Oversigt [LA] 3, 4, 5
|
|
- Ada Paulsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Test løsningsmængde Calculus Uge
2 Matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p c ik = a i1 b 1k + + a in b nk = n j=1 a ij b jk Calculus Uge
3 Gange er nemt [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.11 I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk = a i1 b 1k + + a ij b jk + + a in b nk Calculus Uge
4 Vigtigste regneregel [LA] 3 Matricer Sætning associativ lov Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Bemærkning 3.19 Distributive love A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC Calculus Uge
5 Pas på [LA] 2 Matricer Bemærkning advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er AB BA ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) Calculus Uge
6 Pas på [LA] 2 Matricer Bemærkning advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er AB BA ( ) ( ) = Nulreglen gælder ikke ( ) ( ) = ( ) ( ) A 0, B 0, AB = 0 Calculus Uge
7 Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.24 Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. Calculus Uge
8 Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.24 Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A Ae j = a j Calculus Uge
9 Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.24 Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A og produktet Ae j = a j den i-te række i A. e i A = a i Calculus Uge
10 Kvadratisk matrix, identitetsmatrix [LA] 3 Matricer Definition 3.25 En kvadratisk matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Calculus Uge
11 Kvadratisk matrix, identitetsmatrix [LA] 3 Matricer Definition 3.25 En kvadratisk matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Identitetsmatricen I n = med 1 i diagonalen og 0 udenfor er en diagonalmatrix. Calculus Uge
12 Identitetsmatricer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.26 De første tre identitetsmatricer: I 1 = ( ) 1 Calculus Uge
13 Identitetsmatricer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.26 De første tre identitetsmatricer: I 1 = ( ) 1 I 2 = ( ) Calculus Uge
14 Identitetsmatricer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.26 De første tre identitetsmatricer: I 1 = ( ) 1 I 2 = ( ) I 3 = Calculus Uge
15 Multiplikation af identitetsmatrix [LA] 3 Matricer Sætning 3.27 Lad A være en m n-matrix. Så gælder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen ændrer ikke en matrix." Calculus Uge
16 Multiplikation af identitetsmatrix [LA] 3 Matricer Sætning 3.27 Lad A være en m n-matrix. Så gælder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen ændrer ikke en matrix." Bevis Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j = a j Calculus Uge
17 Transponeret matrix [LA] 3 Matricer Definition 3.29 For en m n-matrix A er den transponerede matrix A T n m matricen med søjlerne fra A som rækker. Indgangene i A T er a T ji = a ij Calculus Uge
18 Transponeret matrix [LA] 3 Matricer Definition 3.29 For en m n-matrix A er den transponerede matrix A T n m matricen med søjlerne fra A som rækker. Indgangene i A T er a T ji = a ij Eksempel 3.30 Rækkevektorer og søjlevektorer transponerer til hinanden ( ) T a a b c = b og c a b c T = ( ) a b c Calculus Uge
19 Regneregler for transponering [LA] 3 Matricer Sætning 3.32 For en m n-matricer A og B gælder: 1. (A T ) T = A. 2. (A + B) T = A T + B T 3. (λa) T = λa T. Calculus Uge
20 Regneregler for transponering [LA] 3 Matricer Sætning 3.32 For en m n-matricer A og B gælder: 1. (A T ) T = A. 2. (A + B) T = A T + B T 3. (λa) T = λa T. Sætning 3.33 For en m n-matrix A og en n p-matrix B gælder B T A T = (AB) T Calculus Uge
21 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Definition 4.3 En afbildning f : R n R m er en lineær afbildning, hvis sum og skalarmultiplikation bevares f(u + v) = f(u) + f(v) f(au) = af(u) Calculus Uge
22 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Definition 4.3 En afbildning f : R n R m er en lineær afbildning, hvis sum og skalarmultiplikation bevares f(u + v) = f(u) + f(v) f(au) = af(u) Sætning 4.5 Hvis f : R n R m er en lineær afbildning, så bevares linearkombinationer f(a 1 u a k u k ) = a 1 f(u 1 ) + + a k f(u k ) Calculus Uge
23 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. f(x,y) = (y,x + y) Calculus Uge
24 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) Calculus Uge
25 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) Calculus Uge
26 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) Calculus Uge
27 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) = f(x 1,y 1 ) + f(x 2,y 2 ) Calculus Uge
28 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) Tilsvarende for skalarmultiplikation. = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) = f(x 1,y 1 ) + f(x 2,y 2 ) Calculus Uge
29 Matrix til lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.7 For en m n-matrix A defineres en afbildning R n R m ved u Au Calculus Uge
30 Matrix til lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.7 For en m n-matrix A defineres en afbildning R n R m ved u Au Eksempel 4.8 ( u 1 u 2 ) ( ) ( u 1 u 2 ) = ( ) u 1 + 3u 2 3u 1 + 4u 2 Calculus Uge
