Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6

Størrelse: px

Starte visningen fra side:

Download "Vejledende løsninger til opgaver i kapitel 6"

Sidsel Madsen
7 år siden
Visninger:

1 Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer som en sum af uafhængige Bernoullifordelte variabler. c) Den stokastiske variabel, der angiver antallet af gange, du kommer for sent til statistiktimen i løbet af et semester, kan være binomialfordelt. d) Den hypergeometriske fordeling fremkommer, når man trækker uden tilbagelægning fra en virkelig population, mens binomialfordelingen fremkommer, når der trækkes med tilbagelægning. e) Den stokastiske variabel, X, der angiver hvor mange femmere jeg får, når jeg tager tager tre kort fra et spil kort er hypergeometrisk fordelt, X ~ Hyp, 4, 5, mens den stokastiske variabel, Y, der angiver hvor mange femmere jeg ser, når jeg trækker ét kort ad gangen, kigger på det, lægger det tilbage og blander kortene, osv tre gange, er binomialfordelt, Y ~ Bin(, 4 / 5). f) Diskret, idet den angiver antallet af hændelser. g) Antallet af s der bliver sendt til dig i løbet af en time. h) Kontinuert, idet den kan antage en hvilken som helst værdi. i) Vægten af nyfødte børn på Sjælland. j) En standardnormalfordelt variabel er en normalfordelt variabel med middelværdi og varians 1. k) Binomialfordelingen fremkommer, når vi trækker gentagne gange fra en population med kun to typer, mens multinomialfordelingen fremkommer, når vi trækker fra en population med m typer. Multinomialfordelingen er altså en generalisering af binomialfordelingen. l) Multinomialfordelingen er en simultan fordeling, idet den giver os sandsynligheden for det simultane udfald af flere stokastiske variabler. m) Udfaldet af 1 møder mellem to boksere, hvor X angiver antallet af sejre til den første bokser, Y antallet af uafgjorte og Z antallet af sejre til den anden bokser. Opgave : a) En Bernoullifordeling. b) X ~ Bin(1,,) c) Sandsynligheden for X = er: 1 1 P ( X ),,4,4 1,17 d) Sandsynligheden for, at X er større end eller lig med 1:

2 P X 1 PX 1 PX 11 PX 1 e) Middelværdi og varians: E( X ) n p 1, 7, V ( X ) n p ,,4,,4 1 11,4,17,,8 1 p 1,,4, , 1 1,4 Opgave : a) X ~ Bin(1,,5) b) Sandsynligheden for at X er større end 8 er: P X 8 P X 9 P X ,5,75,5,75 9 1,8,1,9 c) Sandsynligheden for X = er: 1 P ( X ),5,75 d) Det forventede antal biler er: E ( X ) n p 1,5,5 1,75 1,5 Opgave 4: a) X = antal opgaver du skal svare på. X er binomialfordelt med n = og p = 1/5 =,: X ~ Bin(,,) Sandsynligheden for X = er: P ( X ),,98,98,94 b) Sandsynligheden for at du skal svare på tre opgaver er: P ( X ),,98,,8 c) Det er ligegyldigt, om de elever, der ikke har lavet opgaverne, er til stede eller ej. Lad Y = antal opgaver du skal svare på i denne nye situation. Y er da binomialfordelt med n = og p = 1/: Y ~ Bin(, 1/ ) Og sandsynligheden for, at Y = er da:

3 P ( Y ) 1/ 9 / 9 /, 9 Opgave 5: a) Y ~ Hyp(, 5, 8) b) Sandsynlighedsfunktionen for Y: ( ) P Y 1/ 5, ( ) P Y / 5, ( 1) P Y 15/ ( ) P Y 1 / 5 8 c) Den forventede værdi af Y: M 5 15 E ( Y ) n 1,875 N 8 8 Opgave : a) Vi trækker n = 5 gange fra en population bestående af N = 5 kort, hvoraf der findes M = 4 succeser (esser). X = antallet af esser er derfor hypergeometrisk fordelt, idet vi trækker uden tilbagelægning: X ~ Hyp(5, 4, 5) b) Sandsynligheden for at få fire esser er: ( 4) P X, Sandsynligheden for at få tre esser er: ( ) P X, c) Lad Y = antal kort du trækker, som tilhører gruppen af: es, konge, dame, knægt, tier i hjerter. Y er da hypergeometrisk fordelt: Y ~ Hyp(5, 5, 5)

4 idet vi trækker fem gange, og der er kun fem succeser i populationen (de fem høje hjerter). Sandsynligheden for at få en Royal Straight Flush er da lig med sandsynligheden for Y=5: ( 5) P Y, d) Z = antal esser blandt de to kort du trækker. Da er: Z ~ Hyp(, 1, 47) idet der er M = 1 es tilbage blandt de resterende N = 47 kort. Sandsynligheden for at få dette es er da lig med sandsynligheden for Z = 1: ( 1) P Z, Opgave 7: a) Vi kan antage, at X er Poissonfordelt. b) Antagelserne er: Hændelser i ikke-overlappende tidsintervaller er uafhængige. Sandsynlighederne i to lige lange tidsintervaller er ens. Sandsynligheden for mere end én hændelse i et meget kort tidsinterval er nul. c) X = antal taxaer der passerer i løbet af en time. X ~ Poi() og E ( X ) d) Sandsynligheden for, at der passerer 7 taxaer, er: 7 P ( X 7) e,177 7! e) Sandsynligheden for, at der kører maksimalt 4 taxaer forbi, er: P X 4 P X P X 1 P X P X P X 4 e! 1 e 1! e! e! 4 e 4!,85 Opgave 8: a) X er Poissonfordelt med λ = 9/ = 1,5: X ~ Poi(1,5). Antagelserne er:

5 Hændelser i ikke-overlappende tidsintervaller er uafhængige. Sandsynlighederne i to lige lange tidsintervaller er ens. Sandsynligheden for mere end én hændelse i et meget kort tidsinterval er nul. b) Sandsynligheden for vandmænd er: 1,5 1,5 P ( X ) e,51! c) E ( X ) 1, 5 d) Y er Poissonfordelt med λ = 9/4 =,5: Y ~ Poi(,5) e) Sandsynligheden for højst to vandmænd: P Y P Y P Y 1 P Y,5! f) V ( Y ), 5 e,5,5 1! 1 e,5,5! e,5,47 Opgave 9: a) E ( X ) b) V ( X ) 4 og Opgave 1: X ~ N (, 4), dvs. og. a) Sandsynligheden er: P X, 5 b) Sandsynligheden er: P X P X, 5 c) Sandsynligheden er: 1 P X 1, 8 d) Sandsynligheden er: P X,5, 85 e) Sandsynligheden er:

6 P 5 X 5 1 PX ,841, 1587 f) Sandsynligheden er: P 1 X 5 PX 5 PX ,841,1587, 8 Opgave 11: X ~ N (1, 9) a) Standardisering af X: X X 1 X 1 Z 9 b) Z er standardnormalfordelt: Z ~ N (, 1) Opgave 1: a) X, Y, Z ~ M 1,,4,,,, b) Vi skal finde sandsynligheden for, at 4 af de adspurgte er meget tilfredse, er tilfredse, og er utilfredse, dvs: 1 4 1! 4 P X 4, Y, Z,4,,,4,, 4,, 4!!! 78 c) Vi skal finde sandsynligheden for, at alle 1 er utilfredse: 1 1 P X, Y, Z 1,4,,,,, 1 1, 59 d) Vi skal finde sandsynligheden for 5 utilfredse og 5 meget tilfredse: P X 5, Y, Z 5,4,,, 7 5,, 5

Relaterede dokumenter

Oversigt over nyttige fordelinger

Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende