Oversigt [LA] 3, 4, 5

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Oversigt [LA] 3, 4, 5"

Transkript

1 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Test løsningsmængde Calculus Uge

2 Matrix multiplikation [LA] 3 Matricer Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. A = (a ij ) i=1...m,j=1...n B = (b jk ) j=1...n,k=1...p AB = (c ik ) i=1...m,k=1...p c ik = a i1 b 1k + + a in b nk = n j=1 a ij b jk Calculus Uge

3 Gange er nemt [LA] 3 Matricer Bemærkning 3.11 I c ik indgår kun den i-te række i første matrix og den k-te søjle i anden matrix. c ik = ) (a i1...a ij...a in b 1k. b jk. b nk = a i1 b 1k + + a ij b jk + + a in b nk Calculus Uge

4 Vigtigste regneregel [LA] 3 Matricer Sætning associativ lov Matrix multiplikation er associativ. Givet A en m n-matrix, B en n p-matrix og C en p q-matrix, så er følgende to m q-matricer ens. (AB)C = A(BC) Bemærkning 3.19 Distributive love A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC Calculus Uge

5 Pas på [LA] 2 Matricer Bemærkning advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er AB BA ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) Calculus Uge

6 Pas på [LA] 2 Matricer Bemærkning advarsler Den kommutative lov holder ikke Normalt er AB BA ( ) ( ) = Nulreglen gælder ikke ( ) ( ) = ( ) ( ) A 0, B 0, AB = 0 Calculus Uge

7 Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.24 Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. Calculus Uge

8 Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.24 Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A Ae j = a j Calculus Uge

9 Multiplikation af enhedsvektorer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.24 Den i-te standard enhedsvektor e i multiplicerer fra højre som søjle og fra venstre som række. For en m n-matrix A er produktet den j-te søjle i A og produktet Ae j = a j den i-te række i A. e i A = a i Calculus Uge

10 Kvadratisk matrix, identitetsmatrix [LA] 3 Matricer Definition 3.25 En kvadratisk matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Calculus Uge

11 Kvadratisk matrix, identitetsmatrix [LA] 3 Matricer Definition 3.25 En kvadratisk matrix er en n n-matrix. En diagonalmatrix er en kvadratisk matrix, hvor indgange udenfor diagonalen alle er 0. Identitetsmatricen I n = med 1 i diagonalen og 0 udenfor er en diagonalmatrix. Calculus Uge

12 Identitetsmatricer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.26 De første tre identitetsmatricer: I 1 = ( ) 1 Calculus Uge

13 Identitetsmatricer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.26 De første tre identitetsmatricer: I 1 = ( ) 1 I 2 = ( ) Calculus Uge

14 Identitetsmatricer [LA] 3 Matricer Eksempel 3.26 De første tre identitetsmatricer: I 1 = ( ) 1 I 2 = ( ) I 3 = Calculus Uge

15 Multiplikation af identitetsmatrix [LA] 3 Matricer Sætning 3.27 Lad A være en m n-matrix. Så gælder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen ændrer ikke en matrix." Calculus Uge

16 Multiplikation af identitetsmatrix [LA] 3 Matricer Sætning 3.27 Lad A være en m n-matrix. Så gælder I m A = A = AI n "Matrix multiplikation med identitetsmatricen ændrer ikke en matrix." Bevis Den j-te søjle i I n er e j, så den j-te søjle i AI n er den j-te søjle i A. Ae j = a j Calculus Uge

17 Transponeret matrix [LA] 3 Matricer Definition 3.29 For en m n-matrix A er den transponerede matrix A T n m matricen med søjlerne fra A som rækker. Indgangene i A T er a T ji = a ij Calculus Uge

18 Transponeret matrix [LA] 3 Matricer Definition 3.29 For en m n-matrix A er den transponerede matrix A T n m matricen med søjlerne fra A som rækker. Indgangene i A T er a T ji = a ij Eksempel 3.30 Rækkevektorer og søjlevektorer transponerer til hinanden ( ) T a a b c = b og c a b c T = ( ) a b c Calculus Uge

19 Regneregler for transponering [LA] 3 Matricer Sætning 3.32 For en m n-matricer A og B gælder: 1. (A T ) T = A. 2. (A + B) T = A T + B T 3. (λa) T = λa T. Calculus Uge