31 Lineær afbildning til matrix [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.11 Enhver lineær afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix A = Matr(f) f(u) = Au Calculus Uge
32 Lineær afbildning til matrix [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.11 Enhver lineær afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix A = Matr(f) f(u) = Au Bemærk f(e j ) = a j j-te søjle i matricen for f er billedet af j-te enhedsvektor i R n. Calculus Uge
33 Opgave [LA] 4 Lineære afbildninger Opgave Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Calculus Uge
34 Opgave [LA] 4 Lineære afbildninger Opgave Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er ( ) f(e 1 ) = f( 1 0 ) = ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 ( ) 1 1 Calculus Uge
35 Opgave [LA] 4 Lineære afbildninger Opgave Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er Heraf ( ) f(e 1 ) = f( 1 0 ) = ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 Matr(f) = ( ) ( ) 1 1 Calculus Uge
36 Opgave [LA] 4 Lineære afbildninger Opgave Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er Heraf ( ) f(e 1 ) = f( 1 0 ) = ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 Matr(f) = ( ) ( ) 1 1 Prøve ( ) ( ) 0 1 x 1 1 y = ( ) y x + y Calculus Uge
37 Multiplicere = sammensætte [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.14 Lad f,g være lineære afbildninger R n f R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineær og Matr(g f) = Matr(g) Matr(f) Calculus Uge
38 Multiplicere = sammensætte [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.14 Lad f,g være lineære afbildninger R n f R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineær og Matr(g f) = Matr(g) Matr(f) Bevis For f(u) = Au, g(v) = Bv giver den associative lov g f(u) = g(f(u)) = B(Au) = (BA)u Calculus Uge
39 Test matrix-afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) Calculus Uge
40 Test matrix-afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) Løsning Søjlerne i 3 2-matricen er f(1, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1) = (1, 1, 1) Calculus Uge
41 Test matrix-afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Løsning Søjlerne i 3 2-matricen er Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) f(1, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1) = (1, 1, 1) Calculus Uge
42 Spejling [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.16 S θ er spejlingen i linjen med retningsvinkel på θ. Calculus Uge
43 Spejling [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.16 S θ er spejlingen i linjen med retningsvinkel på θ. e 1 går i vektoren e 2θ = ( cos 2θ sin 2θ ) x 2 e 2 e 2θ mens e 2 går over i ( sin 2θ ê 2θ = cos 2θ θ ) e 1 x 1 ê 2θ Calculus Uge
44 Spejling [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.16 S θ er spejlingen i linjen med retningsvinkel på θ. e 1 går i vektoren e 2θ = ( cos 2θ sin 2θ ) x 2 e 2 e 2θ mens e 2 går over i θ ( ) e 1 x 1 sin 2θ ê 2θ = ê 2θ cos 2θ Matricen for spejlingen er ( ) cos 2θ sin 2θ Matr(S θ ) = sin 2θ cos 2θ Calculus Uge
45 Drejning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.17 D θ er drejningen på θ mod uret. Calculus Uge
46 Drejning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.17 D θ er drejningen på θ mod uret. e 1 går i vektoren e θ = ( cos θ sin θ ) x 2 e 2 e θ mens e 2 går over i ( sin θ ê θ = cosθ ê θ ) 0 e 1 x 1 θ Calculus Uge
47 Drejning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.17 D θ er drejningen på θ mod uret. e 1 går i vektoren e θ = ( cos θ sin θ ) x 2 e 2 e θ mens e 2 går over i θ ( ) 0 e 1 x 1 sin θ ê θ = cosθ Matricen for drejningen er ( ) cosθ sin θ Matr(D θ ) = sin θ cosθ Calculus Uge ê θ
48 Invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA Calculus Uge
49 Invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA B er entydigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. B = A 1 Calculus Uge
50 Invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA B er entydigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. B = A 1 Bevis Entydighed: For AC = I = CA er B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C Calculus Uge
51 Invers diagonalmatrix [LA] 5 Inverse matricer Eksempel 5.6 En diagonal n n-matrix Λ = λ λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Calculus Uge
52 Invers diagonalmatrix [LA] 5 Inverse matricer Eksempel 5.6 En diagonal n n-matrix Λ = λ λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Den inverse er λ Λ 1 = λ 1 n Calculus Uge
53 Inverter produkt [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.7 Lad A,B være invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gælder (AB) 1 = B 1 A 1 "Pas på rækkefølgen." Calculus Uge
54 Inverter produkt [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.7 Lad A,B være invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gælder (AB) 1 = B 1 A 1 "Pas på rækkefølgen." Bevis (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n Calculus Uge
55 Test invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Afkryds: ja nej Calculus Uge
56 Test invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Løsning Den rigtige formel er (AB) 1 = B 1 A 1 Afkryds: ja nej Calculus Uge
