CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 30 spørgsmål fordelt på 30 opgaver, benævnt opgave 1,2,..., 30 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål 1,2,...,30 i teksten. Bevarelserne af de 30 spørgsmål føres ind i nedenstående skema. Spørgsmål Svar Spørgsmål Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra 1 til 6. Indføres et forkert nummer i skemaet, kan dette rettes ved at sværte det forkerte nummer over og anføre det rigtige nedenunder. Er der tvivl om meningen med en rettelse, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kun forsiden skal afleveres. Afleveres blankt eller forlades eksamen i utide, skal forsiden alligevel afleveres. Kladde, mellemregninger og bemærkninger tillægges ingen betydning, kun tallene indført ovenfor registreres. Der gives 5 point for et korrekt svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Husk at forsyne opgaveteksten med navn, underskrift og bordnummer. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 16; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log( ) for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e. 1

2 Opgave 1 Antag, at 5% af alle mænd og 0,25% af alle kvinder er farveblinde. En tilfældig person vælges, og den person er farveblind. Antag, at 51% er mænd og 49% er kvinder. Spørgsmål 1 Hvad er sandsynligheden for, at personen er en mand? 1 0, , , ,04 Opgave 2 En detailhandler accepterer enten American Express eller VISA kreditkort. Blandt kunderne har 24 procent American Express, 61 procent har VISA og 11 procent har begge typer af kreditkort. Spørgsmål 2 Hvilken procentdel af kunderne har et kreditkort, som forretningen vil acceptere?

3 Opgave 3 En bestemt flod løber over sine bredder hvert år. Antag, at mærket for laveste vandstand sættes til 1, og, at den højeste vandstand Y har fordelingsfunktionen F Y (y) = P(Y y) = 1 1 y 2, 1 y <. Spørgsmål 3 Hvis mærket for den laveste vandstand redefineres til 0, og vi benytter en måleenhed, der er 1 10 af den forrige, så bliver den højeste vandstand Z = 10(Y 1). Find F Z(z). 1 1 if z > 0 (z/10+1) 2 ( 2 1 if z > 0 ) 1 (10z+1) (z/10 + 1) 2 if z > 0 4 ( 1 1 if z > 0 5 ( ) 1 z/10+1 (z/10+1) 2 ) if z > 0 Opgave 4 Lad λ være en fastholdt positiv konstant, og definer funktionen f(x) ved f(x) = 1 2 λe λx for x 0 og f(x) = 1 2 λeλx for x < 0. Spørgsmål 4 Find P( X < t) for alle t (1 e λt ), if t e λt, if t ( eλt + 1), if t (1 eλt ), if t e λt 1 2 eλt, if t 0 3

4 Opgave 5 Antag, at fordelingen af varigheden T af et bestemt telefonopkald kan beskrives ved P(T > t) = ae λt + (1 a)e µt, hvor a, λ og µ er konstanter, λ > 0, µ > 0. Spørgsmål 5 Find forventningsværdien af varigheden af et sådant telefonopkald. 1 E(T ) = λa + µ(1 a) 2 E(T ) = a λ + 1 a µ 3 E(T ) = ae λ λ + (1 a)e µ µ 4 E(T ) = ae λ λ + (1 a)e µ µ 5 E(T ) = a µ + 1 a λ Opgave 6 Medianen i en fordeling er en værdi m, således at P(X m) 1/2 og P(X m) 1/2. Spørgsmål 6 Find medianen i fordelingen f(x) = 3x 2, 0 < x < 1. 1 ( ) 1 1/3 2 2 ( ) 1 1/ ( ) 1 1/2 6 5 ( ) 1 1/2 2 4

5 Opgave 7 Et ægtepar beslutter at fortsætte med at få børn indtil en datter bliver født. Antag, at sandsynlighederne for at få drengebørn og pigebørn er ens. Spørgsmål 7 Hvad er standardafvigelsen på antallet af ægteparrets børn? Opgave 8 To biografer konkurrerer om 1000 kunder. Antag, at hver kunde vælger uafhængigt og med lige stor sandsynlighed mellem de to biografer. Lad N betegne antallet af sæder i hver biograf. Spørgsmål 8 Find et udtryk, eventuelt approksimativt, for N, der vil garantere, at sandsynligheden for at afvise en kunde (grundet fuldt hus), er mindre end 1% ( 500 ) ( 1 ) x x=n+1 x 2 < 0, 01 ( ) 2 1 Φ N 499,5 250 < 0, x=n+1 4 Φ ( 1000 ) x 2 x ( 1 1 ) 1000 x 2 < 0, 01 ( N 499,5 500 ) > 0, 01 5 ( ) x=n+1 ( 500 ) x < 0, 01 hvor Φ som vanligt betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel. 5

