MM501/MM503 forelæsningsslides

Transkript

1 MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1

2 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder y og/eller x, og/eller forskellige konstanter (1) dx = 3ax2 y b 2 sin(x + y), dx = x + 4y 2 + A, dx = 3x + π Differentialligningen (1) hedder separabel, hvis udtrykket på højre side kan skrives som et produkt af en faktor, der kun afhænger af x (og måske diverse konstanter), og en anden faktor, der kun afhnger af y (og måske diverse konstanter). s En separabel 1. ordens differentialligning har altså formen dx = f(x) g(y), (2) hvor funktionen f(x) ikke involverer den variable y, og funktionen g(y) ikke involverer den variable x. Standard løsningsforsøg for (2) Divider med g(y) og gang med dx på begge sider. Herved fås: g(y) = f(x)dx Integrerer man nu (ubestemt integral) på begge sider, fås: g(y) = f(x)dx (3) Dette giver en ligning mellem funktionsværdien y og værdien af den uafhængige variabel x. Kan man løse denne ligning mht y, lander man med en eksplicit forskrift for y som funktion af x. Men tit kan det ikke lade sig gøre. Jeg tavleregner for at løse de to differentialligninger dx = x2 y 2, dx = x2 y Om tiden vil, regner jeg også eksamensopgave 4, marts 2007, som går ud på at løse problemet dx = 1 + x cos(x2 + 1), y(0) = 1. cosh(y) Studer selv (nogle af) eksemplerne 1, 2, 4, 5, 6, side 446-8, med blyant i hånden og hjernen slået til. 2

3 Første ordens lineære differentialligning s En sådan differentialligning har formen + p(x) y(x) = q(x), dx hvor p(x) og q(x) er to givne funktioner af x. Løsningsalgoritme: Man beregner det ubestemte integral µ(x) = p(x)dx Når det er gjort, kan den fuldstændige løsning skrives på formen y(x) = e µ(x) e µ(x) q(x)dx + Ce µ(x), hvor C er en vilkårlig konstant. Der er altså to ubestemte integraler, der skal bestemmes for at bruge formlen. Jeg tavleforklarer hvordan formlen kommer til verden (Metode I, side 449), og hvorfor jeg skriver leddet Ce µ(x) med, selv om Adams udelader det (side 449). Jeg tavleregner to eksamensopgaver (hvis tiden tillader det) Januar 2009, nr. 4 Løs systemet + y(x) = x, y(1) = 1 dx 23. marts 2006, nr. 2(a) Løs systemet dx + cosh(x)y(x) = cosh(x), y (0) = 1 Studer selv (mindst to af) eksemplerne 7, 8, 9, side , med blyant i hånden og hjernen slået til. 3

4 Et endeligt sandsynlighedsfelt s er et par (U, P ), hvor U er endelig mængde, og P er en funktion, som til hvert x U knytter et tal P (x). Det forlanges, at Hvert P (x) 0 og Σ x U P (x) = 1 Terminologi/interpretation/regneregler U kaldes udfaldsrummet (engelsk: sample space). Hvert x fra U kaldes et udfald (engelsk: outcome) Tallet P (x) kaldes sandsynligheden for udfaldet x (probability of the outcome x). Hver delmængde A af U kaldes en hændelse. (engelsk: event) Den umulige hændelse er den tomme mængde (engelsk: the impossible event) Den sikre hændelse er hele mængden U. (engelsk: the certain event Sandsynligheden for en hændelse A er pr. definition Simple konsekvenser af denne definition P (A) = Σ x A P (x) P ( ) = 0 P (A) 1 = P (U) P (A) P (B), hvis A B P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A) + P (B), hvis A B = 4

