Fysik 3. Indhold. 1. Sandsynlighedsteori

Transkript

1 Fysk 3 Indhold Termodynamk John Nclasen 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler 1.2 Boolsk Algebra 1.3 Betngede Udsagn 1.4 Regneregler 1.5 Bayes' formel 2. Fordelnger 2.1 Symboler 2.2 Bnomal Fordelngen 2.3 ultnomal Fordelngen 2.4 Gauss Fordelngen 3. Varmelære 3.1 Symboler 3.2 Kemkers udlægnng 3.3 Fyskers udlægnng 3.4 Alternatv udlægnng 3.5 Tryk 3.6 Arbejde og varme 4. axent 4.1 Symboler 5. Termodynamk 5.1 Symboler 5.2 Det kanonske ensemble 5.3 Tryk-ensemble 5.4 Store kanonske ensemble 1. Sandsynlghedsteor 1.1 Symboler Symbol Betydnng A, B,... Udsagn D Data I Øvrg mformaton P Sandsynlghedsfunkton T Teor 1.2 Boolsk Algebra NOT A A AND B A OR B A AB A + B Smle "regneregler" for udsagn: AB = A + B A + B = A; B = A B

2 Tl udsagnet A skrver v tallet P (A) og benævner tallet sandsynlngheden for A. 1.3 Betngede Udsagn "Betngede udsagn" skrves "A gvet I" 1.4 Regneregler Sumregel P (AB) = P (A + B) A j I Produktregel Hvs kendskab tl B kke åvrker sandsynlgheden for A, dvs. hvs P (A j B I) = P (A j I, ) så sger v, at de to udsagn er uafhængge. I dette tlfælde gver roduktreglen Generel Sumregel (Tænk å mængder!) Hvs de 2 hændelser udelukker hnanden (nsuffcent reason), dvs.: 1.5 Bayes' formel P (A j I ) + P (A j I ) = 1 P (AB j I ) = P (A j I)P (B j AI) P (AB j I ) = P (A j I)P (B j I) P (A + B j I ) = P (A j I ) + P (B j I) À P (AB j I) P (AB j I ) = 0 ) P (A + B j I ) = P (A j I ) + P (B j I) P (D j TI) P (T j D I) = P (T j I) P (D j I) Lad os betragte en stuaton, hvor v har et antal konkurrende teorer, T, som ndbyrdes udelukker hnanden, dvs. TT j er falsk for = 6 j, og som tlsammen må være sande. Så gælder P (D j I ) = P (D j T I)P (T j I) P (T I) j D = P (D j T I)P (T j I) P j P (D j T j I)P (T j j I) Eller blot: Eksemel å brug af Bayes' formel P (D j T I) P (T j D I) = P (T j I) P (D j I) P (T j D I) = 1 V forestller os en befolknng, hvor der er en sandsynlghed for, at hvert enkelt ndvd har en gven sygdom. På hostalet har man et måleaarat, som kan teste, om man har denne

