Uge 6 Store Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Opgave 1 Udregning af determinant. Håndregning Der er givet matricen A =

Transkript

1 OPGAVER Opgaver til Uge 6 Store Dag Opgave Udregning af determinant. Håndregning 0 Der er givet matricen A = a) Udregn det(a) ved opløsning efter en selvvalgt række eller søjle. b) Omform med nogle rækkeoperationer A til en trekantmatrix, og udregn ved hjælp heraf det(a). Opgave 2 Determinanter og rang a) Repetition: Givet polynomiet P(x) = x 6 + x 5 + x 4 x 3. Faktorisér P(x) idet du først sætter x 3 uden for parentes og i parentesen har et tredjegradspolynomium. Find rødderne i dette, og angiv herefter samtlige rødder i P(x) med deres algebraiske multipliciteter. Givet matricen a a 2 a 3 A = 0 a 2 a 3 a a a 3, hvor a R. () a a 2 a b) Bestem (gerne med Maple) determinanten af A.

2 OPGAVER 2 c) Find rangen af A for a 4, 3, 2,, 0,, 2, 3, 4. Hvad har rangen med de fundne rødder i determinanten at gøre? d) Find rangen af A for alle a R. Opgave 3 Drilleopgave hvor enhedsmatricen dukker op De følgende spørgsmål løses ved håndregning og smart tænkning! Givet matricerne A = [ 2 3 ], B = [ ] 0, C = 4 [ ] 3 2 og D = [ ] 0 4 (2) a) Gør ved hjælp af determinanter rede for at A og B er regulære og dermed invertible. Kan det heraf konkluderes at AB er regulær og invertibel? b) Udregn AC, BD og og DC. c) Find A og B. d) Find ved brug af de foregående spørgsmål (AB). Opgave 4 Givet matricerne Determinant-akrobatik A = og B = (3) a) Udregn det(a) og det(b) med Maple. b) Udregn det(a 7 ) og det(a B) uden brug af Maple. c) Vis, at A har en invers, og angiv det(a ) og det(a 7 ).

3 OPGAVER 3 Opgave 5 Vektorers addition og multiplikation med skalar a) Først skal du afprøve geometrisk addition og subtraktion. Åben GeoGebra-arket VektorSum. Der er i arket givet vektorerne a og b. Konstruér vektorerne a + b og a b. b) Herefter afprøves produkt af vektor og skalar. Åben GeoGebra-arket VektorTal- Produkt. Der er i arket givet en vektor a og en tallinje med tallene og k afsat. Du skal konstruere vektoreren ka. c) Åben GeoGebra-arket ParameterFremstilling. Konstruér de følgende punktmængder: A = P OP= v + tu, t R B = P OP= v + t(u v), t R C = P OP= v + su + t(u v), s [0, ], t [0, ] Opgave 6 Linearkombinationer Der er i planen givet vektorerne u, v, s og t, samt parallelogrammet A, se figuren. A s t v O u a) Opskriv s som en linearkombination af u og v. b) Vis at v kan udtrykkes ved linearkombinationen v = 3 s + 6 t. c) Bestem fire reelle tal a, b, c og d således at A kan beskrives ved parameterfremstillingen A = P OP= xu + yv hvor x [ a, b ] og y [ c, d ].

4 OPGAVER 4 Opgave 7 Lineær afhængighed eller uafhængighed I denne opgave indgår der tre forskellige scenarier i planen, se figuren. u c v a b r s a) Afgør for hvert af vektorsættene (u, v), (r, s) og (a, b, c) om de er lineært uafhængige. I modsat fald ønskes nul-vektoren opskrevet som en egentlig linearkombination af vektorerne i sættet. Opgave 8 Basisskifte og koordinater i planen I denne opgave ser vi på hvordan en given vektors koordinater ændres, når der skiftes basis. O j a 2 i a På figuren er der i planen givet en sædvanlig basis e = (i, j) samt en basis a = (a, a 2 ). a). En vektor u har koordinaterne (5, ) med hensyn til basis e. Bestem u s koordinater med hensyn til basis a.

5 OPGAVER 5 2. En vektor v har koordinaterne (, 2) med hensyn til basis a. Bestem v s koordinater med hensyn til basis e. Opgave 9 Basisskifte og koordinater i rummet I denne opgave arbejder vi både med et sædvanligt koordinatsystem og med den basis a som er vist på figuren. Z a 3 a 2 a 2 Y X a) Bestem determinanten af matricen [ a a 2 a 3 ]. Gør rede for at sættet (a, a 2, a 3 ) faktisk udgør en basis. b) Tre rumvektorer u, v og w kendes fra deres koordinater med hensyn til basis a således: 2 2 au = 0, a v = og a w = Bestem koordinaterne for u, v og w med hensyn til den givne sædvanlige basis ved hjælp af matrix-vektorprodukter. De følgende spørgsmål er advanced. c) En plan α i rummet er med hensyn til (O, a, a 2, a 3 )-koordinatsystemet givet ved x + 2y 2z =. Bestem en parameterfremstilling for α med hensyn til (O, a, a 2, a 3 )-koordinatsystemet. d) Bestem en paramterfremstilling for α med hensyn til det givne sædvanlige koordinatsystem. e) Bestem en ligning for α med hensyn til det givne sædvanlige koordinatsystem.