Vægtet model. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægte. Vægte: Eksempel. Definition: Vægtrelationen

Transkript

1 Vægtet model Landmålngens fejlteor Lekton 4 Vægtet gennemsnt Fordelng af slutfejl - kkb@mathaaudk kkb/undervsnng/lf3 Insttut for Matematske Fag Aalborg Unverstet Gvet n uafhængge målnger x,, x n af n størrelser µ,, µ n Målnger er kke nødvendgvs af samme kvaltet Fx kan vsse målnger være behæftet ved flere fejlklder end andre, nogle kan være målt flere gange, etc Som tdlgere er x,, x n realsatoner af stokatske varable X,, X n, hvor E(X ) µ og Var(X ) σ, hvor σ erne kke nødvendgvs er ens / / Vægte Vægte: Eksempel Hver målng gves en vægt p som afspejler kvalteten af målngen - desto højere vægt desto bedre målng Defnton: Vægtrelatonen Vægtene, der er postve tal, sges at opfylde vægtrelatonen, hvs p σ p σ p n σ n V antager altd at vægtrelatonen er opfyldt Antag varansen på første målng er dobbelt så stor som på den anden (σ σ ) Et valg af vægte, der opfylder vægtrelatonen er p og p, det p σ p σ Der er uendelg mange lge god valg af vægte Et andet valg er p 3 og p 3 Bemærk: I eksemplet er vægten på den bedste målng dobbelt så stor som vægten på den dårlge målng 3/ 4/

2 Vægtet gennemsnt Antag at µ µ µ n µ, dvs alle observatoner x,, x n er målnger af samme størrelse µ Fortsat er varansen kke nødvendgvs den samme for alle målnger Fx kan der være anvendt måleudstyr af forskellge fabrkat og/eller kvaltet Tl at estmere µ bruges det vægtede gennemsnt x således mere præcse målnger (observatoner med lav varans) vægter mere gennemsnttet end dårlgere bestemte målnger Defnton: Vægtet gennemsnt For observatoner x,, x n med vægte p,, p n er det vægtede gennemsnt x p n p x + + p n p x n p (p x + + p n x n ), Sætnng Sætnng For den stokastske varabel X p n p X + + p n p X n p (p X + + p n X n ) gælder følgende udsagn E( X ) µ, dvs X er en central estmator for µ For postve p,, p n er Var( X ) mndst når vægtene opfylder vægtrelatonen, dvs p σ p n σ n hvor vægtene er valgt så de opfylder p σ p n σ n 5/ 6/ Varansen for det vægtede gennemsnt Estmat af σ 0 Idet vægtrelatonen foreskrver p σ er ens for alle, kan σ 0 ndføres som σ 0 p σ p σ p n σ n Indtl vdere har σ 0 kke nogen naturlg fortolknng Sætnng: Varansen af vægtet gennemsnt Lad p + p og dermed X p p + X + p p + X + + pn p + X n Antag vægtrelatonen er opfyldt, dvs σ0 p σ p n σn Da gælder Var( X σ0 ) p Således er varansen på det vægtede gennemsnt gvet ved ( Var( X ) og dermed X N µ, Estmat af σ 0 σ 0 p Som estmat af σ0 anvendes s 0: s 0 p (x x ) n p x ( x ) n p Der gælder desuden, at s 0 er et centralt estmat for σ 0 σ 0 p ) 7/ 8/

3 Estmat af Var( X ) Estmat af σ Varasen for det vægtede gennemsnt er Var( X ) σ 0 p Et centralt estmatet for varansen af det vægtede gennemsnt er derfor s 0 p Relatonen mellem de enkelte varanser σ og σ 0 er gvet ved vægtrelatonen: σ0 p σ p n σn Dvs den te varans σ Estmat for σ skrves som σ σ 0/p Varansen for σ kan estmeres vha s s 0/p 9/ 0/ Eksempel - Geometrsk nvellement Eksempel - Geometrsk nvellement Højdeforskel nvelleret over n stræknnger med samme klometersprednng σ k Varansen over en længde l er fra tdlgere gvet ved σ k l Højdeforskel h Længde l Varans på h over l h l σ σ k l h l σ σk l h n l n σ n σ k l n Forskellg varanser på målnger pga forskellge stræknnger, altså l l j Da varanserne er forskellge benytter v vægtede observatoner 3 Vægtrelatonen er opfyldt når σ 0 p σ p n σ n Indsættes udtrykket for σ l σk har v: Heraf fremgår det at hvs p l σ 0 p σ kl p n σ kl n er lgheden opfyldt: σ0 l σ kl l n σkl n σk σk Dvs vægte kan vælges tl p (l ) altså er vægten den resprokke længde Bemærk: Her har σ 0 en fortolknng: klometersprednngen / /

4 Eksempel - polygonvnkler Eksempel - fortsat V måler vnklerne punkterne 3-6 Alle vnkler er målt med samme varans σ v Lad σm, være varansen af mddelsatsen punkt Ifølge vægtrelatonen skal p σm, være ens for alle, p 3 σ m,3 p 4 σ m,4 p 5 σ m,5 p 6 σ m,6 Punkt Antal satser σ m, Jf udtrykkene fra forrge slde 3 σ m,3 σ v 4 3 σ m,4 σ v σm,5 σ v σm,6 σ v σv p 3 p σv 4 3 p σv 5 4 p σv 6 6 Således kan vægtene vælges lg antal satser for hvert punkt: p 3 p 4 3 p 5 4 p 6 6 Med dsse vægte gælder σ 0 σ v 3/ 4/ Eksempel - Vnkelmålnger Fordelng af slutfejl Vnkler målt med forskellge satser med samme vnkelsprednng σ v Varansen på vnkler målt med k satser er fra tdlgere gvet ved σ v/k Vnkel v Sats k Varans på mddelsats v k σ σv/k v k σ σv/k v n k n σ n σ v/k n Forskellg varans på målnger pga forskellgt antal satser, dvs vægtede observatoner Vægtrelatonen er opfyldt når σ 0 p σ p n σ n Fra tabellen ses det at vægten kan vælges tl p k dvs vægten er antal satser 4 Betragt en stuaton hvor v ved at summen af vores observatoner skal være lg en kendt værd x 0 Dette kunne eksempelvs være: x 0 00 gon, hvor vores målnger er vnkler en trekant x 0 0 mm, hvor v nvellerer et lukket net, dvs slut- og startpunkt er det samme x 0 H H, hvor målnger er for at bestemme kote tl et punkt Slutfejlen er afvgelsen mellem x 0 og den faktske sum af observatoner 5/ 6/

5 Nvellement - bestemmelse af kote Model V ønsker at beregne koten µ tl punktet P med højdeforskelle h tl P og h tl P Længderne fra P tl de to punkter P og P er henholdvs l og l P H l h P l h P H P H l h P l h X H og X H er uafhængge stokatske varable med E(X H ) E(X H ) µ, X H X H H + h H h P H Fra sdste gang har v at Var(X H ) l σ k og Var(X H ) l σ k 7/ 8/ Estmat af µ Estmat af µ - fortsat Tl at estmere µ anvendes det vægtede gennemsnt x det varanserne på højdemålngerne kke nødvendgvs er ens, x p p + p (H + h ) + p p + p (H h ), hvor vægtene p og p opfylder vægtrelatonen p l σ k p l σ k Dvs de recprokke længder kan anvendes som vægte, Estmatet for µ er altså gvet ved: p l og p l x l l l + l (H + h ) + l + l (H h ) 5 V kan omskrve udtrykket for x således: x l l l + l (H + h ) + l + l (H h ) l l l l l l l + (H + h ) + l l l l + (H h ) l l l l l + l (H + h ) + l l + l (H h ) 9/ 0/

6 Slutfejlen r n På grund af målefejl er h + h H H Derfor ndføres slutfejlen r n som korrekton Slutfejl af vnkelmålnger trekant β h + h + r n H H H h H + h + r n Indsættes dette udtrykket for x får v x l l + l (H + h ) + l l + l (H h ) l l + l (H + h ) + l l + l (H + h + r n ) (H + h ) + l l + l r n Slutfejlen på estmatet x af koten µ skal under de anvendte vægte (recprokke længdemål) fordeles proportonalt med vejlængden α Betragt trekanten med sande vnkler α, β og γ Dvs α + β + γ 00 gon X α X β X γ x α x β x γ E(X α ) α, E(X β ) β og E(X γ ) γ Var(X α ) Var(X β ) Var(X γ ) σ γ / / Model for vnkler trekant Estmat af α På grund af betngelsen om en vnkelsum på 00 gon, kan modellen smplfceres, X α 00 X β X γ x α 00 x β x γ Fra vores vden om lneære transformatoner om E og Var har v at, E(X α ) α E(00 X β X γ ) 00 β γ Var(X α ) σ Var(00 X β X γ ) σ 6 Idet varansen for de to observatoner er forskellg anvendes det vægtede gennemsnt tl at estmere α Bemærk at både x α (drekte målng) og 00 x β x γ (ndrekte målng) er observatoner tl at estmere den sande værd α x p p + p x α + p p + p (00 x β x γ ) Igen skal vægtene p og p opfylde vægtrelatonen p σ p σ Idet σ σ og σ σ vælges p og p Hermed har v x 3 x α + 3 (00 x β x γ ) 3/ 4/

7 Slutfejlen r v på vnkelsummen Som foregående eksempel er summen af x α, x β og x γ kke 00 pga uundgålge målefejl Derfor ndføres r v således x α + x β + x γ + r v x β x γ x α + r v, og dette ndsættes udtrykke for x, x 3 x α + 3 (00 x β x γ ) 3 x α + 3 (x α + r v ) x α + 3 r v Dvs slutfejlen fordeles lgelgt på alle vnkler uanset deres målte størrelser 5/ 7