K + s H )Y t og så: C t =(1 s K s H )Y t. DEN FULDSÆNDIGE SOLOW-MODEL MED HUMAN KAPIAL Parametre: Y t = K α t H ϕ t (A tl t ) 1 α ϕ, r t = α Ã Kt w t =(1 α) ilstandsvariable: Ã Kt! α 1 Ã Ht! α Ã Ht! ϕ, K t+1 K t = s K Y t δk t, H t+1 H t = s H Y t δh t, L t+1 =(1+n)L t, A t+1 =(1+g)A t. Givet K 0,H 0,L 0,A 0 bestemmer modellen:! ϕ A t,

12 BEVÆGELSESLOVEN 1. Definér: k t K t = k t, h t H t = h t, ỹ t Y t = y t. A t A t A t 2. Fra Y t = K α t Hϕ t (A tl t ) 1 α ϕ er: ỹ t = k α t h ϕ t. 3. Kapital-akkumulationsligningerne gentaget: K t+1 = s K Y t +(1 δ)k t, H t+1 = s H Y t +(1 δ)h t. 4. Dividér på begge sider af hver med A t+1 L t+1 : k t+1 = h t+1 = sk ỹ t +(1 δ) k t, (1 + n)(1+g) sh ỹ t +(1 δ) h t. (1 + n)(1+g) 5. Indsæt ỹ t = k α t h ϕ t for RANSIIONSLIGNINGERNE: k t+1 = sk k t α (1 + n)(1+g) h ϕ t +(1 δ) k t, h t+1 = sh k t α (1 + n)(1+g) h ϕ t +(1 δ) h t. o koblede, ikke-lineære differensligninger i k t og h t. Givet k 0 og h 0 bestemmer de ( k t ) og ( h t ). Så følger ỹ t = k α t h ϕ t og y t =ỹ t A t og c t =(1 s K s H )y t osv. Ingen nem diagrammæssig måde at vise konvergens mod en steady state. Vi vil vise (næste gang): 1) Der er en veldefineret steady state. 2) Numeriske simulationer tyder på konvergens mod den for rimelige parameterværdier. 3) For lineær approksimation omkring steady state holder konvergens (analytisk). Steady state af interesse som langsigtet konvergenspunkt!

13 6. ræk hhv. k t og h t frapåbeggesiderfor SOLOWLIGNINGERNE k t+1 k t = sk k t α (1 + n)(1+g) h ϕ t (n + g + δ + ng) k t, h t+1 h t = sh k t α (1 + n)(1+g) h ϕ t (n + g + δ + ng) h t. SEADY SAE En steady state er et hvilepunkt, hvor k t+1 k t = h t+1 h t =0: s K k α h ϕ (n + g + δ + ng) k =0, s H k α h ϕ (n + g + δ + ng) h =0. Steady state-værdier k og h følger...