Repetition: Ikke-kontinuert (diskret) stokastisk variabel, middelværdi, varians og spredning, sandsynlighedsfordeling og fordelingsfunktion
|
|
- Einar Ipsen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 NORMALORDELING MIDDELVÆRDI, VARIANS, SREDNING SANDSNLIGHEDSORDELING OG ORDELINGSUNKTION NORMALORDELING OG STANDARD-NORMALORDELING SAMMENLIGNING MED BINOMIALORDELINGEN KONIDENSINTERVALLER REGRESSIONSANALSE Rptton: Ikk-kontnurt (dskrt) stokastsk varabl, mddlværd, varans og sprdnng, sandsynlghdsfordlng og fordlngsfunkton ra vors bhandlng af kk-kontnurt (dskrt) stokastsk varabl huskr v: [] Et ndlgt sandsynlghdsflt ( ) U, samlr t ndlgt udfaldsrum U for t gvt stokastsk ksprmnt, som lggr tl grund for vors btragtnng, og n tlhørnd sandsynlghdsfunkton, dr r n funkton, som opfyldr følgnd krav: Dm U Vm 0;, altså u U : 0 ( u) [ ] ( u) u U Sandsynlghdsfunktonn fortællr os, hvor sandsynlgt hvrt nklt udfald udfaldsrummt r. [] En stokastsk varabl r n funkton, dr opfyldr følgnd btnglsr: Dm U Vm( ) R I tortsk sammnhæng arbjdr v oft md stokastsk varabl udn at hav gjort os tankr om dt konkrt tlgrundlggnd stokastsk ksprmnt. D ovnstånd bgrbsdfntonr ladr sg umddlbart udvd tl t tælllgt udfaldsrum, som dt f.ks. lggr tl grund for n osson-fordlt stokastsk varabl, og t drmd tælllgt sandsynlghdsflt. Dn stokastsk varabl kalds dskrt, hvs ( ) Vm r ndlg llr tælllg. Hyprgomtrsk fordlt, bnomalfordlt llr osson-fordlt stokastsk varabl Vm r ksmplr på dskrt stokastsk varabl. or d to førstnævnt r ndlg, for dn sdsts vdkommnd r Vm ( ) tælllg. NORMALORDELING 3MAT (JL) s.
2 [3] V dfnrr mddlværd, varans og sprdnng af n dskrt stokastsk varabl som µ µ E u u Var ( ) E u U ( E ) ) E ( µ ) ( ) ( E( )) E µ E (*) ( ( u) ) ( u) ( E( )) ( ( u) ) ( u) µ (*) u U u U σ σ σ Var Bmærk, at lnrn (*) kk r n dl af dfntonn, mn nogt, v har vst md udgangspunkt dfntonn. V skrvr også Var ( ) σ σ som symbol for varansn. [4] V dfnrr n dskrt stokastsk varabls fordlngsfunkton (dn kumulrd sandsynlghd) som t t t, hvor ( ) Vm 0, [5] V har fundt, at dnn har følgnd gnskabr: lm t r kk-aftagnd, 0 t Dm R og [ ] og lm ( t) t [6] Og v dfnrr n dskrt stokastsk varabls sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) som f t f t t, hvor ( f ) Vm f 0, Dm R og [ ] [7] V kan umddlbart s, at dr må gæld følgnd sammnhæng: t t f Vm ( ) ] ; t ] Vm ( ) ] ; t ]. EKSEMEL Dtt sdst kan f.ks. llustrrs md udgangspunkt n bnomalfordlt stokastsk varabl ~ b 0,. or dnn vl gæld 3 ( 4) ( 4) ( ) f. { 0,,,...,0 } ] ;4 ] NORMALORDELING 3MAT (JL) s.
3 Kontnurt stokastsk varabl, fordlngsfunkton, sandsynlghdsfordlng or n kontnurt stokastsk varabl kan v ovrtag vors grundlæggnd forståls af bgrbrn udfaldsrum og stokastsk varabl fra afsnttt ovnfor om dskrt stokastsk varabl, s []: En stokastsk varabl r n funkton, dr opfyldr følgnd btnglsr: Dm ( ) U Vm( ) R Modsat ovnfor bgrænsr v os hr kk tl at s på ndlg llr tælllg udfaldsrum U. V kunn også sammnfatt d to nvaur dt stokastsk ksprmnts udfaldsrum og dn stokastsk varabl og sg, at n stokastsk varabl r n størrls, dr måls vd t stokastsk ksprmnt. V kan drftr ovrnsstmmls md [4] for dskrt stokastsk varabl ovnfor dfnr dn stokastsk varabls fordlngsfunkton ORDELINGSUNKTION DEINITION En fordlngsfunkton for n dskrt llr kontnurt stokastsk varabl r n funkton ( t) ( t) ( t) md Dm( ) R og ( ) [ 0;] hvor ( t) Vm, skal forstås som sandsynlghdn for, at t. Dt r ovrnsstmmls md [5] for dskrt stokastsk varabl ovnfor oplagt, at r n kk-aftagnd funkton samt, at v har følgnd to grænsværdr: ( t) 0 lm t og lm ( t) t. funktonn bl.a. vd at fastlægg Modsat [] ovnfor for dskrt stokastsk varabl kan v mdlrtd kk forklar u, dt v kk kan summ ovr n kktælllg mængd U. u U NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 3
4 KONTINUERT STOKASTISK VARIABEL DEINITION En stokastsk varabl kalds kontnurt, hvs dn tlhørnd fordlngsfunkton ( t) r n kontnurt og stykkvs dffrntabl funkton. I dt følgnd vl v bgræns os tl at s på kontnurt t r stokastsk varabl, hvs tlhørnd fordlngsfunkton kontnurt og dffrntabl ovralt, altså hl Dm ( ). Lad os s på ntrval- og punktsandsynlghdr for n kontnurt stokastsk varabl. Dr må gæld forudsat < : ( < ) ( ) EKSKURS Entn r dtt oplagt llr dt ss vd at omformulr og anvnd følgnd sætnng om rgnng md sandsynlghd for hændlsr: ( A B) ( A) ( B) ( A B) ( A B) ( A) ( B) ( A B) Hrmd får v ( < ) ( < ) ( { < } { } ) ( { < }) ( { } ) ( { < } { } ) (U \{ }) ( { } ) ( U ) ( ) ( ) ( ) ( ). Ovrbvst? orhåbntlg kk (!), for sætnngn om rgnng md sandsynlghd for hændlsr har v kun vst for ndlg sandsynlghdsfltr og dt r jo ntop dn bgrænsnng, v prøvr at komm ud ovr nu. Sætnngn gældr gansk vst også for kk-ndlg og kk-tælllg sandsynlghdsfltr, mn dt har v altså kk vst. At få vst ( < ) ( ) ( ) tlbundsgånd krævr faktsk n dl tortsk forarbjd, som v hr skal vælg at sprng ovr. Sorry! V tagr altså udgangspunkt ( ) ( ) ( ) kontnurt funkton må gæld ( ) ( ) for < og bmærkr, at dr for n. Dt btydr, at ( ) ( ) ( ) 0 for <. NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 4
5 Mn da 0 ( ) ( < ) må dr altså gæld: ( ) ( ) 0. or n kontnurt stokastsk varabl r sandsynlghdn for, at dn antagr n vlkårlg nkltværd altså 0. Dt må btyd, at ( ) ( < ) ( < ) ( < < ) ( ) altså, at dt vd brgnng af ntrvalsandsynlghdr r lggyldgt, om ntrvalndpunktrn rgns md llr j. Husk, at dt kk var tlfældt for dskrt stokastsk varabl. V kan nu kk som for dskrt stokastsk varabl [6] ovnfor dfnr sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) som f ( t) f ( t) ( t), da dr jo så altd vll gæld f ( t) f ( t) ( t) 0 og sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) sålds kk vll sg nogt som hlst om dn konkrt kontnurt stokastsk varabls fordlng., I stdt dfnrr v SANDSNLIGHEDSORDELING, REKVENSUNKTION DEINITION or n kontnurt stokastsk varabl md fordlngsfunkton dfnrs dn tlhørnd sandsynlghdsfordlng (llr frkvnsfunkton) f som f '. Oft vl v bar skrv f f. Dr gældr umddlbart Dm( f ) R. Da r n kk-aftagnd funkton, gældr drudovr, at : f 0 f r altså n kk-ngatv funkton.. NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 5
6 SÆTNING or n kontnurt stokastsk varabl md sandsynlghdsfordlng f kan ntrvalsandsynlghdr brgns vd (frkvnsfunkton) ( ) f ( t) dt Bvs Da f ', r n stamfunkton tl f ( t) dt [ ( t) ] ( ) ( ) ( ). f, og så gældr, at Sætnng kan f.ks. llustrrs af følgnd stuaton. En stokastsk varabl har dn ndnfor tgnd sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f. ( ) kan så brgns som aralt af områdt undr grafn, ovr -aksn og mllm d to lodrtt lnr. S også GDS s. 4, fgur 9 md 7 og 9 af dt blå områd., hvor ( 7 9) så r aralt NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 6
7 Af sætnng følgr d to ndnstånd ugntlg ntgralr: f 0 ( t) dt lm f ( t) dt lm ( ) ( ) lm ( ) ( ) ( ), altså: f ( t) dt ( ) (**) og drmd f lm ( t) dt f ( t) dt lm ( ), altså: f t dt. Dnn lgnng svarr tl ( u) u U jf. [] ovnfor for dskrt stokastsk varabl. å nvaut stokastsk varabl kunn dn formulrs ( ) f Vm hvorvd parallllttn mllm d to lgnngr blvr tydlgr. ( ), Vm ( ) Bgg lgnngr udtrykkr, at dn samld sandsynlghd r. Undrvjs fandt v også md lt ændrt bogstavbrug (**): ( t) ( t) f d. t Dnn lgnng svarr tl [7] ovnfor for dskrt stokastsk varabl, dr så sådan ud: t t f. Vm ( ) ] ; t ] I bgg tlfæld r summrn fra dn dskrt stuaton rstattt md tlsvarnd bstmt ntgralr dn kontnurt stuaton. Lad os fasthold dss to sdgvnstr følgnd sætnng, som v altså allrd har vst: NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 7
8 SÆTNING or n kontnurt stokastsk varabl md fordlngsfunkton og sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f gældr f ( t) ( t) f ( t) dt t d ØVELSE En kontnurt stokastsk varabl har sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) f f r faktsk kk dffrntabl 0, mn Dm husk lg, at vors krav dfntonn af n kontnurt stokastsk varabl gk på fordlngsfunktonn. Vs, at f opfyldr ( t) dt f. Brug sætnng tl at brgn ( ). f r kontnurt hl sn Grafn for f r tgnt ovnfor s. 6. Svarr rsultatt af dn brgnng af sandsynlghdn tl dt skøn ovr aralt af dt dér bskrvn områd? f. Og NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 8
9 Mddlværd, varans og sprdnng V dfnrr: MIDDELVÆRDI, VARIANS, SREDNING DEINITION r n kontnurt stokastsk varabl md sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f. Mddlværdn af r ( ) f µ E d. µ Varansn af r Var E( ) ) ( µ ) f ( ) E ( E( )) µ d. Sprdnngn af r σ σ σ Var. Dfntonrn mndr om d tlsvarnd dfntonr [3] for dskrt stokastsk varabl ovnfor. ØVELSE Brgn mddlværd, varans og sprdnng for dn kontnurt stokastsk varabl fra øvls. En præcs argumntrt brgnng af d nvolvrd bstmt ntgralr krævr faktsk l Hosptals rgl, dr r bskrvt hr ndnfor, s. 8. udrgns på TI83 vd flg. tastkombnaton: V huskr fra analysn, at f.ks. E( ) d altrnatvt kan funktonsudtrykkt ndtasts: ] [\] [,T,,n] [] [] [/] [] [] [nd] [ ] [(-)] [] [] [MATH] [NUM] [:abs(] [,T,,n] [)] [)] passnd grafvndu fastlæggs: [WINDOW] [mn] [(-)] [] [0] [ma] [] [0] grafn tgns: [GRAH] NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 9
10 bstmt ntgral brgns: [nd] [CALC] [7: f d ] [Lowr Lmt?] [(-)] [] [0] [ENTER] [Uppr Lmt?] [] [0] [ENTER] rsultat dsplay: f d 0 Brgnngspræmssn, som lggr tl grund for vors valg af grafvndu og ndr og øvr grænsr for ntgralt r antaglsn: E ( ) d d 0 0 som gn forudsættr, at 0 d 0 d 0 som ndlg byggr på, at < 0 > 0 0 hvlkt man må ovrbvs sg om vd at s på grafn. EKSEMEL Lad os forstll os, at v vl mål højdn af n tlfældg valgt skollv og udtrykk dnn m (mtr). Lad os kald dnn stokastsk varabl for. Lad os forstll os, at v stdt bsluttr os tl at mål højdn cm (cntmtr), og lad os kald dn ny stokastsk varabl for Z. Dr vl så gæld: Z 00. Lad os ndlg forstll os, at v vælgr at placr dn tlfældgt valgt skollv på n præcs 0 cm høj kass og mål dn samld højd af lv og kass cm. Lad os kald dnn sdst stokastsk varabl for. Dr vl så gæld: Z Dt r oplagt, at dr må vær n tæt og naturlg sammnhæng mllm fordlngsfunktonrn, Z og, mllm sandsynlghdsfordlngrn (frkvnsfunktonrn) f, f Z og f, mllm mddlværdrn E ( ), E ( Z ) og Z. Mr præcst: E ( ) samt mllm sprdnngrn σ, σ og σ NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 0
11 SÆTNING 3 r n kontnurt stokastsk varabl md fordlngsfunkton og sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f. Dn ny stokastsk varabl a b, hvor a R og b R har fordlngsfunktonn y b a ( y) og sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) samt mddlværdn og sprdnngn f a y b a ( y) f ( ) a E( ) b E σ ( ) a σ ( ) Bvs ordlngsfunkton: y b a y b a ( y) ( y) ( a b y) ( a y b) Sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton): y b y b y b y b f ( y) '( y) ' ' f f a a a a a a hvor v har brugt dffrntaton af sammnsat funkton.. NORMALORDELING 3MAT (JL) s.