20 Regneregler for transponering [LA] 3 Matricer Sætning 3.32 For en m n-matricer A og B gælder: 1. (A T ) T = A. 2. (A + B) T = A T + B T 3. (λa) T = λa T. Sætning 3.33 For en m n-matrix A og en n p-matrix B gælder B T A T = (AB) T Calculus Uge

21 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Definition 4.3 En afbildning f : R n R m er en lineær afbildning, hvis sum og skalarmultiplikation bevares f(u + v) = f(u) + f(v) f(au) = af(u) Calculus Uge

22 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Definition 4.3 En afbildning f : R n R m er en lineær afbildning, hvis sum og skalarmultiplikation bevares f(u + v) = f(u) + f(v) f(au) = af(u) Sætning 4.5 Hvis f : R n R m er en lineær afbildning, så bevares linearkombinationer f(a 1 u a k u k ) = a 1 f(u 1 ) + + a k f(u k ) Calculus Uge

23 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. f(x,y) = (y,x + y) Calculus Uge

24 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) Calculus Uge

25 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) Calculus Uge

26 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) Calculus Uge

27 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) = f(x 1,y 1 ) + f(x 2,y 2 ) Calculus Uge

28 Lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.4 Afbildningen f : R 2 R 2 givet ved er lineær. Løsning f(x,y) = (y,x + y) f((x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 )) = f(x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) Tilsvarende for skalarmultiplikation. = (y 1 + y 2,x 1 + x 2 + y 1 + y 2 ) = (y 1,x 1 + y 1 ) + (y 2,x 2 + y 2 ) = f(x 1,y 1 ) + f(x 2,y 2 ) Calculus Uge

29 Matrix til lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.7 For en m n-matrix A defineres en afbildning R n R m ved u Au Calculus Uge

30 Matrix til lineær afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.7 For en m n-matrix A defineres en afbildning R n R m ved u Au Eksempel 4.8 ( u 1 u 2 ) ( ) ( u 1 u 2 ) = ( ) u 1 + 3u 2 3u 1 + 4u 2 Calculus Uge

31 Lineær afbildning til matrix [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.11 Enhver lineær afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix A = Matr(f) f(u) = Au Calculus Uge

32 Lineær afbildning til matrix [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.11 Enhver lineær afbildning f : R n R m fremkommer fra en entydig bestemt m n-matrix A = Matr(f) f(u) = Au Bemærk f(e j ) = a j j-te søjle i matricen for f er billedet af j-te enhedsvektor i R n. Calculus Uge

33 Opgave [LA] 4 Lineære afbildninger Opgave Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Calculus Uge

34 Opgave [LA] 4 Lineære afbildninger Opgave Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er ( ) f(e 1 ) = f( 1 0 ) = ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 ( ) 1 1 Calculus Uge

35 Opgave [LA] 4 Lineære afbildninger Opgave Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er Heraf ( ) f(e 1 ) = f( 1 0 ) = ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 Matr(f) = ( ) ( ) 1 1 Calculus Uge

36 Opgave [LA] 4 Lineære afbildninger Opgave Find Matr(f) for den lineære afbildningen f(x, y) = (y, x + y). Løsning Søjlerne i Matr(f) er Heraf ( ) f(e 1 ) = f( 1 0 ) = ( ) ( ) 0 0, f(e 2 ) = f( ) = 1 1 Matr(f) = ( ) ( ) 1 1 Prøve ( ) ( ) 0 1 x 1 1 y = ( ) y x + y Calculus Uge

37 Multiplicere = sammensætte [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.14 Lad f,g være lineære afbildninger R n f R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineær og Matr(g f) = Matr(g) Matr(f) Calculus Uge

38 Multiplicere = sammensætte [LA] 4 Lineære afbildninger Sætning 4.14 Lad f,g være lineære afbildninger R n f R m g R p Så er den sammensatte afbildning g f lineær og Matr(g f) = Matr(g) Matr(f) Bevis For f(u) = Au, g(v) = Bv giver den associative lov g f(u) = g(f(u)) = B(Au) = (BA)u Calculus Uge

39 Test matrix-afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) Calculus Uge

40 Test matrix-afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) Løsning Søjlerne i 3 2-matricen er f(1, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1) = (1, 1, 1) Calculus Uge

