StatDataN: Middelværdi og varians

Transkript

1 StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33

2 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer, X(ω) = antallet af blade på træet ω Y (ω) = højden af træet ω Sandsynlighedsfunktion (tæthed) og fordelingsfunktion: f X (x) = P(X = x), F X (x) = P(X x) To stokastiske variable: simultan sandsynlighed og betinget sandsynlighed P(X = i Y = j) = P(X=i,Y =j) P(Y =j) X s fordeling: beskrivelse af f X eller F X StatDataN: Middelværdi og varians p. 2/33

3 Betinget sandsynlighed Cykeltur: ss p for punktering på baghjul (B) ss 1 2p for punktering på forhjul (F) de to hjul er uafhængige Vi betinger med at ét hjul punkterer (et) P(forhjul ét hjul) = P(F et) = P(F,et P(et) = = = P(F, ikke B) P(et) P(F, ikke B) P(F, ikke B) + P(ikke F,B) 1 2p(1 p) 1 2 p(1 p) + (1 1 2 p)p = 1 p 3 2p 1 3 p lille StatDataN: Middelværdi og varians p. 3/33

4 Gevinst i mange spil Spil: Taber 1 kr ved plat, vinder 1 kr ved krone Ét spil: Enten gevinst eller tab Mange spil?: Er der tab i det lange løb? n spil: vinder i k n og taber i n k n gennemsnitlige gevinst: jvf "fysiske" definition af ss 1 n [1 k n 1 (n k n )] = 1 kn n 1 (1 k n n ) 1 P(plat) 1 P(krone) StatDataN: Middelværdi og varians p. 4/33

5 Middelværdi af diskret sv Definition på middelværdi E(X) af diskret stokastisk variabel E(X) = i P(X = i) i Middelværdien er en egenskab ved ss-fordelingen Fortolkning: gennemsnitlige værdi ved mange uafhængige gentagelser StatDataN: Middelværdi og varians p. 5/33

6 Populationsgennemsnit Ω=population P : tilfældig udvælgelse, P(Peter Mathisen) = 1 Ω X: stokastisk variabel E(X) kaldes populations-gennemsnittet Ω i = {ω X(ω) = i}, Ω i = antal elementer, E(X) = i P(X = i) = i Ω i Ω i i = 1 i 1 = 1 Ω Ω ω Ω i = 1 Ω i i ω Ω i i X(ω) = 1 X(ω) Ω i ω Ω i ω Ω StatDataN: Middelværdi og varians p. 6/33

7 Chevalier de Meré Spil: 24 kast med 2 terninger { 1 mindst én dobbelt sekser X = gevinst = 1 ingen dobbelt sekser Hvad er den gennemsnitlige gevinst i det lange løb? E(X) = 1 P(..) 1 (1 P(..)) Chevalier de Meré ( 1650) fandt empirisk (!) at E(X) < 0 eller P(..) < 1 2 Han havde ellers beregnet at P(..) > 1 2 StatDataN: Middelværdi og varians p. 7/33

8 Chevalier de Meré P(ingen dobbelt 6-er) = ( ) = P(mindst én dobbelt 6-er) = 1 E(X) = = ( ) = StatDataN: Middelværdi og varians p. 8/33

9 Bernoulli variabel p er en parameter X = { 1 med ss p 0 med ss 1 p E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p X 2 = X, E(X 2 ) = E(X) = p V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = p p 2 = p(1 p) StatDataN: Middelværdi og varians p. 9/33

10 Middelværdi=ligevægt Vægtstangprincip: 1 kg placeret i afstand r fra omdrejningspunkt har samme effekt som 2 kg placeret i den halve afstand Den samlede effekt af masserne m 1,...,m k placeret i afstandene r 1,...,r k er m 1 r 1 + m 2 r m k r k Placer massen P(X = i) i punktet i: hvor skal vi placere omdrejningspunkt o for at få ligevægt: P(X = i)(i o) = 0 i i ip(x = i) o i P(X = i) = 0 E(X) = o 1 = o StatDataN: Middelværdi og varians p. 10/33

11 Middelværdi af en funktion af X Lad Y = h(x) med h : N N P(Y = j) = {x så at h(x)=j} P(X = x) Ex: h(x) = (x 5) 2 {x : h(x) = 1} = {4, 6}, {x : h(x) = 4} = {3, 7} E(Y ) = j = j = x j P(Y = j) = j j x:h(x)=j h(x)p(x = x) jp(x = x) = j P(X = x) x:h(x)=j x:h(x)=j h(x)p(x = x) StatDataN: Middelværdi og varians p. 11/33

12 Middelværdi af en funktion af X E(h(X)) = x h(x)p(x = x) Vi bruger samme formel generelt for Y = h(x) hvor h : N R Ex: Y = X 2 x P(X = x) y y P(Y = y) E(X) = 0.2( ) = 0, E(Y ) = = 2 StatDataN: Middelværdi og varians p. 12/33

