(studienummer) (underskrift) (bord nr)

Transkript

1 Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve: 14. december 2009 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer) (underskrift) (bord nr) Opgavesættet består af 30 spørgsmål af multiple choice typen fordelt på 10 opgaver. Besvarelserne af multiple choice spørgsmålene anføres ved at udfylde skemaet på forsiden (denne side), med numrene på de svarmuligheder, du mener er de korrekte. Et forkert svar kan rettes ved at sværte det forkerte svar over og anføre det rigtige i stedet. Er der tvivl om meningen med en rettelse, eller er der anført flere end ét nummer ved et spørgsmål, betragtes spørgsmålet som ubesvaret. Kladde, mellemregninger eller andet tillægges ingen betydning, kun svarene i tabellen tæller. Der gives 5 point for et korrekt multiple choice svar og 1 for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Den endelige besvarelse af opgaverne gøres ved at udfylde nedenstående skema. Aflever KUN skemaet! Opgave I.1 II.1 III.1 III.2 IV.1 IV.2 V.1 V.2 V.3 VI.1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Svar Opgave VI.2 VII.1 VII.2 VII.3 VIII.1 IX.1 X.1 XI.1 XII.1 XII.2 (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Svar Opgave XII.3 XIII.1 XIII.2 XIII.3 XIV.1 XV.1 XVI.1 XVII.1 XVIII.1 XIX.1 (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) Svar Husk at forsyne opgavesættet med dit nummer. Sættets sidste side er nr 18; blad lige om og se, at den er der. Fortsæt på side 2 1

2 Multiple choice opgaver Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Opgave I I.1 (1): Hvilken af følgende påstande om tætheden for normalfordelingen N(1, 2 2 ) er falsk? 1 Det totale areal under kurven er Middelværdien er lig med Variansen er lig med 2 4 Kurven er symmetrisk omkring middelværdien 5 De to haler af kurven fortsætter uendeligt i begge retninger Opgave II Opkald kommer til en telefoncentral tilfældigt med en intensitet på 5 opkald per minut. II.1 (2): Hvad er sandsynligheden for, at der kommer netop 10 opkald i løbet af en given 2-minutters periode? / Fortsæt på side 3 2

3 Opgave III Ændringen, X, i dybden af en flod fra den ene dag til den næste, målt i cm på en bestemt placering, antages at følge en ligelig (uniform) fordeling med følgende tæthedsfunktion: f(x) = k for 2 x 2ogf(x) = 0 ellers. III.1 (3): Hvad er værdien af k? III.2 (4): HvaderP(X>1)? / 2 Fortsæt på side 4 3

4 Opgave IV 10 elever fuldførte en matematikprøve med 25 spørgsmål med følgende resultater (antal rigtige svar): 9, 18, 19, 21, 25, 25, 21, 19, 16, 7. IV.1 (5): Hvilket af de følgende udsagn er sandt? 1 Medianen er lig med 18 2 Medianen er lig med 19 3 Medianen er lig med 25 4 Medianen er udefineret i dette tilfælde 5 Medianen er lig med 36 IV.2 (6): Hvad er den beregnede varians s 2 for disse tal? Fortsæt på side 5 4

5 Opgave V For at sammenligne to undervisningsmetoder i færdighedsregning indgik 18 elever i et mindre eksperiment. Af disse var 8 udvalgt tilfældigt og undervist efter metode 1, og de resterende 10 efter metode 2. Efter undervisningsperioden blev alle eleverne testet på tempoet. Følgende observation af regnetider (i minutter) blev opnået for den samme test: (hurtighed (små regnetider) anses for at være godt). Metode 1 12, 14, 8, 15, 13, 14, 14, 7 Metode 2 17, 22, 15, 17, 16, 14, 22, 20, 21, 24 Man fik følgende Splus-output med de angivne Splus komandoer: > sqrt(var(x1)) [1] > sqrt(var(x2)) [1] > t.test(x1,x2,var.equal=true) Pooled-Variance Two Sample t-test data: x1 and x2 t = , df = 16, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y Vi antager, at fordelingen af tider er normal inden for hver gruppe. V.1 (7): Hvilket af følgende udsagn, vedrørende det sædvanlige test til brug for en sammenligning af de gennemsnitlige regnetider for metoderne, er falsk: 1 Metode 1 virker signifikant bedre end metode 2 på niveauα= Metode 2 virker ikke signifikant bedre end metode 1 på niveauα= Metode 1 virker signifikant bedre end metode 2 på niveauα= Der er signifikant forskel på metoderne på niveau De kritiske værdier på niveau0.05 er og Fortsæt på side 6 5