5 Diskret stokastisk variabel (s.v.) s En diskret s.v. er en funktion X : U R, hvor (U, P ) er et endeligt sandsynlighedsfelt. Hvis t og s er tal, har man en stribe hændelser knyttet til den s.v. X (X = t) = {u U X(u) = t} (s X < t) = {u U s X(u) < t} (X > t) = {u U X(u) > t} Flere kombinationer af uligheder - tænk selv De tilsvarende sandsynligheder (ss) omtales fx som P (X = t) er ss for at X antager værdien t P (s X < t) er ss for at X antager værdier i intervallet [s, t) P (X > t) er ss for at X antager værdier i intervallet (t, ) Middelværdi, varians og spredning af en diskret s.v. X s Middelværdien (engelsk mean eller expectation) har to betegnelser: µ(x) og E(X) Variansen (engelsk variance) hedder Var(X), men også σ 2 (X). Spredningen (kaldes også standardafvigeleen; engelsk standard deviation) hedder σ(x). µ(x) = E(X) = Σ u U X(u) P (u) Lad µ = µ(x) Var(X) = E((X µ) 2 ) = E(X 2 ) E(X) 2 σ(x) = Var(X) 5

6 Et kontinuert sandsynlighedsfelt Vi vil ikke formalisere dette begreb, men skride direkte til Kontinuert stokastisk variabel (s.v.) s En kontinuert s.v. er en størrelse X, som kan antage værdier i et interval I af formen [A, B], [A, B), (A, B] eller (A, B) på den reelle akse. Det er en betingelse, at der for hvert delinterval [a, b] foreligger information om (eller antagelser om) sandsynligheden for at en måling af X giver et tal i delintervallet. Denne sandsynlighed omtales som P (a X b) = ss for at X antager værdier i intervallet [a, b] Vi skal kun behandle kontinuerte s.v. som har en tæthedsfunktion 1 f(x). Dette betyder at sandsynligheder er givet som integraler Krav til en tæthedsfunktion P (a X b) = b a f(x)dx f(x) 0 for alle x I P (I) = B A f(x)dx = 1 Jeg tavleregner denne opgave: Bestem konstanten C, når det oplyses, at funktionen f(x) = C(4 x 2 ), 0 x 2 er tæthedsfunktion for en kontinuert s.v. X med værdier i intervallet [0, 2]. Bestem dernæst P (0 < X < 1). Facit: C = 3 11, P (0 < X < 1) = På engelsk density function. På dansk kaldes f(x) undertiden en frekvensfunktion. 6

7 Fordelingsfunktionen F for en s.v. X I stedet for at specificere tæthedsfunktionen f(x) for en kontinuert s.v. X kan man specificere en passende stamfunktion til f(x). Den kaldes fordelingsfunktionen for X og er givet ved F (t) = P (X < t) = P (X t) = t f(x)dx for alle t R A Hvis t A, er F (t) = 0 Hvis t B, er F (t) = 1 Hvis A =, er lim t F (t) = 0 Hvis B =, er lim t F (t) = 1 F (t) er svagt voksende, dvs. F (t) F (s) når t > s P (a X b) = F (b) F (a) Middelværdi, varians og spredning af en kontinuert s.v. X s. 439 Middelværdien (engelsk mean eller expectation) har to betegnelser: µ(x) og E(X) Variansen (engelsk variance) hedder Var(X), men også σ 2 (X). Spredningen (kaldes også standardafvigeleen; engelsk standard deviation) hedder σ(x). µ(x) = E(X) = B A x f(x)dx Lad µ = µ(x) Var(X) = E((X µ) 2 ) = E(X 2 ) E(X) 2 σ(x) = Var(X) Jeg tavleregner denne opgave: Bestem middelværdi, varians og spredning for den s.v. X, som optræder i opgaven på foregående side. Facit: µ(x) = 3 19, Var(X) =, σ(x) =

8 Nogle vigtige eksempler fra Adams bog Eksempel 7, side , omhendler en s.v. X, som er uniformt fordelt på et interval [a, b] Eksempel 5, side 438, og eksempel 8, side 440, omhandler en s.v., som er eksponentielt fordelt på halvaksen [0, ) Standardnormalfordelingen er omtalt side Se også eksempoel 9, side 443. Den generelle normalfordeling er omtalt side se også eksempel 10, side