6 Opgave 9 En stokastisk variabel T er givet ved T = X 1/γ, hvor X exp(λ). Spørgsmål 9 Find hazardfunktionen for T. 1 h T (t) = λ γ tλ 1 2 h T (t) = 1 λ 3 h T (t) = 1 t λ+γ e λ+γ 4 h T (t) = 1 λ e t λ 5 h T (t) = λγt γ 1 Opgave 10 En universitetsstuderende planlægger at tage de første tre eksamener i forsikringsvidenskab i den kommende sommer. Hun vil tage den første eksamen i juni. Hvis hun består denne, vil hun tage den anden eksamen i juli, og hvis hun også består denne, vil hun tage den tredje eksamen i september. Sandsynligheden for, at hun består den første eksamen er 0,9. Hvis hun består den første eksamen, så er den sandsynligheden for, at hun også består den anden eksamen 0,8, og, hvis hun består både den første og den anden eksamen, så er den sandsynligheden for, at også hun består den tredje 0,7. Spørgsmål 10 Hvad er sandsynligheden for, at hun består alle tre eksaminer? 1 0,56 2 0,72 3 0, ,63 5 0,168 6

7 Opgave 11 Et punkt (X, Y ) vælges uniformt fra en firkant med endepunkter i (1, 1), (1, 1), ( 1, 1) og ( 1, 1). Spørgsmål 11 Bestem sandsynligheden for hændelsen X 2 + Y π 6 2 π 8 3 0, π 4 5 0,8853 Opgave 12 En tæthedsfunktion defineres til f(x, y) = C(x + 2y) for 0 < y < 1 og 0 < x < 2. Spørgsmål 12 Find den marginale tæthed for X. 1 f X (x) = 4(x + 1) if 0 < x < 2 2 f X (x) = 1 2 (x + 1) if 0 < x < 2 3 f X (x) = 1 4 (x + 1) if 0 < x < 2 4 f X (x) = x + 1 if 0 < x < 2 5 Kan ikke beregnes på grund af manglende oplysninger. 7

8 Opgave 13 Lad X Poisson(θ), Y Poisson(λ), uafhængigt. Spørgsmål 13 Hvad er fordelingen af Y X + Y? 1 Bin(X + Y, θ/(θ + λ)) 2 NegBin(X + Y, θ/(θ + λ)) 3 NegBin(X + Y, λ/(θ + λ)) 4 Poisson(θ + λ) 5 Bin(X + Y, λ/(θ + λ)) Opgave 14 Antag, at den stokastiske variabel Y følger en binomialfordeling med n forsøg og successandsynlighed X, hvor n er en givet konstant og X er en uniform(0,1) stokastisk variabel. Spørgsmål 14 Find E(Y ). 1 n/2 2 1/2 3 n 4 n/6 5 0, 5 2 n 8

9 Opgave 15 Den simultane tæthedsfunktion for X og Y er givet ved f(x, y) = 6 ( x 2 + xy ), 0 < x < 1, 0 < y < Spørgsmål 15 Find P(Y > 1 2 X < 1 2 ) , / / /2 6 1/2 0 7 ( x 2 + xy ) 2 dxdy ( x 2 + xy ) 2 dxdy ( x 2 + xy ) 2 dxdy Opgave 16 En TV-forhandler antager, at 45% af kunderne, der besøger butikken, vil købe et almindeligt TV, 15% vil købe et plasma-tv og 40% vil ikke købe noget. Spørgsmål 16 Hvis 5 kunder besøger hans butik på en given dag, hvad er så sandsynligheden for, at han vil sælge præcis 2 almindelige TV-sæt og 1 plasma-tv på den pågældende dag? 1 (0, 45) 2 + (0, 15) + (0, 4) 2 2 (0, 45) 2 (0, 15)(0, 4) 2 3 5! 2!2! (0, 45)2 (0, 15)(0, 4) 2 4 (3 2)( 3 1) ( 5 2) 5 0,75 9

10 Opgave 17 Lad X være ligefordelt på intervallet [0, 2] og Y ligefordelt på [0, 1], uafhængigt af hinanden. Spørgsmål 17 Beregn tætheden f(z) for Z = X Y. 1 f(z) = 1 (1+z) 2 for all z > 0. 2 f(z) = 1 8z 2, if z 2, and f(z) = 1 4z 2 if 0 < z < 2. 3 f(z) = 1 4z 2, if z 2, and f(z) = f(z) = 1 z 2, if z 2, and f(z) = f(z) = 2 z 2 for z 2. if 0 < z < 2. if 0 < z < 2. Opgave 18 En urne indeholder 6 hvide og 9 sorte kugler. Fire (4) kugler vælges tilfældigt uden tilbagelægning. Spørgsmål 18 Hvad er sandsynligheden for, at der er præcis 2 hvide kugler blandt de udvalgte? 1 ( ( ( 3 ) 2 2) 4) (6 2)( 9 2) ( 15 4 ) 10

