Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Transkript

1 SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl timer med alle sædvanlige skriftlige hjælpemidler, inklusiv brug af lommeregnere og ikke støjende PC er. Opgavesættet består af 4 opgaver med henholdsvis 25, 3, 3 og 5 point. Fuld besvarelse svarer til point. Der lægges vægt på, at de benyttede metoder og sætninger fremgår af besvarelsen, og at svarene begrundes. Opnås resultater ved hjælp af lommeregner eller computer, bør dette oplyses i besvarelsen. I alle tilfælde skal alle mellemregninger angives. Bemærk, at senere delspørgsmål i en opgave nogle gange kan besvares uden at alle de tidligere spørgsmål er besvaret. Det er tilladt at bruge resultater fra tidligere delspørgsmål selvom disse ikke er besvaret.

2 Opgave (25 point) Lad V være underrummet i R 4 udspændt af v =, v 2 =, v 3 =. (a) Gør rede for, at v, v 2, v 3 er lineært uafhængige. Hvad er dimensionen af V? (b) Find ved Gram-Schmidt processen anvendt på v, v 2 en ortonormal basis u, u 2 for underrummet U af V udspændt af v og v 2. Dette skal gøres med hensyn til det sædvanlige indre produkt på R 4 givet ved x, y = x T y = 4 x i y i, i= for vektorer x = (x, x 2, x 3, x 4 ) T, y = (y, y 2, y 3, y 4 ) T. (c) Find projektionen p af v 3 til U. (d) Find en basis for det ortogonale komplement U til U i R 4, altså for U = {y R 4 : y, x = for alle x U} Løsning til Opgave Opgave (a) kan angribes på flere måder: En er direkte fra definitionen (side 47): Sæt c c 2 = c v + c 2 v 2 + c 3 v 3 = c 3 c 2 c + c 3. c Heraf ses, = c = c 2 = c 3. 2

3 Opgave (b) kan regnes således: u := v v = 3, u 2 = v 2 v 2, u u (v 2 v 2, u u ) = v 2 v 2, u u + 3 = 5 I opgave (c) er projektionen 2 3, p = v 3, u u + v 3, u 2 u 2 2 = = 2 5. Dette kan nu anvendes i opgave (d) idet v 3 p er ortogonal til U (Sætning 5.5.7), så den ene basis vektor for U kan altså vælges til at være 3 w = v 3 p =

4 Den sidste skal nu vælges. Et valg er at starte med y = (,,, ), som jo automatisk er ortogonal på v og fratrække projektionen til v 2 : w 2 = yt v 2 v 2 2 = 2. 4 Opgavesættet fortsættes...

5 Opgave 2 (3 point) Lad A være matricen A = a b c. 2 (a) Gør rede for, at A er række-ækvivalent til matricen a b b c a. a 3b (b) Bestem nulrummet N(A) for A, når a = 3b = c. Find, med andre ord samtlige løsninger til den homogene ligning Ax =, hvor x = (x, x 2, x 3 ) T R 3 under antagelsen a = 3b = c. (c) Sæt nu a =, b =, c = og beregn nulrummet N(A T ) for A T. (d) Er det lineære system givet ved Ax = y konsistent, når a =, b =, c = og y = (,,, ) T? Løsning til Opgave 2 Til opgave (2a): a b c 2 R R 2 R R 3 R R 3 a b b c a 2 R 4+R 2R 2 R 4 a b b c a. a 3b I opgave (2b) bliver echelon-formen for matricen A med a = 3b = c 2b b. 5

6 Nulrummet er så givet ved N(A) = {x = (x, x 2, x 3 ) T : Ax = } = {(2bα, bα, α) T : α R}. I opgave (2c) er a =, b =, c = så A T = 2... Heraf ses, at nulrummet er N(A T ) = {(α, α, ) T : α R}. I det sidste delspørgsmål (2d) er det meningen, at Sætning og Sætning 5.2. kan anvendes: Vektoren y = (,,, ) T N(A T ) er ortogonal på R(A) = N(A T ) og derfor er ligningen Ax = y inkonsistent. 6 Opgavesættet fortsættes...

7 Opgave 3 (3 point) Lad V være vektorrummet, som består af polynomier af grad mindre end eller lig med to. Altså, V = {a + a x + a 2 x 2 : a, a, a 2 R}. Betragt afbildningen Q: V V givet ved fire reelle tal q, q 2, q 3, q 4 R og forskriften Q(p) = (q x + q 2 )p (x) + q 3 p(x) + q 4 for alle p V. (a) Vis, at Q er en lineær afbildning hvis og kun hvis q 4 =. Bemærk: I resten af opgaven sættes q 4 =. (b) Den ordnede mængde E = [, x, x 2 ] udgør en basis for V. (Dette skal ikke vises). Gør rede for at matricen B = [Q] E E for Q med hensyn til basen E er q 3 q 2 B = q + q 3 2q 2. 2q + q 3 (c) Lad nu F = [ x, x x 2, x 2 ]. Da er F en anden basis for V (dette skal heller ikke vises). Beregn overgangsmatricen S = [I] E F og matricen C = [Q] E F for Q givet ved baserne E henholdsvis F. (d) Beregn determinanten for C. Løsning til Opgave 3 I delspørgsmål (3a) kan først observeres, at Q() = q 4. Da en lineær afbildning L altid opfylder L() = kan vi konkludere, at hvis Q er lineær, da er q 4 =. Omvendt: Hvis q 4 =, da er Q(αp + βr) = (q x + q 2 )(αp + βr) (x) + q 3 (αp + βr)(x) = α ((q x + q 2 )p (x) + q 3 p(x)) + β ((q x + q 2 )r (x) + q 3 r(x)) = αq(p) + βq(r), 7

8 for alle α, β R og p, r V, så Q er lineær. I opgave (3b) findes matricen for Q ved at regne koordinaterne [Q()] E, [Q(x)] E og [Q(x 2 )] E for Q anvendt på de tre basisvektorer og indsætte resultatet som søjler i B: Q() = q 3, Q(x) = q x + q 2 + q 3 x, Q(x 2 ) = 2x(q x + q 2 ) + q 3 x 2, og derfor q 3 q 2 [Q()] E =, [Q(x)] E = q + q 3, [Q(x 2 )] E = 2q 2. 2q + q 3 ved at udtrykke basisvek- I opgave (3c) regnes overgangsmatricen S = [I] E F torerne i E ved F : [] F = [( x) + (x x 2 ) + x 2 ] F = (,, ) T, [x] F = [(x x 2 ) + x 2 ] F = (,, ) T, [x 2 ] F = (,, ) T, så S = [I] E F =. Nu kan matricen C beregnes ved følgende formel q 3 q 2 C = [Q] E F = [I] E F [Q] E E = SB = q 3 q + q 2 + q 3 2q 2. q 3 q + q 2 + q 3 2(q + q 2 ) + q 3 Idéen i den sidste delopgaven er, at man kan bruge Sætning og Sætning 2..3 til at konkludere det C = det S det B = det B = q 3 (q + q 3 )(2q + q 3 ). 8 Opgavesættet fortsættes...

9 Opgave 4 (5 point) Lad A være matricen A = ( ) 4 3/2 4 (a) Find egenværdier og egenvektorer for A. (b) Find en matrix X, så D = XAX er diagonal. (c) Beregn A 3. Løsning til Opgave 4 Til opgave (4a) har vi: 4 λ 6 λ = λ2 3λ + 2, som har løsninger λ =, λ 2 = 2. De tilhørende egenvektorer fås fra de homogene ligninger svarende til ( ) ( ) 3 3/2 2 3/2 A =, A = 4 3 med løsninger x = (, 2) T, x 2 = (3, 4) T. Ovenstående giver i (4b): og derfor X = ( ) I (4c) beregnes A 3 ved ( ) 3 A 3 = X X = 2 2 X = 2 ( ( ) ) ( ) ( ) 4 3 = 8 2 ( ) 22 2/