57 Test invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Løsning Den rigtige formel er Afkryds: ja nej (AB) 1 = B 1 A 1 Calculus Uge
58 Invers afbildning og matrix [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.9 Den lineære afbildning f : R n R n givet ved f(x) = Ax er bijektiv, hvis og kun hvis matricen A er invertibel. I så fald er den inverse afbildning lineær og givet ved multiplikation med matricen A 1. Calculus Uge
59 Invers afbildning og matrix [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.9 Den lineære afbildning f : R n R n givet ved f(x) = Ax er bijektiv, hvis og kun hvis matricen A er invertibel. I så fald er den inverse afbildning lineær og givet ved multiplikation med matricen A 1. R n x x Ax A 1 y y R n y = Ax Calculus Uge
60 Matrix potens [LA] 3 Matricer Definition 5.12 For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Calculus Uge
61 Matrix potens [LA] 3 Matricer Definition 5.12 For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Hvis A er invertibel, så er A k = (A 1 ) k = (A k ) 1 Calculus Uge
62 Matrix potens [LA] 3 Matricer Definition 5.12 For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Hvis A er invertibel, så er A k = (A 1 ) k = (A k ) 1 For enhedsmatricen er I k n = I n Calculus Uge
63 Pas på matrix potens [LA] 3 Matricer Bemærkning 5.13 Potensregneregler gælder A l A m = A l+m (A l ) m = A lm Calculus Uge
64 Pas på matrix potens [LA] 3 Matricer Bemærkning 5.13 Potensregneregler gælder A l A m = A l+m Men normalt er (A l ) m = A lm A m B m (AB) m Calculus Uge
65 Pas på matrix potens [LA] 3 Matricer Bemærkning 5.13 Potensregneregler gælder A l A m = A l+m Men normalt er For eksempel (A l ) m = A lm A m B m (AB) m A 2 B 2 = (AA)(BB) (AB)(AB) = (AB) 2 Calculus Uge
66 Potens af diagonalmatrix [LA] 3 Matricer Eksempel 5.14 For en diagonal n n-matrix Λ = λ λ n og k = 0, 1, 2,... er potensen λ k Λ k = λ k n Calculus Uge
67 Matrix potens [LA] 3 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Calculus Uge
68 Matrix potens [LA] 3 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Løsning Bemærk ( 1 x 0 1 ) ( ) 1 y 0 1 = ( ) 1 x + y 0 1 Calculus Uge
69 Matrix potens [LA] 3 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Løsning Bemærk ( 1 x 0 1 ) ( ) 1 y 0 1 = ( ) 1 x + y 0 1 Heraf ( ) k ( ) 1 a 1 ka = Calculus Uge
70 Transponering af invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.16 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis den transponerede A T er invertibel. I så fald er (A T ) 1 = (A 1 ) T Calculus Uge
71 Transponering af invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.16 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis den transponerede A T er invertibel. I så fald er (A T ) 1 = (A 1 ) T Bevis Gør prøve ved brug af regnereglerne (A T )(A 1 ) T = (A 1 A) T = I T = I Calculus Uge
72 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m. Calculus Uge
73 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m På matrix form A = (a ij ) m n-matrix, b = (b i ) m-søjle, x = (x j ) n-søjle Ax = b. Calculus Uge
74 Ligninger på matrix form Definition fortsat Matrix form skrevet ud Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer Calculus Uge
75 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition fortsat Matrix form skrevet ud Ax = b a a 1n a a 2n. x 1 x 2. = b 1 b 2. a m1... a mn x n b m Calculus Uge
76 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer Calculus Uge
77 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix Calculus Uge
78 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system Calculus Uge
79 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Calculus Uge
80 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.6 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = 16 Calculus Uge
81 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.6 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = Vælg x 3 = 0 og løs x 2 = 16. Indsæt i første ligning 2x = 28 Calculus Uge
82 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.6 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = Vælg x 3 = 0 og løs x 2 = 16. Indsæt i første ligning 2x = Dette giver partikulær løsning (x 1,x 2,x 3 ) = (2, 16, 0) Calculus Uge
83 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 + 2x x x 3 = 2 2x x 3 = x 3 = x x Calculus Uge
84 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 + 2x x x 3 = 2 2x x 3 = x 3 = x x hvor x 3 kan vælges frit. Calculus Uge
85 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.7 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Calculus Uge
86 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.7 x 1 + x 2 + x 3 = 1 1. Vælg x 3 = x 2 = 0 og løs x 1 = 1 Calculus Uge
87 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.7 x 1 + x 2 + x 3 = 1 1. Vælg x 3 = x 2 = 0 og løs x 1 = 1 2. Det giver partikulær løsning (x 1,x 2,x 3 ) = (1, 0, 0) Calculus Uge
88 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 x = x 2 x 3 1 x x x 3 0 x 3 = x x Calculus Uge
89 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 x = x 2 x 3 1 x x x 3 0 x 3 = x x hvor både x 2 og x 3 kan vælges frit. Calculus Uge