13 Regneregler Lad a og b være konstanter: E(a + bx) = i (a + bi)p(x = i) = a i P(X = i) + b i ip(x = i) = a + be(x) StatDataN: Middelværdi og varians p. 13/33

14 Regneregler: sum Lad h : N N R E(h(X,Y )) = i,j h(i,j)p(x = i,y = j) E(X + Y ) = i,j (i + j)p(x = i,y = j) = i i j P(X = i,y = j) + j j i P(X = i,y = j) = i ip(x = i) + j jp(y = j) = E(X) + E(Y ) Middelværdi af sum er sum af middelværdier StatDataN: Middelværdi og varians p. 14/33

15 Geometrisk fordeling X = antal mislykkede forsøg før man bliver gravid ss for graviditet i hvert forsøg = 1 p P(X = k) = p p p p (1 p) = p k (1 p), k = 0, 1, 2,..., 0 < p < 1 (1 θ) n k=0 θk = (1 + θ + θ θ n ) (θ + θ θ n+1 ) = 1 θ n+1 k=0 θk = 1 1 θ k=1 kθk 1 = 1 (1 θ) 2 E(X) = k=0 kpk (1 p) = p(1 p) k=1 kpk 1 = p 1 p Ex: 1 p = 1 4 E(X) = 3 OBS: E(X n X > n) = p 1 p StatDataN: Middelværdi og varians p. 15/33

16 Geometrisk fordeling k=1 kθk 1 = 1 (1 θ) 2, k=2 k(k 1)θk 2 = 2 (1 θ) 3 E(X 2 ) = k 2 p k (1 p) = k=0 = p 2 (1 p) k(k 1 + 1)p k (1 p) k=0 k(k 1)p k 2 + E(X) k=2 = p 2 2 (1 p) (1 p) 3 + p 1 p = 2p 2 (1 p) 2 + p 1 p V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 2p2 (1 p) 2 + p 1 p p2 = (1 p) 2 p (1 p) 2 StatDataN: Middelværdi og varians p. 16/33

17 Kontinuert sv Husk P(X [x ɛ 2,x + ɛ 2 ]) f X(x) ɛ E(X) = xf X (x)dx værdi P(værdi) Regneregler som før: E(h(X)) = h(x)f X(x)dx E(a + bx) = a + be(x) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) StatDataN: Middelværdi og varians p. 17/33

18 Uniform fordeling Vi betragter den uniforme fordeling på intervallet [0, 1]. Denne har tæthed 1 på [0, 1] og 0 ellers. E(X) = 1 0 x 1 dx = [1 2 x2 ] 1 0 = = 1 2 E(X 2 ) = 1 0 x2 1 dx = [ 1 3 x3 ] 1 0 = = 1 3 V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = 1 3 (1 2 )2 = = 1 12 StatDataN: Middelværdi og varians p. 18/33

19 Eksponentialfordeling X ventetid indtil klik i geigertæller f X (x) = e x, x 0, P(X z) = z e x dx = [ e x ] z = 0 + e z = e z E(X) = 0 xe x dx = [ (x + 1)e x ] 0 = 0 ( (0 + 1)) = 1 E(X 2 ) = 0 x 2 e x dx = [ (x 2 + 2x + 2)e x ] 0 = 2 V (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2 = = 1 StatDataN: Middelværdi og varians p. 19/33

20 Varians En statistisk undersøgelse går ud på at vurdere om noget er typisk eller atypisk. Til dette skal vi udover midddelværdi også bruge et udtryk for spredningen omkring middelværdien Definition: Varians V (X) Ex: Kast med en terning. V (X) = E([X E(X)] 2 ) X= antal øjne E(X) = = 21 6 = 3.5 V (X) = (1 3.5) (2 3.5) (3 3.5) (4 3.5) (5 3.5) (6 3.5)2 1 6 = = 2.92 StatDataN: Middelværdi og varians p. 20/33

21 Spredning V (X) har ikke samme måleenhed som X. Istedet: Definition: Spredning eller standardafvigelse σ(x) = V (X) Ex: terningekast. Spredning = 35/ Hvordan kan vi forstå spredningen: Grov regel: cirka 30% af observationerne afviger mere end 1 spredning fra middelværdien cirka 5% af observationerne afviger mere end 2 spredning fra middelværdien StatDataN: Middelværdi og varians p. 21/33

22 Varians Regneregel: Lad µ = E(X): V (X) = E([X µ] 2 ) = E(X 2 2µX + µ 2 ) = E(X 2 ) 2µE(X) + µ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 Bernoulli V (X) = p(1 p) Terning V (X) = Geometrisk V (X) = p (1 p) 2 Uniform V (X) = 12 1 Eksponential V (X) = 1 StatDataN: Middelværdi og varians p. 22/33

23 Regneregler: a + bx Lad a og b være konstanter V (a + bx) = E([a + bx {a + be(x)}] 2 ) = E([b{X E(X)}] 2 ) = b 2 E([X E(X)] 2 ) = b 2 V (X) σ(a + bx) = b σ(x) V (konstant) = 0 StatDataN: Middelværdi og varians p. 23/33

24 Regneregler Hvis X og Y er uafhængige så er E[g(X)h(Y )] = i,j g(i)h(j)p(x = i,y = j) = i,j g(i)h(j)p(x = i)p(y = j) = i g(i)p(x = i) j h(j)p(y = j) = i g(i)p(x = i) [E(h(Y ))] = [E(g(X))] [E(h(Y ))] StatDataN: Middelværdi og varians p. 24/33

25 Regneregler: sum Hvis X og Y er uafhængige så er V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) Varians af sum af uafhængige = sum af varianser E[(X + Y ) 2 ] = E[X 2 + Y 2 + 2XY ] = E(X 2 ) + E(Y 2 ) + 2E(X)E(Y ), [E(X) + E(Y )] 2 = [E(X)] 2 + [E(Y )] 2 + 2E(X)E(Y ), V (X + Y ) = E(X 2 ) + E(Y 2 ) [E(X)] 2 [E(Y )] 2 = V (X) + V (Y ) StatDataN: Middelværdi og varians p. 25/33

26 Regneregler: gennemsnit For n uafhængige og identisk fordelte variable: V ( 1 n n X i ) = 1 n 2V (X 1 + [X X n ]) i=1 = 1 n 2[V (X 1) + V (X X n )] =... = 1 n 2[V (X 1) + V (X 2 ) + + V (X n )] = 1 n 2nV (X 1) = 1 n V (X 1) σ( X) = 1 n σ(x 1 ) X = 1 n 4-dobling af n giver halvering af spredning n i=1 X i StatDataN: Middelværdi og varians p. 26/33

27 Kovarians Når X og Y ikke er uafhængige er V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2Cov(X,Y ) hvor Cov(X,Y ) = E([X E(X)][Y E(Y )]) kaldes kovariansen Korrelationskoefficienten: ρ(x,y ) = Cov(X,Y ) V (X)V (Y ) 1 ρ(x,y ) 1, (ρ(x,y ) = ±1) (Y = a + bx) StatDataN: Middelværdi og varians p. 27/33

28 Kovarians Ex: Kast med to terninger, X = max, Y = sum. Vis R-beregninger E(X) = 4.4, V (X) = 1.97, σ(x) = 1.40 E(Y ) = 7, V (Y ) = 5.83, σ(y ) = 2.42 Cov(X,Y ) = 2.92, ρ(x,y ) = 0.86 StatDataN: Middelværdi og varians p. 28/33

29 Kovarians Ex: Y = βx + Z, X og Z er uafhængige, β er en parameter E(Y ) = βe(x) + E(Z), V (Y ) = β 2 V (X) + V (Z) E(Y X = x) = E(Z) + βx, V (Y X = x) = V (Z) Cov(X,Y ) = Cov(X,βX + Z) = Cov(X,βX) + Cov(X,Z) = βv (X) ρ(x,y ) = βv (X) V (X)[β 2 V (X) + V (Z)] = β β 2 + V (Z)/V (X) StatDataN: Middelværdi og varians p. 29/33

30 Fraktil p-fraktilen x p for en fordelingsfunktion F er den værdi af x som opfylder F(x p ) p og F(x) < p for x < x p I ord betyder dette at x p er det første punkt hvor den kumulerede ss når op på eller over p Ex: (Vis R-plot) x 0.25 = 0.5, x 0.75 = 1, x 0.6 = 1 F(x) = 0 x < x 0 x < (x 1) 1 x < x StatDataN: Middelværdi og varians p. 30/33

31 Fraktil For en standard normalfordeling (som I ikke kender endnu) er der 97.5% ss for at ligge under 1.96 og 2.5% ss for at ligge over. 97.5%-fraktilen er altså 1.96 Fraktiler finder man ved at slå op i en tabel: Tabel 1-6 StatDataN: Middelværdi og varians p. 31/33

32 Fraktil Ex: Møntkast: X = 1 hvis krone og X = 0 hvis plat 0 x < 0 F X (x) = x < 1 1 x 1 { 0 0 < p 0.5 x p = < p 1 StatDataN: Middelværdi og varians p. 32/33

33 Resume Middelværdi = sum af værdi ss for denne værdi E(h(X) = i h(i)p(x = i) Middelværdi af sum = sum af middelværdier Varians: E[E E(X)] 2, spredning = varians V (bx) = b 2 V (X) Varians af sum af uafhængige = sum af varianser Fraktiler tabeller StatDataN: Middelværdi og varians p. 33/33