41 Test matrix-afbildning [LA] 4 Lineære afbildninger Test Den lineære afbildning f(x,y) = (x + y,x y,y) har tilhørende matrix Matr(f): (a) (b) (c) 0 1 ( ). Løsning Søjlerne i 3 2-matricen er Afkryds den korrekte: (a) (b) (c) f(1, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1) = (1, 1, 1) Calculus Uge

42 Spejling [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.16 S θ er spejlingen i linjen med retningsvinkel på θ. Calculus Uge

43 Spejling [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.16 S θ er spejlingen i linjen med retningsvinkel på θ. e 1 går i vektoren e 2θ = ( cos 2θ sin 2θ ) x 2 e 2 e 2θ mens e 2 går over i ( sin 2θ ê 2θ = cos 2θ θ ) e 1 x 1 ê 2θ Calculus Uge

44 Spejling [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.16 S θ er spejlingen i linjen med retningsvinkel på θ. e 1 går i vektoren e 2θ = ( cos 2θ sin 2θ ) x 2 e 2 e 2θ mens e 2 går over i θ ( ) e 1 x 1 sin 2θ ê 2θ = ê 2θ cos 2θ Matricen for spejlingen er ( ) cos 2θ sin 2θ Matr(S θ ) = sin 2θ cos 2θ Calculus Uge

45 Drejning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.17 D θ er drejningen på θ mod uret. Calculus Uge

46 Drejning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.17 D θ er drejningen på θ mod uret. e 1 går i vektoren e θ = ( cos θ sin θ ) x 2 e 2 e θ mens e 2 går over i ( sin θ ê θ = cosθ ê θ ) 0 e 1 x 1 θ Calculus Uge

47 Drejning [LA] 4 Lineære afbildninger Eksempel 4.17 D θ er drejningen på θ mod uret. e 1 går i vektoren e θ = ( cos θ sin θ ) x 2 e 2 e θ mens e 2 går over i θ ( ) 0 e 1 x 1 sin θ ê θ = cosθ Matricen for drejningen er ( ) cosθ sin θ Matr(D θ ) = sin θ cosθ Calculus Uge ê θ

48 Invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA Calculus Uge

49 Invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA B er entydigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. B = A 1 Calculus Uge

50 Invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Definition En kvadratisk n n-matrix A har en invers matrix B, hvis AB = I n = BA B er entydigt bestemt og betegnes A kaldes invertibel. B = A 1 Bevis Entydighed: For AC = I = CA er B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C Calculus Uge

51 Invers diagonalmatrix [LA] 5 Inverse matricer Eksempel 5.6 En diagonal n n-matrix Λ = λ λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Calculus Uge

52 Invers diagonalmatrix [LA] 5 Inverse matricer Eksempel 5.6 En diagonal n n-matrix Λ = λ λ n med alle diagonal indgange λ i 0 er invertibel. Den inverse er λ Λ 1 = λ 1 n Calculus Uge

53 Inverter produkt [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.7 Lad A,B være invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gælder (AB) 1 = B 1 A 1 "Pas på rækkefølgen." Calculus Uge

54 Inverter produkt [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.7 Lad A,B være invertible n n-matricer. Så er AB invertibel og der gælder (AB) 1 = B 1 A 1 "Pas på rækkefølgen." Bevis (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AI n A 1 = AA 1 = I n Calculus Uge

55 Test invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Afkryds: ja nej Calculus Uge

56 Test invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Løsning Den rigtige formel er (AB) 1 = B 1 A 1 Afkryds: ja nej Calculus Uge

57 Test invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Test Lad A, B være invertible n n-matricer. Så gælder (AB) 1 = A 1 B 1. Løsning Den rigtige formel er Afkryds: ja nej (AB) 1 = B 1 A 1 Calculus Uge

58 Invers afbildning og matrix [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.9 Den lineære afbildning f : R n R n givet ved f(x) = Ax er bijektiv, hvis og kun hvis matricen A er invertibel. I så fald er den inverse afbildning lineær og givet ved multiplikation med matricen A 1. Calculus Uge