90 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et homogent lineært ligningssystem A x = 0. Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er aldrig en løsning. (b) 0 er altid en løsning. (c) Der er altid en løsning x 0. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Calculus Uge
91 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et homogent lineært ligningssystem A x = 0. Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er aldrig en løsning. (b) 0 er altid en løsning. (c) Der er altid en løsning x 0. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Løsning Gør prøve A 0 = 0 Calculus Uge
92 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et homogent lineært ligningssystem A x = 0. Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er aldrig en løsning. (b) 0 er altid en løsning. (c) Der er altid en løsning x 0. Løsning Gør prøve Afkryds det sande: A 0 = 0 (a) (b) (c) Calculus Uge
Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereFigur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller
Læs mereOversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3
Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereLINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER
LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mereTo ligninger i to ubekendte
Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereOversigt [LA] 6, 7, 8
Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10
Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
Læs mereLineær algebra 1. kursusgang
Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra
Læs mereLineær Algebra. Differentialligninger
Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer..............................
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereMatematik H1. Lineær Algebra
Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereIndhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer
Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereUndervisningsnotat. Matricer
Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereCarl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen
Carl Friedrich Gauß 777 8, malet af Christian Albrecht Jensen Lineær algebra Ikast Ikast Version Hæftet her skal ses som et supplement til Klaus Thomsens forelæsninger på Aarhus Universitet og låner flittigt
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereLineære ligningssystemer og Gauss-elimination
Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereSætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med
Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform
Læs mere2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010
1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik
Læs mereDesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination
DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereMatrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com
Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder
Læs mereMatrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra
Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereOversigt [LA] 11, 12, 13
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 7
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji
Læs mereMatematik Camp Noter og Opgaver
Matematik Camp 2018 Noter og Opgaver Freja Elbro Simon Skjernaa Erfurth Jonas Rysgaard Jensen Benjamin Muntz Anders Jess Pedersen Eigil Fjeldgren Rischel Nikolaj Jensen Ulrik Indhold Indhold i 1 Introduktion
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereDesignMat Komplekse tal
DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereLineær Algebra eksamen, noter
Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,
Læs mereDiagonalisering. Definition (diagonaliserbar)
1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereMCG - 2. Regneoperationer der kan bruges på vektorer: Vektoraddition: hvis v og w er vektorer så er v + w en vektor.
MCG - 2 Regneoperationer der kan bruges på vektorer: Vektoraddition: hvis v og w er vektorer så er v + w en vektor. (v 0, v 1,..., v n 1 )+(w 0, w 1,..., w n 1 ) = (v 0 +w 0, v 1 +w 1,..., v n 1 +w n 1
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,
Læs mereNøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning
Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion
Læs mereSymmetriske og ortogonale matricer Uge 6
Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede
Læs mereDesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I
DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs mereUnderrum - generaliserede linjer og planer
1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.
Læs mereVektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor
enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske
Læs mereMATRICER LINEÆRE LIGNINGER
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereMatematik og FormLineære ligningssystemer
Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereAlgebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering
Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................
Læs mereNøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion
Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar
Læs mere