12 Mddlværd: ( ) y f ( y) E E dy v substturr og bnyttr md a R og b R: y a b dy a dy a d d y b drmd og følglgt grænsændrngrn på ntgralt: a y y og får altså a b b a b f a b a d a b f a d a a ( ) ( a b) f d a f d b f d a Varans: Var f d b f d a E( ) b a E( ) b. ( ) ( y E( )) f ( y) dy ( y ( a E( ) b) ) f ( y) dy ( y a E( ) b) f ( y) dy md samm substtuton som ovnfor får v a b b ( a b a E( ) b) f ( a b) a d ( a a E( )) f a d a a ( E( )) f d a ( E( )) f d a Var( ) a Sprdnng: σ ( ) Var( ) a Var( ) a σ ( ).. Øvls 3 Hvor bvst ovnfor har v brugt bgrænsnngn a R? Øvls 4 S på ksmplt ovnfor md lv-højdrn. Antag, at har mddlværdn,68 m og sprdnngn 0,7 m. nd mddlværd og sprdnng for. NORMALORDELING 3MAT (JL) s.
13 SAMMENLIGNING: DISKRET OG KONTINUERT STOKASTISK VARIABEL V kan sammnfatt vors rsultatr følgnd ovrsgt: dskrt stokastsk varabl Sandsynlghdsflt U, r ndlg llr dt mndst tælllg Stokastsk varabl Dm Vm Vm U ( ) R ( ) r ndlg llr dt mndst tælllg ordlngsfunkton (kumulrt sandsynlghd) t t t, hvor Dm( ) R og Vm ( ) [ 0,] r kk-aftagnd, lm t lm t t 0 og t Sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) f ( t) f ( t) ( t), 0, hvor Dm( f ) R og Vm ( f ) [ ] kontnurt stokastsk varabl Sandsynlghdsflt U, r undlg Stokastsk varabl Dm Vm U ( ) R ( ) Vm r undlg, kk-tælllg ordlngsfunkton ( t) ( t) ( t) md Dm( ) R og ( ) [ 0;] ( t) Vm, skal forstås som sandsynlghdn for, at t ( t) r n kontnurt og stykkvs dffrntabl funkton prakss oft: dffrntabl hl sn Dm r kk-aftagnd, lm t lm t t 0 og t Sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) t R : ( t) 0 f ( t) f ( t) '( t) Dm R og : f ( t) 0 ( f ) t Bmærk: r kk n øvr græns for ( f ) altså Vm ( f ) [ 0; [ Vm, u U ( u) Vm ( ) ( ) f f ( y) dy Vm ( ) Sandsynlghdsfordlng og fordlngsfunkton t t ( ) Vm ( ) ] ; t ] Vm f ( ) ] ; t ] Sandsynlghdsfordlng og fordlngsfunkton ( t) ( t) f ( y) t dy NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 3
14 Mddlværd µ µ E ( ) ( u ) ( u ) u U for t ndlgt sandsynlghdsflt ( U, ) md Vm ( ) {..., } gældr spclt E n,, n ( ) ( ) Varans Var E E E µ ) ( ) u U u U ( ( u) ) ( u) ( E( )) µ ( ( u) ) ( u) for t ndlgt sandsynlghdsflt ( U, ) md Vm ( ) {..., } gældr spclt Var,, n n ( ) ( ) ( µ ) ( ) n ( µ ) f ( ) n n Sprdnng f ( ) ( E( )) ( ) ( E( )) σ σ ( ) Var( ) σ Mddlværd ( ) y f ( y) µ E dy µ Varans Var E E E µ Var ) ( ) ( ) ( y µ ) f ( y) Sprdnng dy σ σ ( ) Var( ) σ NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 4
15 STANDARD-NORMALORDELING, N(0,) STANDARD-NORMALORDELING DEINITION En kontnurt stokastsk varabl, dr har sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) ϕ, π sgs at vær standard-normalfordlt. Ndnfor r grafn for ϕ tgnt sammn md grafn for dn ugntlg ntgralfunkton Φ ϕ ( t)dt. Grafn for ϕ r dn klokkformd graf normalfordlngn kalds også n Gausssk fordlng ftr dn tysk matmatkr, astronom og fyskr Carl rdrch Gauß ( ), v talr om n Gauss-klokk Φ r dn s-formd graf. grafn for Von dm jungn Gauß rzählt man folgnd Gschcht: Als sn Mathmatklhrr nmal dr Klass d Aufgab stllt, d Zahln von bs 00 zusammnzuzähln, konnt dr twa schsjährg Gauß nach ganz kurzr Zt das rchtg Ergbns 5050 vorlgn. Er hatt folgndrmaßn addrt: 99 00, usw. bs Ds rgbt ; dazu kommn d Zahln 50 und 00, und das Ergbns st (c) Bblographschs Insttut &. A. Brockhaus AG, 00 NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 5
16 V kan også få tgnt d to grafr vd hjælp af TI-83 ϕ [] [\] [nd] [DISTR] [DISTR] [:normalpdf(] [,T,,n] [)] [GRAH] notaton dsplay: \normalpdf() altrnatvt kan v udvd ndtastnngn tl [] [\] [nd] [DISTR] [DISTR] [:normalpdf(] [,T,,n] [,] [0] [,] [] [)] [GRAH] notaton dsplay: \normalpdf(,0,) Φ [] [\3] [nd] [DISTR] [DISTR] [:normalcdf(] [(-)] [] [nd] [EE] [9] [9] [,] [,T,,n] [)] [GRAH] notaton dsplay: \3normalcdf(-E99,) altrnatvt kan v udvd ndtastnngn tl [] [\4] [nd] [DISTR] [DISTR] [:normalcdf(] [(-)] [] [nd] [EE] [9] [9] [,T,,n] [,] [0] [,] [] [)] [GRAH] notaton dsplay: \4normalcdf(-E99,,0,) orsklln mllm ϕ - og Φ -ndtastnngn r altså dn kstra startparamtr vd Φ og forsklln normalpdf ovrfor normalcdf. Tlføjlsrn,0,) præcsrr, at v arbjdr md standardnormalfordlngn, mn dt går vors TI83 ud fra, hvs v kk angvr andr tal på dss pladsr. Dss tlføjlsr r altså hr unødvndg. 99 Notatonn -E99 står for tallt 0, som r t ngatvt, numrsk mgt stort tal og dt mndst tal, som TI83 kndr. V brugr dt pragmatsk som n stdfortrædr for. or at få n pæn llr bar synlg graf blvr v som sædvanlgt nødt tl at vælg t passnd grafområd undr [WINDOW], f.ks. mn-3, ma3, scl, mn-., ma., scl., rs Øvls 5 Lav n funktonsundrsøgls af ϕ md hnsyn tl π Dm ( ϕ), nulpunktr og fortgn, monoton og kstrma samt symmtr og Vm ϕ. asymptotr og ndlg Dt r kk lgtl at ntgrr funktonn ϕ. Da dn r kontnurt, r dt mdlrtd klart, at dn r ntgrabl. Hvs dfntonn skal gv mnng, må dr jf. sætnng gæld ϕ d. NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 6
17 NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 7 At r standard-normalfordlt, skrvr v kort: 0, ~ N. Dt skylds følgnd sætnng: SÆTNING 4 En standard-normalfordlt stokastsk varabl 0, ~ N har mddlværdn 0 E og sprdnngn σ. Bvs d d d E π π ϕ bmærk: ', følglg π π E d d d Var π π ϕ v vl lav dlvs ntgraton på d og huskr, at v gnrlt har formln: d g H g H d g h ', hvor h H H d h ' hr r h og følglg H jf. brgnngrn ovnfor undr mddlværdn og ' g g samlt får v så d d d
18 NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 8 md dtt kan v rgn vdr: d Var π d d ϕ π π π π Hvs påstandn sætnngn skal gæld, skal v altså vs, at 0. Dt r kk hlt ukomplcrt: lm lm lm roblmt r, at 0 lm og lm. V har altså n klasssk og uovrskulg " 0 " -stuaton. V kan brug t trck, som v llrs først kommr tl at bgrund nærmr snr smstrt 3. l Hosptals rgl. ørst skrvr v ldt om: lm lm. Hr r d to grænsværdr lm og stadg lm. V har nu n lgså klasssk og først omgang lgså uovrskulg " " -stuaton, mn hr grbr l Hosptals rgl, dr kort sgr: L HOSITALS REGEL Hvs g f a lm har dn ubstmt form " " llr " 0 0 ", så gældr g f g f a a ' ' lm lm, hvs dnn grænsværd ksstrr.
