StatDataN: Middelværdi og varians
|
|
- Benjamin Markussen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33
2 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer, X(ω) = antallet af blade på træet ω Y (ω) = højden af træet ω Sandsynlighedsfunktion (tæthed) og fordelingsfunktion: f X (x) = P(X = x), F X (x) = P(X x) To stokastiske variable: simultan sandsynlighed og betinget sandsynlighed P(X = i Y = j) = P(X=i,Y =j) P(Y =j) X s fordeling: beskrivelse af f X eller F X StatDataN: Middelværdi og varians p. 2/33
3 Betinget sandsynlighed Cykeltur: ss p for punktering på baghjul (B) ss 1 2p for punktering på forhjul (F) de to hjul er uafhængige Vi betinger med at ét hjul punkterer (et) P(forhjul ét hjul) = P(F et) = P(F,et P(et) = = = P(F, ikke B) P(et) P(F, ikke B) P(F, ikke B) + P(ikke F,B) 1 2p(1 p) 1 2 p(1 p) + (1 1 2 p)p = 1 p 3 2p 1 3 p lille StatDataN: Middelværdi og varians p. 3/33
4 Gevinst i mange spil Spil: Taber 1 kr ved plat, vinder 1 kr ved krone Ét spil: Enten gevinst eller tab Mange spil?: Er der tab i det lange løb? n spil: vinder i k n og taber i n k n gennemsnitlige gevinst: jvf "fysiske" definition af ss 1 n [1 k n 1 (n k n )] = 1 kn n 1 (1 k n n ) 1 P(plat) 1 P(krone) StatDataN: Middelværdi og varians p. 4/33
5 Middelværdi af diskret sv Definition på middelværdi E(X) af diskret stokastisk variabel E(X) = i P(X = i) i Middelværdien er en egenskab ved ss-fordelingen Fortolkning: gennemsnitlige værdi ved mange uafhængige gentagelser StatDataN: Middelværdi og varians p. 5/33
6 Populationsgennemsnit Ω=population P : tilfældig udvælgelse, P(Peter Mathisen) = 1 Ω X: stokastisk variabel E(X) kaldes populations-gennemsnittet Ω i = {ω X(ω) = i}, Ω i = antal elementer, E(X) = i P(X = i) = i Ω i Ω i i = 1 i 1 = 1 Ω Ω ω Ω i = 1 Ω i i ω Ω i i X(ω) = 1 X(ω) Ω i ω Ω i ω Ω StatDataN: Middelværdi og varians p. 6/33
7 Chevalier de Meré Spil: 24 kast med 2 terninger { 1 mindst én dobbelt sekser X = gevinst = 1 ingen dobbelt sekser Hvad er den gennemsnitlige gevinst i det lange løb? E(X) = 1 P(..) 1 (1 P(..)) Chevalier de Meré ( 1650) fandt empirisk (!) at E(X) < 0 eller P(..) < 1 2 Han havde ellers beregnet at P(..) > 1 2 StatDataN: Middelværdi og varians p. 7/33
8 Chevalier de Meré P(ingen dobbelt 6-er) = ( ) = P(mindst én dobbelt 6-er) = 1 E(X) = = ( ) = StatDataN: Middelværdi og varians p. 8/33
9 Bernoulli variabel p er en parameter X = { 1 med ss p 0 med ss 1 p E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p X 2 = X, E(X 2 ) = E(X) = p V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = p p 2 = p(1 p) StatDataN: Middelværdi og varians p. 9/33
10 Middelværdi=ligevægt Vægtstangprincip: 1 kg placeret i afstand r fra omdrejningspunkt har samme effekt som 2 kg placeret i den halve afstand Den samlede effekt af masserne m 1,...,m k placeret i afstandene r 1,...,r k er m 1 r 1 + m 2 r m k r k Placer massen P(X = i) i punktet i: hvor skal vi placere omdrejningspunkt o for at få ligevægt: P(X = i)(i o) = 0 i i ip(x = i) o i P(X = i) = 0 E(X) = o 1 = o StatDataN: Middelværdi og varians p. 10/33
11 Middelværdi af en funktion af X Lad Y = h(x) med h : N N P(Y = j) = {x så at h(x)=j} P(X = x) Ex: h(x) = (x 5) 2 {x : h(x) = 1} = {4, 6}, {x : h(x) = 4} = {3, 7} E(Y ) = j = j = x j P(Y = j) = j j x:h(x)=j h(x)p(x = x) jp(x = x) = j P(X = x) x:h(x)=j x:h(x)=j h(x)p(x = x) StatDataN: Middelværdi og varians p. 11/33
12 Middelværdi af en funktion af X E(h(X)) = x h(x)p(x = x) Vi bruger samme formel generelt for Y = h(x) hvor h : N R Ex: Y = X 2 x P(X = x) y y P(Y = y) E(X) = 0.2( ) = 0, E(Y ) = = 2 StatDataN: Middelværdi og varians p. 12/33
13 Regneregler Lad a og b være konstanter: E(a + bx) = i (a + bi)p(x = i) = a i P(X = i) + b i ip(x = i) = a + be(x) StatDataN: Middelværdi og varians p. 13/33
14 Regneregler: sum Lad h : N N R E(h(X,Y )) = i,j h(i,j)p(x = i,y = j) E(X + Y ) = i,j (i + j)p(x = i,y = j) = i i j P(X = i,y = j) + j j i P(X = i,y = j) = i ip(x = i) + j jp(y = j) = E(X) + E(Y ) Middelværdi af sum er sum af middelværdier StatDataN: Middelværdi og varians p. 14/33
15 Geometrisk fordeling X = antal mislykkede forsøg før man bliver gravid ss for graviditet i hvert forsøg = 1 p P(X = k) = p p p p (1 p) = p k (1 p), k = 0, 1, 2,..., 0 < p < 1 (1 θ) n k=0 θk = (1 + θ + θ θ n ) (θ + θ θ n+1 ) = 1 θ n+1 k=0 θk = 1 1 θ k=1 kθk 1 = 1 (1 θ) 2 E(X) = k=0 kpk (1 p) = p(1 p) k=1 kpk 1 = p 1 p Ex: 1 p = 1 4 E(X) = 3 OBS: E(X n X > n) = p 1 p StatDataN: Middelværdi og varians p. 15/33
16 Geometrisk fordeling k=1 kθk 1 = 1 (1 θ) 2, k=2 k(k 1)θk 2 = 2 (1 θ) 3 E(X 2 ) = k 2 p k (1 p) = k=0 = p 2 (1 p) k(k 1 + 1)p k (1 p) k=0 k(k 1)p k 2 + E(X) k=2 = p 2 2 (1 p) (1 p) 3 + p 1 p = 2p 2 (1 p) 2 + p 1 p V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 2p2 (1 p) 2 + p 1 p p2 = (1 p) 2 p (1 p) 2 StatDataN: Middelværdi og varians p. 16/33
17 Kontinuert sv Husk P(X [x ɛ 2,x + ɛ 2 ]) f X(x) ɛ E(X) = xf X (x)dx værdi P(værdi) Regneregler som før: E(h(X)) = h(x)f X(x)dx E(a + bx) = a + be(x) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) StatDataN: Middelværdi og varians p. 17/33
18 Uniform fordeling Vi betragter den uniforme fordeling på intervallet [0, 1]. Denne har tæthed 1 på [0, 1] og 0 ellers. E(X) = 1 0 x 1 dx = [1 2 x2 ] 1 0 = = 1 2 E(X 2 ) = 1 0 x2 1 dx = [ 1 3 x3 ] 1 0 = = 1 3 V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 1 3 (1 2 )2 = = 1 12 StatDataN: Middelværdi og varians p. 18/33
19 Eksponentialfordeling X ventetid indtil klik i geigertæller f X (x) = e x, x 0, P(X z) = z e x dx = [ e x ] z = 0 + e z = e z E(X) = 0 xe x dx = [ (x + 1)e x ] 0 = 0 ( (0 + 1)) = 1 E(X 2 ) = 0 x 2 e x dx = [ (x 2 + 2x + 2)e x ] 0 = 2 V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = = 1 StatDataN: Middelværdi og varians p. 19/33
20 Varians En statistisk undersøgelse går ud på at vurdere om noget er typisk eller atypisk. Til dette skal vi udover midddelværdi også bruge et udtryk for spredningen omkring middelværdien Definition: Varians V (X) Ex: Kast med en terning. V (X) = E([X E(X)] 2 ) X= antal øjne E(X) = = 21 6 = 3.5 V (X) = (1 3.5) (2 3.5) (3 3.5) (4 3.5) (5 3.5) (6 3.5)2 1 6 = = 2.92 StatDataN: Middelværdi og varians p. 20/33
21 Spredning V (X) har ikke samme måleenhed som X. Istedet: Definition: Spredning eller standardafvigelse σ(x) = V (X) Ex: terningekast. Spredning = 35/ Hvordan kan vi forstå spredningen: Grov regel: cirka 30% af observationerne afviger mere end 1 spredning fra middelværdien cirka 5% af observationerne afviger mere end 2 spredning fra middelværdien StatDataN: Middelværdi og varians p. 21/33
22 Varians Regneregel: Lad µ = E(X): V (X) = E([X µ] 2 ) = E(X 2 2µX + µ 2 ) = E(X 2 ) 2µE(X) + µ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 Bernoulli V (X) = p(1 p) Terning V (X) = Geometrisk V (X) = p (1 p) 2 Uniform V (X) = 12 1 Eksponential V (X) = 1 StatDataN: Middelværdi og varians p. 22/33
23 Regneregler: a + bx Lad a og b være konstanter V (a + bx) = E([a + bx {a + be(x)}] 2 ) = E([b{X E(X)}] 2 ) = b 2 E([X E(X)] 2 ) = b 2 V (X) σ(a + bx) = b σ(x) V (konstant) = 0 StatDataN: Middelværdi og varians p. 23/33
24 Regneregler Hvis X og Y er uafhængige så er E[g(X)h(Y )] = i,j g(i)h(j)p(x = i,y = j) = i,j g(i)h(j)p(x = i)p(y = j) = i g(i)p(x = i) j h(j)p(y = j) = i g(i)p(x = i) [E(h(Y ))] = [E(g(X))] [E(h(Y ))] StatDataN: Middelværdi og varians p. 24/33
25 Regneregler: sum Hvis X og Y er uafhængige så er V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) Varians af sum af uafhængige = sum af varianser E[(X + Y ) 2 ] = E[X 2 + Y 2 + 2XY ] = E(X 2 ) + E(Y 2 ) + 2E(X)E(Y ), [E(X) + E(Y )] 2 = [E(X)] 2 + [E(Y )] 2 + 2E(X)E(Y ), V (X + Y ) = E(X 2 ) + E(Y 2 ) [E(X)] 2 [E(Y )] 2 = V (X) + V (Y ) StatDataN: Middelværdi og varians p. 25/33
26 Regneregler: gennemsnit For n uafhængige og identisk fordelte variable: V ( 1 n n X i ) = 1 n 2V (X 1 + [X X n ]) i=1 = 1 n 2[V (X 1) + V (X X n )] =... = 1 n 2[V (X 1) + V (X 2 ) + + V (X n )] = 1 n 2nV (X 1) = 1 n V (X 1) σ( X) = 1 n σ(x 1 ) X = 1 n 4-dobling af n giver halvering af spredning n i=1 X i StatDataN: Middelværdi og varians p. 26/33
27 Kovarians Når X og Y ikke er uafhængige er V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X,Y ) hvor Cov(X,Y ) = E([X E(X)][Y E(Y )]) kaldes kovariansen Korrelationskoefficienten: ρ(x,y ) = Cov(X,Y ) V (X)V (Y ) 1 ρ(x,y ) 1, (ρ(x,y ) = ±1) (Y = a + bx) StatDataN: Middelværdi og varians p. 27/33
28 Kovarians Ex: Kast med to terninger, X = max, Y = sum. Vis R-beregninger E(X) = 4.4, V (X) = 1.97, σ(x) = 1.40 E(Y ) = 7, V (Y ) = 5.83, σ(y ) = 2.42 Cov(X,Y ) = 2.92, ρ(x,y ) = 0.86 StatDataN: Middelværdi og varians p. 28/33
29 Kovarians Ex: Y = βx + Z, X og Z er uafhængige, β er en parameter E(Y ) = βe(x) + E(Z), V (Y ) = β 2 V (X) + V (Z) E(Y X = x) = E(Z) + βx, V (Y X = x) = V (Z) Cov(X,Y ) = Cov(X,βX + Z) = Cov(X,βX) + Cov(X,Z) = βv (X) ρ(x,y ) = βv (X) V (X)[β 2 V (X) + V (Z)] = β β 2 + V (Z)/V (X) StatDataN: Middelværdi og varians p. 29/33
30 Fraktil p-fraktilen x p for en fordelingsfunktion F er den værdi af x som opfylder F(x p ) p og F(x) < p for x < x p I ord betyder dette at x p er det første punkt hvor den kumulerede ss når op på eller over p Ex: (Vis R-plot) x 0.25 = 0.5, x 0.75 = 1, x 0.6 = 1 F(x) = 0 x < x 0 x < (x 1) 1 x < x StatDataN: Middelværdi og varians p. 30/33
31 Fraktil For en standard normalfordeling (som I ikke kender endnu) er der 97.5% ss for at ligge under 1.96 og 2.5% ss for at ligge over. 97.5%-fraktilen er altså 1.96 Fraktiler finder man ved at slå op i en tabel: Tabel 1-6 StatDataN: Middelværdi og varians p. 31/33
32 Fraktil Ex: Møntkast: X = 1 hvis krone og X = 0 hvis plat 0 x < 0 F X (x) = x < 1 1 x 1 { 0 0 < p 0.5 x p = < p 1 StatDataN: Middelværdi og varians p. 32/33
33 Resume Middelværdi = sum af værdi ss for denne værdi E(h(X) = i h(i)p(x = i) Middelværdi af sum = sum af middelværdier Varians: E[E E(X)] 2, spredning = varians V (bx) = b 2 V (X) Varians af sum af uafhængige = sum af varianser Fraktiler tabeller StatDataN: Middelværdi og varians p. 33/33
Nanostatistik: Middelværdi og varians
Nanostatistik: Middelværdi og varians JLJ Nanostatistik: Middelværdi og varians p. 1/28 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereRepetition Stokastisk variabel
Repetition Stokastisk variabel Diskret stokastisk variabel Udfaldsrum endelige eller tællelige mange antal elementer Sandsynlighedsfunktion f(x) er ofte tabellagt Udregning af sandsynligheder P( a < X
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereSandsynlighedsregning Stokastisk variabel
Sandsynlighedsregning Stokastisk variabel I eksperimenter knyttes ofte en talværdi til hvert udfald. S s X(s) R Definition: En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S, der antager værdier på
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereEt eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 2006
Et eksempel på en todimensional normalfordeling Anders Milhøj September 006 I dette notat gennemgås et eksempel, der illustrerer den todimensionale normalfordelings egenskaber. Notatet lægger sig op af
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),
Læs mereSupplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable
IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2017 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 07 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Specielt: Var(aX) = a 2 VarX 1/40. Lad X α, X β og X γ være stokastiske variable (vinkelmålinger) med
Repetition: Varians af linear kombination Landmålingens fejlteori Lektion 5 Fejlforplantning - rw@math.aau.dk Antag X 1, X,..., X n er uafhængige stokastiske variable, og Y er en linearkombination af X
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2019 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 7. maj 019 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereStatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mere