3 sygdom. ålemetoden er kke erfekt, så aaratet måler forkert nogle tlfælde. Hvs man nu blver testet ostv for denne sygdom, hvad er så sandsynlgheden for, at man vrkelg har sygdommen? Det kan Bayes' formel gve svaret å. Lad os forestlle os flg.: Sandsynlgheden for, at man har sygdommen, er 1%. Dvs. 1% af befolknngen har vrkelg denne sygdom. Det angves f.eks.: P (S j I ) = 1 % = 0:01 Dvs. sandsynlgheden for, at man kke har sygdommen, er 99% : P (S Ö j I ) = 9 9% = 0 :99 Det gves, at måleaaratet har en åldelghed å 95%. Dvs. når det måler å en erson, der har sygdommen, så gver aaratet det rgtge resultat 95% af tlfældene: P (DS j S I) = 95% = 0:95 Lgeledes gver måleaaratet det rgtge resultat 95% af tlfældene, når man kke har sygdommen: P (D j S Ö I) = 95% = 0:95 SÖ an vl gerne fnde sandsynlgheden for, at man er syg, hvs man blver måle tl at være syg, dvs.: P (S j D S I) S er altså teoren eller udsagnet: "ersonen er syg". betyder: "data sger, at ersonen er syg". Altså: sandsynlgheden for, at ersonen er syg under forudsætnng af, at man får data, der sger, ersonen er syg, er lg med sandsynlgheden for, at man får data, der sger, at ersonen er syg under forudsætnng at ersonen er syg, dvderet med sandsynlgheden for at få data, der sger, at ersonen er syg, gange med sandsynlgheden generelt for at være syg. V kender P (DS j SI), der er 95%. V kender også P (S j I), der er 1%. V skal altså fnde P (D S j I), før v kan regne det ud. Der er 2 stuatoner, hvor man kan få resultatet D S, dvs. data der sger, ersonen er syg. Enten får man de data og ersonen samtdg vrkelg er syg, eller også får man de data og ersonen samtdg kke er syg. Dvs.: an kan nu bruge roduktreglen for hver af de 2 led: Eller sagt med ord: sandsynlgheden for, at man får data, der sger, at ersonen er syg, er lg med sandsynlgheden for, at man får de data under forudsætnng af, at ersonen er syg, gange sandsynlgheden for at være syg, lus sandsynlgheden for de data under forudsætnng af, at ersonen kke er syg, gange sandsynlgheden for kke at være syg. V kender alle dsse 4 størrelser, så v fnder sandsynlgheden for at få data, der sger, at ersonen er syg:, da P (DS j SI) Ö = 1 À P (DS j S I) = 1 À 0 :95 = 0:05. an kan nu udregne den endelge sandsynlghed for, at en erson er syg under forudsætnng af, at man får data, der sger, at ersonen er syg: Et måske overraskende resultat, men man kan forvsse sg om, at det er sandt ved at se å en grue af ersoner. 1% har sygdommen, dvs. 100 ersoner. 95% af dem vl blve måle ostve ved en test, dvs. 95 ersoner. Der er altså À 100 = 9900 ersoner, der kke har sygdommen. 5% af dem vl blve målt ostve ved en test, dvs. 495 ersoner. Der er altså alt = 590 ersoner, der vl blve målt ostve, og det er kun 95 af dem, der rent faktsk har D S P (DS j SI) P (S j D S I) = P (S j I) P (D S j I ) P (D S j I ) = P (DSS j I ) + P (D S Ö S j I) = P (DS j SI)P (S j I ) + P (DS j S Ö I)P (S Ö j I) P (D S j I ) = 0:95 Á 0 :01 + 0:05 Á 0 :99 = 0 :059 = 5:9% P (S j D S I) = 0:95 :01 :16 6% 0:059 Á 0 Ù 0 = 1

4 sygdommen svarende tl ca. 16%. 2. Fordelnger 2.1 Symboler Symbol A, B,... Udsagn D I N P T Ö Û 2 Data Betydnng Øvrg mformaton Antal gvne udfald Antal mulge udfald Sandsynlghedsfunkton Sandsynlghed Teor ddelværd Varans 2.2 Bnomal Fordelngen Hvs v har en sekvens af N hændelser med hver to udfald, og med sandsynlgheden for det ene udfald, er sandsynlgheden for udsagnet A m = "Sekvensen gver neto udfald af tyen P " gvet ved bnomal fordelngen Ò Ó N P (A m j I ) = (1 À ) N À, hvor ( N ) er bnomalkoffcenten Ò Ó N = N!!(N À )! ddelværd h = P (A j I) Varans Varansen er defneret som mddelværden af kvadratet å afvgelsen fra mddelværden Û 2 = 2 ( À h) P (A j I) hvor Û 2 = h 2 2 À h 2 h = 2 P (A j I) Tlstandssum Tlstandssummen er gvet ved

5 N Z(Õ) = he Õ = P (A j I) e Õ Det gælder N Z(0) = P (A j I ) = 1 0 = N Z (0) P (A j I ) = h 00 = N Z (0) 2 2 P (A j I ) = h (n) Z (0) n n P (A j I ) = h = N Strlngs Aroxmaton For store værder af N N! ' 2ÙN Ò N Ó N N! ) k (1 À k) N À ÀNf (x) ' g(x)e!(n À )! e, hvor x = =N og g(x) = 1 Ò 1 x Ó Ò 1 À x Ó q ; f (x) = x ln + ( 1 À x) ln 2ÙN k 1 À k x(1 À x) For N µ 1: ï P (A j I ) ' 1 ex 2ÙÛ 2 À ( À Ö) 2! 2Û ultnomal Fordelngen Tlstandssum Varans Varansen antallet af udfald af tyen 2.4 Gauss Fordelngen N! n P (A(n 1 ; : : : ; n k ) j I ) = 1 n Á Á Á k n 1!Á Á Án k! 1 k Z(Õ 1 ; : : : ; Õ k ) = e Õ 1 n 1 +ÁÁÁ+Õ k n kp (A(n 1 ; : : : ; n k ) j I) n ;ÁÁÁ;n 1 k Û n n (1 ) 2 = h 2 À h 2 = N À Også kaldet Normalfordelngen: ï!