59 Invers afbildning og matrix [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.9 Den lineære afbildning f : R n R n givet ved f(x) = Ax er bijektiv, hvis og kun hvis matricen A er invertibel. I så fald er den inverse afbildning lineær og givet ved multiplikation med matricen A 1. R n x x Ax A 1 y y R n y = Ax Calculus Uge

60 Matrix potens [LA] 3 Matricer Definition 5.12 For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Calculus Uge

61 Matrix potens [LA] 3 Matricer Definition 5.12 For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Hvis A er invertibel, så er A k = (A 1 ) k = (A k ) 1 Calculus Uge

62 Matrix potens [LA] 3 Matricer Definition 5.12 For en kvadratisk n n-matrix A defineres potens, k = 0, 1, 2,..., A 0 = I n, A k = A k 1 A Hvis A er invertibel, så er A k = (A 1 ) k = (A k ) 1 For enhedsmatricen er I k n = I n Calculus Uge

63 Pas på matrix potens [LA] 3 Matricer Bemærkning 5.13 Potensregneregler gælder A l A m = A l+m (A l ) m = A lm Calculus Uge

64 Pas på matrix potens [LA] 3 Matricer Bemærkning 5.13 Potensregneregler gælder A l A m = A l+m Men normalt er (A l ) m = A lm A m B m (AB) m Calculus Uge

65 Pas på matrix potens [LA] 3 Matricer Bemærkning 5.13 Potensregneregler gælder A l A m = A l+m Men normalt er For eksempel (A l ) m = A lm A m B m (AB) m A 2 B 2 = (AA)(BB) (AB)(AB) = (AB) 2 Calculus Uge

66 Potens af diagonalmatrix [LA] 3 Matricer Eksempel 5.14 For en diagonal n n-matrix Λ = λ λ n og k = 0, 1, 2,... er potensen λ k Λ k = λ k n Calculus Uge

67 Matrix potens [LA] 3 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Calculus Uge

68 Matrix potens [LA] 3 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Løsning Bemærk ( 1 x 0 1 ) ( ) 1 y 0 1 = ( ) 1 x + y 0 1 Calculus Uge

69 Matrix potens [LA] 3 Matricer Opgave Beregn matrix potensen ( 1 a 0 1 ) k Løsning Bemærk ( 1 x 0 1 ) ( ) 1 y 0 1 = ( ) 1 x + y 0 1 Heraf ( ) k ( ) 1 a 1 ka = Calculus Uge

70 Transponering af invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.16 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis den transponerede A T er invertibel. I så fald er (A T ) 1 = (A 1 ) T Calculus Uge

71 Transponering af invers matrix [LA] 5 Inverse matricer Sætning 5.16 En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis den transponerede A T er invertibel. I så fald er (A T ) 1 = (A 1 ) T Bevis Gør prøve ved brug af regnereglerne (A T )(A 1 ) T = (A 1 A) T = I T = I Calculus Uge

72 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m. Calculus Uge

73 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås a 11 x a 1n x n = b 1 a 21 x a 2n x n = b 2 a m1 x a mn x n = b m På matrix form A = (a ij ) m n-matrix, b = (b i ) m-søjle, x = (x j ) n-søjle Ax = b. Calculus Uge

74 Ligninger på matrix form Definition fortsat Matrix form skrevet ud Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer Calculus Uge

75 Ligninger på matrix form [LA] 6 Lineære ligningssystemer Definition fortsat Matrix form skrevet ud Ax = b a a 1n a a 2n. x 1 x 2. = b 1 b 2. a m1... a mn x n b m Calculus Uge

76 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer Calculus Uge

77 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix Calculus Uge

78 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system Calculus Uge

79 Koefficient matrix Definition 6.4 Givet ligningssystemet Ax = b [LA] 6 Lineære ligningssystemer 1. A koefficientmatrix 2. b = 0 homogent system 3. b 0 inhomogent system 4. Partikulær løsning en funden løsning, fuldstændig løsning mængden af alle løsninger Calculus Uge

80 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.6 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = 16 Calculus Uge

81 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.6 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = Vælg x 3 = 0 og løs x 2 = 16. Indsæt i første ligning 2x = 28 Calculus Uge

82 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.6 2x 1 2x 2 4x 3 = 28 x 2 + 2x 3 = Vælg x 3 = 0 og løs x 2 = 16. Indsæt i første ligning 2x = Dette giver partikulær løsning (x 1,x 2,x 3 ) = (2, 16, 0) Calculus Uge