11 Opgave 19 Fire forskellige typer soldater skal hyres til en farlig militæroperation, en af hver type. Soldaterne vælges tilfældigt fra en population, hvor hver af de fire typer optræder med samme sandsynlighed, og ingen andre typer optræder. Spørgsmål 19 Sandsynligheden for, at de første fire soldater som udvælges kan hyres er ( ! ) 4 Opgave 20 Lad U i, i = 1, 2,..., være uafhængige uniform(0,1) stokastiske variable, og lad X følge fordeligen 1 P(X = x) =, x = 1, 2,.... (e 1)x! Spørgsmål 20 Find P(Z > z), hvor Z = min{u 1,..., U X } 1 1 e1 z 1 e, 0 < z < 1 2 e1 z 1 e 1, 0 < z < 1 3 e1 z e 1, 0 < z < 1 4 ez 1 e 1, 0 < z < 1 5 e1 z 1 e, 0 < z < 1 Hint: Overvej at benytte en standard rækkeudvikling. 11

12 Opgave 21 Lad Z 1 og Z 2 være uafhængige Normal(0, 1) stokastiske variable, og definer de nye stokastiske variable X og Y ved X = 2Z 1 + 3Z 2 + 1, Y = Z 1 + 2Z Spørgsmål 21 Find Cov(X, Y ) Opgave 22 Antag, at varigheden i minutter af en telefonsamtale er exponentialfordelt med middelværdi 2 minutter. Antag, at du ankommer til en telefonboks, og, at en person allerede taler, og, en anden person venter i kø. Spørgsmål 22 Find sandsynligheden for, at du skal vente i 4 til 8 minutter. 1 e 2 e 4 2 9e 8 17e e 2 5e 4 4 e 8 e 16 5 kan ikke besvares uden at vide hvor længe personen i telefonboksen har talt 12

13 Opgave 23 En sætter laver i gennemsnit en fejl for hver 500 ord som sættes. En typisk side indeholder 300 ord. Spørgsmål 23 Hvad er sandsynligheden for, at der maksimalt vil være to fejl på fem sider? 1 0,5 2 2 x=0 3 4e x=0 5 0,75 ( 300 x ) ( ( 1500 ) ( 1 x 500 ) x ( 1 ) 300 x 500 ) x ( 499 ) 1500 x 500 Opgave 24 Antag, at X er normalfordelt med middelværdien 0, 5. Spørgsmål 24 Hvis P(X > 9) = 0, 025, approksimativt hvad er V ar(x)? 1 18, ,08 3 4, , ,25 13

14 Opgave 25 Antag, at det vides, at antallet af varer produceret på en fabrik i løbet af en uge er en stokastisk variabel med middelværdi 50. Spørgsmål 25 Hvis variansen af en uges produktion vides at være 25, hvad kan man så sige om sandsynligheden for, at denne uges produktion vil ligge mellem 40 og 60? 1 Mindre end Maksimalt Mindst Mellem 1 3 og Mindst 3 4 Opgave 26 Lad X i, i = 1,..., 50, være uafhængige stokastiske variable, hver ligefordelt på intervallet (0, 1). Spørgsmål 26 ( 50 ) Udregn en approksimation til P i=1 X i > Φ ( 6 ) 2 1 Φ( 6) 3 ( ) 1 Φ , ( ) Φ 6 5 hvor Φ som sædvanligt angiver fordelingsfunktionen for en standard normalfordelt variabel. 14

15 Opgave 27 En dartpil kastes og rammer et punkt. Hvis midten antages at være origo i et koordinatsystem, så kan koordinaterne til træfpunktet beskrives som uafhængige normalfordelte variable med middelværdi 0 og standardafvigelse 2. Spørgsmål 27 Hvad er den forventede afstand fra træfpunktet til origo i koordinatsystemet? 1 2π π 2 4 π 5 π 2 Opgave 28 Antag, at antallet af ulykker på en motorvej optræder uafhængigt af hinanden med en forventningsværdi på 3 ulykker per dag. Spørgsmål 28 Find sandsynligheden for, at 3 eller flere ulykker optræder idag. 1 0, , , , ,

16 Opgave 29 Lad X og Y være uafhængige stokastiske variable med middelværdierne µ X = 2, µ Y = 1 og varianserne σ 2 X = 1, σ2 Y = 1. Spørgsmål 29 Hvad er korrelationen mellem XY og Y? 1 0, , Kan ikke beregnes på grund af manglende oplysninger. Opgave 30 En blodtryksmåling bestående af en samtidig måling af det systoliske og det diastoliske blodtryk kan beskrives, på en passende skala, ved en standardiseret bivariat normalfordeling med en korrelationskoefficient på Man ønsker at beregne sandsynligheden for, at det diastoliske blodtryk er højere end gennemsnittet, og at det systoliske blodtryk er højere end det diastoliske blodtryk, begge målt på den relevante skala nævnt ovenfor. Spørgsmål 30 Den ønskede sandsynlighed findes til 1 Atan( 2 3) 2π 2 Atan( 3 4) 2π Atan( 2 3) 2π 5 π Atan( 3 2 4) 2π Slut på opgavesættet. 16