6 (x j Ö Û) = 1 Û ï 2Ù ex À (x À Ö) 2! 2Û Tlstandssum Af Z(Õ) kan v beregne fordelngens karakterstka:, hvoraf v ser, at fordelngens varans er gvet ved Û Varmelære Dette afsnt omhandler mere tradtonel termodynamk centreret omkrng dealgas-lgnngen, og kke så meget statstsk fysk. 3.1 Symboler Z(Õ) = (x j Ö; Û)dx, Z (Õ) Z 1 e Õx À1 = ex ï Z(0) = 1 0 Z (0) = h x = Ö (Ö + ÕÛ 2 ) 2 À Ö 2! 2Û 2 00 Z (0) = hx 2 = Û 2 + Ö 2 Symbol k B N N A n Q T V W Ú Betydnng Boltzmanns konstant asse Antal atomer/molekyler Avogadros tal Antal mol Tryk Varme Temeratur Volumen Arbejde Tæthed 3.2 Kemkers udlægnng Kemkere benytter denne form af tlstandslgnngen for den deale gas (dealgaslgnngen): hvor 3.3 Fyskers udlægnng Á V = n Á R Á T er trykket V er volumen n er antallet af mol af gassen R er gaskonstanten: R Ù 8:31 J mol À1 K À1 T er temeraturen Kelvn.

7 Á V = N Á T hvor er trykket er volumen er antallet af atomer eller molekyler af gassen er temeraturen udtrykt som energ målt Joule. Forskellen de 2 udlægnnger er højresden. an kan gå fra n tl N ved at gange med Avogadros tal: N A = 6: Â mol À1 N = n Á N A an kan lgeledes gå fra temeratur målt Kelvn ( T K) tl temeratur målt Joule ( T J) ved at gange med Boltzmanns konstant: k B = 1: Â 10 À23 J K À1 Ù 1:381 Â 10 À23 J K À1 Så tlstandslgnngen for den deale gas kan også skrves:, hvor T er temeraturen målt Kelvn. Jamen det må jo betyde, at gaskonstanten R er Avogadros tal ganget med Boltzmanns konstant: 3.4 Alternatv udlægnng 3.5 Tryk V N T Lufttæthed defneres som, hvor er massen af luften, og V er volumen, der ndeholder denne mængde luft. Idealgaslgnngen kan så omskrves tl, hvor gaskonstanten R afhænger af hvlke molekyler, gassen består af. Temeraturen T er her Kelvn, og Boltzmanns konstant er en del af R. SI-enheden for tryk er Pa (Pascal). Andre alm. enheder for tryk er bar, mbar (mll-bar) og atm (atmosfære). 3.6 Arbejde og varme K T J = T K Á k B Á V = n Á N A Á k B Á T K R = N A Á k B Ú = V = Ú Á R Á T 1 Pa Ñ 1 N m À2 Ñ 1 J m À3 À1 À2 Ñ 1 kg m s 1 bar Ñ Pa 1 atm Ñ Pa Ñ 1:01325 bar Ù 1013 mbar Z

8 Z b W = dv Nk B T 1 = V Z b Z b Q dv = k T 1 = a a a N B, Q 1 = Nk B T 1 ln V b V a Q2 = Nk B T 2 ln V c V d Q 1 Q 2 = T 1 T2 dv 1 V 4. axent 4.1 Symboler Symbol F hf S x Z Õ Betydnng Statstsk størrelse ddelværd af statsktsk fordelt størrelse Sandsynlghed Entro Varabel Tlstandssum Lagrange-multlkator Entro S = À ln( ) Er et udtryk for antallet af frhedsgrader eller mulge tlstande, et system kan være, gvet nogle rammer. Hvs man f.eks. tænker å en kasse med en gas, så er der mange flere mulge tlstande, hvor gassen er jævn fordelt kassen end tlstande, hvor al gasser befnder sg det ene hjørne af kassen. Derfor vl entroen være meget større stuatonen med jævn fordelng af gas end stuatonen, hvor gassen er begrænset tl det ene hjørne. Entro kan også udtrykkes: Tlstandssum S = ln (Z) + F Z = Õ k " # ex À Õ k f k (x ) k k Er et matematsk udtryk, der ndeholder nformaton om statstsk fordelte størrelser, f k, og tlhørende Lagrange-multlkatorer, Õ, for et system axent Entroen er maksmeret (har tounkt) for flg. sandsynlghed: " # k

9 = 1 Z " # ex À Õ k f k (x ) k Vden Statstske størrelser er defneret som mddelværder: Partelt Afledte Den artelt afledte af logartmen tl tlstandssummen mht. en Lagrange-multlkator gver mnus den tlhørende statsktske størrelse (vden): Tlsvarende gver den artelt afledte af entroen mht. en statsk størrelse den tlhørende Lagrange-multlkator: 5. Termodynamk 5.1 Symboler Symbol C E H N Q S T U V W Z Varmefylde Energ Ental Betydnng Antal atomer/molekyler Tryk Varme Entro Temeratur Joule Energ Volumen Arbejde Ì T À1 Ö Ê Tlstandssum (Temeratur) Kemsk otentale Termodynamsk otentale 5.2 Det kanonske ensemble Kendetegn Volumen, V, og antal artkler, N, er konstante. Statstsk størrelse Lagrange-multlkator hf f k (x ) = F k ; k = 1 ; : : : ; m k ln(z) = k = Õ k

10 Energ he = U Temeratur Ì = 1 T Entro Flg. udtryk for entro skal maksmeres (tounkt skal fndes): S = À ln under bbetngelserne: Sandsynlghedsfordelngen blver: = 1 E = U, hvor tlstandssummen, Z er gvet ved: Summen er over de mange små celler faserummet Den deelle gas = 1 E ] Z ex [ À Ì Z = ex [ À Ì E ] E(r Ö; Ö ) = N n=1 2 n 2m Ò Z = V N 2Ù m Ó 3N=2 h 2 Ì ln Z 3N = À 2 3N 1, Ì = 2 U, T = 2 U 3N 1 Ì, da Ì = T À1. S = ln Z + Ì U = N ln " Ò 2Ù m Ó # 3=2 V h 2 Ì 3N Varmefylde og varme ÎU = CÎT, Î U = À C ÎÌ Ì 2, da ÎT ÎÌ = À 1 Ì 2 Fra den generelle teor:

11 ) ln Z = C = Ì 2 = 2 3N C = 2 Ò 3N Ó T 2 Ændrng entro: ÁS = ÁT ) T ÁS = CÁT Varme: ÁQ = T ÁS = CÁT, ÁQ C = ÁT Arbejde og tryk - 1. Hovedsætnng Hvs mddelenergen kke ændres: ÎU = ÎQ À Î W = TÎS À ÎW ÎW = ÎV ÎQ = T ÎS = ÎW Energen kan ændres å 2 måder: der kan tlføres varme, eller der kan udføres arbejde. Tlføres systemet varme, er det ækvvalent med en ændrng sandsynlghedsfordelngerne, for de enkelte celler faserummet. Dette fremgår af: ÎQ = E Î Arbejdet nvolverer kke nogen ændrng af sandsynlghederne, men reræsenterer en ændrng af energen, E, af faserumscellen Helmholtz' fre energ Tlstandslgnng 5.3 Tryk-ensemble Kendetegn Antal artkler, N, er konstant. Statstsk størrelse Lagrange-multlkator 1 F (T; Ë ) = À ln Z Ì = U À TS ) Á F = ÀSÁT À ÁW, NT = V, V = NT

12 Energ he = U Temeratur Ì = 1 T Volumen V Tryk Entroen Entroen skal maksmeres af en sandsynlghedstæthed å formen (V )dv = 1 E (V ) V ] Z ex [ À Ì À Ë dv v 0 Lagrange-multlkatoren Ë : ) µ Ë = Ì Ë = Ì T = Tlstandssummen: Z(T; ) = Z 1 dv ex [ À Ì (E (V ) + V )] 0 v 0 Entroen: S = ln Z + Ì (U + V ) = ln Z + Ì U + ËV Hovedsætnng ÁU = T ÁS + ÁV Varmefylde og C Ental: H = U + V Volumen: V = N Ì, V = NT Energ: 3N U = + N u (Ì) 2Ì, hvor u (Ì) er mddelværden af et enkelt molekyles ndre ln Z u (Ì) = Varmefylde: C = + N + N C V = + N

13 Varmefylde betnget af translatorske, rotatonelle og vbratonelle frhedsgrader: Eksemel fra forelæsnng ( H O!?): C= translaton + rotaton + vbraton (af frhedsgrader) Gbbs fre energ C = Ntr + N rot + N 2 2 vb 1 1 C = 3 Á + 3 Á + ( 3n À 6 ) Á Store kanonske ensemble Kendetegn Volumen, V, er konstant. Statstsk størrelse Lagrange-multlkator Energ he = U Temeratur Ì = 1 T 1 G(T; ) = À ln Z = À T Ì = U + V À TS ln Z ) Á G = À SÁT + V Á À ÁW Antal artkler N Kemsk otentale Ö Entroen aksmum entro gver flg. sandsynlghedsfordelng: Tlstandssummen: E N ] = 1 Z ex [ À Ì À Õ Z = ex [ À ÌE À ÕN ] Õ fndes ud fra:, hvor N er den kendte mddelværd af artkeltallet. Entroen blver: 0 Lagrange-multlkatoren Õ er relateret tl det kemske otentale, Ö, va formlen:, hvlket ln Z = À 0 S = ln Z + Ì U + ÕN ) = 0 Õ = ÀÌÖ

14 1 ln Z ÀT = Det termodynamske otentale, hvor F er en slags Helmholtz' fre energ: 1 Ê = À ln Z Ì ) Ê = U À TS À ÖN Ò 1 Z F (T; V; N ) = À ln Ì N! Ó Termodynamske otentale: Ê = ÀV NcomDoc - 10-Ar nclasen@fys.ku.dk