19 Var V får nu lm og drmd: π lm 00 0 ( ) 0 ( ) Var( ) σ. lm. lm SÆTNING 5 En standard-normalfordlt stokastsk varabl ~ N( 0, ) Φ ( t) t t ϕ dt dt dt. π π har fordlngsfunktonn Bvs Dt følgr umddlbart af sætnng. V kan kk udtrykk Φ vd hjælp af smpl funktonr. Mn funktonn r tabllagt og fnds også f.ks. på vors TI83 jf. s. 5. Jf. sætnng kan v f.ks. brgn ntrvalsandsynlghdr for n standard- ~ N 0, : normalfordlt stokastsk varabl ( ) Φ Φ 0, 687 ( ) Φ Φ 0, 687 vd hjælp af TI-83 [DISTR] [DISTR] [:normalcdf(] [(-)] [] [,] [] [,] [0] [,] [] [)] [] notaton dsplay: normalcdf(-,,0,) D to sdst paramtr r jf. s. 5 hr faktsk ovrflødg. NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 9
20 Øvls 6 Btragt n standard-normalfordlt stokastsk varabl ~ N( 0, ) sandsynlghdr ( 3) 3,3 0, 5 ( >). Brgn følgnd NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 0
21 NORMALORDELING, N(,) SÆTNING 6 Hvs r n standard-normalfordlt stokastsk varabl, ~ N( 0,) og σ R og µ R så har dn stokastsk varabl σ µ mddlværdn E ( ) µ og sprdnngn σ σ. Bvs Sætnng 6 r n smpl omformulrng af dl af sætnng 3. NORMALORDELING DEINITION En stokastsk varabl, dr kan skrvs på formn σ µ, hvor σ R og µ R og r n standard-normalfordlt ~ N 0, stokastsk varabl, sgs at vær normalfordlt ( µ,σ ) ~ N( µ,σ ). N og v skrvr kort SÆTNING 7 En normalfordlt stokastsk varabl ~ N( µ,σ ) ( y) Φ har fordlngsfunktonn y µ, hvor Φ r dn sætnng 5 bskrvn funkton, σ og sandsynlghdsfordlngn (frkvnsfunktonn) ( y) yµ ( yµ ) µ y σ σ f ϕ. σ σ σ π πσ NORMALORDELING 3MAT (JL) s.
22 Bvs ølgr lglds umddlbart vd n smpl omformulrng af dl af sætnng 3. Dr fnds t spclt normalfordlngspapr tl ndtgnng af grafr for sådann fordlngsfunktonr. S hrom f.ks. GDS, s Eksmpl Intrvalsandsynlghdr for n normalfordlt stokastsk varabl ~ N( 3,7 ) brgns vd hjælp af sætnng 7, f.ks.: 3 3 ( ) Φ Φ Φ Φ Φ 0,4 Φ 0,9 0,444 0,386 0, vd tablopslag llr 058 ( ) for ~ N( 3,7 ) vd hjælp af TI-83 [DISTR] [DISTR] [:normalcdf(] [] [,] [] [,] [3] [,] [7] [)] [] notaton dsplay: normalcdf(,,3,7) rsultat dsplay: kan paramtrrækkfølgn r altså normalcdf(ndr ntrvalgræns, øvr ntrvalgræns, mddlværd, sprdnng). hr får v altså ( ) 0, 0557 Øvls 7 Btragt n normalfordlt stokastsk varabl sandsynlghdr ~ N, 4. Brgn følgnd ( 3) 3 (,3) 0, 5 > NORMALORDELING 3MAT (JL) s.
23 Eksmpl En af ntrvalgrænsrn kan vær dn ukndt, når v kggr på ~ N 0,. ntrvalsandsynlghdr for n normalfordlt stokastsk varabl ( 3,7 ) V kan løs problmt vd hjælp af lommrgnrn TI83: Vd at tgn grafrn normalcdf(,,3,7) altså for n funkton g ( ) 0, altså for n funkton h 0,, f.ks. vd hjælp af [GRAH] og drftr brug [nd] [CALC] [5:ntrsct] og f.ks. gættt tl at fnd skærngspunkt mllm d to grafr, får v da løsnngn, 785 dsplay notaton: Intrscton Dt svarr tl at s på grafrn og fnd -koordnatn for skærngspunktt. NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 3
24 V kunn også vælg n mr brgnngsmæssg tlgang tl opgavn: V skal løs lgnngn (md hnsyn tl ): Omrgnngn ovnfor fra ( ) 0, ( ) 0, 3 3 Φ Φ 0, Φ 0, Φ 0, 0,3875 0, Φ Φ Φ ( 0,4875) 7 3 0,03 7,785 tl Φ følgr sætnng 7. Da Φ r n voksnd funkton Dm ϕ og følglg r njktv, har dn n ftrsom ϕ jf. øvls 5 r postv hl omvndt funkton Φ. Da Φ og Φ r hnandns omvndt, har v ( Φ( y )) y Dtt r anvndt ovnfor. Hr har v brugt TI83 tl at brgn Φ : normalcdf(-e99,-/7,0,) 7 Φ 0,4875 : nvnorm(0.4875). nvnorm fnds vd: [nd] [DISTR] [DISTR] [3:nvNorm(] Når v bnyttr lommrgnrn, bhøvr v kk at rgn om tl Φ. Også voksnd og njktv og har drfor n omvndt funkton Hr har v brugt TI83 tl at brgn : normalcdf(-e99,-,3,7) ( 0,4875) : nvnorm(0.4875,3,7).. V får så ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0, 0, 0, 0,3875 0, 4875 ( 0,4875),785 Φ. r D to sdst paramtr angvr bgg tlfæld mddlværdn µ 3 og sprdnngn 7 ~ N 3,7 v arbjdr md. σ for dn normalfordlng NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 4
25 å tlsvarnd måd kunn man løs n opgav, hvor mddlværdn llr sprdnngn var ukndt størrlsr. S f.ks. GDS, s Øvls 8 or n normalfordlt stokastsk varabl md ukndt mddlværd ~ N( µ,5 ) gældr følgnd ntrvalsandsynlghd: ( 6) 0,. nd µ. 3 Lad os drnæst fasthold følgnd agttagls: SÆTNING 8 or n normalfordlt stokastsk varabl ~ N( µ,σ ) ( µ ) ( µ cσ µ cσ ) Φ( c) Φ( c) Φ( c) hvor c R gældr Bvs Da ~ N( µ,σ ) stokastsk varabl, ~ N( 0, ) ksstrr dr pr. dfnton (s. 0) n standard-normalfordlt, så σ µ. V får så jf. sætnng 7: µ µ ( µ ) Φ Φ( 0 ). σ V kunn altrnatvt hav argumntrt udfra n obsrvaton af, at f r symmtrsk omkrng lnn md lgnngn µ og aralt undr grafn, ovr -aksn og tl vnstr for dnn ln drfor må vær halvdln af dt samld aral mllm graf og -aks, altså. µ cσ µ µ cσ µ Φ σ σ ( µ cσ µ cσ ) Φ Φ( c) Φ( c). NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 5
26 Hvs v sr på grafn for Φ, opdagr v at dn r symmtrsk omkrng punktt 0,. Hraf følgr, at Φ( ) Φ. Symmtrn r n følg af, at ϕ jf. øvls 5 r n lg funkton. S fgurn: Hraf følgr: ( µ cσ µ cσ ) Φ( c) Φ( c) Φ( c) ( Φ( c) ) Φ( c). Eksmpl ( cσ µ cσ ) Φ( c) Φ( c) ~ N( 0,) omformulrs tl: µ kan md σ µ og ( µ cσ µ cσ ) ( µ cσ σ µ µ cσ ) ( cσ σ cσ ) ( c c).ks. fndr v: ( µ σ µ σ ) Φ Φ ( ) 0, 687 ( µ σ µ σ ) Φ Φ( ) ( ) 0, 9545 ( µ 3σ µ 3σ ) Φ( 3) Φ( 3) ( 3 3) 0, 9973.ks. dt sdst fndr v på TI83 md ndtastnngn normalcdf(-3,3,0,). Som tdlgr nævnt kan man vælg at s bort fra ndtastnngn af d to sdst paramtr. NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 6
27 Jf. sætnng 8 kunn v også rgn ( µ 3σ µ 3σ ) Φ( 3) Φ( 3) Φ( 3) 0, 9973 Dt kunn ndtasts på TI83: [*] normalcdf(-e99,3,0,)-. I sammnhæng md normalfordlt stokastsk varabl talr man undrtdn om,64σ ntrvallr og,58σ ntrvallr. Dt hængr sammn md følgnd agttagls: ( µ,64σ µ,64σ ) Φ(,64 ) Φ(,64) (,64,64 ) 0,8990 0,90 ( µ,58σ µ,58σ ) Φ(,58) Φ(,58) (,58,58) 0,990 0,99 Vd n vlkårlg normalfordlng r dt altså sådan, at man kan rgn md at fnd 90 % af all obsrvatonr ndnfor n afstand på højst,64 gang sprdnngn fra mddlværdn og 99 % af all obsrvatonr ndnfor n afstand på højst,58 gang sprdnngn fra mddlværdn. Mr korrkt formulrt: at n nklt obsrvaton md n sandsynlghd på 90 % lggr ndnfor n afstand på højst,64 gang sprdnngn fra mddlværdn og tlsvarnd md n sandsynlghd på 99 % ndnfor n afstand på højst,58 gang sprdnngn fra mddlværdn. Bnomalfordlng og normalfordlng Btragt f.ks. n bnomalfordlt stokastsk varabl ~ b( 5;0,4 ) prmærsandsynlghd 0, 4. md længd 5 og NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 7
28 Som bkndt har dn mddlværd E( ) 5 0,4 6 σ 50,4( 0,4) 3,6, σ µ og sprdnngn Lad os btragt n normalfordlt stokastsk varabl md samm mddlværd og ~ N 6; 3,6. samm sprdnng, altså n stokastsk varabl å fgurn ovnfor s. 6 r ndtgnt punktrn ( f ), for at llustrr dn (dskrt) bnomalfordlt stokastsk varabls sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) og samtdg grafn for dn (kontnurt) normalfordlt stokastsk f. varabls sandsynlghdsfordlng (frkvnsfunkton) y -værdrn brgns som bkndt vd: f f 5 ( ) K 0,4 ( 0,4) for 0,,,..., 5 6 ϕ 3,6 3,6 5, π 3,6 ( ) ( 6) 6 3,6 7, π 7, Dt r øjnfaldnd, hvor godt punktrn fra bnomalfordlngn hr s s. 6 passr tl kurvn for normalfordlngn. Dt r mdlrtd kk altd tlfældt. og * ~ N(,5;,35 ) or * ~ b( 5;0, ) md ovrnsstmmnd µ * og σ * ss ( udsnt) følgnd stuaton md størr afvglsr, spclt markant for 0 : NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 8
29 Man kan prakss rgn md god ovrnsstmmls mllm ~ b( q, p ) og ~ N ( µ,σ ), hvs mddlværd og sprdnng r fælls, altså hvs µ q p og q p ( p) og hvs båd q p > 5 µ og ( p) > 5 q. σ, Dtt vl som rgl vær opfyldt for stor q. Dtt r t argumnt for følgnd: SÆTNING 9 DMovr-Laplac s GRÆNSEVÆRDISÆTNING (tysk: Laplac-Bdngung) or stor værdr af q kan n bnomalfordlt stokastsk varabl ( q p ) ~ b, md tlnærmls anss for at vær normaltfordlt ( q p, q p ( p) ) ~ N. V huskr fra vors tdlgr bskrvls af vss dskrt fordlngr, at bnomalfordlngn undr bstmt forudsætnngr r sammnlgnlg md dn hyprgomtrsk fordlng og osson-fordlngn. Dss arvr altså undr d dr og d hr nævnt forudsætnngr n sammnlgnlghd md normalfordlngn. Man kan brug normalfordlngstlnærmlsn tl bnomalfordlngn tl at brgn tlnærmd værdr af punkt- og ntrvalsandsynlghdr. Lad os s på ~ b( 5;0,4 ) Af dn sr v f.ks. og ~ N( 6; 3,6 ) ( ) f f f ( t) og tgnngn ovnfor s. 6 gn: dt 6 6 Φ Φ Φ 3,6 3,6 0,037 (,8447 ) Φ(,377) Tl sammnlgnng vd n drkt brgnng bnomalfordlngn: ( ) 0, 09. NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 9
30 NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 30 Md n gnralsrng af ksmplt får v: SÆTNING 0 Gnrlt gældr for p q b, ~ og p p q p q N, ~, hvor q r stor: 0,,,3,... Φ Φ for p qp qp p qp qp Md gntagn anvndls hraf får v: ,377 0,7906 3,6 6 3,6 6 4 Φ Φ Φ Φ 0,057 Tl sammnlgnng vd n drkt brgnng bnomalfordlngn: 0, 4. Md n gnralsrng af ksmplt får v: SÆTNING Gnrlt gældr for p q b, ~ og p p q p q N, ~, hvor q r stor: b a a b b a 0,,,3,..., Φ Φ b a for p qp qp a p qp qp b
31 Konfdnsntrvallr Eksmpl (kndt p, konkluson udfra hlhdn om stkprøvn) Lad os s på t parts tlslutnng blandt vælgr. Lad os btgn partts stmmandl md p. Lad os sg, at v på n llr andn måd VED, at p 0,40. Lad os forstll os, at v spørgr.000 tlfældg vælgr, om d vl stmm på partt llr j. Lad vær dn stokastsk varabl, dr angvr antallt af partts vælgr blandt d adspurgt.000. Hvs v fndr d.000 adspurgt vælgr som n stkprøv ~ b.000; 0,40. md tlbaglægnng vl dr gæld Hvs v stdt fndr d.000 adspurgt vælgr som n stkprøv udn tlbaglægnng vl dr gæld ~ h.000, , Jf. vors tdlgr sammnlgnng af dn hyprgomtrsk fordlng og bnomalfordlngn vd v, at da stkprøvn r mgt mndr nd dn samld vælgrpopulaton,.000 << , r ovrnsstmmlsn mllm d to fordlngr god. V kan altså uanst om v tagr stkprøvn md llr udn tlbaglægnng, rgn md udgangspunkt ~ b.000; 0,40. fordlngn Da båd 400 > 5 og 600 > 5vd v fra vors sammnlgnng af bnomal- og normalfordlngn s. 7ff, at dr følglg md god tlnærmls gældr ~ N( 400, 40 ), hvor paramtrn r fundt som µ 0, og σ 0,40 0, ,49. Ud fra n mddlværdbtragtnng vl v altså forvnt, at fnd 400 af partts vælgr blandt d adspurgt.000. Dt btydr mdlrtd kk, at dt vl vær spclt usandsynlgt, at fnd f.ks. 399 llr 40 af partts vælgr blandt d adspurgt.000. NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 3
32 ra sætnng 8 og d ftrfølgnd ksmplbrgnngr vd v, at ( 400,64 5,49 400,64 5,49) ( ) 0, 90. Md 90 % sandsynlghd fndr v altså mllm 375 og 45 af partts vælgr stkprøvn. Tlsvarnd: ( 400,585,49 400,58 5,49) ( ) 0, 99. Md 99 % sandsynlghd fndr v altså mllm 360 og 440 af partts vælgr stkprøvn. Eksmpl (ukndt p, konkluson udfra stkprøvn om hlhdn) Lad os som ovnfor gn s på t parts vælgrtlslutnng blandt vælgr. Lad os btgn partts stmmandl md p. I prakss r valgstkprøvr særlgt ntrssant ØR t valg, altså n stuaton, hvor v IKKE kndr størrlsn af partts andl. or at få t ndtryk af p kunn v spørg.000 tlfældg vælgr, om d vl stmm på partt llr j. Lad vær dn stokastsk varabl, dr angvr antallt af partts vælgr blandt d adspurgt.000. Som ovnfor gældr b(.000, p ) n god tlnærmls tl ~ h(.000, p , ) ~ ntn drkt llr som. Slv for mgt små llr mgt stor værdr af p, altså f.ks. for 0,0 < p < 0, 99, vl dr gæld, at båd p.000 > 5 og ( p ).000 > 5. ra vors sammnlgnng af bnomal- og normalfordlngn s. 7ff vd v, at dr følglg md god ~ N µ,σ, hvor µ p. 000 og tlnærmls gældr σ p ( p) NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 3
33 Lad os sg, at 350 af d.000 adspurgt sgr, at d vl stmm på partt. 350 Et fornuftgt gæt vl drfor vær p 0, Jf. ovnfor r dt mdlrtd klart, at 350 hllr kk nødvndgvs r n spclt usandsynlg værd for, slv om p vrklghdn skull antag n andn værd. (*) V kan vælg at btragt d ydrst 5 % tl hvr sd som spclt usandsynlg: Og v kan spørg os slv, for hvlk værdr af p 350 dn ovnfor bskrvn forstand kk r spclt usandsynlg. Hvs dn obsrvrd værd af, d 350, lggr lg på kantn tl at vær n usandsynlg værd, må dr jf. sætnng 8 og d ftrfølgnd ksmplbrgnngr gæld: 350 µ ±, 64σ ( p). 000 ( p) p ±,64 p.000 p 350 ±,64 p (.000) ( ) ±,64 p ( p) p p p,706 ( p p ) p p.706 p.706 p p p p 0,356 p 0,375 NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 33
34 En stkprøv md 350 stmmr tl partt blandt d.000 adspurgt vælgr r altså n rmlg sandsynlg værd, hvs partts vælgrandl dn samld grupp på vælgr lggr ntrvallt [ 0,356; 0,375 ], hvs partts rll tlslutnng altså lggr mllm 3,56 % og 37,5 %. Ud fra stkprøvn må v konkludr, at partts tlslutnng lggr dt anført ntrval [ 0,356; 0,375 ]. Dtt ntrval kaldr v 90 %-konfdnsntrvallt. Stkprøvn md værdn 350 for dn stokastsk varabl r altså tlfrdsstllnd (draf ordt konfdns- ) st forhold tl n rl (mn ukndt) vælgrtlslutnng dt anført ntrval. Stkprøvn må drmod sgs at stå modsætnng tl n antagls om at partts vælgrtlslutnng skull vær f.ks. 40 % llr 30 %. I stdt for at arbjd på dtt 90 %-konfdnsnvau kunn v vælg at arbjd på t 99 %-konfdnsnvau. Dt svarr tl (*) ovnfor at sg, at v btragtr d ydrst 0,5 % tl hvr sd som spclt usandsynlg. Dn lgnng v skal kgg på, r så: 350 µ ±, 58σ p 0,3 p 0,3898 [,3; 0,3898 ] 0 r altså 99 %-konfdnsntrvallt. Ud fra stkprøvn må v konkludr, at partts tlslutnng lggr 0,3; 0,3898. ntrvallt [ ] å t 99 %-konfdnsnvau r 350 altså n rmlg sandsynlg værd, hvs partts vælgrandl dn samld grupp på lggr dt anført ntrval, hvs partts rll tlslutnng altså lggr mllm 3, % og 38,98 %. Øvls 9 Gnnmrgn ksmplt ovnfor md ukndt p, dt v forstllr os n størr stkprøv på (rundspørg blandt) vælgr. Lad os antag, at af d adspurgt sgr, at d vl stmm på partt. nd 90 %- og 99 %-konfdnsntrvallrn svarnd hrtl. NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 34
35 Rgrssonsanalys Eksmpl Lad os forstll os, at v har fortagt n rækk samtdg målngr af to forskllg størrlsr. [] y[],40 4,0 3,40 8,9 3 9,0 36,0 4 3,0 5,49 5 4,0 9,40 6 5,30 7,48 7 3,80 8, 8 6,40 7,5 9 9,30 35,95 0,80 5,7 9,40 35,55,70 5,0 3 9,30 36,30 4 8,80 3,06 5 9,90 34,50 6,0 5,78 7,0 4,63 8 3,0 6,77 9 9,40 34,85 0 7,30 8,6 9,50 34,79,0,90 3 9,90 33,03 4 8,30 3,90 5 7,40 9,78 I tablln hr vd sdn af nummrrr vors nd dss målngspar, mns d sammnhængnd målngspar udgørs af og y. Hvs v som ndnfor ndtgnr d sammnhængnd målngr som punktr y, t koordnatsystm, kan v vt. få n dé om, at dr mulgvs bstår n tlnærmlssvs lnær sammnhæng mllm d to størrlsr af typn y α β. 60,00 50,00 40,00 y[] 30,00 0,00 0,00 0,00 0,00,00 4,00 6,00 8,00 0,00,00 [] NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 35
36 V søgr ftr n gnrl mtod tl n sådan stuaton at bstmm d to paramtr α og β. V har altså n sr af målngr y, for,,3,..., n, dt vl sg alt n sammnhængnd målngr af to størrlsr, og v forvntr n tlnærmlssvs lnær sammnhæng mllm d to størrlsr af typn y α β. Brgnngstknsk kan dt vær n fordl, at nulstll målngrn md drs gnnmsntsværd. n n Md µ E( ) vl dt sg, at v sr på ( µ, y ) oprndlg målngr y,. stdt for d Eksmpl (fortsat) []-E y[] -4,0 4,0-3,0 8,9 3,69 36,0 4-3,3 5,49 5 -, 9,40 6 -, 7,48 7 -,6 8, 8-0,0 7,5 9,89 35,95 0-3,6 5,7,99 35,55-3,7 5,0 3,89 36,30 4,39 3,06 5 3,49 34,50 6 4,79 5,78 7-4,3 4,63 8-3, 6,77 9,99 34,85 0 0,89 8,6 3,09 34,79-4,3,90 3 3,49 33,03 4,89 3,90 5 0,99 9,78 I dt allrd bskrvn ksmpl sr dt sådan ud: n E(-E) E 5 0,00 6,90 NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 36
37 60,00 50,00 40,00 y[] 30,00 0,00 0,00 0,00-6,00-4,00 -,00 0,00,00 4,00 6,00 []-E Md dss nulstlld data forvntr v altså n tlnærmlssvs lnær sammnhæng af typn y a ( µ ) b. Vd omrgnng sr v lt: ( ) b y a µ y a a µ y a a µ b b V har altså følgnd omrgnng mllm paramtrn for dn oprndlg og dn nulstlld lnær sammnhæng: α a og β a µ b Vors problm r altså nu kk løst, mn ændrt tl at fnd n gnrl mtod tl n sådan stuaton at bstmm d to paramtr a og b. V kan fnd d bdst paramtr a og b vd at mnmr summn af kvadratt på d lodrtt afstand mllm y værdrn og dn rtt ln y a b : n ( y a( µ ) b) Dtt gørs md a n ( y µ )( µ ) n ( µ ) og b µ, hvor µ E( ) y n n NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 37
38 svarnd tl n ( y µ )( µ ) α og β a µ b a µ µ a n ( µ ) Eksmpl (fortsat) I ksmplt ovnfor kan brgnngrn s ud som følgr: [] y[] []-E y[]-e (y[]-e) ([]-E) ([]-E)^,40 4,0-4,0 -,70 50,940 6,096 3,40 8,9-3,0-7,98 4,079 9,07 3 9,0 36,0 3,69 9, 4,508 7,53 4 3,0 5,49 4-3,3 -,4 37,7979 0, ,0 9,40 5 -, -7,49 6,5754 4, ,30 7,48 6 -, 0,58-0,6479, ,80 8, 7 -,6-8,68,6758 6,85 8 6,40 7,5 8-0,0 0,6-0,0074 0, ,30 35,95 9,89 9,05 6,35 8,3405 0,80 5,7 0-3,6 -,9 40,46 3,0465 9,40 35,55,99 8,65 5,8599 8,98,70 5,0-3,7 -,80 43,799 3, ,30 36,30 3,89 9,40 7,43 8, ,80 3,06 4,39 5,7,3378 5, ,90 34,50 5 3,49 7,60 6,509,66 6,0 5,78 6 4,79 5,88 3,959,949 7,0 4,63 7-4,3 -,7 5,8970 8, ,0 6,77 8-3, -0,3 3,54 0, ,40 34,85 9,99 7,95 3,7564 8,98 0 7,30 8,6 0 0,89,7,57 0,7885 9,50 34,79 3,09 7,89 4,373 9,5357,0,90-4,3-4,00 60,355 8, ,90 33,03 3 3,49 6,3,3905,66 4 8,30 3,90 4,89 5,00 9,4449 3, ,40 9,78 5 0,99,89,850 0,976 n E E n E(-E) E(-E) sum sum 5 6,40 6, ,00 0,00 73,3 33,0064 sum/sum 3,378 a y 3,378 (-E) 6,8974 b alfa bta y 3,378 6,7780 NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 38
39 V fndr altså sammnhængn ( ) b 3,378 ( 6,40) 6, 8974 y a µ svarnd tl y α β 3,378 6,7780 Hrundr r d målt værd-par (, y ) afsat som punktr t koordnatsystm sammn md brgnd punktr md udgangspunkt d samm, dt vl sg (, α β ). 60,00 50,00 40,00 30,00 0,00 0,00 0,00 0,00,00 4,00 6,00 8,00 0,00,00 NORMALORDELING 3MAT (JL) s. 39
. k er en konstant. Endvidere antages det i d), at gx ( 0) 0. I e) antages det, at f er differentiabel i x 0 og g er differentiabel i y 0
0BRgnrglr for ubstmt intgralr I dtt lill tillæg skal vi s på n sætning, som angivr d rgnrglr, dr gældr for ubstmt intgralr (intgralr udn grænsr), samt giv t bvis for sætningn. Da vi i bvist skal gør brug
Læs mereKære elever og forældre
r v l l t s d a P f a n å L n u m m o K d l k s o R Kær lvr og forældr V r glad for at kunn udlån Pads tl lvrn. Pad n blvr t vgtgt arbjdsrdskab skoln. Pad n tlhørr skoln, og lvn og I som forældr har ansvart
Læs mereBetinget hæftelse. Et regneeksempel 01-04-2014
Btingt hæftls Et rgnsmpl 01-04-2014 1 Indldning Notatt sr lidt nærmr på sammnhængn mllm btingt hæftls og dt forvntd afast for ationærr og rditorr i n (finansil) virsomhd, hvor gnapitalandln r lav. Notatt
Læs mere1 skaren af exp = den naturlige
Eksonntil- og ritmunktionr Rtition (rimært.-klss-sto sulrt md dirntilrgnings-ovrvjlsr) Funktionsskrn ( ) ( ) stlæggr or R + \{ } ksonntilunktionr. Scilt klds ( ) ( ) ksonntilunktion. Rrnc: GDS, s. 6-8.
Læs mereI dag. Normalfordelingen. Hvad skal vi bruge normalfordelingen til? Eksempel: hjerneceller hos marsvin
I dag Normalfordlingn Hll Sørnsn E-mail: hll@math.ku.dk Formiddag og ftrmiddag: Datatilrttlæggls i SAS (fra mandag) Hvad skal vi brug normalfordlingn til og hvorfor r dn vigtig? Histogram og normalfordlingstæthd
Læs mereslagelse uddannelses- og karrierefestival
4 1 K U r på S l l i t s om ud s n? d m n m r o k ad v Vl h g o op r d a v H Vlkommn som udstillr på SUK-fstivaln Vlkommn i flokkn af ngagrd udstillr, dr år ftr år r md til at gør SUKfstivaln til Vstsjællands
Læs mereVedtægter for Oure Vandværk A.M.B.A.
Vdtægtr for Our Vandværk A.M.B.A. VEDTÆGTER OR ANDELSSELSKABET OURE VANDVÆRK Navn og hjmstd 1 Slskabt dr r stiftt i 1948, r t andlsslskab md bgrænst ansvar (a.m.b.a.), hvis navn r OURE VANDVÆRK. Slskabt
Læs mereKorrekthed af Algoritmer
Korrkthd af Algoritmr md fokus på whil-løkkr Kim Skak Larsn Institut for Matmatik og Datalogi Syddansk Univrsitt, Odns Sptmbr 2001 Introduktion Dnn not supplrr korrkthdsafsnittt i [1], som r dn anvndt
Læs mereEnergiens ligefordelingslov
Statistisk mkanik 7 Sid af 6 Enrgins ligfordlingslov I t systm undr M- llr klassisk statistik r antallt af partiklr md n givn frihdsgrad i intrvallt [ ; d] + ifølg udtryk (4.6) givt vd hvor d dg r tilstandssummn
Læs mereKommentarer til. Faglige mål. RELATEREDE FORLØB TIL PROCENT i 7.-9. KLASSE. Matematrix og dette kapitel
Kommntarr til procnt Faglig mål Kapitlt læggr op til, at lvrn konsolidrr og vidrudviklr drs forståls af sammnhængn mllm n værdi angivt som procnt, brøk og dcimaltal. lærr forskllig formr for procntbrgning
Læs mereStatikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression
Statikstik II 2. Lktion Lidt sandsynlighdsrgning Lidt mr om signifikanstst Logistisk rgrssion Lidt sandsynlighdsrgning Lad A vær n hændls (t llr flr mulig udfald af t ksprimnt ) Fx A Dt rgnr i morgn P(A)
Læs mere- læsetræning på en sjov måde
- læstræning på n sjov måd Supr ffktivt supr nklt supr sjovt for båd børn og drs voksn Et spil, dr på n nkl og sjov måd vil styrk båd forældr, lærr og pædagogr i at vartag dn fundamntal læstræning. Spillt
Læs mereArbejdsløsheden hastigt på vej mod 100.000 - en underfinansieret skattereform løser ikke krisen
26. fbruar 29 af Spcialkonsulnt Erik Bjørstd Dirkt tlf. 33 55 77 15 og Chfanalytikr Frdrik I. Pdrsn Dirkt tlf. 33 55 77 12 llr 28 42 42 72 Rsumé: Arbjdsløshdn hastigt på vj mod 1. - n undrfinansirt skattrform
Læs mereFor at illustrere metoden vil vi vende tilbage til skivebølgelederen vi tidligere har set på n 2. a n 1 z
Computrmodllrg II ft dffrc mtod Ft dffrc FD mtod går ort træ ud på t rsttt d fldd dffrtllgg md pprosmto bsrt på dlg dffrsr. Dtt f.s s ud på flg. måd: For t llustrr mtod vl v vd tlbg tl svbølgldr v tdlgr
Læs mereLokalplanområdets placering i Haderslev
LOKALPLANOMRÅDET Lokalplanområdts placring Lokalplanområdts placring i Hadrslv LOKALPLANOMRÅDETS BELIGGENHED Lokalplanområdt omfattr t områd bliggnd på hjørnt af Grønningn og Aarøsundvj i dn sydlig dl
Læs mere1.000 kr. Kval. Lån 2014 2015 2016 2017
Socialudvalgt Skrtariatt: 1.000 kr. Kval. Lån 2014 2015 2016 2017 1 Grønnmosværkstdrn nyt tag 2.100 - - 1.200 2 Ådaln ny tag mm 2.829 3 Fornyls og opgradring af brand- og kaldanlæg på pljcntrn 4.149 2.450
Læs mereLaurent rækker, residue-sætningen og udregning af konturintegraler
Lurt rækkr, rsu-sætg og urgg koturtgrlr Ol Wtt-Hs 8 hol. uchy s tgrlsætgr....tylor s orml or lytsk uktor.... Lurt rækkr.... Kotur tgrlr...5. Kotur tgrlr, hvor pol lggr på kotur...8 Lurt rækkr, rsu sætg,
Læs mereREFERAT/DAGSORDEN Ekstraordinært. Mikael F. Sørensen, Anja M. Jensen, Litha Skjolden, Jette Bjerg Brix, Jens Josephsen,
REFERAT/DAGSORDEN Ekstraordinært SB-mød Skolvængt 12. novmbr 2015 kl. 18.15-20.15 Til std: Forældr Mdarbjdr Elvr Ldls Mikal F. Sørnsn, Anja M. Jnsn, Litha Skjoldn, Jtt Bjrg Brix, Jns Josphsn, Marik Wijbnga-Bijma
Læs mereS15 - RAMMER FOR ET CIVILT LUFTHAVNSOMRADE INDENFOR FLYVESTATION TIRSTRUPS OM&E
S15 - RAMMER FOR ET CIVILT LUFTHAVNSOMRADE INDENFOR FLYVESTATION TIRSTRUPS OM&E SAh.IT L O K A L P L A M N62 7 WILCKEN & WULFF RADG CIVILINGENI@RER, FRI JUNI W79 Matr. nr. 45 Stmplfri, jfr. Skatt- Anmldr
Læs mere20 Prisindeks for ejendomme
77 20 Prndk for ndomm 20. Grundlæggnd nformaon om ndk 20.. Navn Prndk for ndomm. 20..2 Formål Formål md rndk for ndomm r a ly rudvklngn å fa ndom. 20..3 Dæknng Prndk for ndomm omfar ndomm hl land. ndkn
Læs mereTillykke - du har fået en ekstra affaldsbeholder
Gnbrugsguidn Tillykk md din gnbrugsbholdr! Hvad MÅ komm i gnbrugsbholdrn? Hvad må IKKE komm i gnbrugsbholdrn? Tillykk - du har fåt n kstra affaldsbholdr Fra nu af hntr vi din avisr, rklamr, dåsr, glas
Læs mere1 skaren af exp = den naturlige
EKSPONENTIAL- OG LOGARITMEFUNKTIONER REPETITION (primært.-klss-sto, supplrt md dirtilrgigs-ovrvjlsr) Fuktiosskr ( ) p ( ) stlæggr or R \{ } kspotiluktior. Spcilt klds ( ) p( ) kspotiluktio. Rrc: GDS, s.
Læs mereMU H. Musen siger. aktive remser og sproglege med de mindste. Lotte Salling. Lotte Salling har blandt andet udgivet bøgerne: Varenr.
Lott Salling Når vi gør børn nysgrrig på sprog, fortælling og læsning så tidligt som ovr hovdt muligt, øgs drs chancr for at tilgn sig t vludviklt sprog og dr md opnå lttr adgang til social kontaktr og
Læs mereDe fleste børn er klar til at sige farvel til bleen i to-treårsalderen. projek
D flst børn r klar til at sig farvl til bln i to-trårsaldrn d m s Få succ n l b d i m s t projk 68 VO R E S BØRN tma farvl, bl! 69 72 72 74 Er dit barn klar til at smid bln? Hygglig potttræning Potttræning
Læs mereAARHUS MIDTBY. Vikingetiden 5+6 9. Tema 1:5.000. Lille Torv. Store Torv. Domkirke. Magasin Bibliotek. Bispetorv. ARos. Musikhus. Rådhus.
Tma Nø rr g Vikingtidn AARHUS MIDTBY 0 100 200 300 m 1:5.000 ÅRHUS r Nø é 12 2 3 11 Lill Torv 17 8 Magasin Bibliotk Stor Torv 15 10 Domkirk 1 Bisptorv 14 7 18 16 4 Sø nd rg V s t r A l l é 5+6 9 V Øst
Læs mereHalvårsrapport 30.06.2005
Halvårsrapport 30.06.2005 Indhold Hovd- og nøgltal...3 Priodns rsultat...4 Forrtningsområd...5 Forvntningr til frmtidn...6 Rgnskabspraksis...7 Rsultatopgørls...8 Balanc...9 Notr...10 Pn-Sam Bank A/S CVR-nr.
Læs mereAlders-mix udfordrer os alle på den gode måde
-------------------------------------------------------------------------- Nyhdsbrv nr. 21 juni 2014 -------------------------------------------------------------------------- S, hvor små vi var! Dt r
Læs mereModerne Fysik 9 Side 1 af 6 Kernefysik og Stjerneliv
Modrn Fysik 9 Sid 1 af 6 Sidst gang: Elmntarpartiklr og naturkræftr samt univrsts udvikling. I dag: Atomkrnr og krnprocssr samt stjrnrs livsforløb. Atomkrnr Krnfysikkn blv født i 1896, hvor Hnri Bcqurl
Læs mereHalvårsrapport 30.06.2005
Halvårsrapport 30.06.2005 Indhold Hovdtal...3 Priodns rsultat...4 Forvntningr til frmtidn...5 Invstringsstratgi og finansil risikostyring...6 Rsultatopgørls...7 Balanc...8 Notr...10 Pn-Sam Skad forsikringsaktislskab
Læs mereVelkommen til DANMARKS SJOVESTE KLASSELOKALE
Vlkommn til DANMARKS SJOVESTE KLASSELOKALE Indskoling Opgavsamling 1 Indskoling opgavsamling intro TIL LÆRERNE Vd udarbjdls af opgavr til indskolingsbørnn r dr lagt vægt på, at d r tværfaglig også hvr
Læs merePraktiske oplysninger.
Praktisk oplysningr. Lundrskov Boldklub vil grn byd all dltagr vlkommn til Lundrskov Frøs Cup 2015. Dt r i år 34. gang vi afviklr stævnt. Dr dltagr til stævnt 76 hold og dt btydr, at dr skal afvikls 199
Læs mereSTARTREDEGØRELSE. Boliger og erhverv, Vesterbro, Kirkegårdsgade og Hasserisgade Vestbyen. Tylstrup. Sulsted. Vadum. NØRRESUNDBY Rørdal.
Januar 2015 STARTREDEGØRELSE Boligr og rhvrv, Vstrbro, Kirkgårdsgad og Hassrisgad Vstbyn Jammrbugtn Pandrup Dronninglund Storskov Tylstrup Aabybro Sulstd Grindstd Hammr Bakkr Uggrhaln Vstbjrg Hjallrup
Læs mere02831.00. .Afgørelser - Reg. nr.: 02831.00. Fredningen vedrører: Randlev Mose. Domme. Taksati ons kom miss ione n.
02831.00.Afgørlsr - Rg. nr.: 02831.00 Frdningn vdrørr: Randlv Mos Domm Taksati ons kom miss ion n Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 28-11-1963 Frdningsnævnt 08-08-1962 Kndlsr Dklarationr OVER FREDNINGSNÆVNET>
Læs mereKRESTON DANMARK Et landsdækkende samarbejde mellem uafhængige statsautoriserede revisionsvirksomheder.
S tat s a u t o r i s r d R v i s o r r 3 2010 Sid 2 Dyrt at sjusk md ansættlssforhold Sid 2 Virksomhdspant udgiftr til tinglysning m.v. Sid 3 Fastforrntd lån vrsus rnt til pas ningslån Fordl og ulmpr
Læs mereKære tillidsrepræsentant, 10. maj 2008
Kær tillidsrpræsntant, 10. maj 2008 Ndnfor vil vi rdør for brninn af konfliktundrstøttls o dn ændrin hraf, som vi i hovdbstyrlsn har bsluttt. Dr r samtidi md dnn rdørls frmsndt t brv til jordmødrn, som
Læs mereProjekt 3.12 Uniform kontinuitet og eksistensen af arealer
Hvad r matmat? A, ISB 978-87-766-497-4 Projtr: Kaptl 3 Projt 3 Uform otutt og ssts af aralr Projt 3 Uform otutt og ssts af aralr Dt oftst ovrst problm arbjdt md at gv dffrtal- og tgralrgg fast grud udr
Læs mereEuropaudvalget 2004 KOM (2004) 0360 Offentligt
Europaudvalgt 2004 KOM (2004) 0360 Offntligt KOMMISSIONEN FOR DE EUROPÆISKE FÆLLESSKABER Bruxlls, dn 30.4.2004 KOM(2004) 360 ndlig BERETNING FRA KOMMISSIONEN om gnnmførlsn i 19992000 af forordning (EØF)
Læs mereElektronens specifikke ladning
Elktronns spcifikk ladning Martin Gislr 25. aj 2001 Indhold 1 Forål 1 2 Udførls 1 3 Toriafsnit 2 3.1 Sprdning............................. 3 4 Forsøgsrsultatr 4 5 Bhandling af forsøgsrsultatr 4 6 Diskussion
Læs mereKvantekosmologi med aftagende gravitation Forening af Mikrokosmos og Makrokosmos Hubble-parameteren forenet med Universets totale masse
Kvantkosmologi md aftagnd gravitation Forning af ikrokosmos og akrokosmos Hubbl-paramtrn fornt md Univrsts total mass Af Louis Nilsn, cand.scint. i fysik og astronomi Lktor vd Hrlufsholm, Næstvd Indldning
Læs mereN Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E. !StreetFestival!Den interne trafik!sæt kryds i kalenderen!
N Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E Cilia vd Strtfstival i Grønngad 17. oktobr!strtfstival!dn intrn trafik!sæt kryds i kalndrn!vlkommn Ungdomsrådts bsøg fra Holland
Læs mere02760.00. Afgørelser - Reg. nr.: 02760.00. Fredningen vedrører: Grævlingehøj. Domme. Taksations komm iss ionen. Naturklagenævnet
02760.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 02760.00 Frdningn vdrørr: Grævlinghøj Domm Taksations komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 07-11-1962 Frdningsnævnt 06-02-1962 Kndlsr Dklarationr OVER FREDNINGSNÆVNET>
Læs mereHvidbog PFH sidst opdateret den, 12.september 2012
Hvidbog PFH sidst opdatrt dn, 12.sptmbr 2012 Pall Flbo-Hansn Vdr. Strandparkn Korsør 1 Hvidbog PFH sidst opdatrt dn, 12.sptmbr 2012 Korsør dn, 9.sptmbr 2012 Formålt md dnn hvidborg r- at dnn gnnmgang vil
Læs meretagrender Vejledning til dit valg af tagrender i alle materialer
tagrndr Vjldning til dit valg af tagrndr i all matrialr OM OS Udgivr Plastmo A/S, Odinsvj 9-11, 4100 Ringstd Produktion Burau 2A Vision og VstbrgKommunikation Vi r n dansk virksomhd, dr blv grundlagt i
Læs mereFOLD BILLIE. Billie, se lige hvor langt mit papirfly kan flyve! 3 Fold de to hjørner indtil midten.
U D R E D L O SÅDAN F Y L F R I P A P ET SEJT FOLD BILLIE S BEDSTE PAP IRFLY! lv. mm at lav s n : l h t d st af st papirfly. n flyv og bd r Billis hurtig l m D r sjov, ka sa u d an hr hvord Billi visr
Læs mereKristian Jerslev, Kristian Mads Egeris Nielsen, Mathias Brønd Christensen. Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet, Danmark
Modtagt dato: (forbholdt instruktor) Godkndt: Dato: Undrskrift: Eksprimntll øvlsr, øvls nummr 2: Hnfaldsskma for Mn F, målt md G-dtktor. Kristian Jrslv, Kristian Mads Egris ilsn, Mathias Brønd Christnsn
Læs mereNotat. Forslag til ekstraordinære tiltag som kan imødekomme udgiftspresset for hele Social- og Sundhedsudvalgets område i 2015.
Til: CENTER FOR SOCIAL OG SUNDHED Økonomistyring Dato: 30. juni 2015 Notat Forslag til kstraordinær tiltag som kan imødkomm udgiftsprsst for hl Social- og Sundhdsudvalgts områd i 2015. Ndnstånd r forslag,
Læs mereVESTRE KLITVEJ GRANVEJ BAKKEVEJ LANDEV
ØRR DURS OMMU TRAFI FLL R U S T R A D, F Æ L L D V O G Æ RV FLLRU STRAD SOMMRHUSOMRÅD rincipskits for trafik mv. ortgrundlag: MS topografisk kort Mål ca. :.7 S STI AV OLM BØSH H LV A TI S nd a str O Z
Læs mereLokalplan 54/2011. Boligområde ved Håndværkerparken i Hobro
Lokalplan 54/2011 Boligområd vd Håndværkrparkn i Hobro Hvad r n lokalplan? En lokalplan fastlæggr bindnd bstmmlsr for udnyttlsn af jndomm indn for planns områd. Bstmmlsrn kan omhandl dn frmtidig anvndls
Læs mereKRESTON DANMARK Et landsdækkende samarbejde mellem uafhængige statsautoriserede revisionsvirksomheder.
S tat s a u t o r i s r d R v i s o r r 2 21 Sid 2 Løn contra udbytt Sid 3 Tid til gnrationsskift? Sid 4 Pas på ovrskriftrn Sid 4 Fidus llr j Sid 5 Dtailrigdom contra ovrblik SIDE 5 Aktiavancbskatning
Læs mereSTARTREDEGØRELSE. Tylstrup. Sulsted. Vadum. NØRRESUNDBY Rørdal. Egholm. Hasseris AALBORG. Sønder Tranders. Gug. Skalborg. Frejlev. Visse.
Novmbr 2012 STARTREDEGØRELSE Ovrdækning af Jomfru An Gad Aalborg Midtby Jammrbugtn Pandrup Dronninglund Storskov Tylstrup Aabybro Sulstd Grindstd Hammr Bakkr Uggrhaln Vstbjrg Hjallrup Dronninglund Vadum
Læs mereANSØGNING. Ansøgning til Cyklistforbundets og Nordea Fondens pulje til anlæg af en cykellegebane
ANSØGNING Ansøgning til Cyklistforbundts og Norda Fondns pulj til anlæg af n cykllgban Høj Taastrup Kommun søgr Cyklistforbundts og Norda Fondns pulj til anlæg af n cykllgban i Gadhavkvartrt. Cykllgbann
Læs mereKRESTON DANMARK Et landsdækkende samarbejde mellem uafhængige statsautoriserede revisionsvirksomheder.
S t a t s a u t o r i s r d R v i s o r r 4 2010 Sid 2 Ny indbrtningr for prsonalgodr Sid 3 Årts julgav til mdarbjdrn Sid 4 Pnsion: Hold øj md 100.000 kronrs græn sn! Sid 5 Fældn i gavafgift og bundfradrag
Læs mereRettelsesoversigt - Håndbog for Almen praksis
Rttlssovrsigt - Håndbog for Almn praksis Sid Kapitl / standard Hvor kan jg hnt hjælp? Afsnit fjrns fra håndbogn, da dt frmgår på startsidn for almn praksis, at man også kan hnt hjælp hos DAK http://www.dak.dk/flx/dk/almnpraksis/og
Læs mereGRAFISK DESIGN SKABELON TIL PRINT-SELV OPSKRIFTSBOG
GRAFISK DESIGN SKABELON TIL PRINT-SELV OPSKRIFTSBOG DOKUMENTATION OPGAVEBESKRIVELSE Dtt r n opgav som r lavt privat, da jg havd t ønsk om at lav min gn opskriftsbog. Idn bag dnn opskriftsbog r at, man
Læs mereUngestrategi. Hedensted Kommune
Ungstratgi Hdnstd Kommun Udarbjdt af Styrgruppn for Projkt 12@25 Skrtariat tlf. 7975 5545 Sptmbr 2012 2 Dt r n stor fornøjls at kunn præsntr dn først Ungstratgi for Hdnstd Kommun Md dnn stratgi sættr vi
Læs mereKRESTON DANMARK Et landsdækkende samarbejde mellem uafhængige statsautoriserede revisionsvirksomheder.
S tat s a u t o r i s r d R v i s o r r 1 2010 Sid 2 Ny rglr for pnsion i 2010 Sid 3 Øgt mulighd for at finansir vækst og ksport Sid 4 Digital tinglysning n vrdnsnyhd i Danmark Sid 5 Ldlssmodllr i slskabr
Læs mereIntroduktion til logistisk regression
Introduktion til logistisk rgrssion Indhold: Sandsynlighdr, odds og logits Logistisk rgrssion Dummy variabl Wald tst SPSS 1 Rgrssionsmodllr bskrivr hvorlds én afhængig variabl, Y, afhængr af n llr flr
Læs mereBilag 1. AIDA-modellen: Sepstrups kampagneplatform:
Bilag 1 AIDA-modlln: Spstrups kampagnplatform: Bilag 2: 1 Risikofaktor for usikkr sx i Danmark: Hvrt år dør 300 danskr på grund af usikkr sx. Dt svarr til 0,5 % af all dødsfald. Dt flst r kvindr dr dør
Læs mereDe fem friheder for dyr
31-10-2015 Dyrvlfærdskontrol i fårbsætningr Hvad skal I hør? Hvad r dyrvlfærd? Hvordan gnnmførs t kontrolbsøg? Hvad skal du hav styr? Vi arbjdr md mnnskr, dyrvlfærdn flytts ignnm landmandn og mdarbjdrn!
Læs mereBefolkningsprognose pr. 31.12 2015 excl.flygtninge for perioden 2016 2026 Dato 03.06.2015
Bfolkningsprognos pr. 3. cl.flygtning for prion 6 6 Dato 3.6. Bfolkningsprognosr r bhæftt m n vis usikkrh, it prognosns forusætningr om føslshyppigh, øligh, boligmassn samt in og uvanring kan ænr sig i
Læs mereAKADEMI FAG KURSUSCENTRETS UDBUD. Organisation og arbejdspsykologi Ledelse i praksis Erhvervsøkonomi Coacing i organisationer Projektstyring i praksis
KURSUSCENTRETS UDBUD -2. halvår 2012 AKADEMI FAG Organisation og arbjdspsykologi Ldls i praksis Erhvrvsøkonomi Coacing i organisationr Projktstyring i praksis Ta t slvstændigt uddannlssforløb - llr ta
Læs mereUDBUD. -1. halvår 2014 AKADEMI FAG
UDBUD -1. halvår 2014 AKADEMI FAG Dt stratgisk ldrskab Ldls i praksis Erhvrvsøkonomi Coaching og konflikthåndtring Positiv psykologi i ldls Tag t slvstændigt uddannlssforløb - llr tag fagt som n dl af
Læs mere07745.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07745.00. Fredningen vedrører: Vrøgum Kær. Domme. Taksations komm iss ionen. Natu rklagenævnet
07745.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 07745.00 Frdningn vdrørr: Vrøgum Kær Domm Taksations komm iss ionn Natu rklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 18-12-1987 Frdningsnævnt 16-15-1986 Kndlsr Dklarationr OVER FREDNINGSNÆVNET>
Læs mereStudieOrdning August 2011 Produktions Teknolog Uddannelsen
StudiOrdning August 2011 Produktions Tknolog Uddannlsn Dnn studiordning r n orintring til nuværnd og kommnd studrnd på produktionstknolog uddannlsn om, hvad studit indholdr og hvad dr forvnts af d studrnd.
Læs mereProjektet. Holstebromotorvejen, delstrækningen Mejrup-Tvis
1 Prktt Hlstbrmtrv, dlstræk Mrup-Tvs Lædprfl Vsr hødkurvr vs frløb trræt Dlstræk Mrup-Tvs (st. 16,6-25,00) 2014 2015 2016 2017 2018 Alæslv Lbstls Frudrsølsr (arkæl, tkk) Jrdfrdl Dtalbstls Eksprprat af
Læs mereVi starter nu med punkt 1 på dagsordenen: valg af dirigent. Bestyrelsen peger på Einar Hoff. Er der andre forslag?
Vdtægtrns 8 dagsordnspunktr viss. Vi startr nu md punkt 1 på dagsordnn: valg af dirignt. Bstyrlsn pgr på Einar Hoff. Er dr andr forslag? Formandstaln 2014 Bstyrlsn bstår dsværr i dag af kun 6 bstyrlssmdlmmr
Læs mere01562.00. Afgørelser - Reg. nr.: 01562.00. Fredningen vedrører: Blovstrød Kirke. Domme. Taksatio ns komm iss io nen.
I - --- - ~------------ 01562.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 01562.00 Frdningn vdrørr: Blovstrød Kirk Domm Taksatio ns komm iss io nn Natu rklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 26-04-1951 Kndlsr Dklarationr
Læs mere01407.00. Afgørelser - Reg. nr.: 01407.00. Fredningen vedrører: Slagslunde Kirke. Domme. Taksations kom miss ion en.
01407.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 01407.00 Frdningn vdrørr: Slagslund Kirk Domm Taksations kom miss ion n Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 26-10-1950 Kndlsr Dklarationr FREDNINGSNÆVNET> KENDELSE
Læs mereDette spørgeskema indeholder derudover tre åbne spørgsmål, hvor I har mulighed for at lægge billet ind på konkurrencens øvrige priser:
Årts sundst virksomhd 2009 Spørgskmat udgør ldlsns bsvarls til konkurrncn "Årts sundst virksomhd 2009" samt mulighd for at dltag i d tr kstra prisr. Prisn "Årts sundst virksomhd 2009" ovrrækks af ministr
Læs mereUDVIKLINGS- OG INVESTERINGSPLAN FOR AALBORG KOMMUNES SKOLER ØSTER UTTRUP SKOLE // 2015
UDVIKLINGS- OG INVESTERINGSPLAN FOR AALBORG KOMMUNES SKOLER ØSTER UTTRUP SKOLE // 2015 BESKRIVELSE ØSTER UTTRUP SKOLE FAKTA Adrss Østr Uttrup Skol Brinkn 6 9220 Aalborg Ø Tlf 99824590 E-mail Wb Skolldr
Læs mereχ 2 -fordelte variable
χ -fordelte varable Defnton af χ -fordelngen Kvadratsummen V n af n uafhængge standardserede normalfordelte stokastske varable sges at være χ -fordelt med n frhedsgrader. V n fremkommer altså som V n =
Læs mere06183.00. Afgørelser - Reg. nr.: 06183.00. Fredningen vedrører: Skyttegård. Domme. Taksations komm iss io nen. Naturklagenævnet. Overfredningsnævnet
06183.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 06183.00 Frdningn vdrørr: Skyttgård Domm Taksations komm iss io nn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 13-09-1976 Kndlsr Dklarationr FREDNINGSNÆVNET> L.J (h At"IR',-ny
Læs mereHvordan er trivslen blandt eleverne på skolen (fx i forhold til mobning)?
Skol og Forældr Kvægtorvsgad 1 1710 Købnhavn V Tlf. 3326 1721 Fax 3326 1722 post@skol-foraldr.dk www.skol-foraldr.dk Skolbstyrlsrns bdømmls af trivsl og samarbjd i skoln Skol og Forældr har stillt n rækk
Læs mereFleksibilitet på det danske arbejdsmarked med fokus på rådighed og jobtræning i dagpengesystemet
DET SMFUNDSVIDENSKBELIGE FKULTET KØBENHVNS UNIVERSITET Flksibilitt på dt dansk arbjdsmarkd md fokus på rådighd og jobtræning i dagpngsystmt Evals Gruvski Nr. 259/2009 Projkt- & Karrirvjldningn Projkt-
Læs mereHoldningsundersøgelse, Skifergas - 2015
t Holdningsundrsøgls, Skifrgas - 2015 19308 Grnpac 6. maj 2015 AARHUS COPENHAGEN MALMÖ OSLO SAIGON STAVANGER VIENNA 1 INDHOLDSFORTEGNELSE 1. Kort om Epinion... 3 2. Baggrund... 4 3. Frkvnsr... 5 4. Kryds
Læs mereProgram. Normalfordelingen. Hvad skal vi bruge normalfordelingen til? Eksempel: hjerneceller hos marsvin
Program Normalfordlig Hll Sørs E-mail: hll@mah.ku.dk I dag: ormalfordlig Hvad skal vi brug ormalfordlig il og hvorfor r d vigig? Hisogram og ormalfordligsæhd Brgig af sadsylighdr i ormalfordlig Er daa
Læs mereKURSUSCENTRETS UDBUD AKADEMI FAG
KURSUSCENTRETS UDBUD -2. halvår 2013 AKADEMI FAG Organisation og arbjdspsykologi Ldls i praksis Erhvrvsøkonomi Coaching og konflikthåndtring Projktstyring i praksis Social mdir HRM Ta t slvstændigt uddannlssforløb
Læs mereBilag 2.4: Oplæg til kapacitetsniveauer
Blag 2.4: Oplæg tl kapacttsnvaur 1 Indldnng Oplæg tl udryknngssammnsætnngr r n sammnstyknng af d kapacttsanalysr, dr r vdlagt blag 2.3. Oplæggt r byggt op bgyndnd md d, dr kan håndtrs md lavst bmandng
Læs mereLokalplan nr. 9. Område til idrætsfaciliteter ved Skævinge Skole i Skævinge
Lokalplan nr. 9 mråd til idrætsfacilittr vd Skæving Skol i Skæving 26.03.1986 Skæving kommun LKALPLAN NR. 9 for t områd i kommunplann bnævnt D6 bliggnd vd Harløsvj i Skæving STEMPELMÆRKE KUN GYLDIGT MKM
Læs mereDe følgende spørgsmål omhandler den teoretiske undervisning på modul 7. 2) Hvordan har dit læringsudbytte været i undervisningen i følgende temaer:
Evaluring modul 7 Hold; BosE2014 Forår 2016. D følgnd spørgsmål omhandlr dn tortisk undrvisning på modul 7. 1) Hvordan vurdrr du din studiaktivitt i modult? 6 var mgt tilfrds llr tilfrds 2 var utilfrds
Læs mereTilsyn med virksomheder eksklusive landbrug og pelsdyrfarme i 2012, Del 1/3
Tilsyn md dr ksklusiv landbrug og plsdyrfarm i 2012, Dl 1/3 Kommunnavn Rbild Indldning (max 1500 Dr r udført 98 tilsyn i 2012, hraf 12 på dambrug, Rbild Kommun har ovrholdt d fastsatt minimumsfrkvnsr for
Læs mere03124.00. Afgørelser - Reg. nr.: 03124.00. Fredningen vedrører: Postgården. Domme. Taksations kom missionen. Naturklagenævnet
03124.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 03124.00 Frdningn vdrørr: Postgårdn Domm Taksations kom missionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 25-05-1964 Frdningsnævnt 12-10-1963 Kndlsr Dklarationr OVER FREDNINGSNÆVNET>
Læs mereStil analyse af danske aktieinvesteringsforeninger
Institut for økonomi Bachlorafhandling Forfattr: Nils Susgaard Jnsn HA Almn Vjldr: Michal Christnsn Stil analys af dansk aktiinvstringsforningr Aarhus Univrsitt Maj 2015 Sid 1 af 46 ABSTACT In this thsis
Læs mereVurdering af ansøgninger om medfinansiering af
17. dcmbr 2008 Vurdring af ansøgningr om mdfinansiring af intrnational oplvlssfyrtårn i Rgion Midtjylland 1. Introduktion I januar 2008 bsluttd Vækstforum Midtjylland at giv 11 konsortir n indldnd udviklingsfinansiring
Læs mereN Æ S T V E D U N G D O M S S K O L E F O R F R E M T I D E N S V O K S N E. !Hallen rykker igen!god jul, godt nytår, barsel!rådhusets nye naboer
TILMELDINGSBLANKETTEN skal aflvrs på ungdomsskolns kontor, Skllt 29, 4700 Næstvd NAVN: FØDSELSDATO: ADRESSE: POSTNUMMER: TELEFON: MOBIL: FORÆLDRES NAVNE: Særlig hnsyn/kommntarr: N Æ S T V E D U N G D O
Læs mereMød læs på alle. metroxpr. Metroxpress-universet. M tre stærke platforme
t s i l Pris S I V A n d n r M tr stærk platform Mtroxprss-univrst Dt startd i 2001, hvor n rblsk mtro-avis tillod sig at vær gratis hvor flabt sagd nogn, hvor djligt sagd mang hvor andrlds mnt d flst.
Læs mere06164.00. Afgørelser - Reg. nr.: 06164.00. Fredningen vedrører: Bøgebjerg. Domme. Taksatio ns komm iss ionen. Naturklagenævnet
06164.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 06164.00 Frdningn vdrørr: Bøgbjrg Domm Taksatio ns komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 15-06-1977 Frdningsnævnt 26-07-1978 Kndlsr Dklarationr OVERFREDNINGSNÆVNET>
Læs mereJais Nielsen streger og buer (elevark) to billedkunstlektioner
Jais Nilsn strgr og bur (lvark) to billdkunstlktionr Strgr og bur - øvlsr på papir Jais var rigtig god til at tgn. Når han skull lav kramik, tgnd han altid n skits på papir. På dn måd kunn han prøv sin
Læs mereAfgørelser - Reg. nr.: Fredningen vedrører: Jørgensø - lørresø. Domme. la ksatio ns komm iss ionen.
01492.01 Afgørlsr - Rg. nr.: 01492.01 Frdningn vdrørr: Jørgnsø - lørrsø Domm la ksatio ns komm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt Kndlsr Dklarationr 19-01-1951 DEKLARATIONER> REG. NR.
Læs mereKursustide r. Lykkesgårdskole n, Varde. Lykkesgårdskole n, Varde. Rådhuset/ Bytoften 2/ Mødesalen. Rådhuset/ Bytoften 2/ Mødesalen
Kursusaktivitt/Autism/særlig bvilling Kursr for lærr og pædagogr 201 Kursus Low arousal bgyndr Kursusdato r Mandag dn 25. fbruar og onsdag dn 20. marts 201 Kursustid r Kursusstd Lykksgårdskol n, Vard Sidst
Læs mereP RTFOLIO STEPHANIE JUUL-ANDERSEN
STPHANI JUUL-ANDRSN. FØDT AUGUST 1989. BOR I HLSINGØR. TALR DANSK, NGLSK, TYSK. DKORATØR, LÆSR -DSIGN. STPHANI@JUUL-ANDRSN.NU 0045 2521 0300 LVATOR TAL JG HDDR STPHANI JUUL-ANDRSN R UDDANNT DKORATØR OG
Læs mere07644.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07644.00. Fredningen vedrører: Nordre Strandvej, Ebeltoft. Domme. Taksatio nskomm iss ionen.
07644.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 07644.00 Frdningn vdrørr: Nordr Strandvj, Ebltoft Domm Taksatio nskomm iss ionn Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt Frdningsnævnt 14-012-1983 Kndlsr Dklarationr FREDNINGSNÆVNET>
Læs mere07751.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07751.00. Fredningen vedrører: Sønderhav Skrænt. Domme. Taksationskommissionen 06-10-1988.
07751.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 07751.00 Frdningn vdrørr: Søndrhav Skrænt Domm Taksationskommissionn 06-10-1988 Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 17-02-1988, 04-03-1988 Frdningsnævnt 01-10-1986 Kndlsr Dklarationr
Læs mereTALTEORI Følger og den kinesiske restklassesætning.
Følger og den knesske restklassesætnng, december 2006, Krsten Rosenklde 1 TALTEORI Følger og den knesske restklassesætnng Dsse noter forudsætter et grundlæggende kendskab tl talteor som man kan få Maranne
Læs merePRÆSENTATIONSBESKRIVELSE AF UDDANNELSESAFSNIT I PSYKIATRISKE CENTRE/ SYGEHUSPSYKIATRIEN
Spcialuddannlsn for psykiatrisk sygpljrskr Uddannlssrgion Syd ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Læs mereForslag til Kommuneplan 2009 Rammer De konkrete rammer er sidenummereret fortløbende. Lokalsamfundsbeskrivelser er sidenummereret enkeltvis.
Forslag til Kommunplan 2009 Rammr D konkrt rammr r sidnummrrt fortløbnd. Lokalsamfundsbskrivlsr r sidnummrrt nkltvis. 01/09/08 Lokalsamfund 1 - Midtbyn 01-06 MDTBYEN Midtbyn bstår af bydln City, Frdriksbjrg,
Læs mereSerie 600RB OPDATERING. Hvad står navnet Ruko for og hvad står vi for i dag? af Serie 600
OPDATERING Hvad står navnt Ruko for og hvad står vi for i dag? af Sri 600 Ruko blv stiftt i 1930 af Rudolf Korska n visionær låssmd, dr allrd fra firmats start lagd vægt på tknisk vidn, udvikling, uddannls
Læs mereByggegrubens bund består, før drænlaget udlægges, af gytje (γ g = 17 kn/m 3, jf #Fundering, hovedrapp.), se Figur A.1.
Fjl! Hnvisninskild ikk fndt. Bila A: Fndrin A. Grndvandssænknin Dt r fordsat vd dinsionrin af spnsvæn okrin byrbn, s afsnit #spnsvæ, at rndvandsspjlt på basidn af spnsvæn r sæn fra dn natrli kot +0,9 til
Læs mere07776.00. Afgørelser - Reg. nr.: 07776.00. Fredningen vedrører: Nørholm Enge. Domme. Taksationskommissionen 13-08-1990.
07776.00 Afgørlsr - Rg. nr.: 07776.00 Frdningn vdrørr: Nørholm Eng Domm Taksationskommissionn 13-08-1990 Naturklagnævnt Ovrfrdningsnævnt 28-03-1990 Frdningsnævnt 06-04-1989 Kndlsr Dklarationr TAKSATIONSKOMMISSIONEN>
Læs mereMADE IN SPACE Før besøget
n U n dr ogn iu u liu MADE IN SPACE vi sn in g s t a t øg ria s l FØ R b Hvis vi skillr dig hlt ad (til ator), opdagr vi, at du r byggt af grundstoffr. Dr finds 92 naturligt forkond grundstoffr, indst
Læs mere