6 V.2 (8): Det sædvanlige test (på niveau 0.10) for om varianserne for de to metoder er ens og den tilhørende kritiske værdi er givet ved: 1 Teststørrelse: og kritisk værdi: Teststørrelse: og kritisk værdi: Teststørrelse: og kritisk værdi: 16 4 Teststørrelse: og kritisk værdi: Teststørrelse: 18.8/ og kritisk værdi: 1.96 V.3 (9): Der planlægges en ny undersøgelse for at bestemme den gennemsnitlige regnetid for testen mere præcist. Hvis man antager, at spredningen i regnetider er 3 minutter, hvor mange børn skal man så teste for at opnå et 95% konfidensinterval for den gennemsnitlige regnetid med en bredde på højst 1 minut? 1 Cirka (1.96 3/0.5) 2 = Cirka ( ) 2 = Cirka (1.96 2) 2 =15 4 Cirka (1.96/0.5) 2 /0.25 = 61 5 Cirka 0.25 (1.96/0.5) = 4 Fortsæt på side 7 6

7 Opgave VI To brødre er jævnbyrdige, når de spiller skak. En dag beslutter de at spille indtil den ene eller den anden har vundet tre matches (spil) i træk. VI.1 (10): Se bort fra muligheden for remis (uafgjort), hvad er sandsynligheden for, at de ender med at spille netop tre spil? VI.2 (11): Se igen bort fra muligheden for remis (uafgjort), hvad er sandsynligheden for, at de spiller netop fire spil? Ingen af overstående Fortsæt på side 8 7

8 Opgave VII En virksomhed sælger vejrmodifikationsraketter, der (ved skyinsemination ) udløser nedbør i skyer. For at vurdere effektiviteten af denne proces, foretages målinger i to regioner med sammenlignelige klimatiske forhold hen over 100 forskellige (ikke sammenhængende) dage. Mængden af regn i region 1 (uden sky insemination) og region 2 (med sky insemination) blev opsummeret af andelen af regnvejrsdage p, dengennemsnitlige nedbørsmængdefor regnvejrsdage m og den beregnede spredning af nedbørsmængde (for regnvejrsdage) s: p 1 =0.51, p 2 =0.68, m 1 =5.97 mm, m 2 =8.25 mm, s 1 = 23 mm, s 2 = 21 mm. VII.1 (12): Hvilket af følgende udsagn er mest korrekt: 1 Processen er effektiv til at øge antallet af regnvejrsdage og p-værdien er lig med Processen er effektiv til at øge antallet af regnvejrsdage og p-værdien er lig med Processen er effektiv til at øge antallet af regnvejrsdage og p-værdien er lig med Processen er ikke effektiv til at øge antallet af regnvejrsdage og p-værdien er lig med Processen er ikke effektiv til at øge antallet af regnvejrsdage og p-værdien er lig med 0.13 VII.2 (13): Hvilket af følgende udsagn er mest korrekt: 1 Processen er effektiv til at øge mængden af nedbør for regnvejrsdage, og p-værdien er større end Processen er ikke effektiv til at øge mængden af nedbør for regnvejrsdage, og p-værdien er lig med Processen er effektiv til at øge mængden af nedbør for regnvejrsdage, og p-værdien er lig med Processen er ikke effektiv til at øge mængden af nedbør for regnvejrsdage, og p-værdien er lig med Processen er effektiv til at øge mængden af nedbør for regnvejrsdage, og p-værdien er mindre end Fortsæt på side 9 8

9 VII.3 (14): Man vil gerne kende den præcise andel af regnsvejrdage for et givent område. Hvor stort et antal (ikke sammenhængende) dage skal man registrere for at opnået 95% konfidensinterval for denne andel med en bredde på 2 procentpoint (0.02)? 1 Cirka 6764 dage 2 Cirka dage 3 Cirka = 715 dage 4 Cirka 95 2 = 190 dage 5 Cirka 9600 dage Opgave VIII To stikprøver indeholder hhv. 10 og 6 observationer. For den første stikprøve har man: ˆµ 1 =69.1og ˆσ 1 2=3.1(n 1= 10) For den anden stikprøve har man: ˆµ 2 =62.5og ˆσ 2 2=3.4(n 2=6) Man ønsker at teste nulhypotesen H 0 : µ 1 = µ 2 mod alternativet H 1 : µ 1 µ 2 VIII.1 (15): Teststørrelsen - under antagelse af at variansen i de 2 stikprøver er den samme - bliver ca.: Fortsæt på side 10 9

10 Opgave IX Tre uafhængige målinger af kulbrinte i samme gas gav resultaterne 3.41, 3.20 og Antag at data er normalfordelt. IX.1 (16): Et 95%-konfidensinterval for det sande indhold af kulbrinte i gassen bliver da ca.: ± ± ± ± Kan ikke udregnes ud fra ovenstående oplysninger Opgave X Tabellen viser stikprøveberegninger for Hooked on Nicotine Check (HONC) Scores, for hhv. kvinder og mænd: Gruppe Stikprøvestørrelse Gennemsnit Spredning Kvinder Mænd Lad X betegne HONC scoren for kvinder og lad Y betegne HONC scoren for mænd. Antag at X i ; i =1,..., 150 er normalfordelt med middelværdi µ x og varians σ 2 og at Y i ; i =1,..., 182 er normalfordelt med middelværdi µ y og varians σ 2. X.1 (17): Teststørrelse og tilhørende kritisk værdi for det sædvanlige test af H 0 : µ x = µ y mod H 1 : µ x >µ y med α =5%er: 1 Cirka 4 og cirka Cirka 4 og cirka Cirka 3 og cirka Cirka 3 og cirka Cirka 1 og cirka 1.96 Fortsæt på side 11 10

11 Opgave XI Lad X være normalfordelt med middelværdi 36 og varians 9. XI.1 (18): P (X 30) bliver ca.: Opgave XII Man vil gerne tilpasse en linie til sine data i et problem, hvor y er den afhængige variabel og x er den uafhængige variabel. Man har n = 10 datapunkter og har beregnet følgende størrelser: S xx = 32, x =3,S yy = 26, ȳ =4,S xy =28 XII.1 (19) Linien bestemmes bedst som: x x x x x Fortsæt på side 12 11

12 XII.2 (20) Variansestimatet (for residualerne) hørende til den sædvanlige model for lineær regression bliver: 1 32/9 2 26/8 3 (32 26)/9 4 (32 28)/8 5 ( /32)/8 XII.3 (21) Forklaringsgraden (den procentdel af y-variationen, som x forklarer) er ca.: (Hjælp: forklaringsgraden er det samme som den kvadrerede korrelationskoefficient udtrykt i procent) 1 0% 2 94% 3 50% 4 100% 5 97% Fortsæt på side 13 12

13 Opgave XIII Man vil gerne sammenligne middelværdierne fra 3 forskellige grupper. Antag, at forudsætningerne for at foretage en variansanalyse er opfyldt og at der er lige mange observationer i de 3 grupper. Man får følgende resultater: df SS Gruppe Fejl Total XIII.1 (22): Den sædvanlige teststørrelse for et test af hypotesen om, at de 3 grupper har samme middelværdi, bliver ca.: / / / / / / / / /27 XIII.2 (23): Hvis hypotesen er sand, vil teststørrelsen følge følgende fordeling: 1 F (2, 27) 2 F (27, 29) 3 F (2, 29) 4 t(2) 5 N(0.7.3) Fortsæt på side 14 13

14 XIII.3 (24): Forskellen mellem middelværdi 1 og 3 blev estimeret til Et 95% konfidensinterval for denne forskel bliver: / /27 ± ± 1.96 ( )/(27 2) ± / ± /27 5 Kan ikke beregnes med de givne oplysninger Opgave XIV Når vi foretager et statistisk hypotesetest, antager vi ofte, at signifikansniveauet α er 5%. XIV.1 (25): Det betyder at: 1 Sandsynligheden, for at nulhypotesen er forkert, er 5% 2 Sandsynligheden, for at nulhypotesen er sand, er 5% 3 Sandsynligheden, for at vi, hvis nulhypotesen er sand, drager en forkert konklusion, er 5% 4 Sandsynligheden for at vi, hvis den alternative hypotese er rigtig, konkluderer at nulhypotesen er forkert, er 5% 5 Ingen af ovenstående Fortsæt på side 15 14

15 Opgave XV Et slankemiddel afprøves på 5 mænd. Deres vægt måles, før de begynder at tage slankemidlet, og igen efter de har taget det i 1 måned. Resultaterne ses i tabellen(kg): Person Før Efter 1 måned XV.1 (26): Data analyseres bedst ved at bruge: 1 En-sidig variansanalyse 2 Uparret t-test 3 Parret t-test 4 Test i binomialfordelingen 5 Test for β =0 6 Ved ikke Fortsæt på side 16 15

16 Opgave XVI For at kontrollere en batch med medicin tages en stikprøve på 10 piller. For hver pille bestemmes koncentrationen af aktivt stof. Det antages, at de målte koncentrationer følger en normalfordeling med middelværdi µ og varians (ukendt) σ 2. Koncentrationen i medicinen skal være 50 enheder. Man udfører derfor et test af hypotesen om, at middelværdien er lig 50 mod alternativet, at middelværdien er forskellig fra 50. Den sædvanlige teststørrelse for et test af denne type bliver XVI.1 (27): Den tilhørende p-værdi bliver: Fortsæt på side 17 16

17 Opgave XVII Man forestiller sig korrelationen mellem Y: Politisk ideologi (scoret 1=meget ventreorienteret til 7=meget højreorienteret) og X: Antal gange om måneden man læser avis er enten A: 0.7 eller B: 0.7. XVII.1 (28): Hvilket af følgende udsagn er mest korrekt: 1 Idet korrelationen er under 1 kan man ikke sige noget om sammenhængen 2 A betyder at højreorienterede læser oftere avis end venstreorienterede 3 A betyder at venstreorienterede læser oftere avis end højreorienterede 4 B betyder at højreorienterede læser oftere avis end venstreorienterede 5 Idet korrelationen er under 1 er der en ikke-lineær sammenhæng mellem x og y Fortsæt på side 18 17

18 Opgave XVIII Antallet af venstrehåndede mænd og kvinder blev registreret. Ud af 230 kvinder var de 20 venstrehåndede, mens 18 ud af 200 mænd var venstrehåndede. XVIII.1 (29): En passende teststørrelse og tilhørende kritisk værdi for hypotesen på niveau 1% om samme andel af venstrehåndede for de to køn, er: 1 0og og og og og 1.96 Opgave XIX En brugtvognshandler sælger en bil til en køber, selvom han ved, at bilen vil bryde sammen inden for de næste 6 måneder. Sælgeren udsteder en garanti på 1.5 måneder. Lad X beskrive den tid, der går, inden bilen bryder sammen. Antag at X er en uniformfordelt stokastisk variabel med værdier mellem 0 og 6 måneder. er ca.: XIX.1 (30): Sandsynligheden, for at bilen bryder sammen, mens garantien gælder,