83 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 + 2x x x 3 = 2 2x x 3 = x 3 = x x Calculus Uge

84 2 ligninger 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 + 2x x x 3 = 2 2x x 3 = x 3 = x x hvor x 3 kan vælges frit. Calculus Uge

85 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.7 x 1 + x 2 + x 3 = 1 Calculus Uge

86 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.7 x 1 + x 2 + x 3 = 1 1. Vælg x 3 = x 2 = 0 og løs x 1 = 1 Calculus Uge

87 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel 6.7 x 1 + x 2 + x 3 = 1 1. Vælg x 3 = x 2 = 0 og løs x 1 = 1 2. Det giver partikulær løsning (x 1,x 2,x 3 ) = (1, 0, 0) Calculus Uge

88 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 x = x 2 x 3 1 x x x 3 0 x 3 = x x Calculus Uge

89 1 ligning 3 ubkendte [LA] 6 Lineære ligningssystemer Eksempel fortsat Den fuldstændige løsning er x 1 x 2 x 3 = x 2 x = x 2 x 3 1 x x x 3 0 x 3 = x x hvor både x 2 og x 3 kan vælges frit. Calculus Uge

90 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et homogent lineært ligningssystem A x = 0. Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er aldrig en løsning. (b) 0 er altid en løsning. (c) Der er altid en løsning x 0. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Calculus Uge

91 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et homogent lineært ligningssystem A x = 0. Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er aldrig en løsning. (b) 0 er altid en løsning. (c) Der er altid en løsning x 0. Afkryds det sande: (a) (b) (c) Løsning Gør prøve A 0 = 0 Calculus Uge

92 Test Løsningsmængde [LA] 6 Lineære ligningssystemer Test Betragt et homogent lineært ligningssystem A x = 0. Hvilket af følgende udsagn er sandt (uanset hvordan A ser ud) (a) 0 er aldrig en løsning. (b) 0 er altid en løsning. (c) Der er altid en løsning x 0. Løsning Gør prøve Afkryds det sande: A 0 = 0 (a) (b) (c) Calculus Uge

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.

Nøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix. Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse

Læs mere

Oversigt [LA] 3, 4, 5

Oversigt [LA] 3, 4, 5 Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers matrix Matrix potens Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation

Læs mere

Nøgleord og begreber

Nøgleord og begreber Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2 Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu

Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære

Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =

Læs mere

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER

LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER LINEÆR ALGEBRA DIFFERENTIALLIGNINGER NOTER TIL CALCULUS 006 NIELSEN - SALOMONSEN INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG AARHUS UNIVERSITET 006 Indhold Forord 5. Vektorer og linearkombinationer 7. Basis og dimension

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

To ligninger i to ubekendte

To ligninger i to ubekendte Oversigt [LA] 6, 7 Nøgleord og begreber Løs ligninger Eliminer ubekendte Rækkereduktion Reduceret matrix Enten-eller princippet Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Beregn invers matrix Calculus

Læs mere

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer

Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn

Læs mere

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge

Eksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig

Læs mere

Oversigt [LA] 6, 7, 8

Oversigt [LA] 6, 7, 8 Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer Løsningsmængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen

Læs mere

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.

1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal. SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret

Læs mere

Note om endelige legemer

Note om endelige legemer Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er

Nøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17

Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Lineær Algebra. Differentialligninger

Lineær Algebra. Differentialligninger Lineær Algebra og Differentialligninger til Calculus 1 og 2 Århus 2005 Anders Kock og Holger Andreas Nielsen Indhold 1 Koordinatvektorer........................ 1 2 Matricer..............................

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Matematik H1. Lineær Algebra

Matematik H1. Lineær Algebra Matematik H Forelæsningsnoter til Lineær lgebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af smus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk fdeling ugust ii oplag, juli 4 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Calculus Uge

Calculus Uge Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant

DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002

Oversigt Matematik Alfa 1, August 2002 Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Carl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen

Carl Friedrich Gauß ( ), malet af Christian Albrecht Jensen. Lineær algebra. Ib Michelsen Carl Friedrich Gauß 777 8, malet af Christian Albrecht Jensen Lineær algebra Ikast Ikast Version Hæftet her skal ses som et supplement til Klaus Thomsens forelæsninger på Aarhus Universitet og låner flittigt

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm 18 februar 008 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Et eksempel Et eksempel 100g mælk Komælk Fåremælk Gedemælk Protein g 6g 8g

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave

Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005

Læs mere

MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen

MASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med

Sætning (Kædereglen) For f(u), u = g(x) differentiable er den sammensatte funktion F = f g differentiabel med Oversigt [S] 3.5, 11.5 Nøgleord og begreber Kædereglen i en variabel Kædereglen to variable Test kædereglen Kædereglen i tre eller flere variable Jacobimatricen Kædereglen på matrixform Test matrixform

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination

DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination DesignMat Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination Preben Alsholm Uge Forår 010 1 Lineære ligningssystemer og Gauss-elimination 11 Om talrummet R n Om talsæt bestående af n tal R n er blot mængden

Læs mere

3.1 Baser og dimension

3.1 Baser og dimension SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V

Læs mere

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com

Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86. Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com Matrix Algebra med Excel Forelæsningsnoter til FR86 Jesper Lund mail@jesperlund.com http://www.jesperlund.com 28. august 2002 1 Indledning Matrix algebra er et uundværligt redskab til økonometri, herunder

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

4.1 Lineære Transformationer

4.1 Lineære Transformationer SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

Matematik Camp Noter og Opgaver

Matematik Camp Noter og Opgaver Matematik Camp 2018 Noter og Opgaver Freja Elbro Simon Skjernaa Erfurth Jonas Rysgaard Jensen Benjamin Muntz Anders Jess Pedersen Eigil Fjeldgren Rischel Nikolaj Jensen Ulrik Indhold Indhold i 1 Introduktion

Læs mere

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet

x 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

DesignMat Komplekse tal

DesignMat Komplekse tal DesignMat Komplekse tal Preben Alsholm Uge 7 Forår 010 1 Talmængder 1.1 Talmængder Talmængder N er mængden af naturlige tal, 1,, 3, 4, 5,... Z er mængden af hele tal... 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5,....

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra

Læs mere

MCG - 2. Regneoperationer der kan bruges på vektorer: Vektoraddition: hvis v og w er vektorer så er v + w en vektor.

MCG - 2. Regneoperationer der kan bruges på vektorer: Vektoraddition: hvis v og w er vektorer så er v + w en vektor. MCG - 2 Regneoperationer der kan bruges på vektorer: Vektoraddition: hvis v og w er vektorer så er v + w en vektor. (v 0, v 1,..., v n 1 )+(w 0, w 1,..., w n 1 ) = (v 0 +w 0, v 1 +w 1,..., v n 1 +w n 1

Læs mere

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.

Matematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. januar,

Læs mere

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning

Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Oversigt [S] App. I, App. H.1 Nøgleord og begreber Komplekse tal Test komplekse tal Polære koordinater Kompleks polarform De Moivres sætning Test komplekse tal Komplekse rødder Kompleks eksponentialfunktion

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER 6. udgave 2016 FORORD Dette notat viser hvorledes man kan løse lineære ligningssystemer ved Gaussmetode dels uden regnemidler dels med regnemidler.

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I

DesignMat Uge 4 Systemer af lineære differentialligninger I DesignMat Uge Systemer af lineære differentialligninger I Preben Alsholm Efterår 008 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden I Lineært differentialligningssystem

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Underrum - generaliserede linjer og planer

Underrum - generaliserede linjer og planer 1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER

MATRICER LINEÆRE LIGNINGER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN MATRICER og LINEÆRE LIGNINGER med inddragelse af lommeregner (TI89) og programmerne TI-Nspire og Mathcad 0 3 4 3 4 0 3 0 3 0 3 4 x x x x 3 udgave 03 FORORD Dette notat giver en

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Digital eksamensopgave med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet Forberedelsesmateriale frs-matn/a-270420 Onsdag den 27. april 20 Forberedelsesmateriale til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på modsatte side hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Matematik og FormLineære ligningssystemer

Matematik og FormLineære ligningssystemer Matematik og Form Lineære ligningssystemer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2014 Ligningssystemer og matricer Til et ligningssystem svarer der en totalmatrix [A b] bestående af koefficientmatrix

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere